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(1)

2

Ba hilleratoCien iasSo iales

DepartamentodeMatemáti as

I.E.S.VirgendelPuerto-PLASENCIA

Curso2014/15

(2)

1

DesigualdadeseIne ua iones

Deni iones

2

Programa iónLineal

Deni ión

Ejemploysolu ión

MásDeni iones

MétodosdeResolu ión

3

ProblemasdeProdu ión

4

ProblemadelaDieta

5

ProblemadelTransporte

6

ProblemasPropuestos

7

PersonajesenlaHistoria

8

Bibliografía

9

Créditos

(3)

IraÍndi e

1| Desigualdades

e Ine ua iones

(4)
(5)

Ine ua iones

Unaine ua iónesunadesigualdadentredosexpresionesalgebrai as,esde ir,dosexpresiones

algebrai asseparadasporalgunodelossímbolos

,

,

<

y

>

.

Ejemplos:5

+

3

x ≤

1, 2

x −

6

≥ −

3, 4

5

x <

3

x +

2 y 3

2

x >

5

x

.

Ine ua ionesdeprimergrado onunain ógnita

Lasine ua ionesdeprimergradoenunain ógnita,tambiénllamadasine ua ioneslineales,son

lasquetienen omoexpresióngeneralalgunadelassiguientesformas:

ax + b ≤

0

ax + b ≥

0

ax + b <

0

ax + b >

0

(6)

Ine ua ionesdeprimergrado onunain ógnita

Lasine ua ionesdeprimergradoenunain ógnita,tambiénllamadasine ua ioneslineales,son

lasquetienen omoexpresióngeneralalgunadelassiguientesformas:

ax + b ≤

0

ax + b ≥

0

ax + b <

0

ax + b >

0

Re uerdaquelasine ua ioneslinealesseresuelvenigualquelasigualdades,ex eptoporlaregla

quenosdi equesimultipli amosodividimoslaine ua iónporunnúmeronegativo,la

desigualdad ambiadesentido.

(7)

Ine ua iones

Unaine ua iónesunadesigualdadentredosexpresionesalgebrai as,esde ir,dosexpresiones

algebrai asseparadasporalgunodelossímbolos

,

,

<

y

>

.

Ejemplos:5

+

3

x ≤

1, 2

x −

6

≥ −

3, 4

5

x <

3

x +

2 y 3

2

x >

5

x

.

Ine ua ionesdeprimergrado onunain ógnita

Lasine ua ionesdeprimergradoenunain ógnita,tambiénllamadasine ua ioneslineales,son

lasquetienen omoexpresióngeneralalgunadelassiguientesformas:

ax + b ≤

0

ax + b ≥

0

ax + b <

0

ax + b >

0

Re uerdaquelasine ua ioneslinealesseresuelvenigualquelasigualdades,ex eptoporlaregla

quenosdi equesimultipli amosodividimoslaine ua iónporunnúmeronegativo,la

desigualdad ambiadesentido.

Ejemplo:

(8)

Ine ua ionesdeprimergrado onunain ógnita

Lasine ua ionesdeprimergradoenunain ógnita,tambiénllamadasine ua ioneslineales,son

lasquetienen omoexpresióngeneralalgunadelassiguientesformas:

ax + b ≤

0

ax + b ≥

0

ax + b <

0

ax + b >

0

Re uerdaquelasine ua ioneslinealesseresuelvenigualquelasigualdades,ex eptoporlaregla

quenosdi equesimultipli amosodividimoslaine ua iónporunnúmeronegativo,la

desigualdad ambiadesentido.

Ejemplo:

1

+

4

x

10

< x +

1

2

2

3

x

5

Quitamosdenominadoresmultipli andopor10

1

+

4

x <

5

(x +

1

) −

2

(

2

3

x )

Quitamosparéntesisyagrupamostérminossemejantes

(9)

Ine ua ioneslineales ondosin ógnitas

Lasine ua ionesdeprimergrado ondosin ógnitassonlasdesigualdadesquetienen omo

expresióngeneralalgunadelassiguientesformas:

ax + by ≤ c ax + by ≥ c ax + by < c ax + by > c

Susolu iónestáformadaportodoslosparesdevalores

(x, y )

queha enqueladesigualdadsea ierta.

(10)

(x, y )

ierta.

Observarquelaigualdad

ax + by = c

eslae ua ióndeunare taque ortaalosejesen

(

0

, c/b)

y

(c/a,

0

)

.

(11)

Ine ua ioneslineales ondosin ógnitas

Lasine ua ionesdeprimergrado ondosin ógnitassonlasdesigualdadesquetienen omo

expresióngeneralalgunadelassiguientesformas:

ax + by ≤ c ax + by ≥ c ax + by < c ax + by > c

Susolu iónestáformadaportodoslosparesdevalores

(x, y )

queha enqueladesigualdadsea ierta.

Observarquelaigualdad

ax + by = c

eslae ua ióndeunare taque ortaalosejesen

(

0

, c/b)

y

(c/a,

0

)

.Ademásdivideelplanoendoszonasosemiplanos.

(12)

x + y ≤

2

x −

2

y ≥ −

4

y ≥

1

Pararesolverunsistemadeine ua ioneslineales,sesiguenlossiguientespasos:

Serepresentanlossemiplanossolu ióndelasine ua ionesindividuales.

Sedeterminalasolu ión omún,queeslainterse ióndelossemiplanos.

Sedeterminanlospuntosdeinterse ióndelasre tas(vérti es).

Enlasiguientediapositivavemoslasolu ióndelejemplopropuesto.

(13)

Semiplanossolu ióndelasine ua ionesindividuales.

(14)

Sedeterminalasolu ión omún,queesla

Sedeterminanlospuntosdeinterse ión

delasre tas(vérti es).

x + y =

2

x −

2

y = −

4



= (

0

,

2

)

x + y =

2

y =

1



= (

1

,

1

)

x −

2

y = −

4

y =

1



= (−

2

,

1

)

(15)

IraÍndi e

2| Programa ión

Lineal

(16)
(17)

Programa iónlineal

Laprograma iónlinealesel onjuntodeté ni asmatemáti asutilizadasparaoptimizar

(maximizarominimizar)unafun iónlinealdevariasvariablesllamadafun iónobjetivoyqueestá

sujetaaunaseriederestri iones,queexpresamosmedianteine ua ioneslineales. Nosotros

trabajaremos onfun ioneseine ua ioneslinealesdedosin ógnitas.

Ejemplodeproblemadeprograma iónlineal(PAUExtremaduraJunio2014)

Unaempresadealimenta ióntieneensualma éndelegumbres4000

kg

degarbanzosy3000

kg

dejudías. Parafavore ersuventaquieredistribuirlosenlotesdedostipos,AyB.CadaloteA

ontiene1

kg

degarbanzosy1

kg

dejudías. CadaloteB ontiene2

kg

degarbanzosy1kgde

judías.Seobtieneunbene iode2eurospor adaloteAy3eurospor adaloteB.Sepide:

Elnúmerodelotesde adatipoparaobtenerelmáximobene io.

Elvalordedi hobene iomáximo.

(18)

Ejemplodeproblemadeprograma iónlineal(PAUExtremaduraJunio2014)

Unaempresadealimenta ióntieneensualma éndelegumbres4000

kg

degarbanzosy3000

kg

dejudías. Parafavore ersuventaquieredistribuirlosenlotesdedostipos,AyB.CadaloteA

ontiene1

kg

degarbanzosy1

kg

dejudías. CadaloteB ontiene2

kg

degarbanzosy1kgde

judías.Seobtieneunbene iode2eurospor adaloteAy3eurospor adaloteB.Sepide:

Elnúmerodelotesde adatipoparaobtenerelmáximobene io.

Elvalordedi hobene iomáximo.

Pararesolverunproblemadeprograma iónlinealdebemosseguirlossiguientespasos:

Ordenarlainforma iónenunatabla.

(19)

Programa iónlineal

Laprograma iónlinealesel onjuntodeté ni asmatemáti asutilizadasparaoptimizar

(maximizarominimizar)unafun iónlinealdevariasvariablesllamadafun iónobjetivoyqueestá

sujetaaunaseriederestri iones,queexpresamosmedianteine ua ioneslineales. Nosotros

trabajaremos onfun ioneseine ua ioneslinealesdedosin ógnitas.

Ejemplodeproblemadeprograma iónlineal(PAUExtremaduraJunio2014)

Unaempresadealimenta ióntieneensualma éndelegumbres4000

kg

degarbanzosy3000

kg

dejudías. Parafavore ersuventaquieredistribuirlosenlotesdedostipos,AyB.CadaloteA

ontiene1

kg

degarbanzosy1

kg

dejudías. CadaloteB ontiene2

kg

degarbanzosy1kgde

judías.Seobtieneunbene iode2eurospor adaloteAy3eurospor adaloteB.Sepide:

Elnúmerodelotesde adatipoparaobtenerelmáximobene io.

Elvalordedi hobene iomáximo.

Pararesolverunproblemadeprograma iónlinealdebemosseguirlossiguientespasos:

Ordenarlainforma iónenunatabla.

Denirlasvariables.

(20)

Ejemplodeproblemadeprograma iónlineal(PAUExtremaduraJunio2014)

Unaempresadealimenta ióntieneensualma éndelegumbres4000

kg

degarbanzosy3000

kg

dejudías. Parafavore ersuventaquieredistribuirlosenlotesdedostipos,AyB.CadaloteA

ontiene1

kg

degarbanzosy1

kg

dejudías. CadaloteB ontiene2

kg

degarbanzosy1kgde

judías.Seobtieneunbene iode2eurospor adaloteAy3eurospor adaloteB.Sepide:

Elnúmerodelotesde adatipoparaobtenerelmáximobene io.

Elvalordedi hobene iomáximo.

Pararesolverunproblemadeprograma iónlinealdebemosseguirlossiguientespasos:

Ordenarlainforma iónenunatabla.

Denirlasvariables.

Determinarlafun iónobjetivo.

(21)

Programa iónlineal

Laprograma iónlinealesel onjuntodeté ni asmatemáti asutilizadasparaoptimizar

(maximizarominimizar)unafun iónlinealdevariasvariablesllamadafun iónobjetivoyqueestá

sujetaaunaseriederestri iones,queexpresamosmedianteine ua ioneslineales. Nosotros

trabajaremos onfun ioneseine ua ioneslinealesdedosin ógnitas.

Ejemplodeproblemadeprograma iónlineal(PAUExtremaduraJunio2014)

Unaempresadealimenta ióntieneensualma éndelegumbres4000

kg

degarbanzosy3000

kg

dejudías. Parafavore ersuventaquieredistribuirlosenlotesdedostipos,AyB.CadaloteA

ontiene1

kg

degarbanzosy1

kg

dejudías. CadaloteB ontiene2

kg

degarbanzosy1kgde

judías.Seobtieneunbene iode2eurospor adaloteAy3eurospor adaloteB.Sepide:

Elnúmerodelotesde adatipoparaobtenerelmáximobene io.

Elvalordedi hobene iomáximo.

Pararesolverunproblemadeprograma iónlinealdebemosseguirlossiguientespasos:

Ordenarlainforma iónenunatabla.

Denirlasvariables.

Determinarlafun iónobjetivo.

Determinartodaslasrestri iones.

(22)

Ejemplodeproblemadeprograma iónlineal(PAUExtremaduraJunio2014)

Unaempresadealimenta ióntieneensualma éndelegumbres4000

kg

degarbanzosy3000

kg

dejudías. Parafavore ersuventaquieredistribuirlosenlotesdedostipos,AyB.CadaloteA

ontiene1

kg

degarbanzosy1

kg

dejudías. CadaloteB ontiene2

kg

degarbanzosy1kgde

judías.Seobtieneunbene iode2eurospor adaloteAy3eurospor adaloteB.Sepide:

Elnúmerodelotesde adatipoparaobtenerelmáximobene io.

Elvalordedi hobene iomáximo.

Pararesolverunproblemadeprograma iónlinealdebemosseguirlossiguientespasos:

Ordenarlainforma iónenunatabla.

Denirlasvariables.

Determinarlafun iónobjetivo.

(23)

Solu ióndelejemplodeproblemadeprograma iónlineal

Unaempresadealimenta ióntieneensualma éndelegumbres4000

kg

degarbanzosy

3000

kg

dejudías. Parafavore ersuventaquieredistribuirlos enlotesdedostipos,AyB.

CadaloteA ontiene1

kg

degarbanzosy1

kg

dejudías. CadaloteB ontiene2

kg

de

garbanzosy1kgdejudías.Seobtieneunbene iode2eurospor adaloteAy3euros

por adaloteB.Sepide:

Elnúmerodelotesde adatipoparaobtenerelmáximobene io.

Elvalordedi hobene iomáximo.

Solu ión.-

Tabla:

(24)

Elnúmerodelotesde adatipoparaobtenerelmáximobene io.

Elvalordedi hobene iomáximo.

Solu ión.-

Tabla:

Deni ióndevariables:

númerodelotestipoA.

x

y

(25)

Solu ióndelejemplodeproblemadeprograma iónlineal

Unaempresadealimenta ióntieneensualma éndelegumbres4000

kg

degarbanzosy

3000

kg

dejudías. Parafavore ersuventaquieredistribuirlosenlotesdedostipos,AyB.

CadaloteA ontiene1

kg

degarbanzosy1

kg

dejudías. CadaloteB ontiene2

kg

de

garbanzosy1kgdejudías.Seobtieneunbene iode2eurospor adaloteAy3euros

por adaloteB.Sepide:

Elnúmerodelotesde adatipoparaobtenerelmáximobene io.

Elvalordedi hobene iomáximo.

Solu ión.-

Tabla:

Deni ióndevariables:

númerodelotestipoA.

x

númerodelotestipoB:

y

Fun iónobjetivo: lafun iónobjetivoes

elbene ioqueobtenemosyquevamosa

llamar

B(x, y )

,yes

B(x, y ) =

2

x +

3

y

(26)

Elnúmerodelotesde adatipoparaobtenerelmáximobene io.

Elvalordedi hobene iomáximo.

Solu ión.-

Tabla:

Deni ióndevariables:

númerodelotestipoA.

x y

elbene ioqueobtenemosyquevamosa

llamar

B(x, y )

,yes

B(x, y ) =

2

x +

3

y

Restri iones:

x +

2

y ≤

4000

x + y ≤

3000

x ≥

0

y ≥

0

 

 

(27)

Solu ióndelejemplodeproblemadeprograma iónlineal

Unaempresadealimenta ióntieneensualma éndelegumbres4000

kg

degarbanzosy

3000

kg

dejudías. Parafavore ersuventaquieredistribuirlosenlotesdedostipos,AyB.

CadaloteA ontiene1

kg

degarbanzosy1

kg

dejudías. CadaloteB ontiene2

kg

de

garbanzosy1kgdejudías.Seobtieneunbene iode2eurospor adaloteAy3euros

por adaloteB.Sepide:

Elnúmerodelotesde adatipoparaobtenerelmáximobene io.

Elvalordedi hobene iomáximo.

Solu ión.-

Tabla:

Deni ióndevariables:

númerodelotestipoA.

x

númerodelotestipoB:

y

Fun iónobjetivo: lafun iónobjetivoes

elbene ioqueobtenemosyquevamosa

llamar

B(x, y )

,yes

B(x, y ) =

2

x +

3

y

Restri iones:

x +

2

y ≤

4000

x + y ≤

3000

x ≥

0

y ≥

0

 

 

Solu iónóptima:Lovemosmásadelante.

(28)
(29)

Regiónfa tible

LLamamosregiónfa tibledeunproblemadeprograma iónlinealal onjuntodevaloresque

umplentodaslasrestri iones,esde ir,eslasolu ióndelsistemadeine ua ioneslinealesque

formanlasrestri iones.

Vérti esdelaregiónfa tible

Losvérti esdelaregiónfa tiblesonlospuntosdeinterse iónentrelosdistintossegmentosque

formanlaregiónfa tible.Re ordarque adaunadelasine ua ioneslinealesorestri ión,

representalae ua ióndeunare ta.

(30)

Vérti esdelaregiónfa tible

Losvérti esdelaregiónfa tiblesonlospuntosdeinterse iónentrelosdistintossegmentosque

formanlaregiónfa tible.Re ordarque adaunadelasine ua ioneslinealesorestri ión,

representalae ua ióndeunare ta.

Solu iónóptima

Lasolu iónóptimaeselpuntoo onjuntodepuntosdelaregiónfa tiblequeoptimizanla

fun iónobjetivo. Esde ir,lasolu iónóptimalaen ontramosenlaregiónfa tible,engeneral,en

losvérti esdelamisma.

Sepuedenobtenerlassiguientessolu iones:

Solu iónúni a: estaseen uentraenalgunodelosvérti esdelaregiónfa tible.

(31)

Regiónfa tible

LLamamosregiónfa tibledeunproblemadeprograma iónlinealal onjuntodevaloresque

umplentodaslasrestri iones,esde ir,eslasolu ióndelsistemadeine ua ioneslinealesque

formanlasrestri iones.

Vérti esdelaregiónfa tible

Losvérti esdelaregiónfa tiblesonlospuntosdeinterse iónentrelosdistintossegmentosque

formanlaregiónfa tible.Re ordarque adaunadelasine ua ioneslinealesorestri ión,

representalae ua ióndeunare ta.

Solu iónóptima

Lasolu iónóptimaeselpuntoo onjuntodepuntosdelaregiónfa tiblequeoptimizanla

fun iónobjetivo. Esde ir,lasolu iónóptimalaen ontramosenlaregiónfa tible,engeneral,en

losvérti esdelamisma.

Sepuedenobtenerlassiguientessolu iones:

Solu iónúni a: estaseen uentraenalgunodelosvérti esdelaregiónfa tible.

Solu iónmúltiple: estáformadapor,almenos,dosvérti esyportantoportodoslos

puntosdelsegmentoquelosune.

(32)

Vérti esdelaregiónfa tible

Losvérti esdelaregiónfa tiblesonlospuntosdeinterse iónentrelosdistintossegmentosque

formanlaregiónfa tible.Re ordarque adaunadelasine ua ioneslinealesorestri ión,

representalae ua ióndeunare ta.

Solu iónóptima

Lasolu iónóptimaeselpuntoo onjuntodepuntosdelaregiónfa tiblequeoptimizanla

fun iónobjetivo. Esde ir,lasolu iónóptimalaen ontramosenlaregiónfa tible,engeneral,en

losvérti esdelamisma.

Sepuedenobtenerlassiguientessolu iones:

Solu iónúni a: estaseen uentraenalgunodelosvérti esdelaregiónfa tible.

Solu iónmúltiple: estáformadapor,almenos,dosvérti esyportantoportodoslos

puntosdelsegmentoquelosune.

(33)

Paraen ontrarlasolu iónóptima(máximoomínimo)deunproblemadeprograma iónlineal

podemosusardosmétodos:elmétodoanalíti oyelmétodográ o. En ualquier aso,parala

solu ióndelproblemadebemosteneren uentaelsiguiente

Teorema

Siunafun iónlinealposeeunmáximoounmínimoenun onjunto onvexo(polígono onvexo),

tomaestevalorenunvérti eoenunladodedi ho onjuntoopolígono.

Esteteoremanosdi eque,paraunpolígono onvexo,debemosdeterminarlosvérti esdela

regiónfa tibley al ularelvalordelafun iónobjetivoenesospuntos,deformaque:

Silafun iónal anzaelmáximooelmínimoenunúni ovérti e,eseserálasolu ióndel

problema.

Silafun iónal anzaelmáximooelmínimoendosvérti es,lasolu iónserántodoslos

puntosdelsegmento omprendidoentreesosdosvérti es.

Siel onjunto onvexonoesa otadonopodemosasegurarlaexisten iademáximoomínimode

lafun ión. Eneste asoesa onsejableelmétodográ o. Nosotrossóloveremoselmétodo

analíti o.

(34)

Elnúmerodelotesde adatipoparaobtenerelmáximobene io.

Elvalordedi hobene iomáximo.

Regiónfa tible Fun iónobjetivo:

B(x, y ) =

2

x +

3

y

Restri iones:

x +

2

y ≤

4000

x + y ≤

3000

x ≥

0

y ≥

0

 

 

Sigue

(35)

Solu iónÓptimaproblemadeprograma iónlineal

Obten iónvérti e

A

ybene io

x =

0

y =

0



⇒ A(

0

,

0

)

y

B (x, y ) =

0

Obten iónvérti e

B

ybene io

x +

2

y =

4000

x =

0



⇒ B(

0

,

2000

)

y

B(x, y ) =

6000

Obten iónvérti e

C

ybene io

x +

2

y =

4000

x + y =

3000



C(

2000

,

1000

)

y

B(x, y ) =

7000

Obten iónvérti e

D

ybene io

x + y =

3000

y =

0



⇒ D(

3000

,

0

)

y

B(x, y ) =

6000

Portantoelmáximoloobtenemosvendiendo

2000unidadesdelloteAy1000unidadesdel

loteB,yelbene ioesde7000euros.

IraEjer i ios

(36)

4| Problemas de

Produ ión

(37)

Elproblemadelaprodu ión onsisteenmaximizarlosbene iosominimizarlos ostedela

produ iónde iertosartí ulosqueestánsometidosarestri iones.

Unafábri ade onservatiene800

kg

deguisantespara onservarendostiposdelatas. Lalata

pequeña ontiene200

gr

yaportaunbene iode10 éntimosporlata. Lalatagrande ontiene

500

gr

yunbene iode30 éntimos.Sienelalma énsolodisponemosde2000lataspequeñasy

1000grandes,determinala antidaddelatasde adatamañoquetendremosqueprodu irpara

maximizarelbene io.

Solu ión.-Regiónfa tible

(38)
(39)

Tabla:

Deni ióndevariables:

númerodelataspequeñas:

x

númerodelatasagrandes:

y

(40)

Deni ióndevariables:

númerodelataspequeñas:

x

númerodelatasagrandes:

y

Fun iónobjetivo: lafun iónobjetivoes

elbene ioqueobtenemosyquevamosa

llamar

B(x, y )

,yes

B (x, y ) =

0

.

1

x +

0

.

3

y

(41)

Tabla:

Deni ióndevariables:

númerodelataspequeñas:

x

númerodelatasagrandes:

y

Fun iónobjetivo: lafun iónobjetivoes

elbene ioqueobtenemosyquevamosa

llamar

B(x, y )

,yes

B (x, y ) =

0

.

1

x +

0

.

3

y

Restri iones:

0

.

2

x +

0

.

5

y ≤

800

0

≤ x ≤

2000

0

≤ y ≤

1000

(42)

Deni ióndevariables:

númerodelataspequeñas:

x

númerodelatasagrandes:

y

Fun iónobjetivo: lafun iónobjetivoes

elbene ioqueobtenemosyquevamosa

llamar

B(x, y )

,yes

B (x, y ) =

0

.

1

x +

0

.

3

y

Restri iones:

0

.

2

x +

0

.

5

y ≤

800

0

≤ x ≤

2000

0

≤ y ≤

1000

Solu iónóptima:

y =

1000

0

.

2

x +

0

.

5

y =

800



⇒ C(

1500

,

1000

)

y

B(x, y ) =

450

Obten iónvérti e

D

ybene io

0

.

2

x +

0

.

5

y =

800

x =

0



⇒ D(

2000

,

800

)

y

B (x, y ) =

440

Obten iónvérti e

E

ybene io

x =

2000

y =

0



E(

2000

,

0

)

y

B(x, y ) =

200

(43)

IraÍndi e

5| Problema de

la Dieta

(44)

ontiene5undidadesdetipo

A

y5unidadesdetipo

B

.¾Qué antidadde

P

1 y

P

2

deberá

omprarparaqueladietaseade ostemínimo?.

Solu ión.-Regiónfa tible

(45)

Tabla:

(46)

Deni ióndevariables:

Númerobolsasde

P

1:

x

Númerobolsasde

P

2 :

y

(47)

Tabla:

Deni ióndevariables:

Númerobolsasde

P

1:

x

Númerobolsasde

P

2 :

y

Fun iónobjetivo: lafun iónobjetivoes

el oste,

C(x, y )

,yes

C (x, y ) =

2

.

5

x +

3

.

25

y

Figure

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