Geometría básica
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TRIÁNGULO ÓRTICO
El problema que se plantea a continuación es “un clásico”. Para su demostración solo hay que saber las definiciones de alturas y bisectrices, conocer algunas de sus propiedades y elegir las que
convengan.
Pienso que no es sencillo. Podría recomendarse a alumnos de bachillerato.
Problema
Los pies de las alturas, puntos A´, B´ y C´, de un triángulo ABC son vértices de otro triángulo A´B´C´ (llamado triángulo órtico). Demostrar que las bisectrices del triángulo A´B´C´ coinciden con las alturas de ABC.
Solución:
Para demostrarlo voy a proceder al revés.
1.º) Consideraré un triángulo ABC y trazaré sus bisectrices (interiores y exteriores).
2.º) Veré que se obtiene otro triángulo PQR, siendo P, Q y R cortes de esas bisectrices.
3.º) Tres de esas bisectrices trazadas son las alturas de PQR.
4.º) Los pies de las alturas de PQR son los vértices A, B y C.
Las bisectrices internas las denoto por bi, las externas por be.
El lector sabrá que por cada par de rectas que se cortan (por cada vértice), se pueden trazar dos bisectrices; y que son
perpendiculares.
Así, para el ángulo A, las bisectrices biA y beA son perpendiculares; y los mismo sucede con los otros dos vértices.
→ Obsérvese que la bisectriz biA divide al ángulo A en dos mitades de amplitud ; y la bisectriz beA divide al ángulo exterior A en dos mitades de amplitud β. Como 2 + 2β = 180º + β = 90º.
Ahora voy a probar que en el punto P concurren las bisectrices beB, biA y beC.
En efecto:
Sea P el punto de corte de las bisectrices beB y beC. (Se cortan con toda seguridad).
Por ser P de la bisectriz beB d P r ( , ) = d P t ( ) , .
Por ser P de la bisectriz beC d P s ( ) , = d P t ( ) , .
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Luego, d P r ( , ) = d P s ( ) , ; lo que implica que P también es de la bisectriz biA.
Lo mismo sucede con los otros dos puntos, Q y R: son cortes de las tres bisectrices correspondientes.
Por tanto, en el triángulo PQR se tiene:
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La recta PA, es perpendicular al lado RQ (son las bisectrices biA y beA) luego es una altura del triángulo PQR, siendo A el pie de esa altura.
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La recta QB, es perpendicular al lado RP (son las bisectrices biB y beB) luego es una altura del triángulo PQR, siendo B el pie de esa altura.
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