UNIDAD 7: Cinética de Reacción y Procesos Térmicos GUIA DE PROBLEMAS RESUELTOS

UNIDAD 7: Cinética de Reacción y Procesos Térmicos GUIA DE PROBLEMAS RESUELTOS

1. Con los siguientes datos experimentales que describen la pérdida de caroteno en zanahorias a 135 °C:

Tiempo (min.)

Caroteno retenido (%)

2,0 93 6,0 88 9,0 79 15,0 66 22,0 51

a) ¿Que orden de reacción siguen los datos experimentales?

Solución:

De acuerdo a los datos entregados en la tabla, la concentración de caroteno retenido es entregada como concentración relativa (A/A0), lo cual nos da como referente que corresponde a una reacción de orden uno, por lo tanto no es factible realizar un análisis para determinar el orden de la reacción.

b) Determine la constante de velocidad de reacción (K).

Solución:

La constante de velocidad de la reacción, representa la constante de proporcionalidad entre la velocidad de reacción y la concentración del reactante.

Realizando una regresión lineal la constate de velocidad esta dada por la pendiente de la recta, por tanto como la reacción es de Primer Orden:

ln [ ] ^{A =} ln [ ] ^A

0

^{− Kt}

Ecuación de la recta

bx a

y = −

Relación Lineal

♣ De acuerdo a este análisis los datos obtenidos son los siguientes:

b = -0.0308 min.^-1

a = 4.6331 %caroteno retenido r² = 0.9855

K = b

K = 0.0308 (min^-1)

2. Determinar la constante de velocidad de reacción (K) para la descripción de la velocidad de destrucción de esporas bacterianas a 115 °C a partir de los siguientes datos experimentales:

Tiempo

(min.) Concentración (esporas/g)

0 10⁶

5 2.8 x 10⁵

10 7.8 x 10⁴

15 2.2 x 10⁴

20 6.1 x 10³

25 1.7 x 10³

Solución: Se procede de igual forma que el ejercicio anterior, primero será necesario determinar el orden de la reacción para luego con la pendiente conocer la constate de velocidad.

2.1 Cinética de reacción de Orden Cero:

[ ] [ ] ^{A = A}

₀

^{− Kt}

Ecuación de la recta Relación Lineal

bx a

y = −

♣ De acuerdo a este análisis los datos obtenidos son los siguientes:

b = -33538.285 (esporas/g) / min.

a = 650528.571 (esporas/g) r² = 0.6441

2.2 Cinética de reacción de Primer orden:

[ ] ^{A =} ln [ ] ^A

0

^{− Kt}

ln

Ecuación de la recta

y = a − bx

Relación Lineal

♣ De acuerdo a este análisis los datos obtenidos son los siguientes:

b = -0.25503 min.^-1 a = 13.8172 (esporas/g) r² = 0.99999

2.3 Cinética de reacción de Segundo orden:

A Kt A = +

0

1 1

Ecuación de la recta

bx a

y = −

Relación Lineal

♣ De acuerdo a este análisis los datos obtenidos son los siguientes:

b = 1.9713 x 10 ^-5 (esporas/g) ^-1/min.

a = -1.105 x 10 ^-4 (espora/g) r² = 0.64298

Respuesta: La reacción es de Primer Orden; su constate de velocidad (K) es:

[ ] ^{A = ln} [ ] ^A

₀

^{− Kt}

ln

b = -0.25503 min.^-1

y = a − bx

a = 13.8172 (esporas/g)

r² = 0.99999 K = - b

min

1

255 .

0

⁻

=

K

3. La influencia de la temperatura sobre la velocidad de destrucción de las esporas bacterianas se ilustra mediante los siguientes datos experimentales.

Temperatura

(°C) S ^-1

105 0.00061 107 0.00114 110 0.00222 113 0.00412 116 0.00758 T (K) 1/T(K^-1) ln K

378.15 0.00264 -7.40205 380.15 0.00263 -6.77673 383.15 0.00261 -6.11025 386.15 0.00259 -5.4919 389.15 0.00257 -4.88224

a) Determinar la energía de activación involucrada en la descripción de esta reacción.

Se entiende por Energía de Activación, aquella cantidad de energía suministrada a los reactantes para que la reacción química se inicie. La influencia de la temperatura sobre la velocidad de destrucción de las esporas bacterianas se comporta como una reacción de primer orden esto de acuerdo a la unidad que presenta la constante de velocidad S^-1; por lo tanto la regresión lineal se debe realizar con los siguientes datos.

EaRT

e B

K = ×

⁻

⇒

Ecuación de Arrehenius.

K = Constante de velocidad de reacción.

B = Constante de velocidad en la medida que reacción tiende al infinito.

Ea = Energía de activación.

R = Constante de gases ideales.

T = Temperatura.

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

× ⎛

−

=

R T

B Ea

K

1

ln

ln

99518 .

0 1538 . 80

392 . 33074

2

1

=

=

−

= +

=

r

S a

b

b ax Y

⇓

⇓

⇓

y = a + bx

R

b = Ea

Ea = b × R

R = 8314 . 34 J / molKg ° K

mol KJ Ea

mol J Ea

Ea

/ 74 . 274991

/ 4 . 274991740

32 . 8314 392

. 33074

=

=

×

=

b) Calcule

Q

₁₀ y Z

Valor de

Q

₁₀ :

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

=

^{10 2}× ¹ 10

T T Ea R

e Q

[

¹⁰ _{389 .5 378 .15}

]

392 . 33074 10

= e

×

Q

4646 .

10

= 9 Q

Por lo tanto, el número de veces que la velocidad de reacción cambia con una variación de la temperatura de 10 º C es 9,46.

Valor de Z :

ln

10

10 10 ln

Z = × Q

4646 . 9 ln

10 10 × ln

=

Z

Z = 10 . 24 K

Lo cual indica que cada 10,24 K la velocidad de inactivación microbiana varía en un ciclo logarítmico.

4. Durante la degradación del ácido ascórbico en un jugo de naranja en conserva se obtuvo los siguientes resultados:

Temperatura (°C)

K (M/día)

29.4 0.00112 37.8 0.0026 46.1 0.0087

Nota: M = Molar

a) Calcular la Energía de Activación Ea.

El orden de reacción es la suma de los exponentes de los términos de concentración de los reactantes, por lo tanto podemos ver que la degradación del ácido ascórbico en jugo de naranja se comporta como una reacción de orden cero dadas las unidades de K.

Como se realizo anteriormente se debe hacer una regresión lineal con la relación:

s T K v 1

ln

T (K) 1/T(K^-1) ln K 302.55 0.0033 -6.7944 310.95 0.00322 -5.9522 319.25 0.00313 -4.7444

Los valores obtenidos de acuerdo a la regresión lineal son los siguientes:

9853 . 0

2345 . 32

) / ( 309 . 11829

2

=

=

−

= +

=

r

M a

dias M

b

b

ax

Y

EaRT

e B

K = ×

⁻

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

× ⎛

−

= R T

B Ea

K 1

ln

ln

⇓

⇓

⇓

y = a + bx

R

b = Ea

Ea = b × R

R = 8 . 31434 KJ / molKg ° K

mol KJ

Ea Ea

/ 897 . 98352

31432 .

8 309 . 11829

=

×

=

b) Calcule el valor de

Q

₁₀ y Z.

Valor de

Q

₁₀ :

Para calcular el valor de , se debe estimar un valor de K ajustado con él se puede usar cualquiera de las temperaturas del problema y no habrán variaciones en al cambio de el número de veces en que cambia la velocidad de reacción cada 10°C.

Q

10

El valor del K ajustado se determina de acuerdo a la ecuación obtenida con la regresión lineal de los datos.

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

=

^{10 2}× ¹ 10

T T Ea R

e Q

[

¹⁰ _{319 .25 302 .55}

]

309 . 11829 10

= e

×

Q

403 .

10

= 3 Q

Por lo tanto, el número de veces que la velocidad de reacción cambia con una variación de la temperatura de 10 º C es 3.4.

Valor de Z:

Para determinar el valor de Z a distintas temperaturas se requiere que la velocidad de reacción sea de Primer Orden, lo cual en este caso no ocurre como se planteo en el comienzo de este ejerció, que esta

reacción corresponde a Orden Cero. Por lo tanto no se cuenta con los datos apropiados para determinar el valor Z.

c) Determinar el valor de D a 33°C y 42°C.

Para determinar el valor D a distintas temperaturas se requiere que la velocidad de reacción sea de Primer Orden; igual condición que se exige para determinar el valor Z, por lo tanto para esta reacción no es posible determinar los valores D y Z, por las razones explicadas con anterioridad.

5. Un estudio cinético indicó que la destrucción de lisina a diferentes temperaturas de calentamiento sigue una reacción de segundo orden y se obtuvo los siguientes datos experimentales:

Temperatura (°C)

K (M^-1/s)

130 1.54x10^-4

160 13.16x10^-4

a) Calcule Ea,

Q

₁₀ y Z. Valor de Ea:

Regresión lineal con la relación:

s T K v 1

ln

T (K) 1/T(K^-1) ln K

403.15 0.00248 -8.7785 433.15 0.00231 -6.6331

Los valores obtenidos de acuerdo a la regresión lineal son los siguientes:

1

/ 197 . 22

) ( 971 . 12487

2

1

=

=

−

= +

=

−

r

s M a

K b

b ax Y

EaRT

e B

K = ×

⁻

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

× ⎛

−

= R T

B Ea

K 1

ln

ln

⇓

⇓

⇓

y = a + bx

R

b = Ea

Ea = b × R

R = 8 . 31434 KJ / molKg ° K

mol KJ

Ea Ea

/ 2368 . 103829

31432 .

8 971 . 12487

=

×

=

Valor de

Q

₁₀:

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

=

^{10 2}× ¹ 10

T T Ea R

e Q

[

¹⁰ _{433 .15 403 .15}

]

971 . 12487 10

= e

×

Q

0444 .

10

= 2 Q

Por lo tanto, el número de veces que la velocidad de reacción cambia con una variación de la temperatura de 10 º C es 2.

Valor deZ:

Para calcular Z se requiere que los datos cumplan con una velocidad de reacción de primer orden y esto no se cumple, por lo tanto no se puede calcular.

b) Determinar el valor de K a 145°C.

Para determinar el valor de K utilizamos la ecuación de Arrehenius de forma linealizada:

EaRT

e B

K = ×

⁻

⇒

Ecuación de Arrehenius.

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

× ⎛

−

= R T

B Ea

K 1

ln

ln

= +

1

/ 197 . 22

) ( 971 . 12487

2

1

=

=

−

=

−

s

M a

K b

ax Y b

⇓

⇓

⇓

r

y = a + bx

145°C = 418.15 K

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

× ⎛

− +

= 418 . 15

) 1 971 . 12487 (

197 . 22 ln K

6678 . 7 ln K = −

s M x

K = 4 . 676 10

^{−4 −1}

/

6. El valor de F a 121,1°C equivalente a una inactivación del 99,999 % de una cepa del C. botulinum es 1,2 min. Calcular el valor D0 de este microorganismo.

N

S = log N

⁰

Nº de microorganismos viables en el tiempo cero.

0

= N

Nº de microorganismos viables en el tiempo t.

N =

S = Nº de ciclos logarítmicos.

Se asume que la población inicial de C. botulinum es 1.

99999 .

0

= 0 N

00001 . 0 99999 . 0

1 − =

N =

5 999 . 00001 4 .

0

99999 .

log 0 = ≈

= S

min 2 .

1

1

. 121 _°C

= F

S

D

₀

= F

⁰

0 . 24 min

5 2 . 1

0

= =

D

Por lo tanto, cada 0,24 min. la población microbiana se reduce en un factor de 10 o en un ciclo logarítmico.

(Reducción decimal)

7. El valor esterilizante de un proceso (F₀) ha sido igual a 2,88 min. Si cada lata contiene 10 esporas de un microorganismo con un D0 = 1,5 min., calcular la probabilidad de esporular de este microorganismo. Asuma que el valor F0 fue calculado utilizando el mismo valor de Z para el microorganismo.

min 88 .

0

= 2 F

0

= 10

N

esporas

min 5 .

0

= 1 D

Considerando las siguientes ecuaciones:

0

0

S D

F = ×

0 0

D

S = F

N S = log N

⁰

Desarrollo:

N N D

F

₀

0

0

= log

N log 10 min

5 . 1

min 88 .

2 =

10

^X

N 10

^1.5

10

88 . 2

⎟

=

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

N 1764 10 .

83 =

N = 0 . 1202

Existe la probabilidad de que esporulen 0.12 esporas por tarro ya que la carga inicial son 10.

O bien que esporulen 12 latas de un conjunto de 100 latas.

8. La carga de esporas más probable en un alimento enlatado es 100. Calcule un valor de F0 para que un proceso térmico tenga una probabilidad de esporulamiento de 1 en 100.000. Asuma un valor de D0=1,5 min. Si bajo las mismas condiciones el C. botulinum tipo B tiene un D0=0.2 min., ¿el valor F0 calculado satisfacería el tratamiento mínimo 12D para el C. botulinum? Asuma una carga de esporas iniciales de 1 por tarro para el C. botulinum.

Datos:

esporas N = 1 × 10

⁻⁵

esporas

0

= 100

N

min 5 .

0

= 1

D

♣ Calculo del valor

F

₀ para que tenga la probabilidad de esporular 10^-5

N

S = log N

⁰

_⇒

7

10 1

log 100

₅

=

= ×

₋

S

0

0

S D

F = ×

min 5 . 10 min 5 . 1

0

= 7 × =

F

min 5 .

0

= 10 F

♣

F

₀ Para C. botulinum tipo B

min 2 .

0

= 0

D

N0 = 1 S = 12

0

0

12D

F =

⇒

F

₀

= 12 × 0 . 2 min min

4 .

0

= 2 F

El , calculado para (a). es mayor al mínimo para C. botulinum B requerido para satisfacer el proceso mínimo 12D.

min 5 .

0

= 10

F F

₀

9. Se calculó un proceso tal que la probabilidad de esporular de un microorganismo con un valor Do

= 1 min es 1 en 100.000 a partir de una carga de esporas iniciales de 100. Para verificar este proceso, se realiza una inoculación a una conserva.

Calcular el nivel de inóculo de un microorganismo con un valor de Do=1,5 min. que debe utilizarse en 100 tarros tal que la tasa de esporulamiento de 5 tarros sea equivalente en letalidad al proceso calculado.

Datos:

esporular de

ad probabilid 10

1 ×

⁻⁵

=

N

inicial carga

0

= 100

N

min

0

= 1 D

Primer paso a seguir el calcular el valor de F0:

⎥⎦ ⎤

⎢⎣ ⎡

×

= N

D N

F

_{0 0}

log

⁰

⎥⎦ ⎤

⎢⎣ ⎡

× ×

=

₋₅

0

1 10

log 100 1

F

F

₀

= 7

Determinación del número de microorganismos inoculados:

0

= ? N

05 . 100 5 = 0

= N

) log

(log

₀

0

0

N N

D

F = −

−

⇒

(log

₀

log )

0

0

N N

D

F = −

D N

N F log log

0 0

0

= +

05

.

0

5 log

.

1

log N

₀

= 7 +

36564 .

3

log N

₀

=

10

^X

36564 . 3 0

= 10 N

2321 81

.

0

= 2320 ≈

N

Por lo tanto los microorganismos inoculados fueron 2321.

10. En una incidencia de esporulamiento se encontró que el microorganismo esporulado aislado tiene un valor D0 de 1,35 min. Se desea que la probabilidad de esporulamiento de este microorganismo sea 1 en 100.000. Las cargas de esporas iniciales fueron generalmente del orden de 10 por tarro. Calcular el F0 requerido para este proceso para alcanzar la probabilidad de esporulamiento deseada. Si una conserva se inocula con FS1518 con un nivel de inoculación de 5x10⁵ esporas. Los tarros contienen 200 g de producto, ¿Cuál será el recuento de esporas en el producto procesado tal que la letalidad recibida por los contenidos de los tarros será equivalente a aquella alcanzada por el proceso deseado para eliminar el esporulamiento de los microorganismos aislados? D0 del FS1518 es 2,7 min.

Datos:

esporas 10

1 ×

⁻⁵

N =

inicial carga

0

= 10

N

min 35 .

0

= 1 D

Calculo de F0req:

) log

(log

₀

0

0

N N

D F

_req

−

=

−

⇒

(log

₀

log )

0

0

N N

D F

_req

−

=

0 0

0

(log N log N ) D

F

_req

= − ×

35 . 1 ) 10 log 10

1

(log

⁵

0_req

= ×

⁻

− ×

F

min 1 .

0_req

= 8 F

Se plantea en el problema la condición:

proceso requerido

F

F =

Bajo esta premisa se determina el valor de N:

Datos de F_S1516:

esporas 10

5 ×

⁻⁵

=

N

min 7 .

0

= 2

D

N

N D N F N

X

=

=

−

×

=

−

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ × −

7 . 2

1 . 10 8 5 log

5

0 0 0

5

10

10 7 log

. 2

1 . 10 8

5 log

log log

= 500 N

Por lo tanto se encuentran 500 esporas por tarro (200g), lo cual es equivalente a decir 2.5 (esporas/gr. de producto)

11. Los siguientes datos fueron registrados en una prueba de penetración de calor sobre un alimento enlatado para la determinación del proceso térmico:

Tiempo (min.) Temp.(°F) Tiempo (min.) Temp. (°F)

0 128 35 245 3 128 40 243 5 139 45 240 10 188 50 235 15 209 55 185 20 229 60 145 25 238 65 120 30 242 70 104

La temperatura de procesamiento fue 250 °F y el tiempo come-up (CUT) fue 2 min. La temperatura del agua de enfriamiento fue 60 °F. Calcular:

a) Los valores de fh, fc, jh y jc.

Datos:

TR = 250°F CUT = 2min.

TW = 60°F

CUT = Tiempo en que se demora en alcanzar la temperatura de trabajo.

Para determinar los valores que se solicitan se debe identificar adecuadamente las etapas de calentamiento y enfriamiento, la grafica de los datos permite una visión bastante amplia de la penetración de calor sobre el alimento enlatado.

0 50 100 150 200 250 300

0 10 20 30 40 50 60 70 80

Tiempo (min)

Temperatura °F

FIGURA 1: Perfil de temperatura para el alimento enlatado.

La sección de calentamiento permite calcular los valores de fh y jh, por lo tanto se deben tomar los valores comprendidos entre el tiempo 0 y 35 min.

Cuadro 1: Datos correspondientes a la etapa de calentamiento.

Tiempo (min.) Temp.(°F)

0 128 3 128 5 139 10 188 15 209 20 229 25 238 30 242 35 245

Paso 1

♣ Cálculo de 0Corregido:

0Corregido = 0.58 x CUT 0Corregido = 0.58 x 2 min.

0Corregido = 1.16 min.

y = -0,0448x + 2,2436 R² = 0,9968 0,0

0,5 1,0 1,5 2,0 2,5

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Tiempo (m in)

Log (TR-T)

Todos los datos Parte recta Lineal (Parte recta)

Figura 2: Curva de calentamiento.

“Ecuación de la Curva de calentamiento”.

f t T

T T

T

h pih

R

R

− = − − 1 ×

) log(

) log(

Y a bx

TR = Temperatura de procesamiento.

Tpih = Temperatura pseudoinicial de calentamiento

fh = El tiempo que transcurre cuando la porción recta de la curva disminuyendo en un ciclo logarítmico.

Se realiza una regresión lineal con los datos de la etapa de calentamiento correspondientes a la parte recta ingresando los datos de la siguiente forma:

t

v s T T

_R

) log( −

De a cuerdo a la regresión lineal se obtienen los siguientes datos:

9968 . 0

24357367 .

2

044813 .

0

2

=

=

−

= r a b

Paso 2.

♣ Cálculo de fh:

b

fh

=

− 1

⇒

− 1 = − 0 . 044813

fh

22 . 31

044813 .

0

1 =

=

fh

fh = 22 . 31 min .

Luego de 22.31 minutos, la porción recta de la curva pase un ciclo logarítmico.

♣ Calculo de jh:

ih R

pih R

T T

T jh T

−

= −

Para determinar el factor de retraso jh; es necesario conocer con anterioridad la temperatura pseudoinicial de calentamiento Tpih.

Un factor a considerar es el tomar en cuenta el cero corregido para determinar de manera adecuada el valor de la temperatura seudonicial, ya que el intercepto entregado con la regresión lineal es respecto al tiempo cero.

Figura 3: Intercepto de acuerdo al cero corregido.

X Y = 2 . 24357367 − 0 . 044813

16 . 1 044813 .

0 24357367 .

2 − ×

= Y

19 . 2 19159 .

2 ≈

= Y

19 . 2 )

log( T

_R

− T

_pih

=

TR = 250°F

log( 250 − T

_pih

) = 2 . 19

₁₀

^X

( 250 − T

_pih

) = 10

^2.19

250 − T

_pih

= 155

T

_pih

= 250 − 155

T

_pih

= 94 . 5 ° F

Cálculo de jh

ih R

pih R

T T

T jh T

−

= −

27 . 128 1 250

5 . 94

250 =

−

= − jh

27 .

= 1 jh

Paso 3.

fc y jc corresponde a la etapa de enfriamiento, la cual esta formada por solo aquellos datos que forman parte recta de la curva de enfriamiento; descartando los de la fase Lag

y = -0,0304x + 3,7597 R² = 0,9988 1,50

1,70 1,90 2,10 2,30 2,50 2,70 2,90

0 10 20 30 40 50 60 70 8

Tiempo (min)

Log (T-Tw)

0 Todos los datos Parte recta Lineal (Parte recta)

Figura 4: Curva de enfriamiento.

♣ Ecuación de al curva de enfriamiento:

f t T

T T

T

c w

pic

w

= − − ×

− 1

) log(

) log(

Y a bx Tpic = Temperatura pseudoinicial de enfriamiento (°F)

Para realizar la regresión lineal se ingresan los datos de la siguiente forma:

t v s T T

_w

) log( −

De a cuerdo a la regresión lineal se obtienen los siguientes datos:

998 . 0

75970959 .

3

0303585 .

0

2

=

=

−

= r a b

Paso 4.

♣ Cálculo de fc:

b fc =

1

⇒

1 = 0 . 0303585

fc

32 . 94

0303585 .

0

1 =

=

fc

fc = 32 . 94 min .

Luego de 32.94 minutos, la porción recta de la curva de enfriamiento pase en un ciclo logarítmico.

Figura 5: Identificación de la temperatura seudoinicial de enfriamiento.

♣ Cálculo de jc:

W ic

W pic

T T

T jc T

−

= −

Para determinar el factor de retraso jc; es necesario conocer con anterioridad la temperatura pseudoinicial de enfriamiento Tpic.

X

Y = 3 . 75970959 − 0 . 0303585

TW = 60°F

50 0303585 .

0 75970959 .

3 − ×

Y =

24178 .

= 2 Y

log( T

_pic

− 60 ) = 2 . 24178

₁₀

^X

( T

_pic

− 60 ) = 10

^2.24178

T

_pic

= 60 + 10

^2.24178

T

_pic

= 60 + 174 . 5

T

_pic

= 234 . 5 ° F

Cálculo de jc

W ic

W pic

T T

T jc T

−

= −

943 . 60 0

245

60 5 .

234 =

−

= − jc

943 .

= 0 jc

b) El F0 del proceso por los métodos gráficos (original y mejorado), de Stumbo y de Hayakawa.

1.- MÉTODO GRAFICO MEJORADO:

Datos:

Z = 18°F Tref = 250°F

Paso 1.

Etapa de calentamiento; se desarrolla por método de trapecio (i = impar), para lo cual los datos ser deben trabajar del siguiente modo:

Z T T

_ref

L _{( ) /} 10

1

= −

Tiempo (min.)

Temp.

°F L Y

0 128 1.6681x10^-7 Y₀

3 128 1.6681x10^-7 Y1

5 139 6.8129x10^-7 Y2

10 188 3.5938x10^-4 Y3

15 209 5.2749x10^-3 Y4

20 229 0.0681 Y5

25 238 0.2154 Y6

30 242 0.3594 Y7

35 245 0.5275 Y8

t i t

= Δ 5 7 35 =

=

i

♣ Cálculo de F0h, por método del Trapecio.

⎥⎦ +

⎢⎣ ⎤

⎡ Δ +

= ( )

2

^{0 1}

0 x Y Y

F_h

+

⎥⎦ ⎤

⎢⎣ ⎡ Δ + )

2

x

(

Y¹ Y²

+

⎥⎦ ⎤

⎢⎣ ⎡ Δ + )

2

x

(

Y² Y³

+

⎥⎦ ⎤

⎢⎣ ⎡ Δ + )

2

x

(

Y³ Y⁴

+

⎥⎦ ⎤

⎢⎣ ⎡ Δ + ) 2

x

(

Y⁴ Y⁵

⎥⎦ +

⎢⎣ ⎤

⎡ Δ +

) 2

x

(

Y⁵ Y⁶

⎥⎦ +

⎢⎣ ⎤

⎡ Δ +

) 2

x

(

Y⁶ Y⁷

⎥⎦ ⎤

⎢⎣ ⎡ Δ + ) 2

x

(

Y⁷ Y⁸

⎥⎦ +

⎢⎣ ⎤

⎡ +

= ( 1 . 6681 10

⁻

1 . 6681 10

⁻

) 2

3

7 7

0 x x

F_h

⎥⎦ ⎤ +

⎢⎣ ⎡ ( 1 . 6681 10

⁻

+ 6 . 8129 10

⁻

) 2

2

7 7

x x

⎥⎦ +

⎢⎣ ⎤

⎡ ( 6 . 8129 10

⁻

+ 3 . 5938 10

⁻

) 2

5

_{7 4}

x

x

⎥⎦ ⎤ +

⎢⎣ ⎡ ( 3 . 5938 10

⁻

+ 5 . 2749 10

⁻

) 2

5

_{4 3}

x x

⎥⎦ +

⎢⎣ ⎤

⎡ ( 5 . 2749 10

⁻

+ 0 . 0681 ) 2

5

3

x

⎥⎦ ⎤ +

⎢⎣ ⎡ ( 0 . 0681 + 0 . 2154 ) 2

5 ⎥⎦ ⎤ +

⎢⎣ ⎡ ( 0 . 2154 + 0 . 3594 ) 2

5

5619 . 4 ) 5275 . 0 3594 . 0 2 (

5 ⎥⎦ ⎤ =

⎢⎣ ⎡ +

. min 6 .

0_h

= 4 F

El valor de F0h del proceso para etapa de calentamiento mediante de el método de trapecio es de 4.6 minutos.

Paso 2.

Etapa de enfriamiento; se desarrolla por Método Simpson. Para lo cual los datos se tratar del siguiente modo:

Se considera esta desde el punto en que en la tabla de datos se observa un descenso en la temperatura.

Tiempo (min.)

Temp.

°F L

35 0 245 0.5275 L 0

40 5 243 0.4084 L 1

45 10 240 0.2782 L 2

50 15 235 0.1467 L 3

55 20 185 2.45x10^-4 L 4

60 25 145 1.47x10^-6 L 5

65 30 120 5.99x10^-8 L 6

70 35 104 7.74x10^-9 L 7

t i t

= Δ 5 14 70 =

=

i

♣ Cálculo de F0c, por método de Simpson.

[

₀

⁴

₁

²

₂

⁴

₃

²

₄

⁴

₅

²

_{6 7}

]

3 T L L L L L L L L

F

_oc

= Δ + + + + + + +

⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎣

⎡

+

× +

× +

× +

× +

× +

×

= +

_{− − −}

−

9 8

6

4

10 74 . 7 10

99 . 5 2 10

47 . 1 4

10 45 . 2 2 1467 . 0 4 2782 . 0 2 4084 . 0 4 5275 . 0 3 5

x x

x F

_oc

x

min 5 . 5 5079 .

5 ≈

oc

= F

El valor de

F

_oc del proceso para la etapa de enfriamiento mediante el método de trapecio es de 5.5 minutos.

Paso 3.

♣ Cálculo de F0 del Proceso:

to enfriamien o

Calentame

F

F

F

₀

=

_{0 int}

+

₀

. min ) 5 . 5 6 . 4

0

= ( +

F

. min 1 .

0

= 10

F

Por lo tanto el

F

₀del Proceso para el método grafico mejorado es de 10.1minutos.

2.- METODO GRAFICO ORIGINAL (LETALIDAD)

Paso 1.

Etapa de calentamiento; se desarrolla por método de trapecio (i = impar), para lo cual los datos ser deben trabajar del siguiente modo:

(

^{T T}

)

^Z

Tref

t

F

req

TDT = _{( )} × 10 ⁻

F

req

L TDT

₀

1 =

Supuestos:

F0req = 5 min.

Z = 18 °F

♣ Calculo de L_0h, por método del Trapecio.

Tiempo (min.)

Temp.

°F L

TDT

1

Y

0 128 1.6681x10^-7 3.3362 x10^-8 Y0

3 128 1.6681x10^-7 3.3361x10^-8 Y1

5 139 6.8129x10^-7 1.3626x10^-7 Y2

10 188 3.5938x10^-4 7.1876x10^-5 Y3

15 209 5.2749x10^-3 1.0549x10^-3 Y4

20 229 0.0681 0.01362 Y₅

25 238 0.2154 0.0431 Y6

30 242 0.3594 0.0718 Y7

35 245 0.5275 0.1055 Y₈

t i t

= Δ 5 7 35 =

=

i

⎥⎦ +

⎢⎣ ⎤

⎡ Δ +

= ( )

2

^{0 1}

0 x Y Y

L _h

⎥⎦ ⎤ +

⎢⎣ ⎡ Δ + ) 2

x

(

Y¹ Y²

⎥⎦ +

⎢⎣ ⎤

⎡ Δ +

) 2

x

(

Y² Y³

⎥⎦ +

⎢⎣ ⎤

⎡ Δ +

) 2

x

(

Y³ Y⁴

⎥⎦ +

⎢⎣ ⎤

⎡ Δ +

) 2

x

(

Y⁴ Y⁵

⎥⎦ +

⎢⎣ ⎤

⎡ Δ +

) 2

x

(

Y⁵ Y⁶

⎥⎦ +

⎢⎣ ⎤

⎡ Δ +

) 2

x

(

Y⁶ Y⁷

⎥⎦ ⎤

⎢⎣ ⎡ Δ + ) 2

x

(

Y⁷ Y⁸

⎥⎦ +

⎢⎣ ⎤

⎡ +

= ( 3 . 3362 10

⁻

3 . 3362 10

⁻

) 2

3

8 8

0 x x

L _h

⎥⎦ ⎤ +

⎢⎣ ⎡ ( 3 . 3362 10

⁻

+ 1 . 3626 10

⁻

) 2

2

8 7

x x

⎥⎦ +

⎢⎣ ⎤

⎡ ( 1 . 3626 10

⁻

+ 7 . 1876 10

⁻

) 2

5

7 5

x

x

⎥⎦ ⎤ +

⎢⎣ ⎡ ( 7 . 1876 10

⁻

+ 1 . 0549 10

⁻

) 2

5

5 3

x x

⎥⎦ +

⎢⎣ ⎤

⎡ ( 1 . 0549 10

⁻

+ 0 . 01362 ) 2

5

₃

x

⎥⎦ ⎤ +

⎢⎣ ⎡ ( 0 . 01362 + 0 . 0431 ) 2

5 ⎥⎦ ⎤ +

⎢⎣ ⎡ ( 0 . 0431 + 0 . 0718 ) 2

5

9119 . 0 ) 1055 . 0 0718 . 0 2 (

5 ⎥⎦ ⎤ =

⎢⎣ ⎡ +

. 9 .

0_h

= 0 F

Las unidades de letalidad para la etapa de calentamiento según el método del trapecio es 0.9.

Paso 2.

Etapa de enfriamiento; se desarrolla por Método Simpson. Para lo cual los datos se tratar del siguiente modo:

Se considera esta desde el punto en que en la tabla de datos se observa un descenso en la temperatura.

Tiempo (min.)

Temp.

°F L

TDT

1

35 245 0.5275 0.1055 L 0

40 243 0.4084 0.0817 L 1

45 240 0.2782 0.0556 L 2

50 235 0.1467 0.0293 L 3

55 185 2.45x10^-4 4.9x10^-5 L 4

60 145 1.47x10^-6 2.94x10^-7 L 5

65 120 5.99x10^-8 1.198x10^-8 L 6

70 104 7.74x10^-9 1.548x10^-9 L ₇

t i t

= Δ 5 14

= 70 =

i

♣ Cálculo de L0c, por método de Simpson.

[

₀

4

₁

2

₂

4

₃

2

₄

4

₅

2

_{6 7}

]

3 T L L L L L L L L

L

_oc

= Δ + + + + + + +

⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎣

⎡

+

× +

× +

× +

× +

× +

×

= +

_{− − −}

− 9

8 7

5

10 548 . 1 10

198 . 1 2 10

94 . 2 4

10 9 . 4 2 0293 . 0 4 0556 . 0 2 0817 . 0 4 1055 . 0 3 5

x x

x L

_oc

x

1 . 1 1013 .

1 ≈

oc

= L

Las unidades de letalidad

L

_oc, para la etapa de enfriamiento es 1.1.

Paso 3.

♣ Cálculo de L0 del Proceso:

to enfriamien o

Calentame

L

L

L

₀

=

_{0 int}

+

₀

) 1013 . 1 9119 . 0

0

= ( +

L

2 0132 .

0

= 2 ≈

L

Las unidades de letalidad total para el método grafico original son 2.

Paso 4.

♣ Cálculo de F0 del Proceso; por medio del método grafico original.

F

req

Letalidad = F

⁰

F

_req

= 5 min .

F

req

Letalidad

F

₀

= ×

. min 5 0132 .

0

= 2 ×

F

. min 1 . 10 066 .

0

= 10 ≈

F

Así el F0 del proceso para el método gráfico original es de 10.1min.

3.- MÉTODOS FORMULA

Paso 1. Método de Stumbo

( ^{fh ≈ fc} )

^:

De acuerdo a los valores obtenidos en la letra a).

→

=

=

fc

22 . 31 min

fh Condición del método Stumbo.

min 31 .

= 22

fh Datos:

T

_ih

= 128 ° F 27

.

= 1

jh

T

_R

= 250 ° F min

= 2

CUT

Tiempo total de calentamiento = 35 min.

T_ref

= 250 °

F

Se tiene como objetivo el calcular el valor de , por el método de Stumbo por lo tanto utilizaremos la siguiente ecuación:

F

0

(

^TR ^Tref

)

^Z

U

F ₀ = × 10 ⁻

Primero se debe conocer el valor de U; el cual se determinas en la tabla de valores

→

U

f

_h V/s g

g = j

_h

× I

_h

× 10

^{−B fh}

♣ Cálculo de

I

_h del proceso.

ih R

h

T T

I = −

F I

_h

= ( 250 − 128 ) °

F I

_h

= 122 °

♣ Cálculo de t operador :

CUT t

t

_operador

=

_total

− 2 35 −

operador

= t

. min

= 33

operador

t

♣ Cálculo de B (tiempo del proceso):

CUT t

B =

_operador

+ 0 . 42 ×

. min 84 . 33

. min 2 42 . 0 . min 33

=

× +

= B B

♣ Cálculo de g:

fh

B h

h

I

j

g = × × 10

⁻

F g

g

°

=

×

×

=

⁻

71 . 4

10 122 27 .

1

^33.8422.31

♣ Cálculo de U:

Se utiliza la tabla de valores para procesos térmicas dado por el método de Stumbo, para ello con el valor de g = 4.71 y Z = 18°F (valor supuesto); como este valor no aparece explicito en la tabla se debe interpolar en valores cercanos.

U

f

_h ^g

Δ g Δ j

4.0 4.41 1.34 5.0 5.40 1.59

Antes de interpolar es necesario corregir el valor de g, del siguiente modo:

) (

) 1

1

(

c c

i

i

g j g j

g =

₌

+ − × Δ Δ

♣ Para g = 4.41

6

f

_h

U = 4 . 0

6

Δ g Δ j = 1 . 34

Si jc = 0.943 (calculado en (a))

33 . 4 34 . 1 ) 1 943 . 0 ( 41 .

943

4

.

0

= + − × =

=

g

j

♣ Para g = 5.4

6

f

_h

U = 5 . 0

6

Δ g Δ j = 1 . 59

Si jc = 0.943 (calculado en (a))

31 . 5 59 . 1 ) 1 943 . 0 ( 4 .

943

5

.

0

= + − × =

=

g

j

Ahora con los nuevos valores de g; se interpola de la siguiente manera en la tabla de Stumbo:

U

f

_h ^g

4.0 4.33 X = 4.387 4.71

5.0 5.31

Por lo tanto el valor a utilizar en los cálculos de U son g = 4.71

6 f

_h

U = 4 . 387

♣ Valor de U:

71 .

)

4

/

(

₌

=

g h

h

U f

U f

08 . 387 5

. 4

. min 31 .

22 =

= U

. min 08 .

= 5 U

♣ Cálculo de F0 del proceso:

(

^TR ^Tref

)

^Z

U

F ₀ = × 10 ⁻

( ^{250 250} ) ¹⁸

0 = 5 . 08 × 10 ⁻ F

. min 08 .

0

= 5 F

Así el F0 del proceso, por el método de Stumbo es de 5.08 min.

Paso 2. Método Hayakawa

( ^{fh ≠ fc} )

^:

a) Etapa de calentamiento.

Según la tabla de Hayakawa para determinar la letalidad de la porción de calentamiento del proceso se deben calcular los siguientes parámetros.

Datos:

Z = 18°F

f

h= 22.31 min.

♣ Cálculo de KS:

20 K

_S

= Z

9 . 20 0

= 18 = K

S

♣ Cálculo de

g K

_S :

9 . 0

71 .

= 4

KS

g

23 .

= 5

KS

g

♣ Cálculo de U calentamiento :

Interpolando en la tabla de Hayakawa para calentamiento:

K

S

g f

_h

U

6.0 0.1652 5.23 0.1976 7.0 0.2073

1976 .

= 0

h h

f

U

h

h

f

U = 1976 0 . ×

. min 408 . 4

. min 31 . 22 1976 . 0

=

×

=

h h

U U

b) Etapa de enfriamiento.

Datos:

Tw = 60 °F

. min 9 .

= 32 f

c

♣ Calculo de Tg: g

R

T

T g = −

g T T

_g

=

_R

−

F T

_g

= ( 250 − 4 . 71 ) °

F T

_g

= 245 . 29 °

♣ Cálculo de

I

_c:

c g

c

T T

I = −

T

_c

= T

_w

F I

F I

c c

°

=

°

−

= 185

) 60 245 (

♣ Cálculo de

I /

_c

K

_S:

55 . 9 205 . 185 = 0

=

S C

K I

De acuerdo al valor de

I /

_c

K

_S, se utiliza la tabla que posea los siguientes rangos:

(200 <

I /

_c

K

_S

≤

400) con

j

_c

= 0 . 943

.

♣ Cálculo de

U

_c^':

Se deben realizar tres interpolaciones de acuerdo a la tabla seleccionada para crear la columna correspondiente a jc = 0.943.

(

U /c^? fcparaJC

)

S

c

K

I /

0.80 0.943 1.00

210 0.01159 0.01673 0.01878 205.55 0.0171

205 0.01189 0.01716 0.01926

Por lo tanto:

0171 . 0

?

=

c c

f U

c

c

f

U

^'

= 0171 0 . ×

. min 9 . 32 0171 .

'

= 0 ×

U

c

. min 563 .

'

= 0

U

c

♣ Cálculo de

U

_c :

Z g c

c

U

U =

^'

× 10

⁻

18 71 .

10

4

563 .

0 ×

⁻

c

= U

. min 308 .

= 0 U

c

♣ Cálculo de

U

_Total :

c h

Total

U U

U = +

. min ) 308 . 0 408 . 4

( +

Total

= U

. min 716 .

= 4

Total

U