El problema de Cauchy para la ecuación de Korteweg-De Vries en espacios de Bourgain

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SELECCIONES MATEM ´

ATICAS

Universidad Nacional de Trujillo

ISSN: 2411-1783 (Online)

Vol. 04(02): 162 - 174 (2017)

El problema de Cauchy para la ecuaci´on de Korteweg-De Vries en espacios de

Bourgain.

The Cauchy problem for the Korteweg-De Vries equation in Bourgain’s spaces.

Cesar Loza Rojas

∗

Received, Jun. 18, 2017 Accepted, oct. 27, 2017

DOI:http://dx.doi.org/10.17268/sel.mat.2017.02.03

Resumen

En este art´ıculo, estudiamos el problema de Cauchy a la ecuaci´on de Korteweg-De Vries enHs_con s > −3

4. Para ello utilizamos los espacios de Bourgain,Xs,b, y obtenemos buena formulaci´on local al problema de Cauchy.

Palabras clave.Teorema de existencia local y unicidad, transformaciones integrales, aplicaciones de EDP en ´areas distintas de la f´ısica.

Abstract

In this paper, we study Cauchy’s problem to the Korteweg-De Vries equation inHswiths >−3

4. For this purpose we use the Bourgain spaces,Xs,b,and we get good local formulation to the Cauchy problem.

Keywords. local existence and uniqueness theorems, integral transforms, applications of PDE in areas other than physics.

1. Introducción. En este art´ıculo, tenemos como objetivo demostrar la buena fórmulación local del problema de Cauchy asociado a la ecuación de Korteweg-De Vries enHs, cons >−3

4, (1.1) ∂tu(x, t) +∂x3u(x, t) +up(x, t)∂xu(x, t) = 0 u(x,0) =u0. dondep∈_N.

La ecuación (1.1) en el casop= 1, denominada ecuación de Korteweg-De Vries, [1], [5], [6], [7];ésta ecuación es un modelo de propagaciones de ondas débiles dispersivas no-lineales, [4], [9], [10], [11], [12]. Para establecer la buena formulación local para el PVI asociado a la ecuación de KdV, utilizaremos los espacios de la funciónXs,b, denominados los espacios de Bourgain,[2].

Estos espacios de funciones, tienen una norma dada en t´erminos cuyo s´ımbolo, es el operador lineal asociado en el caso∂t+∂x3

, han sido muy útiles para comprender la interacción entre los efectos no-lineales y los efectos dispersivos. En este punto, las llamadas estimaciones bino-lineales, [8], desempeñan un papel principal para obtener resultados deseados.

∗_{Departamento de Matem´atica;Facultad de Ciencias;Universidad Nacional San Luis Gonzaga, Av. Los Maestros s/n.}

Ica-Per´u,e-mail:[email protected]. ...

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2. Los espacios de Bourgain. En esta sección definimos los espacios de Bourgain [2], además de [3, pág 278] y [1] obtenemos

DEFINICION´ 2.1. Seans, b ∈ R, el espacio de Bourgain, denotado por Xs,b, es el subconjunto de S0 R2definido por (2.1) Xs,b= u∈ S0 R2:kuk2Xs,b = Z R2 hξi2shσi2b|_bu(ξ, τ)|2dξ dτ <∞ dondeσ=τ−ξ3_y_h_ξ_i_{= (1 +}_|_ξ_|₎_.

Los espaciosXs,b son espacios de Banach. Las siguientes propiedades de los espacios de Bourgain ser´an utilizadas en las siguientes demostraciones.

PROPOSICION´ 2.1.Sis, b∈_R, el espacio de SchwartsS _R2

es denso enXs,b.

Demostraci´on:Seanu∈Xs,byε >0arbitrarios. Consideremos la aplicaci´onvdefinida sobreR2, es decir v:R2→R2 (ξ, τ)7→v(ξ, τ) =u ξ, τ_b +ξ3 entoncesv∈L2_h_ξ_i2s hτi2bdξdτpues kvk2_L2_(h_ξ_i2s_h_τ_i2b_dξdτ_{) =} Z R2 hξi2shτi2b|v(ξ, τ)|2dξ dτ = Z R2 hξi2shτi2b _bu ξ, τ+ξ3 2 dξ dτ = Z R2 hξi2s τ−ξ32b |u_b(ξ, τ0)|2dξ dτ0=kuk2_s,b<∞.

Como el espacioS R2es denso enL2

hξi2shτi2bdξdτ, existe una ϕ∈ S R2tal que kϕ−vk_L2₍_h_ξ_i2s_h_τ_i2b_dξdτ₎< ε y paraϕ ξ, τ−ξ3 ∈ S _R2 , existeψ∈ S _R2 tal queψb(ξ, τ) =ϕ ξ, τ−ξ3 . Por lo tanto kψ−uk_Xs,b = ψb−ub _L2₍_h_ξ_i2s_h_σ_i2b_dξdτ₎=kϕ−vkL2(hξi2shτi2bdξdτ)< ε.

lo que demuestra la proposici´on.

PROPOSICION´ 2.2.Seans∈R y b > 12, entonces

Xs,b,→C(R:Hxs(R)) Demostraci´on:Seaϕ∈ S R2, tenemos,

kϕk2_L∞ t (R:Hxs)= sup_t_∈ R kϕ(t)k2_Hs= sup t∈R Z R hξi2s ϕd(t) (ξ) 2 dξ ≤ Z R hξi2ssup t∈R ϕd(t) (ξ) 2 dξ = Z R hξi2ssup t∈R e −itξ3 d ϕ(t) (ξ) 2 dξ = Z R hξi2s e −itξ3 d ϕ(t) (ξ) 2 L∞ t dξ. (2.2) Comob > 1

2, obtenemos por inmersi´on de SobolevH

s_,_→_C

∞⊂C∩L∞. Asi, utilizando(2.2)escribimos

kϕk2_L∞ t (R:Hxs)≤C Z R hξi2s e −itξ3 d ϕ(t) (ξ) 2 Hb t(R) dξ =C Z R hξi2s Z R hτi2b h e−itξ3ϕd(t) (ξ) i∧ (τ) 2 dτ dξ =C Z R hξi2s Z R hτi2b ϕ_b(ξ) ξ, τ+ξ3 2 dτ dξ =Ckϕk2_X s,b. (2.3)

(3)

Por lo tanto, la aplicaci´ont ∈R7→ϕ(t)∈Hses acotada. Resta probar que tal aplicaci´on es continua. Para ello tenemos que estimar

(2.4) kϕ(t+h)−ϕ(t)k2_Hs = Z R hξi2s Z R hτi2b ϕ\(t+h) (ξ)−ϕd(t) (ξ) 2 dξ.

Comoϕ∈S R2, podemos mostrar queϕ(t)∈L1t. Adem´as de esto, tenemos

(2.5) ϕ_b(ξ, τ) =hϕd(t) (ξ)

i∧

(τ),

donde adoptaremos siempre la convenci´on que las variablesxytson llevadas en las variablesξyτ res-pectivamente por la transformada de Fourier. Definiendo, para casi todoξ, la aplicaci´ongξ(t) =ϕd(t) (ξ),

sigue de(2.5)que_bgξ ∈L1τ. As´ı tiene sentido usar la f´ormula de inversi´on de Fourier engξ.Entonces en (2.4), obtenemos kϕ(t+h)−ϕ(t)k2_Hs= Z R hξi2s ∨ b g_ξ(t+h)−∨_bg_ξ(t) 2 dξ =C Z R hξi2s Z R eitτg_bξ(τ) eihτ−1dτ 2 dξ ≤C Z R hξi2s Z R eihτ−1 b ϕ(ξ, τ)dτ 2 dξ. (2.6) As´ı obtenemos (2.7) Z R eihτ−1 b ϕ(ξ, τ)dτ ≤2 Z R |ϕ_b(ξ, τ)|dτ <∞,

para casi todo puntoξ, pues integrando la desigualdad(2.7)en la variableξ, tenemos que la integral doble deϕes finita, por queϕ∈ S R2.Luego la integral interna tambi´en es finita. Asi mismo, considerando el l´ımite cuandoh→0, y el teorema de la convergencia dominada de Lebesgue obtenemos la continuidad deϕ(t). Asi mismo, podemos denotar la desigualdad(2.3), de la siguiente forma

(2.8) kϕk_C

b(R:Hs₎≤Ckϕk_X

s,b,∀ϕ∈ S R

2

.

Para el caso general, consideremosu ∈ Xs,b. Por la proposici´on2.1, existe una sucesi´on{ϕm}_m_∈_Nen S R2tal queϕm→uenXs,b. Como el espacio de Bourgain es un subconjunto deS0 R2, tenemos

(2.9) ϕm→u enS0 R2.

Por la desigualdad(2.8), la sucesi´on{ϕm}m∈N es de Cauchy en Cb(R:H

s₎_{, como tal espacio es un}

espacio de Banach, se sigue que existef ∈ Cb(R:Hs) tal queϕm → f en Cb(R:Hs), asi mismo tenemos

(2.10) ϕm→f enS0 R2.

Por la unicidad del l´ımite tenemosu=f. De esta forma pasamos al l´ımite en(2.8), obtenemos

(2.11) kuk_C

b(R:Hs₎≤Ckuk_X

s,b para todou∈Xs,b,

lo que muestra la inmersi´on continua.

3. El estimado bilineal. Establecidas las principales propiedades de los espacios de Bourgain, de [9, p´ag 170],[8], tenemos

DEFINICION´ 3.1.Seans, b∈R. Definamos la forma bilineal

(3.1) B(u, v) =1

2∂x(uv).

para todou, v∈Xs,b.

El principal resultado de est´a secci´on es garantizado por: TEOREMA3.1.Seas∈ −3 4,0 , entonces existeb∈1 2,1 tal que (3.2) kB(u, u)k_X s,b−1≤Ckuk 2 Xs,b ,

(4)

dondeu∈Xs,b.

Demostración: Para demostrar este teorema escribiremos la estimativa(3.2)en una forma equivalente que será más conveniente para nuestros cálculos. Definiendoδ=−s∈

0,3₄sigue, que siXs,b =X−δ,b, (3.3) f(ξ, τ) = τ−ξ3b hξi−δu_b(ξ, τ)∈L2 _R2 y (3.4) kfk_L2 ξL2τ =kukXs,b =kukX−δ,b. Utilizando el hecho (3.5) ∂\x(u2) (ξ, τ) =Cξ(_bu∗_bu) (ξ, τ) podemos escribir(3.2)de la siguiente forma

kB(u, u)k_Xs,b −1= τ−ξ3b−1 hξi−δ∂\x(u2) _L2 ξL2τ =C τ−ξ3b−1hξi−δξ(_bu∗_bu) _L2 ξL2τ . (3.6)

Aplicando la definición del producto de convolución en la igualdad(3.5)y utilizando(3.3)podemos escribir (3.2)en términos de la funciónf como

kB(u, u)k_Xs,b −1 =C e k Z R2 f(ξ−ξ1, τ−τ1)hξ−ξ1iδ D (τ−τ1)−(ξ−ξ1) 3Eb f(ξ1, τ1)hξ1iδ hτ1−ξ13i b dξ1dτ1 L2_ξL2_τ ≤Ckuk2_Xs,b =Ckfk2_L2 ξL2τ, (3.7) dondeek=ek(ξ, τ) = ξ hτ−ξ3_i1−b_h_ξ_iδ.

Asi mismo, el teorema3.1puede ser escrito de la siguiente forma equivalente TEOREMA3.2.Seaδ=−s∈ 0,3₄ , entonces existeb∈1 2,1 tal que ξ hτ−ξ3_i1−b_h_ξ_iδ Z R2 f(ξ−ξ1, τ −τ1)hξ−ξ1i δ D (τ−τ1)−(ξ−ξ1) 3Eb f(ξ1, τ1)hξ1i δ hτ1−ξ13i b dξ1dτ1 L2_ξL2 τ ≤Ckfk2_L2 ξL2τ (3.8) dondef ∈L2 R2.

Probaremos la siguiente versi´on del teorema3.2, que es un resultado m´as general. TEOREMA3.3.Seaδ =−s ∈1 2, 3 4 ,entonces existeb∈ 1 2,1

tal que para cualquierb0 ∈1 2, b conb−b0_≤_m´ın b−1 2; 1 4− b 3 sigue que ξ hτ−ξ3_i1−b_h_ξ_iδ Z R2 f(ξ−ξ1, τ −τ1)hξ−ξ1i δ D (τ−τ1)−(ξ−ξ1) 3Eb0 f(ξ1, τ1)hξ1i δ hτ1−ξ13i b0 dξ1dτ1 L2 ξL2τ ≤Ckfk2_L2 ξL2τ (3.9)

donde la constantec=C(δ, b, b−b0). Adem´as de esto,(3.9)tambi´en vale paraδ= 0,conb∈1 2, 3 4 y b0_∈1 2, b .

En un primer momento puede hasta aparecer extraño cuando afirmamos que el teorema3.3es una versión más general que el teorema3.2, pues repare que hicimos una restricción de la hipótesis sobre el valor deδ, el máximo que podr´ıamos afirmar por cuanto es que (3.8) sigue de (3.9), tomandob=b0, desde que tomamosδ= 0oδ∈1

2, 3 4

. En tanto, mostraremos, el casoδ∈

0,1₂

, seguir´a de los casosδ= 0o δ∈1

2, 3 4

(5)

Demostración: Teorema3.3. Dividiremos la demostración en etapas para facilitar la comprensión.

Etapa 1.

Cuandoδ= 0. Utilizando las notacionesλ= (ξ, τ)yλ1 = (ξ1, τ1), observamos que mostrar la

desigual-dad(2.11), es equivalente a mostrar la siguiente desigualdad (3.10) Z R2 f(λ1)f(λ−λ1)k(λ, λ1)dλ1 L2 λ ≤Ckfk_L2 λ, donde (3.11) k(λ, λ1) = ξ hτ−ξ3_i1−b ! . 1 hτ1−ξ13i b0 ! .    1 D (τ−τ1)−(ξ−ξ1)3 Eb0   .

Asi mismo utilizando, la desigualdad de Cauchy-Schwarz, proposiciones anteriores, el teorema de Fubbini, un cambio de variable y denotando por I, el t´ermino de la izquierda en la desigualdad(3.10), obtenemos las siguientes mayoraciones I≤ Z R2 |f(λ1)f(λ−λ1)| 2 dλ1 1/2Z R2 |k(λ, λ1)| 2 dλ1 1/2 _L2 λ = kf(λ1)f(λ−λ1)k L2_λ 1 kk(λ, λ1)k L2_λ 1 L2 λ ≤ kf(λ1)f(λ−λ1)k L2 λ₁ sup λ kk(λ, λ1)k L2 λ₁ _L2 λ =kk(λ, λ1)k L∞ λL2λ1 kf(λ1)f(λ−λ1)k L2 λ1L 2 λ ≤C Z R2 |f(λ1)| 2Z R2 |f(λ−λ1)| 2 dλdλ1 1/2 ≤C Z R2 |f(λ1)| 2Z R2 |f(λ2)| 2 dλ2dλ1 1/2 =C " Z R2 |f(λ)|2dλ 2#1/2 =C " Z R2 |f(λ)|2dλ 1/2#2 (3.12) =Ckfk2_L2 λ

que vale para cualquierb∈1 2, 3 4 y cualquierb0 ∈1 2, b . Etapa 2. Cuandoδ∈1 2, 3 4

. En este caso observemos que si

(3.13) |ξ1| ≤1 o |ξ−ξ1| ≤1, tenemos (3.14) hξ1i δ hξ−ξ1i δ ≤Chξiδ, que reduce la estimativa al casoδ= 0.De esta forma podemos asumir que

(3.15) |ξ1| ≥1 o |ξ−ξ1| ≥1.

Por sim´etria podemos asumir tambi´en

(3.16) (τ−τ1)−(ξ−ξ1) 3 ≤ τ1−ξ13 ,

pues si consideramos los cambios de variablesτ2 =τ−τ1 y ξ2 =ξ−ξ1el t´ermino de la izquierda en

(3.9)no se altera y adem´as de eso por(3.16), obtenemos

(3.17) τ2−ξ32 ≤ (τ−τ2)−(ξ−ξ2) 3 .

(6)

Ahora dividiremos la regi´on de integraci´on en(3.9)en dos partes (3.18) τ1−ξ13 ≤ τ−ξ 3 y τ−ξ 3 ≤ τ1−ξ31 ,

que son justamente las regionesAyB.

Para acotar el término de la izquierda en(3.9)en la regiónA basta utilizar la desigualdad de Cauchy-Schwarz, proposición anterior y aplicar el raciocinio empleado en(3.12), para obtener la misma acotación. Para acotar la regiónB, consideremos

(3.19) F(λ) = Z R2 f(λ1)f(λ−λ1)χ(B)k1(λ, λ1)dλ1 donde (3.20) k1(λ, λ1) = ξ hτ−ξ3_i1−b_h_ξ_iδ ! . hξi δ hτ1−ξ13i b0 ! .    hξ−ξ1i δ D (τ−τ1)−(ξ−ξ1)3 Eb0   

λ = (ξ, τ),λ1 = (ξ1, τ1)yχ(B)es la funci´on caracter´ıstica del conjuntoB. Tenemos que mostrar la

siguiente desigualdad

(3.21) kF(λ)k_L2

λ≤CkfkL2λ.

Para mostrar la desigualdad anterior, utilizaremos el siguiente hecho del an´alisis funcional (3.22) kfk_Lp₍_X₎= sup Z X f gdx ,g∈Lq(X), kgk_q ≤1

que es verdadera parap, q ∈ [1,∞i, satisfaciendo p−1₊_q−1 _{= 1. Asi mismo para mostrar} _(3.21)_es

suficiente mostrar la siguiente desigualdad (3.23) Z R2 f gdx ≤Ckfk2_L2 λ kχ(B)k1(λ, λ1)kL2 λL 2 λ1 kgk_L2 λ , ∀g∈L2_λ,

que es obtenida aplicando el teorema de Fubbini y la desigualdad de Cauchy-Schwarz dos veces al t´ermino de la izquierda. De ah´ı, basta utilizar proposici´on anterior y tomarg= 1para obtener(3.21). De esta forma el teorema3.3esta probado.

Observemos que el teorema3.3es equivalente al siguiente resultado. COROLARIO3.1.Seas∈ −3 4, 1 2 entonces existeb∈1 2,1

tal que para cualquierb0 ∈1 2, b con b−b0≤m´ınρ−1 2, 1 4− δ 3 se cumple (3.24) kB(u, u)k_X s,b−1 ≤Ckuk 2 X_s,b0

donde la constanteC = C(s, b, b−b0)y la forma bilinealB es definida en(3.1). Por otra parte,(3.24)

tambi´en vale paras= 0, conb∈1 2, 3 4 yb0 ∈1 2, b . COROLARIO3.2.Seas∈ −3 4, 1 2 , entonces existeb∈1 2,1

tal que para cualquierb0 ∈1 2, b con b−b0≤m´ın ρ−1 2; 1 4− δ 3 se cumple (3.25) kB(u, v)k_Xs,b −1 ≤CkukXs,b0kvkXs,b0

donde la constanteC = C(s, b, b−b0)y la forma bilinealB es definida en(3.1). Por otra parte,(3.25)

tambi´en vale paras= 0,conb∈1 2, 3 4 yb0∈1 2, b .

El corolario anterior nos informa que la aplicaci´on

(3.26) (u, v)∈Xs,b0 ×X_s,b0 7→B(u, v)∈X_s,b₋₁

es continua.

Observamos que el teorema3.3y en consecuencia los corolarios3.1,3.2tambi´en valen cuando consi-deramosδ=−s∈

0,1₂.

As´ı mismo, en lo sucesivo, cuando nos referimos al teorema3.3y los corolarios3.1,3.2, se entiende que estamos utilizandos∈

−3

4,0

(7)

4. Resultado de buena formulaci´on local. En [9, p´ag 163],θδ(t) =θ δ−1t

,δ∈]0,1], respaldado tambi´en en [5, p´ag 306] y el trabajo realizado en [7], se tienen las siguientes proposiciones

PROPOSICION´ 4.1.Para cualquierb > 1₂ ys∈R,

(4.1) θ δ−1t V (t)u0 _X s,b ≤cδ (1−2b)/2_k_u 0k_Hs, Demostraci´on:Se tiene θδ(t)u(t) =θ δ−1t Z R Z R eixξeitτδ t−ξ3_cu0(ξ)dξdτ, as´ı que θ δ−1_t V(t)u0 ∧ (ξ, τ) =δθ δ tb −ξ3 c u0(ξ). De esto, kθ(t)V(t)u0k2_Xs,b =cδ2 Z R Z R θ δ tb −ξ 3 2 1 +τ−ξ3 2b (1 +|ξ|)2s|_cu0(ξ)|2dξdτ =c Z R (1 +|ξ|)2s|_cu0(ξ)| 2 δ2 Z R θ δ tb −ξ 3 2 1 +τ−ξ3 2b dτ dξ. Usando queb > 1

2 yδ∈]0,1[tenemos el siguiente estimado

δ2 Z R θ δ tb −ξ 3 2 1 +τ−ξ3 2b dτ ≤cδ2 Z R bθ δ t−ξ 3 2 dτ +cδ2 Z R bθ δ t−ξ 3 2 τ−ξ3 2b dτ ≤cδ+cδ1−2b ≤cδ1−2b. Entonces kθ(t)V(t)u0k 2 Xs,b ≤cδ 1−2b Z R 1 +|ξ|2 s |_cu0(ξ)| 2 dξ=cδ1−2bku0k 2 Hs,

y la prueba de la proposici´on esta completa.

PROPOSICION´ 4.2.Para cualquiers∈Ryb∈12,1

se cumple (4.2) θ δ−1t v Xs,b ≤cδ (1−b)/2 kvk_X s,b. Demostraci´on:Como θ δ−1_t v(x, t)∧ =δθb(δ·)

∗t_bv, por la definici´on de la normak·k_Xs,b, la

prueba se reduce a demostrar que, paraa∈Rse cumple que

Z R δθb(δ·) ∗tbv(τ) 2 (1 +|τ−a|)2bdτ ≤cδ1−2b Z R |_bv(τ)|2(1 +|τ−a|)2bdτ. Desde que Z R δθb(δτ) 2 dτ <+∞, sigue Z R δθb(δ·) ∗_bv(τ) 2 dτ ≤c Z R |_bv(τ)|2dτ. Regresando a Z R δθb(δ·) ∗_bv(τ) 2 |τ−a|2bdτ = Z R Db eiatv(t)θ δ−1τ 2 dt.

La regla de Leibniz muestra que

Db eiatvθ δ−1· −eiatvDbθ δ−1· _L2 ≤c Db eiatv _L2kθkL∞.

(8)

Notando quekθk_L∞≤cy Db eiatv _L2= Z R |v_b(τ)|2|τ−a|2bdτ, solamente debemos acotar el t´ermino

Z R eiatvDbθ δ−1t 2 dt.

Pero el teorema de inmersi´on de Sobolev y el hecho queb > 1₂lleva a

c Z R eiatvDbθ δ−1t 2 dt≤c Z R eiatv(t) 2 dt+ Z R Db eiatv 2 dt Dbθ δ−1· 2 L2 ≤c Z R |v(t)|2dt+ Z R |τ−a|2b|_bv(τ)|2dτ Dbθ δ−1· 2 L2.

Por la identidad de Plancherel y puesto queb > 1₂ tenemos

Dbθ δ−1· 2 L2 = Z R |τ|2bδ2 θb(δτ) 2 dτ ≤cδ1−2bkθk2₁.

La prueba de la proposici´on se concluye.

COROLARIO4.1.Para cualquiers∈Ryb∈12,1

se cumple (4.3) θ δ−1t v_Xs,b ≤cδ(1−b)/2kvk_X s,b. PROPOSICION´ 4.3.Sis∈Ryb∈12,1 , entonces (4.4) θ δ−1t Z t 0 W(t−t0)w(t0)dt0 _X s,b ≤cδ(1−2b)/2kwk_Xs,b −1.

Demostraci´on:Empezamos escribiendo

θ δ−1t Z t 0 W(t−t0)w(t0)dt0 =θ δ−1t Z R Z R eixξw_b(ξ, τ)θ τ−ξ3e itτ ₋_eitξ3 τ−ξ3 dξdτ +θ δ−1t Z R Z R eixξw_b(ξ, τ) (1−θ) τ−ξ3e itτ ₋_eitξ3 τ−ξ3 dξdτ =I+II (4.5)

Por un desarrollo de Taylor tenemos

(4.6) I= ∞ X k=1 ik_tk k! θ δ −1_t Z R ei(xξ+tξ3) Z R b w(ξ, τ)θ τ −ξ 3 τ−ξ3 dτ ! dξ. Sea tkθ δ−1t =δk _t δ k θ δ−1t =φk(t), k≥1,

entonces, siguiendo el argumento en la demostraci´on de la proposici´on4.1y las asuncionesb≤1yδ≤1, encontramos que δ2 Z R φck(δτ) 2 (1 +|τ|)2bdτ ≤cδ2 Z R φck(δτ) 2 dτ +δ2 Z R φck(δτ) 2 |τ|2bdτ ≤cδ1−2bkφkk 2 L2+kDtφkk 2 L2 ≤cδ1−2b(1 +k)2.

(9)

As´ı, por la prueba de(4.1)y(4.6) kIk_X s,b ≤ ∞ X k=1 1 +k2 k! δ k_δ1−2b Z R b w(ξ, τ) θ τ−ξ 3 (τ−ξ3₎1−k dτ !∨ _Hs . Pero Z R θ τ −ξ3 (τ−ξ3₎1−kwb(ξ, τ)dτ !∨ 2 Hs ≤ Z R (1 +|ξ|)2s Z R b w(ξ, τ) θ τ−ξ 3 (τ−ξ3₎1−k dτ !2 dξ ≤ Z R (1 +|ξ|)2s Z |τ−ξ3_|_<₁ |w_b(ξ, τ)|dτ !2 dξ ≤ Z R (1 +|ξ|)2s Z R |w_b(ξ, τ)| (1 +|τ−ξ3_|₎1−b_{(1 +}_|_τ₋_ξ3_|₎bdτ !2 dξ ≤ Z R (1 +|ξ|)2s Z R |w_b(ξ, τ)|2 (1 +|τ−ξ3_|₎2(1−b)dτ dξ ≤ckwk2_Xs,b −1,

puesto queb > 1₂, lo cual prueba la cota requerida para el t´erminoIde(4.5). Ahora acotemos al t´erminoIIde(4.5). Primero escribimos

II =−θ δ−1t Z R ei(xξ+tξ3) Z R (1−θ) τ−ξ3 τ−ξ3 wb(ξ, τ)dτ ! dξ +θ δ−1t Z R Z R ei(xξ+tτ)(1−θ) τ−ξ 3 τ−ξ3 wb(ξ, τ)dτ dξ =II1+II2.

Usando la proposici´on4.1, la desigualdad de Cauchy-Schwarz yb > 1₂se deduce que

kII1kXs,b ≤cδ (1−2b)/2 Z R (1−θ) τ−ξ3 (τ−ξ3₎1−k wb(ξ, τ)dτ !∨ _Hs ≤cδ(1−2b)/2   Z R (1 +|ξ|)2s Z |τ−ξ3_|≤1 2 |w_b(ξ, τ)| 1 +|τ−ξ3_|dτ !2 dξ   1/2 ≤cδ(1−2b)/2 Z R (1 +|ξ|)2s Z |τ−ξ3_|≤1 2 |w_b(ξ, τ)| (1 +|τ−ξ3_|₎1−b_{(1 +}_|_τ₋_ξ3_|₎b dτ !1/2 dξ ≤cδ(1−2b)/2kwk_Xs,b −1.

Finalmente, por(4.3)y la definici´on del espacio de BourgainXs,b−1

kII2kXs,b≤cδ (1−2b)/2 Z R Z R ei(xξ+tτ)(1−θ) τ−ξ 3 τ−ξ3 wb(ξ, τ)dτ dξ _X s,b ≤cδ(1−2b)/2 Z R Z R |w_b(ξ, τ)|2 (1 +|τ−ξ3_|₎2 1 + τ−ξ3 2b (1 +|ξ|)2sdξ dτ !1/2 ≤cδ(1−2b)/2kwk_Xs,b −1.

(10)

La prueba de la siguiente proposición sigue los mismos argumentos a los usados en la demostración de la proposición4.3, as´ı que será omitida.

PROPOSICION´ 4.4.Seans∈Ryb∈12,1 , entonces (4.7) θ δ−1t Z t 0 W(t−t0)w(t0)dt0 _s ≤cδ(1−2b)/2kwk_Xs,b −1. Demostraci´on:Similar a4.3 PROPOSICION´ 4.5.Sis∈R,b, b0∈12, 1 8

conb < b0yδ∈]0,1[, entonces parav∈Xs,b0₋₁tenemos

(4.8) θ δ−1t v_X s,b−1 ≤cδ (b0−b)/8(1−b)_k_v_k Xs,b0 −1.

Demostraci´on: Para demostrar(4.8)usaremos dualidad, as´ı que probaremos el estimado

(4.9) θ δ−1t v_X −s,1−b0 ≤cδ (b0−b)/8(1−b) kvk_X₋ s,1−b

Este resultado seguir´a por interpolaci´on. Para esto necesitamos establecer las siguientes desigualdades

(4.10) θ δ−1t v_X −s,0 ≤cδ 1/8_k_v_k X−s,1−b y (4.11) θ δ−1t v_X −s,1−b ≤ckvkX−s,1−b. De, las desigualdades de H¨older y Sobolev, tenemos

θ δ−1t v_X −s,0= J_x−sV(t)θ δ−1· v_L2 tL2x =θ δ−1· V (t)J_x−sv_L2 tL2x ≤cδ1/8V (t)J_x−sv _L2 xL 8/3 t ≤cδ1/8V (t)J_x−sv _L2 xH 1/8 t =cδ1/8kvk_X −s,1/8 ≤cδ 1/8_k_v_k X−s,1−b, en donde usamos que1−b > 1

8. Esto prueba(4.10).

Para probar(4.10)usaremos un argumento similar al utilizado para probar la proposici´on4.2. Puesto que θ δ−1t

v(x, t)∧

=θbδ−1∗_t

b

v,

por la definici´on del espacio de BourgainXs,bes suficiente probar que paraa∈R

(4.12) Z R bθδ−1∗tbv 2 (1 +|τ−a|)2(1−b)dτ ≤c Z R |_bv|2(1 +|τ−a|)2(1−b)dτ. Puesto que δθb(δ·) _L1 t <+∞tenemos que Z R bθδ−1∗tvb 2 dτ ≤c Z R |_bv|2dτ. A continuaci´on estimamos Z R θbδ−1∗tbv 2 |τ−a|2(1−b)dτ = Z R D_t1−beiatv(t)θ δ−1t 2 dt.

Usando la regla de Leibniz, tenemos (4.13) D1_t−b eiatvθδ −eiatvD_t1−bθδ _L2 ≤c D_t1−b eiatv _L2kθδ−1k_L∞.

El primer factor en el segundo miembro de(4.13)se estima como sigue. Primero notemos quekθδkL∞ <

+∞. De esto, la identidad de Plancherel nos da

(4.14) D_t1−b eiatv _L2= Z R |_bv(τ)|2|τ−a|2(1−b)dτ 1/2 .

(11)

Para acotareiatvD

1−b t θδ

_L2, usamos la desigualdad de H¨older para obtener

eiatvD 1−b t θδ _L2≤ eiatv _L2p D 1−b t θδ _L2q con1_p+1_q = 1. Entonces elegimosptal que1₂− 1

2p = 1−b. Usando (4.15) eiatv _L2p≤ eiatv ₁₋_b=c Z R |_bv(τ)|2(1 +|τ−a|)2(1−b)dτ. Como la transformada de Fourier inversa es acotada deL2q/(2q−1)₍

R)enL2q(R)tenemos D 1−b t θδ _L2q ≤ Z R |τ| 1−b δθbδ(δτ) 2q 2q−1 dτ 2q −1 2q (4.16) = Z R |τ| 1−b b θ(τ) 2q 2q−1 dτ 2q−1 2q <+∞. Combinando(4.15)y(4.16)tenemos (4.17) eiatvD 1−b t θδ _L2≤c Z R |v_b(τ)|2(1 +|τ−a|)2(1−b)dτ.

As´ı(4.14)y(4.17)dan(4.12). Los estimados(4.10),(4.11)e interpolaci´on dan la desigualdad(4.9)y la proposici´on queda probada

Ahora podemos enunciar el resultado principal de ´este art´ıculo. TEOREMA4.1.Para cualquieru0 ∈ Hs(R),s > −34 yb ∈

1 2,1

, existeT = T(ku0kHs)y una

soluci´on ´unica de(1.1)en el intervalo de tiempo[−T, T]satisfaciendo

(4.18) u∈C([−T, T] ;Hs(R)), (4.19) u∈Xs,b⊆L p x,loc R:L 2 t(R) , para 1≤p≤ ∞, (4.20) ∂xu2∈Xs,b−1, y (4.21) ∂tu∈Xs−3,b−1.

Adem´as, dadoT0∈]0, T[, la aplicaci´onu07→u(t)es suave deHs(R)aC([−T0, T0] ;Hs(R)).

Demostraci´on:Definimos Xα= n u∈Xs,b:kukXs,b ≤α o ,

Sin p´erdida de generalidad, podemos asumir queα >1.EntoncesXαes un espacio m´etrico completo con

norma,

kuk_X

α =kukXs,b.

Parau0∈Hs,s >−3₄, definimos el operador

(4.22) Φu0(u) =ψ1(t)e−t∂ 3 xu₀−ψ1(t) 2 Z t 0 e−(t−τ)∂x3ψ_δ(τ)∂_xu2(τ)dτ.

Probemos que la aplicaci´onΦdefine una contracci´on sobreXα.

Seaβ= ₈₍₁b−₋b_b00₎. Usando las proposiciones (4.1), (4.2), (4.3) y teorema(3.1) deducimos

kΦu0(u)kXα =kΦu0(u)kXs,b ≤ ψ1(t)e −t∂3_x_u 0 _X s,b + ψ1(t) 2 Z t 0 e−(t−τ)∂3x_ψ_δ_(τ)_∂_x_u2_(τ₎_dτ _X s,b ≤C1ku0kHs+C ψδ∂xu2 _Xs,b −1 ≤C1ku0k_Hs+Cδ β ∂xu2(t) _X s,b0 −1 ≤C1ku0kHs+C2δβku(t)k 2 Xs,b

(12)

Comou∈ Xαcon nuestra elecci´on deα

kΦu0(u)kXs,b ≤

α 2 +C1δ

θ_α2_.

Si escogemosδtal que

δθ≤ 1 2 m´ax{C1, α2} , entonces, kΦu0(u)kXs,b ≤α. Por lo tanto, Φu0(u)∈ Xα.

Un argumento similar demuestra que parau, v ∈ Xα

kΦu0(u)−Φu0(v)kXs,b ≤ ψ1(t) 2 Z t 0 e−(t−τ)∂x3_ψ_δ_(τ₎_∂_x _u2_(τ₎−_v2_(τ₎_dτ _Xs,b ≤cρβαku+vk_Xs,bku−vk_Xs,b ≤2cρβαku−vk_X s,b ≤ 1 2ku−vkXs,b.

Por lo tanto, la aplicaci´onΦes una contracci´on deXαen s´ı mismo. Por el teorema de punto fijo de Banach,

existe exactamente un punto fijoudeΦu0(u)enXαsoluci´on de la ecuaci´on paraT < ρ, es decir

(4.23) u(t) =ψ1(t)e−t∂ 3 x_u 0− ψ1(t) 2 Z t 0 e−(t−τ)∂3x_ψ δ(τ)∂xu2(τ)dτ. La regularidad adicional u∈C([0, T] :Hs(R))

se prueba como sigue. Usando la ecuaci´on integral(4.23) y las proposiciones (4.4) y (4.5), para0 ≤τ < t≤1yt−τ≤∆tresulta que ku(t)−u(τ)k_Hs≤ e (t−τ)∂3 x_u_(t)−_u_(τ₎ _Hs +c Z t τ e−(t−τ)∂x3_ψ2 _t₋_τ ∆t ∂xu2(τ)dτ _Hs ≤ e (t−τ)∂3 x_u_(t)₋_u_(τ₎ _Hs+c ψ2 _t₋_τ ∆t ∂xu2 _X s,b−1 ≤ e (t−τ)∂3 x_u_(t)₋_u_(τ₎ _Hs+c(∆t) b−b0 8(b−b0) ∂xu2 _X s,b0 −1 ≤ e (t−τ)∂3_x_u_(t)₋_u_(τ₎ _Hs+c(∆t) b−b0 8(b−b0)_k_u_k2 X_s,b0 =o(1)

cuando∆t→0, esto da la propiedad de persistencia.

5. Agradecimiento. Al Dr. Juan Ernesto Montealegre Scott, docente adscrito a la sección matemática de la Pontificia Universidad Católica del Perú, por haberme brindado su apoyo incondicional en la prepara-ción del presente art´ıculo.

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