CÁLCULO VECTORIAL
TEMA
12
TEOREMA DE GREEN
Empezaremos nuestro estudio de las relaciones entre integrales de línea, integrales de superficie e integrales múltiples. La primera de éstas la describe el Teorema de Green, que expresa la integral de línea de un campo vectorial sobre una curva paramétrica como cierta integral doble sobre la región encerrada por dicha curva. Este teorema data de la primera mitad del siglo XIX, apareciendo en el estudio de la teoría de potenciales gravita-cionales y eléctricos. Entre una de las ventajas de este resultado, tenemos la posibilidad de calcular una integral de línea de manera más sencilla, convirtiéndola en una integral doble, o viceversa. Por otro lado, también podemos conocer el comportamiento de un campo vectorial a lo largo de una curva a partir de información conocida en la región encerrada por ésta.
12.1
Teorema de Green
Antes de enunciar y demostrar el teorema de Green, debemos revisitar el concepto de ori-entación de curvas paramétricas. Sea C una curva plana (contenida en R2) paramétrica cerrada simple, de clase C1 a trozos. Sabemos que aC le pedimos asignar dos orienta-ciones, a saber, recorrerC en sentido horario y antihorario. Normalmente, se toma la ori-entación antihoraria como positiva, y la horaria como negativa. Si elegimos la oriori-entación positiva (resp., negativa) usaremos la notaciónC+(resp.,C−) para indicar que la curva se recorre con dicha orientación.
Además de la anterior, también se usa otra convención para asignarle orientación positiva a una curva plana C, a saber: que la región encerrada por C quede del lado izquierdo cuando recorremosC. En este curso, solamente consideraremos el caso donde las regiones encerradas son de tipo I, II o III. Recordemos que una regiónD⊆R2 es de tipo I si existen
funciones continuas φ1, φ2: [a, b] → Ry derivables en (a, b)con φ1(x) ≤ φ2(x) para todo
x∈[a, b]tales que
D={(x, y)∈R2
: φ1(x)≤y≤φ2(x), cona≤x≤b}. Por otro lado, una regiónR⊆R2es de tipo II si existen funciones continuasψ
1, ψ2: [c, d]→ Ry derivables en(c, d)conψ1(y)≤ψ2(y)para todoy∈[c, d]tales que
R ={(x, y)∈R2
: ψ1(y)≤x≤ψ2(y), conc≤y≤d}. Finalmente, una región es de tipo III si es de tipo I y II.
Teniendo en cuenta las convenciones anteriores, enunciemos el Teorema de Green.
Teorema 12.1.1 (de Green). Sea C una curva cerrada simple y regular a trozos, orientada pos-itivamente, en R2, y seaD la unión de C con la región encerrada por C, y de tipo III. Si F =
(P, Q) : U ⊆ R2 →
R2 es un campo vectorial de claseC1, dondeU es un conjunto abierto que
contiene aD, entonces I C F ·ds = Z Z D ∂Q ∂x − ∂P ∂y dxdy.
Dividiremos la demostración de este teorema en los siguientes dos lemas.
Lema 12.1.2. SeaC una curva cerrada simple y regular a trozos, orientada positivamente, enR2,
y sea Dla unión deC con la región encerrada por C. Si Des de tipo I yP: U ⊆ R2 →
R es un
campo escalar de claseC1, dondeU es un conjunto abierto que contiene aD, entonces I C P dx=− Z Z D ∂P ∂ydxdy.
Demostración: Por un lado, recordemos queH
CP dxes la notación abreviada para la inte-gral de línea del campo vectorial(P,0,0). Ahora, para probar la igualdad entre la integral anterior y−RR
D ∂P
∂ydxdy, la idea es dividir la curvaC en cuatro tramos según la región de
En la figura, C1 y C2 son el piso y techo de la región D, con las orientaciones indicadas, mientras que B1 yB2 son los lados izquierdo y derecho. Las parametrizaciones de estos trozos vienen dadas por:
• C1+: α1(x) = (x, φ1(x))cona≤x≤b. • C+
2: α2(x) = (x, φ2(x))cona≤x≤b. • B+
1: β1(x) = (a, x)conφ1(a)≤x≤φ2(a). • B2+: β2(x) = (b, x)conφ1(b)≤x≤φ2(b).
Ahora, por la aditividad de la integral de línea respecto al dominio de integración, se tiene que: I C+ P dx= Z C+ 1 P dx+ Z B+ 2 P dx+ Z C2− P dx+ Z B−1 P dx = Z b a h(P(x, φ1(x),0),0,0),(1, φ01(x),0)idx+ Z φ2(b) φ1(b) h(P(b, x,0),0,0),(0,1,0)idx − Z b a h(P(x, φ2(x),0),0,0),(1, φ02(x),0)idx− Z φ2(a) φ1(a) h(P(a, x,0),0,0),(0,1,0)idx = Z b a P(x, φ1(x),0)dx− Z b a P(x, φ2(x),0)dx=− Z b a Z φ2(x) φ1(x) ∂P ∂ydydx =− Z Z D ∂P ∂ydxdy.
Tenga en cuenta que la penúltima igualdad se debe a la Regla de Barrow. El siguiente lema se prueba de manera similar.
Lema 12.1.3. SeaC una curva cerrada simple y regular a trozos, orientada positivamente, enR2,
y seaDla unión deC con la región encerrada porC. SiD es de tipo II yQ: U ⊆ R2 →
Res un
campo escalar de claseC1, dondeU es un conjunto abierto que contiene aD, entonces I C Qdy = Z Z D ∂Q ∂xdxdy.
Demostración del Teorema de Green: Por los lemas anteriores, tenemos que Z Z D ∂Q ∂x − ∂P ∂y dxdy= Z Z D ∂Q ∂xdxdy− Z Z D ∂P ∂ydxdy = I C Qdy+ I C P dx= I C F ·ds. De nuevo,H
CP dxes la integral de línea del campo(P,0,0), y H
CQdyes la integral de línea del campo(0, Q,0), de donde se sigue el resultado.
Una curiosidad del Teorema de Green es que el integrando ∂Q∂x − ∂P
∂y luce como uno de los
factores del vector rotacional de un campo vectorial. En efecto, el campo en este caso se trata de(F,0) = (P, Q,0). Entonces, rot(F) = rot(F,0) = i j k ∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z P Q 0 = 0,0,∂Q ∂x − ∂P ∂y .
Luego, siendokel vector(0,0,1), tenemos que
∂Q
∂x −
∂P
∂y =hrot(F),ki.
Esto nos da otra forma de enunciar del Teorema de Green.
Teorema 12.1.4(de Green - forma vectorial). SeaD⊆R2una región plana de tipo III y∂Dsu
frontera, orientada en sentido positivo. Supongamos además que ∂Des una curva cerrada simple regular a trozos. SiF = (P, Q) : U ⊆R2 →
R2es un campo vectorial de claseC1, dondeU es un
conjunto abierto que contiene aD, entonces
I ∂D F ·ds = Z Z D hrot(F),kidxdy. Ejemplo 12.1.5.
1. Calculemos el trabajo realizado por el campo de fuerzasF(x, y) = (y+ 3x,2y−x)al mover una partícula a lo largo de la elipse4x2+y2 = 4. Lo primero a tener en cuenta es que la elipse
dadaC es una curva regular cerrada simple con parametrizaciónα(θ) = (cos(θ),2 sin(θ)), donde0 ≤ θ ≤ 2π. Entonces, como en este caso P(x, y) = y+ 3xyQ(x, y) = 2y−x, se tiene que ∂Q∂x − ∂P
∂y =−2. Luego, por el Teorema de Green,
I C F ·ds= Z Z D −2dxdy=−2a(D) =−2(1·2·π) =−4π.
En el último paso de la igualdad, tenga en cuenta que el área de la región encerrada por una elipse de ecuación (x−ax02 )2 +
(y−y0)2
b2 = 1está dada porabπ.
2. Hallemos el valor de la integralH
C(5−xy−y
2)dx−(2xy−x2)dydondeC es el cuadrado
[0,1]×[0,1]. Esta curva es cerrada simple y regular a trozos. Por otro lado, podemos separar la integral que se nos pide en
I C (5−xy−y2)dx−(2xy−x2)dy = I C (5−xy−y2)dx− I C (2xy−x2)dy,
Tenemos: I C (5−xy−y2)dx=− Z Z D ∂ ∂y(5−xy−y 2)dxdy = Z 1 0 Z 1 0 (2y+x)dxdy = Z 1 0 2xy+x 2 2 1 0 ! dy= Z 1 0 2y+1 2 dy= y2+y 2 1 0 = 3 2, I C (2xy−x2)dy= Z Z D ∂ ∂x(2xy−x 2)dxdy Z 1 0 Z 1 0 2y−2xdxdy = Z 1 0 2xy−x2|10 dy= Z 1 0 (2y−1)dy=y2−y|10 = 0.
Por lo tanto,HC(5−xy−y2)dx−(2xy−x2)dy= 3 2.
Uno de los corolarios importantes del Teorema de Green tiene que ver con otra forma de calcular áreas de regiones planas.
Corolario 12.1.6. SeaCuna curva cerrada simple regular a trozos, que encierra una región de tipo I, II o III. SeaDla unión de esta región conC. Entonces,
a(D) = 1
2
I
C
xdy−ydx.
Demostración: Tenemos el campo vectorial (P, Q) = (−y, x), de claseC1 y con dominio R2, que por supuesto contiene aD. Entonces, ∂Q∂x −
∂P ∂y = 2, de donde Z Z D ∂Q ∂x − ∂P ∂y dxdy = 2a(D).
Por otro lado, el Teorema de Green nos dice que Z Z D ∂Q ∂x − ∂P ∂y dxdy= I C xdy−ydx,
de donde se sigue el resultado.
Ejemplo 12.1.7. Calculemos el área de la región encerrada por la curva hipocicloide x2/3+y2/3 =a2/3,
Figura 12.2:Región encerrada por la hipocicloide (imagen tomada de Cálculo Vectorial -Marsden & Tromba).
Por el corolario anterior, a(D) = 12HCxdy−ydx, dondeC es la curva hipocicloide. Esta curva es cerrada simple y regular a trozos. Sin embargo, no hace falta separar la integral de línea en suma de integrales sobre cada trozo de curva, porque todos tienen la misma parametrización (sólo cambia el rango de variación del ángulo). Entonces,
a(D) = 1 2 I C (−y, x)·ds = 1 2 Z 2π 0
h(−asin3(θ), acos3(θ)),(−3acos2(θ) sin(θ),3asin2(θ) cos(θ))idθ
= 1 2
Z 2π 0
(3a2sin4(θ) cos2(θ) + 3a2cos4(θ) sin2(θ))dθ = 3a
2
2
Z 2π
0
(sin2(θ) + cos2(θ)) sin2(θ) cos2(θ)dθ = 3a 2 2 Z 2π 0 sin2(θ) cos2(θ)dθ = 3a 2 2 Z 2π 0 (sin(θ) cos(θ))2dθ= 3a 2 2 Z 2π 0 sin2(2θ) 4 dθ = 3a 2 8 Z 2π 0 sin2(2θ)dθ = 3a 2 8 Z 2π 0 1−cos(4θ) 2 dθ = 3a2π 8 − 3a2 16 Z 2π 0 cos(4θ)dθ = 3a 2π 8 − 3a2π 16 sin(4θ) 4 2π 0 = 3a 2π 8 .
12.2
Teorema de Green generalizado
Cerramos estas notas probando una generalización del Teorema de Green que involucra regiones delimitadas por varias curvas cerradas.
Teorema 12.2.1(de Green - generalizado). SeanC1,. . ., Cn curvas cerradas simples regulares
a trozos, orientadas positivamente, tales que las siguientes condiciones se cumplen: 1. CiyCj no se cortan parai6=j.
2. Ciestá en la regién encerrada porC1, para todo2≤i≤n.
3. Ciestá en el exterior de la región encerrada porCj, parai6=j y coni, j = 2, . . . , n.
SeaRla unión deC1, con la región encerrada porC1y que no está dentro de ninguna de las curvas
Ci, coni= 2, . . . , n(como se muestra en la figura).
Figura 12.3:Región multiplemente conexa - (imagen tomada de Calculus Vol. II - Apostol).
SiF = (P, Q) : U ⊆R2 →
R2 es un campo vectorial de claseC1, dondeU contiene aR, entonces Z Z R ∂Q ∂x − ∂P ∂y dxdy= I C1 F ·ds− n X j=2 I Cj F ·ds.
Demostración: Probaremos únicamente el cason = 2. El caso más general se prueba por inducción. Tenemos entonces que para n = 2, R es la región formada por las curvas C1 y C2, y la región comprendida entre ellas. La idea es dividir R en dos regiones donde podamos aplicar el Teorema de Green. Tal división la hacemos como se muestra en la siguiente figura:
Figura 12.4:División deR- (imagen tomada de Calculus Vol. II - Apostol).
Sea R1 la región de color gris, y R2 la de color negro. Tenemos queR = R1 ∪R2, donde la intersección de R1 con R2 son los segmentos de rectaAB y CD, por lo que podemos aplicar la aditividad en el dominio de integración y obtener
Z Z R ∂Q ∂x − ∂P ∂y dxdy= Z Z R1 ∂Q ∂x − ∂P ∂y dxdy+ Z Z R2 ∂Q ∂x − ∂P ∂y dxdy.
Ahora,∂R1 es una curva regular a trozos, formada porC1+,sup (arco superior resultante de la división de C1), AB+, C2−,sup (arco superior resultante de la división deC2) y CD+. De manera similar, ∂R2 es una curva regular a trozos recorrida enC1+,inf, CD
−
, C2−,inf y AB−. Por el Teorema de Green, tenemos que:
Z Z R1 ∂Q ∂x − ∂P ∂y dxdy = I ∂R1 F ·ds = Z C+ 1,sup F ·ds+ Z AB+ F ·ds+ Z C−2,sup F ·ds+ Z CD+ F ·ds = Z C+ 1,sup F ·ds+ Z AB+ F ·ds− Z C+ 2,sup F ·ds+ Z CD+ F ·ds, Z Z R2 ∂Q ∂x − ∂P ∂y dxdy = I ∂R2 F ·ds = Z C1+,inf F ·ds+ Z CD− F ·ds+ Z C−2,inf F ·ds+ Z AB− F ·ds = Z C1+,inf F ·ds− Z CD+ F ·ds− Z C2+,inf F ·ds− Z AB+ F ·ds, Z Z R ∂Q ∂x − ∂P ∂y dxdy = Z C1+,sup F ·ds+ Z AB+ F ·ds− Z C2+,sup F ·ds+ Z CD+ F ·ds + Z C+1,inf F ·ds− Z CD+ F ·ds− Z C2+,inf F ·ds− Z AB+ F ·ds = Z C+ 1 F ·ds− Z C+ 2 F ·ds.
Un corolario del teorema de Green generalizado es el hecho de que la integral de línea es invariante bajo homotopías para campos irrotacionales. La demostración de esto es un caso particular deln= 2en el teorema anterior.
Corolario 12.2.2(invariancia de la integral de línea bajo homotopías). SeaF = (P, Q) : U ⊆
R2 →R2un campo vectorial de claseC1sobre un conjunto abiertoU, tal que ∂Q∂x−∂P∂y = 0enU (es
decir,F es irrotacional). SeanC1yC2 dos curvas cerradas simples y regulares a trozos, contenidas
enU y orientadas positivamente, que cumplen las siguientes condiciones: 1. C2está en la región contenida porC1.
2. La región comprendida entre las curvasC1 yC2está contenida enU.
Entonces, I C1 F ·ds = I C2 F ·ds. Ejemplo 12.2.3. SeaIk = H CkP dx+Qdy, donde P(x, y) =−y 1 (x−1)2+y2 + 1 x2+y2 + 1 (x+ 1)2+y2 , Q(x, y) = x−1 (x−1)2+y2 + x x2+y2 + x+ 1 (x+ 1)2+y2.
En la siguiente figura, C1 es la circunferencia menor x2 + y2 = 1/8 orientada positivamente,
C2 es la circunferencia mayor x2 +y2 = 4 orientada positivamente, y C3 es la unión de las tres
circunferencias(x−1)2+y2 = 1/4,x2+y2 = 1/4y(x+ 1)2+y2 = 1/4dibujada en los sentidos
que se indican en la figura. SiI2 = 6πeI3 = 2π, hallar el valor deI1.
Lo primero a notar es que(P, Q)define un campo vectorial de claseC1 con dominio
R2a excepción
de los puntos (0,0), (1,0) y (−1,0). Como ejercicio, el lector debe verificar que este campo es irrotacional. Ahora bien, el teorema de invariancia lo podemos aplicar únicamente en las regiones pintadas en azul y rojo, debido a las discontinuidades que presenta(P, Q). En el caso de la región roja, tenemos que
I1 = I C1+ P dx+Qdy= I C+3-b P dx+Qdy.
La curva C3+-b indicada es la circunferencia x2 + y2 = 1/4 orientada positivamente. Por otro lado, para aplicar el teorema de invariancia en la región azul, no podemos usar la curva C3 con
la orientación dada. Debemos usar en su lugar la curva C+ 3-a∪ C
+ 3-b ∪ C
+
3-c correspondiente a las
circunferencias(x−1)2+y2 = 1/4,x2+y2 = 1/4y(x+ 1)2+y2 = 1/4, todas con orientación positiva. Entonces: 6π = I C2+ P dx+Qdy= I C+3-a∪C3+-b∪C3+-c P dx+Qdy = I C3+-a P dx+Qdy+ I C3+-b P dx+Qdy+ I C3+-c P dx+Qdy = I C3+-a P dx+Qdy+I1+ I C3+-c P dx+Qdy I C3+-a P dx+Qdy+ I C3+-c P dx+Qdy = 6π−I1.
Por otro lado,C3 =C3+-a∪ C
− 3-b∪ C + 3-c, por lo cual 2π = I C3 P dx+Qdy= I C3+-a∪C−3-b∪C3+-c P dx+Qdy = I C3+-a P dx+Qdy− I C+3-b P dx+Qdy+ I C+3-c P dx+Qdy = I C+ 3-a P dx+Qdy+ I C+ 3-c P dx+Qdy ! −I1 = 6π−I1−I1 = 6π−2I1. Por lo tanto,I1 = 2π.
Escrito en LATEX porMarco A. Pérez.
Material consultado:
•Cálculo Vectorial, de Jerrold E. Marsden y Anthony J. Tromba.