Lógica proposicional
6. La semántica veritativo-funcional
(Parte 1)
Juan Carlos León
Universidad de Murcia
Esquema del tema
6.1. Noción de interpretación y reglas de
valoración. Tablas de verdad
6.2. Consecuencia lógica (implicación)
6.3. Satisfacibilidad y validez veritativo-funcional
(tautologías)
6.4. “→” e implicación; “↔” y equivalencia
6.5. Lógica clásica y lógicas no-clásicas
Lógica proposicional
6. La semántica veritativo-funcional
6.1. Noción de interpretación y reglas de valoración. Tablas de verdad
Valores veritativos
No es necesario interpretar las letras
proposicionales como proposiciones
concretas del lenguaje ordinario
Es suficiente asignar a cada una un valor
de verdad (verdadero o falso)
Con ello, y mediante ciertas reglas
semánticas, puede determinarse el valor
de verdad de cualquier proposición
Bivalencia
La lógica clásica sólo contempla dos
posibles valores de verdad: verdadero y
falso
Esto está en consonancia con el principio
de tercero excluido
– Existen lógicas (no clásicas) que admiten uno
o más valores intermedios entre la verdad y la falsedad (en las que no es válido el principio de tercero excluido)
Interpretaciones
Una interpretación es una asignación de un
valor de verdad a cada letra proposicional
Representamos con “V” el valor de verdad
verdadero, y con “F” el valor falso
Así, una interpretación I es en realidad una
función que asigna a cada letra proposicional un valor en el conjunto {V, F}
Diremos, pues, que una fbf A es verdadera si
Reglas de valoración
1) I(¬A)=V sii (si y sólo si) I(A)=F
2) I(A ∧ B)=V sii I(A)=I(B)=V
3) I(A ∨ B)=V sii I(A)=V ó I(B)=V
4) I(A → B)=V sii I(A)=F ó I(B)=V (o, lo que es
equivalente: I(A → B)=F sii I(A)=V y I(B)=F) 5) I(A ↔ B)=V sii I(A)=I(B)
Esta última regla se obtiene derivadamente a partir (2) y (4), teniendo en cuenta que “A ↔ B”
es sólo una abreviatura de “(A → B) ∧ (B → A)”
Veritativo-funcionalidad
Las reglas de valoración deben evidenciar
que el valor de verdad de una proposición compuesta está en función del valor de verdad de sus componentes:
– Conocido el valor de los componentes más
simples (las letras proposicionales) se puede determinar el valor de verdad de cualquier proposición compuesta
Por eso, el nombre completo de la lógica que
Reglas y tablas
Es habitual representar mediante tablas lo que
establecen esas reglas:
A ¬A A B A ∧ B A ∨ B A → B A ↔ B V F V V V V V V F V V F F V F F F V F V V F F F F F V V
El método de tablas de verdad
Se debe a Łukasiewicz, Post y Wittgenstein (1920)
Es un procedimiento para valorar de forma
sistemática una fbf, considerando toda posible asignación de valor de verdad a sus letras proposicionales
– Cada fila de la tabla representa una valoración de las letras
proposicionales
– Para calcular el valor de una fbf, en cada fila, se calcula
previamente el valor de sus subfórmulas, comenzando por las conectivas de menor alcance, hasta llegar al valor de la fbf entera
– El valor de cada subfórmula se escribe, fila a fila, debajo
Ejemplo 1
Aplicamos de forma automática (sin escribirlos) los cálculos correspondientes a negaciones y dobles negaciones
La tabla nos dice que esta fbf es falsa cuando tanto “p” como “q” son verdaderas, y verdadera en los demás casos
p q (p → q) ∨ ¬q ↔ ¬(¬¬p ∧ q) V V V V F F V V F F V V V F F V V V V V F F F V V V V F 1ª 2ª 5ª 4ª 3ª
Ludwig Wittgenstein
Interpretaciones distintas
Existen 2 interpretaciones distintas para aquellas
fbfs compuestas por una sola letra proposicional
Hay 4 interpretaciones distintas para las fbfs
compuestas por 2 letras
Hay 8, para fbfs compuestas por 3 letras
16, para las compuestas por 4
En general, existen 2n interpretaciones distintas para
las fbfs compuestas por n letras proposicionales
– Para no olvidar ni repetir ninguna en una tabla, en la
primera columna ponemos la primera mitad de filas con V y la segunda mitad con F; en la segunda columna,
dividimos en dos esas mitades, y ponemos la primera con V y la segunda con F; y así sucesivamente
Ejemplo 2
p q r (p ∧ ¬q) ∨r → (r ∧ ¬q → ¬p) V V V F V V F V V V F F F V F V V F V V V F V F V F F V V V F V F V V F V V F V F V F F F V F V F F V F V V V V F F F F F V F V 1ª 2ª 5ª 3ª 4ªLógica proposicional
6. La semántica veritativo-funcional
6.2. Consecuencia lógica
(implicación)
Consecuencia (o implicación)
Una conclusión es consecuencia de (o es
implicada por) las premisas cuando, en todas las interpretaciones en que éstas son verdaderas, es también verdadera esa conclusión
O, lo que es lo mismo, cuando no existe ninguna
interpretación para la que resulten verdaderas todas las premisas y falsa la conclusión
Decir que las premisas implican la conclusión es
lo mismo que afirmar la validez del argumento
Validez y derivabilidad
Indicamos que la conclusión es semánticamente
implicada por las premisas escribiendo “Γ╞ A”
El signo metalingüístico “╞” significa, pues, la
validez del argumento
En cambio, “Γ ├ A” significa que A es
sintácticamente derivable de las premisas Γ
(mediante las reglas del cálculo)
Esto plantea la cuestión de si el cálculo que hemos
desarrollado (la sintaxis) es adecuado para la semántica: de si se cumple que
Γ├ A sii Γ ╞ A
Demostrar que así es (cosa que está lejos de ser
Tablas e implicación
Para comprobar si una conclusión es implicada
por una o más premisas, hacemos una tabla de verdad conjunta de todas ellas
Habrá implicación (el argumento será válido) si
en toda fila en que resulten verdaderas todas las premisas, resulta también verdadera la conclusión
– O, equivalentemente, si no hay ninguna fila en que
resulten verdaderas las premisas y falsa la
conclusión (o sea, si no hay ningún contraejemplo)
Ejemplo 1: un esquema válido
Comprobemos, mediante tablas de verdad, que se cumple A → B, ¬B ╞ ¬A
La única fila en que son verdaderas las premisas, lo es también la conclusión
A B A → B ¬B ¬A
V V V F F V F F V F F V V F V
Ejemplo 2: un esquema inválido
Comprobemos, mediante tablas de verdad, que no se
cumple
A ∨ B, A ╞ ¬B
La primera valoración es un contraejemplo
A B A ∨ B A ¬B
V V V V F V F V V V F V V F F F F F F V
Ejemplo 3: un esquema válido
Comprobamos que: A → (B → C), C →¬A ╞ ¬A ∨¬B A B C A → (B → C) C →¬A ¬A ∨ ¬B V V V V V F F V V F F F V F V F V V V F V V F F V V V V F V V V V V V F V F V F V V F F V V V V V F F F V V V V
Lógica proposicional
6. La semántica veritativo-funcional
6.3. Satisfacibilidad y validez
veritativo-funcional (tautologías)
Categorías semánticas
Una fbf es satisfacible si resulta verdadera al
menos para una interpretación; de lo contrario, es insatisfacible: falsa para toda interpretación
Las fbfs satisfacibles pueden ser
a) Válidas: verdaderas para toda interpretación
b) Contingentes: verdaderas para alguna
interpretación y falsas para otras
Tautologías
Una tautología es una fbf que siempre
resulta verdadera para toda interpretación
veritativo-funcional
– En el ámbito de la lógica proposicional, las
tautologías coinciden con las fbfs válidas – No ocurre así en otros ámbitos de la lógica en
que la noción de interpretación no es exclusivamente veritativo-funcional
Las tautologías son, pues, las leyes de la
lógica proposicional
Tautologías y teoremas
Indicamos que A es una fbf válida o
tautológica escribiendo: “
╞
A”
En cambio, “
├
A” significa que A es
sintácticamente derivable sin depender de
ningún supuesto (un teorema)
Será tarea de la metalógica establecer que
├
A sii
╞
A
Comprobación por tablas
Para comprobar por tablas la
satisfacibilidad de una fbf basta encontrar
una “V” en la columna final
En cambio, una fbf insatisfacible ha de
tener todo “F” en la columna final
Una tautología tendrá todo “V”
Y una fbf contingente tendrá al menos una
“V” y al menos una “F”
Ejemplo 1: un esquema contingente
Una fbf de la forma “A → A ∧ B” es
contingente: satisfacible, pero no válida (salvo que B sea la propia A o una fbf implicada por A)
A B A → A ∧ B V V V V V F F F F V V F
Ejemplo 2: un esquema tautológico
Comprobamos que ╞ (A ∨ B) ∧ ¬A → B A B (A ∨ B) ∧ ¬A → B V V V F V V F V F V F V V V V F F F F VEjemplo 3: dos esquemas
insatisfacibles
“A ∧ ¬A” y “(A → B) ↔ (A ∧ ¬B)” son ambos
insatisfacibles, aunque sólo el primero es una contradicción A A ∧ ¬A A B (A → B) ↔ (A ∧ ¬B) V F V V V F F F F V F F F V F V V F F F F V F F
Satisfacibilidad simultánea
Un conjunto de fbfs es simultáneamente
satisfacible si existe alguna interpretación
para la que todas ellas resulten
verdaderas a la vez
Varias fbfs pueden ser simultáneamente
insatisfacibles, aunque sean satisfacibles
por separado
Ejemplo 4: esquemas
simultáneamente insatisfacibles
“A” y “¬A” son simultáneamente insatisfacibles,
aunque sean satisfacibles por separado
Lo mismo ocurre con “A ∧ ¬B” y “¬A ∨ B”
A B A ∧ ¬B ¬A ∨ B
V V F V V F V F F V F V
Ejercicios 6.01 a 6.12
(Tablas de verdad)
6.01 Comprobar la satisfacibilidad de “¬(¬p→¬q)” 6.02 Comprobar la satisfacibilidad de “¬(p→q) ∨ (¬p∧¬q)” 6.03 Comprobar: ╞ (p→q∧¬q) →¬p 6.04 Comprobar: ╞ (p→¬q) ∨ (q→¬r) 6.05 Comprobar la contingencia de “(p∨q) ∧ (¬q→p)” 6.06 Comprobar la contingencia de “p∨ (p→q∧r)”6.07 Comprobar la satisfacibilidad simultánea de “¬(p→q)” y “p∨q”
6.08 Comprobar la satisfacibilidad simultánea de “¬(p→q)” y “¬q→¬p”
6.09 Comprobar: p→q╞ p∨q→q 6.10 Comprobar: p→q, r→s, p∨r╞ q∨¬s 6.11 Comprobar: (p→q) →q ╡╞ p∨q 6.12 Comprobar: p∧¬q ╡╞ ¬(p↔q)
Lógica proposicional
6. La semántica veritativo-funcional
6.4. “
→
” e implicación;
“
↔
” y equivalencia
Implicación y validez del
condicional
A veces se llama a “→” la “implicación
material” (Russell, 1910)
Pero identificar el condicional
veritativo-funcional con la implicación es inaceptable, ya que da lugar a paradojas
Sin embargo, es claro que
A ╞ B sii ╞ A → B
Por tanto, puede decirse que la implicación
es la validez del condicional (Quine, 1950)
Sólo aquellos condicionales que sean válidos
son implicaciones
Bertrand Russell y
Willard V. O. Quine
Nuevas dificultades
Con esta definición se evitan las paradojas,
pero se plantean otras dificultades:
– Una fbf insatisfacible implicará cualquier otra fbf
– Una fbf válida será implicada por cualquier otra
Tendremos, por ejemplo
– ╞ A ∧ ¬A → B (pues el antecedente será falso
para toda interpretación)
– ╞ A → B ∨ ¬B (pues el consecuente será
verdadero para toda interpretación)
Si por “implicación” entendemos “implicación
veritativo-funcional”, esto es plenamente admisible; pero no en caso contrario
Equivalencia y validez del
bicondicional
Es habitual leer “↔” como “coimplica” o como “equivale”
Pero identificar el bicondicional con la noción de
equivalencia también da lugar a paradojas: todas las proposiciones verdaderas serían equivalentes, e igualmente todas las falsas
Sin embargo, como sucedía con el condicional, tenemos
que
A ╡╞ B sii ╞ A ↔ B
Luego podemos decir que la equivalencia es la validez
del bicondicional: dos proposiciones son equivalentes si, para toda interpretación, adoptan el mismo valor de verdad
Sólo aquellos bicondicionales que sean válidos son
Más dificultades
Como era de esperar (ya que el bicondicional
es definible en términos del condicional y la conjunción), aunque con la definición anterior evitemos las paradojas mencionadas, surgen otras dificultades:
– Todas las fbfs válidas serían equivalentes
– Todas las fbfs insatisfacibles también lo serían
De nuevo hay que decir que si por
“equivalencia” entendemos “equivalencia veritativo-funcional”, esto es plenamente admisible; pero, en cualquier caso, no resulta del todo satisfactorio
La implicación estricta
Frente a la implicación material de Russell,
Lewis (1932) sostuvo la necesidad de definir una implicación estricta:
– Una fbf implica estrictamente otra cuando no sólo
no es el caso, sino que es imposible que sea el caso de que el antecedente sea verdadero y el consecuente falso
Pero esto implica introducir una noción modal
(la de imposibilidad), que no es definible veritativo-funcionalmente
Clarence I. Lewis
La implicación relevante
Lo mismo ocurre con la propuesta de
Anderson y Belnap (1962) de definir un concepto de implicación relevante:
– Además de lo establecido para la implicación
estricta de Lewis, para que tengamos una verdadera implicación el antecedente ha de ser relevante (o pertinente) para el consecuente Pero la lógica de la relevancia implica el
rechazo de buena parte de las leyes clásicas, con lo que también entramos, por otro
Alan R. Anderson y Nuel Belnap
Más aclaraciones
Entre las presentaciones que se
encuentran la web de la asignatura existe
un documento titulado
– “El condicional en lógica elemental”