Tipo Discreta Continua Continua Discreta Discreta Continua

1. Clasifique las siguientes variables aleatorias como discretas o continuas:

X: el número de accidentes automovilísticos que ocurren al año en Virginia.

Y: el tiempo para jugar 18 hoyos de golf.

M: la cantidad de leche que una vaca específica produce anualmente.

N: el número de huevos que una gallina pone mensualmente.

P: el número de permisos para construcción que los funcionarios de una ciudad emiten cada mes.

Q: el peso del grano producido por acre.

Solución

Variable

Aleatoria X Y M

N

P

Q

Tipo Discreta Continua Continua Discreta Discreta Continua

2.Un embarque foráneo de 5 automóviles extranjeros contiene 2 que tienen ligeras manchas de pintura. Suponga que una agencia recibe 3 de estos automóviles al azar y liste los elementos del espacio muestral S usando las letras M y N para “manchado” y “sin mancha”, respectivamente; luego asigne a cada punto muestral un valor x de la variable aleatoria X que representa el número de automóviles con manchas de pintura que compró la agencia.

Solución

Una tabla de espacio muestral y valores asignados a la variable aleatoria “x” se presentan a continuación

Espacio

muestral NNN NNM NMN MNN NMM MNM MMN MMM

x 0 1 1 1 2 2 2 3

3.Sea W la variable aleatoria que da el número de caras menos el número de cruces en tres lanzamientos de una moneda. Liste los elementos del espacio muestral S para los tres lanzamientos de la moneda y asigne un valor w de W a cada punto muestral.

Solución

Una tabla de espacio muestral y valores asignados a la variable aleatoria “w” se presentan a continuación

Espacio

muestral CCC CCT CTC TCC CTT TCT TTC TTT

w 3 1 1 1 -1 -1 -1 -3

4.Se lanza una moneda hasta que se presentan 3 caras sucesivamente. Liste sólo aquellos elementos del espacio muestral que requieren 6 o menos lanzamientos. ¿Es éste un espacio muestral discreto? Explique su respuesta

Solución

S = {CCC, TCCC, CTCCC, TTCCC, TTTCCC, CTTCCC, TCTCCC, CCTCCC, . . .};

El espacio muestral es discreto porque va conteniendo muchos elementos con enteros positivos 5.Determine el valor c de modo que cada una de las siguientes funciones sirva como distribución de probabilidad de la variable aleatoria discreta X:

a) f (x) = c (𝑥2+4), para x = 0, 1, 2, 3; b) f (x) = c

(

_𝑥2

)(

_3−𝑥3

)

x = 0, 1, 2.

Solución

Ejercicio # a

x=0 x=1 x=2 x=3 Suma c P(c) P(c) c (𝒙𝟐_{+4) 4c 5c 8c 13c 30c 30c=1 c=}1 30

Ejercicio # b

x=0 x=1 x=2 Suma c P(c) P(c)

c

(

𝟐_𝒙

)(

_𝟑−𝒙𝟑

)

1c 6c 3c 10c 10c=1

c=

1 10

6.La vida útil, en días, para frascos de cierta medicina de prescripción es una variable aleatoria que tiene la siguiente función de densidad:

𝑓𝑥 = {

20000

(𝑥 + 100)

3

0

𝑥 > 0,

𝐸𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜

Calcule la probabilidad de que un frasco de esta medicina tenga una vida útil de

a) al menos 200 días;

b) cualquier lapso entre 80 y 120 días.

Solución

Ejercicio # a

𝑃(𝑋 > 200) =

∫

_(𝑥+100)200003

𝑑𝑥

∞ 200

= −

10000 (𝑥+100)2 | | 200 ∞

=

1 9

Ejercicio # b

𝑃(80 < 𝑋 < 120) =

∫

∞ 20000

𝑑𝑥

= −

10000 |120

= −

25

+

25

=

1000

7.El número total de horas, medidas en unidades de 100 horas, que una familia utiliza una aspiradora en un periodo de un año es una variable aleatoria continua X que tiene la siguiente función de densidad:

𝑓𝑥 = {

𝑥

2 − 𝑥

0

0 < 𝑥 < 1

1 ≤ 𝑥 < 2

𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜

Calcule la probabilidad de que en un periodo de un año una familia utilice su aspiradora a) menos de 120 horas;

b) entre 50 y 100 horas.

Solución

Por cada 100 horas “x” es igual a 1

Ejercicio # a

P(X < 1.2) = ∫

𝑥𝑑𝑥

1 0

+

∫ (

2 − x

)

dx

1.2 1

=

𝑥

2

2

|

|

0 1

+

(

2𝑥 −

𝑥

2

2

)

|

|

1 1.2

=

1

2

+

42

25

−

3

2

=

17

25

Ejercicio # b

P(0.5 < X < 1) = ∫

𝑥𝑑𝑥

1 0.5

=

𝑥

2

2

|

|

0.5 1

=

1

2

−

1

8

=

3

8

8.Obtenga la distribución de probabilidad de la variable aleatoria W del ejercicio 3.3; suponga que la moneda está cargada, de manera que existe el doble de probabilidad de que ocurra una cara que una cruz. “C: caras” “T: cruz”

Solución

Refiriéndose al espacio muestral del ejercicio 3.3 y haciendo uso del hecho de que P(C)=2/3 y P(T)=1/3, tenemos 𝑃(𝑊 = −3) = 𝑃(𝑇𝑇𝑇) = (1 3) 3 = 1 27 𝑃(𝑊 = −1) = 𝑃(𝐶𝑇𝑇) + 𝑃(𝑇𝐶𝑇) + 𝑃(𝑇𝑇𝐶) = (2 3) ( 1 3) 2 + (2 3) ( 1 3) 2 + (2 3) ( 1 3) 2 = 3 (2 3) ( 1 3) 2 =2 9 𝑃(𝑊 = 1) = 𝑃(𝐶𝐶𝑇) + 𝑃(𝑇𝐶𝐶) + 𝑃(𝐶𝑇𝐶) = (1 3) ( 2 3) 2 + (1 3) ( 2 3) 2 + (1 3) ( 2 3) 2 = 3 (1 3) ( 2 3) 2 =4 9 𝑃(𝑊 = 3) = 𝑃(𝑇𝑇𝑇) = (2 3) 3 = 8 27

La distribución de probabilidad para W es entonces

w=-3 w=-1 w=1 w=3 𝑷(𝑾)

𝑷(𝑾 = 𝒘)

1 27 2 9 4 9 8 27 1

9.La proporción de personas que responden a cierta encuesta enviada por correo es una variable aleatoria continua X que tiene la siguiente función de densidad:

𝑓𝑥 =

{

2(𝑥 + 2)

5

0

0 < 𝑥 < 1,

𝐸𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜

a) Demuestre que 𝑃(0 < 𝑋 < 1) = 1.

b) Calcule la probabilidad de que más de 1

4 pero menos de 1

2 de las personas contactadas respondan a este tipo de encuesta.

Solución

Ejercicio # a

P(0 < X < 1) = ∫

2(𝑥 + 2)

5

𝑑𝑥

1 0

=

(

𝑥

2

_{+ 4𝑥}

5

)

|

|

0 1

= 1

Ejercicio # b

P (1 4< X < 1 2) = ∫

2(𝑥 + 2)

5

𝑑𝑥

1 2 1 4

=

(

𝑥

2

_{+ 4𝑥}

5

)

|

|

1 4 1 2

=

9

20

−

17

80

=

19

80

10.Encuentre una fórmula para la distribución de probabilidad de la variable aleatoria X que represente el resultado cuando se lanza un dado una vez.

Solución

El dado puede aterrizar en 6 maneras diferentes cada uno con probabilidad 1

6 . Por lo tanto,

𝐹(𝑥) =1

6 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 1, 2, 3, 4, 5, 6

11.Un embarque de 7 televisores contiene 2 unidades defectuosas. Un hotel compra 3 de los televisores al azar. Si x es el número de unidades defectuosas que compra el hotel, calcule la distribución de probabilidad de X. Exprese los resultados de forma gráfica como un histograma de probabilidad.

Solución

Podemos seleccionar x televisores defectuosos de 2, y 3 - x televisores buenos de 5 en (2 𝑥)(

5 3−𝑥) maneras. Una selección aleatoria de 3 de 7 televisores se puede hacer en (7

3) maneras. Por lo tanto,

𝑓(𝑥) =( 2 𝑥)(3−𝑥5 ) (7₃) 𝑥 = 0, 1, 2 En forma tabular x=0 x=1 x=2 P(X) 2 4 1