8. Espacio vectorial con producto escalar

Texto completo

(1)

8. Espacio vectorial con producto escalar

Productos escalares

Ejercicio 8.1. Demuestre que siPes una matriz invertiblen×nsobreCyPes su matriz traspuesta conjugada entonces la aplicación siguiente es un producto escalar,

Cn×Cn C, (v,w) 7→ v∗PPw.

Ejercicio 8.2. Determine qué propiedades de un producto escalar satisfacen las siguientes aplicaciones: 1. Considérense el espacio vectorialV=K[x] y un escalarαK,

V×V → K, (p,q) 7→ p(q(α)). 2. SeaV=M(n×n,K) el espacio vectorial de matricesn×nsobreK,

V×V → K, (A,B) 7→ n X i=1 aiibii.

3. SiK=RyV es el espacio vectorial de funciones continuas [0,1]R, V×V → R,

(f,g) 7→

Z1

0 f(x)g(1−x)d x.

Ejercicio 8.3. Demuestre que una matrizDdiagonal realn×ndefine un producto escalar, Rn×Rn R,

(v,w) 7→ vtDw,

si y solamente si todos los números de la diagonal son reales y positivos.

Norma

Ejercicio 8.4. Para los vectores

x=     2 1 −4 −2    ,y=     1+i 1−i 1 4i    ∈ C4, calcule kxk2,kyk2,〈x|y〉,〈y|x〉.

Ejercicio 8.5. Seana1,... ,an,b1,... ,bn,c1,... ,cnnúmeros reales, conci>0 para todoi=1,... ,n.

1. Pruebe que la aplicación definida enRn×Rncomo

〈    a1 .. . an   |    b1 .. . bn   〉 = n X i=1 ciaibi. es un producto escalar.

2. Deduzca, mediante la desigualdad CBS aplicada a este producto escalar, que

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ n X i=1 ciaibi ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ≤ Ãs n X i=1 ciai2 ! Ãs n X i=1 cib2i ! .

(2)

Ejercicio 8.6. Seana,b,cnúmeros reales positivos.

1. Con el producto escalar estándar enR3, aplique la desigualdad CBS a los vectores

v=p 1 a+b+c   p a+b p a+c p b+c  yw=   1 1 1  . 2. Deduzca que s a+b a+b+c+ r a+c a+b+c+ s b+c a+b+c≤ p 6. Ejercicio 8.7. Seana,c∈R. Consideremos la matriz

D=

µ p

3 1

0 p2

y el producto escalar enR2definido porv|w〉 =wtDtDv. Aplique la desigualdad CBS a los vectores

µ a p 3 ¶ , µ c p 3 ¶

para deducir que

(ac+a+c+3)2≤(a2+2a+3)(c2+2c+3).

Ejercicio 8.8. Seaf ∈End(V), conVun espacio vectorial con producto escalar. Si existec∈R,0<c<1 tal que°°f(v) ° °≤ckvk

para todov∈V, entoncesf+idV es inyectiva.

Ejercicio 8.9. SeaAn×nuna matriz compleja hermitiana no nula. Pruebe queAk6=Opara todo entero positivok.

Ejercicio 8.10. SeaV=M(n×n,K) elC-espacio vectorial de matricesn×nsobreC, donde definimos V×V → K, (A,B) 7→ traza(A∗B)=Xn i=1 n X j=1 ai jbi j.

Pruebe que es un producto escalar ykAk2=Pn i=1

Pn

j=1|ai j|2.

Ortogonalidad

Ejercicio 8.11. Con el producto escalar estándar, determine cuáles de los siguientes pares de vectores son ortogonales en el espacio indicado. 1. (1,−3,4)ty (2,2,2)tenR3. 2. (i,1+i,2,1−i)ty (0,1+i,2,1i)tenC4. 3. (1,−2,3,4)t y (4,2, −1,1)tenR4. 4. (1+i,1,i)ty (1i,−3,−i)tenC3.

Ejercicio 8.12. Calcule dos vectores unitarios que sean ortogonales a (3,−2)t.

Ejercicio 8.13. Consideremos enR4el conjunto de vectores

       w1=     1 −1 0 2    , w2=     1 1 1 0    , w3=     −1 −1 2 0            .

(3)

2. Calcule un vectorw4no nulo tal que {w1,w2,w3,w4} sea un conjunto ortogonal. 3. Transforme dicho conjunto en una base ortonormal deR4.

Ejercicio 8.14. Calcule las coordenadas del vectorx=(1,0,−2)tR3respecto de la base ortonormal

B=    1 p 2   1 −1 0  , 1 p 3   1 1 1  , 1 p 6   −1 −1 2      .

Ejercicio 8.15. Pruebe que el siguiente conjuntoBes una base ortonormal deR3, y escriba el vectorvcomo combinación lineal de los vectores de dicha base:

B=                 1 p2 1 p 2 0      ,       −p1 6 1 p 6 2 p6       ,       1 p 3 −p1 3 1 p3                  ,v=   10 0 −20  .

Ejercicio 8.16. Consideremos enV=R2los vectores

u1= µ 1 0 ¶ ,u2= µ 1 −1 ¶ . Calcule un producto escalar enV tal queB={u1,u2} sea una base ortonormal. Ejercicio 8.17. Se considera el espacio vectorial

V = ½µ a b 0 c ¶ |a,b,c∈R ¾ ⊂M(2×2,R) y la aplicaciónϕ:V×V−→Rdefinida porϕ(X,Y)=traza(Xt·Y).

1. Demuestre queϕes un producto escalar. 2. Se considera la base deV, C= ½ U1= µ 1 0 0 0 ¶ ,U2= µ 0 1 0 0 ¶ ,U3= µ 0 0 0 1 ¶¾ . ¿EsCuna base ortonormal deV (respecto deϕ)?

Matrices unitarias

Ejercicio 8.18. Calcule una matriz ortogonal que tenga a los vectoresu1,u2como sus primeras columnas, donde

u1=     1 3 2 3 2 3     ,u2=      −p2 5 1 p 5 0      .

Ejercicio 8.19. Seavn×1un vector no nulo. La matriz

H(v)=In−2

v·v∗ v∗v

de ordennse denominamatriz o transformación de Householderdel vectorv.

SiHes una matriz de Householder, entonces es unitaria, hermitiana, e involutiva (H2=I). Esto es, H=H∗=H−1.

(4)

Sixn×1es un vector cuya primera componentex16=0, y si u=x±µkxke1, dondeµ=

½

1 six1es real, x1/|x1| six1no es real, se usa para construir la matriz de HouseholderH(u), entonces

H(u)x= ∓µkxke1.

Ejercicio 8.20. 1. SeaJnla matriz cuadrada de ordenncon todos sus elementos iguales a 1. Pruebe que la matrizIn−2nJn

es ortogonal.

2. SeaH(n)la matriz cuadrada de ordenncuyas filas son de la forma H1(n)=p1 n ¡ 1 ... 1 ¢ , Hk(n) ∗ = 1 p k(k−1) ¡ 1 1 k...−1 1 1k 0 ... 0 ¢ , 2≤kn.

Pruebe queH(n)es ortogonal. Sea ˆHla submatriz deH(n)formada por las últimasn−1 filas. Pruebe que ˆHHˆt=In−1y ˆ

HtHˆ=In−1nJn.

Las matricesH(n)se denominan matrices de Helmert y se utilizan en diseños de experimentos. Ejercicio 8.21. SeaAuna matriz real antisimétrica, es decir,At= −A. Pruebe que

1. null(I+A)=0y deduzca que existen (I+A)−1y (IA)−1. 2. (I−A)(I+A)−1=(I+A)−1(I−A).

3. U=(I−A)(I+A)−1es ortogonal.

Ejercicio 8.22.SeanUyVmatrices unitarias del mismo orden. Pruebe que el productoUVes una matriz unitaria. Mediante un ejemplo con matrices 2×2, calcule matrices unitarias cuya suma no sea unitaria.

Ejercicio 8.23. 1. Determine las condiciones sobre los números realesαyβpara que la matriz P= µ α+β βα αβ β+α ¶ sea ortogonal.

2. Determine las condiciones sobre los números realesαyβpara que la matriz

U=     0 α 0 α 0 0 0 0 α 0 α 0     sea unitaria.

Ejercicio 8.24. Seaxun vector real dencomponentes ykxk =1 y partimosxen la forma

x= µ x1 ˆ x ¶ , donde ˆxes de ordenn−1. Pruebe que six16=1 entonces la matriz

P= µ x1t ˆ x Iαxˆxˆt ¶ , dondeα=1 1 −x1

es una matriz ortogonal. Deduzca de lo anterior un método para extender un vector unitario a una base ortonormal. Ejercicio 8.25. Calcule una base ortonormal deR4que contenga al vector unitarioa=1

(5)

Ejercicio 8.26. Sean>1 yw1∈Rnun vector unitario con todas sus componentes positivas. Sea 1k<ny escribamos w1= µ u v ¶ , dondeu∈RkyvRnk. Seaa=kvk kuky definimos el vector enR ndado por w2= µ au −a−1v ¶ . 1. Pruebe quew2⊥w1y es unitario.

2. Describa un procedimiento que de forma similar se aplique a los vectoresauy−a−1vy permita construir una base ortonormal de vectores {w1,w2,... ,wn}.

Ejercicio 8.27. SeaAuna matriz real de ordenntal que la suma de los cuadrados de los elementos de cada fila es igual a 1 y que cada fila es ortogonal a las demás. Pruebe que la suma de los cuadrados de los elementos de cada columna es igual a 1 y que cada columna es ortogonal a las demás.

Método de Gram-Schmidt

Ejercicio 8.28. Calcule, mediante Gram-Schmidt, una base ortonormal del espacio de columnas de la matriz

A=     1 0 0 1 1 1 1 2 4 1 −1 1    .

Ejercicio 8.29. Consideremos la aplicaciónf lineal definida por la matriz

A=     −12 −12 −24 2 2 4 8 8 16    

respecto de la base estándar deR3.

1. Calcule una base ortonormal de null(A).

2. Amplíe dicha base a una base ortonormalBdeR3. 3. Calcule la matriz def respecto de la nueva baseB.

Ejercicio 8.30. Aplique Gram-Schmidt para calcular una base ortonormal del espacioL= 〈x1,x2,x3〉, donde

x1=     1 1 1 −1    ,x2=     2 −1 −1 1    ,x3=     −1 2 2 1    .

Ejercicio 8.31. Aplique Gram-Schmidt para calcular una base ortonormal enC3del espacioS= 〈x1,x2,x3, donde

x1=   i i i  ,x2=   0 i i  ,x3=   0 0 i  .

Ejercicio 8.32. Calcule una base ortonormal del espacio de columnas de la matriz

A=         1 1 0 0 2 1 0 0 0 −1 −1 0         .

(6)

Ejercicio 8.33. Aplique el proceso de Gram-Schmidt a a1=   0 0 1  ,a2=   0 1 1  ,a3=   1 1 1  .

Ejercicio 8.34. Calcule, mediante Gram-Schmidt, una base ortonormal del espacio de columnas de la matriz

A=     1 0 0 1 1 1 1 2 4 1 3 9     .

Ejercicio 8.35. Consideremos la aplicaciónf lineal definida por la matriz

A=     36 −45 9 −108 135 −27 12 −15 3    

respecto a la base estándar deR3.

1. Calcule una base ortonormal de null(A).

2. Amplíe dicha base a una base ortonormalBdeR3. 3. Calcule la matriz def respecto de la nueva baseB. Ejercicio 8.36. Consideremos la matriz

A=     1 2 0 −1 1 −1 3 2 1 −1 3 2 −1 1 −3 1     .

1. CalculeB1una base ortonormal de null(A). 2. CalculeB2una base ortonormal de Col(A).

3. ConsideremosLel espacio vectorial generado porB1B2. Pruebe queL6=R4. Ejercicio 8.37. EnR4consideramos los vectores

w1=     6 0 −2 3    ,w2=     −2 4 4 2    ,w3=     0 5 −1 53/10    .

Mediante Gram-Schmidt, construya una base ortonormal del subespacio vectorial〈w1,w2,w3〉. Calcule una base

ortonor-mal deR4que contenga a dicha base.

Ejercicio 8.38. Calcule una base ortonormal de null(Ai), donde

A1=     2 1 −6 2 1 2 −3 4 1 1 −3 2     , A2=   1 1 −3 −2 2 −1 0 −1 3 1 −5 −4  , A3= " 1 1 −1 −1 2 1 −2 −2 # , A4= µ 1 −1 1 1 1 −2 1 1 ¶ , A5=¡ 1 3 −3 ¢ , A6=¡ 1 −2 1 ¢ . Ejercicio 8.39. Calcule una base ortonormal del espacio de columnas de la matriz

  1 0 1 −1/2 −2 2 −1 1 0  .

(7)

Ejercicio 8.40. Calcule una matriz ortogonal o unitaria que incluya a los siguientes vectores ortonormales en sus columnas: 1 p 6(1,2,−1) t,p1 3(−1,1,1) t. 1 5(−4,3)t. (0,i)t.

Ejercicio 8.41. Consideremos las matrices A=   1 0 0 1 1 0  ,B=   1 2 0 1 1 0  .

Calcule una base ortonormal de cada uno de los espacios de columnas.

Ejercicio 8.42. Sea (V,〈|〉) un espacio vectorial euclídeo yB={u1,u2,u3,u4,u5} una base ortonormal. Consideremos el endomorfismo definido con respecto aBpor la matriz

A=       −1 0 0 b 0 0 −1 0 0 0 0 0 3/5 0 4/5 0 b 0 −1 0 0 0 −4/5 0 3/5       , conb∈R.

Sus autovalores sonλ1= −1,λ2=35+i45,λ3=λ2, de multiplicidades algebraicas 3,1,1, respectivamente. 1. Calcule la forma canónica compleja deAy una base canónica según los valores deb.

2. Determine para qué valores debla matrizAes ortogonal. 3. Consideremos las matrices reales

J1=     a1 a2 1 0 −a2 a1 0 1 0 0 a1 a2 0 0 −a2 a1     ,J2=     a1a2 1 0 a2 a1 0 1 0 0 a1a2 0 0 a2 a1     .

Pruebe queJ1yJ2son semejantes mediante una matriz ortogonal con coeficientes reales. Ejercicio 8.43. Consideremos el sistemaAx=b, donde

A=     1 1 1 1 −1 2 −1 1 0 1 5 1     ,b=     1 −1 −1 1     .

1. Calcule una base ortonormal del espacio de columnas de la matrizA. 2. Determine la proyección ortogonal debsobre el subespacio Col(A). Ejercicio 8.44. Consideremos el sistemaAx=b, donde

A=         2 1 2 1 −1 1 4 1         ,b=         8 4 0 13         .

1. Calcule una base ortonormal del espacio de columnas de la matrizA. 2. Determine la proyección ortogonal debsobre el subespacio Col(A).

(8)

Descomposición ortogonal

Ejercicio 8.45. Calcule una base deW⊥para los siguientes espacios: W = 〈(1,−1,2,0)t,(2,0,−1,1)t〉 ⊂R4.

W = 〈(1,−1,2)t〉 ⊂R3. W = 〈(1,0,2)t,(0,2,1)t〉 ⊂R3.

Ejercicio 8.46. 1. Calcule el complemento ortogonal del espacio nulo de la matriz¡

3 2 −1 ¢.

2. Calcule una base ortonormal del espacioL, donde

L= 〈v1=     1 3 1 −1    ,v2=     2 7 2 1    ,v3=     1 4 1 2    〉.

Ejercicio 8.47. Halle una base ortonormal de cada uno de los siguientes subespacios deR4, con respecto al producto escalar estándar.

W1= 〈(1,1,0,0)t,(1,0,1,2)t,(1,2,−1,−2)t〉,

W2:x1x2+x4=0,

W3=W1W2.

Halle también una base ortonormal de los complementos ortogonales de estos subespacios. Asimismo, calcule las coorde-nadas de los generadores deW1respecto de su base ortonormal hallada.

Ejercicio 8.48.Calcule unas ecuaciones implícitas independientes de los complementos ortogonales de los siguientes subes-pacios deR4, con respecto al producto escalar estándar.

1. W: ½ x1 + x2 + x3 + x4 = 0 x1x2 + x3x4 = 0 2. W:    x1 + x3 + x4 = 0 x2 + x3 + x4 = 0 x1x2 = 0 3. Wx1x2 + x3 + x4 = 0 4. W:    x1 + 2x2 − 3x3 + x4 = 0 x2x3x4 = 0 x1x2 + x4 = 0

Ejercicio 8.49. Consideremos los subespacios vectoriales deR3definidos por U1= 〈(1,2,1)t,(2,1,0)t

〉,V1= 〈(1,1,1)t,(1,1,3)t

〉. 1. CalculeUyV.

2. Calcule una baseB1deU+V.

3. SeaAla matriz formada por los elementos deB1. Calcule una base de null(At). 4. Deduzca una base deUV, a partir de la relaciónUV =(U⊥+V).

Ejercicio 8.50. Consideremos los subespacios vectoriales deR4definidos por

U= 〈(1,2,1,2)t,(0,1,0,1)t〉,V= 〈(1,1,1,1)t,(1,2,1,0)t〉.

1. CalculeU⊥yV⊥.

2. Calcule una baseB1deU+V.

(9)

4. Deduzca una base deUV, a partir de la relaciónUV =(U⊥+V⊥)⊥.

Ejercicio 8.51. Las matrices con la propiedad AA=A A∗se llaman normales. Tanto las matrices hermitianas como las simétricas reales son normales. Pruebe que siAes normal, entonces Col(A)⊥null(A)

Ejercicio 8.52. Consideremos los vectores

u1=         1/2 1/2 1/2 1/2         ,u2=         1 6 p 6 1 6 p 6 0 −13p6         .

Pruebe que {u1,u2} es un conjunto ortonormal. Amplíe dicho conjunto a una base ortonormal deR4. Ejercicio 8.53. Calcule una base ortonormal deR3que contenga a las columnas de la matriz

Q=      1/2p2 1/3p3 0 1/3p3 1/2p2 −1/3p3      .

Ejercicio 8.54. Los siguientes enunciados se refieren a vectores enRncon el producto escalar estándar. Marque cada enun-ciado como verdadero o falso, y justifique cada respuesta.

1. Si dos vectores son ortogonales, entonces forman un conjunto linealmente independiente.

2. Si dos vectores forman un conjunto ortogonal, entonces forman un conjunto linealmente independiente. 3. Si el vectorxes ortogonal a los vectoresuyv, entoncesxes ortogonal au−v.

4. Siu,v6=0yku+vk2= kuk2+ kvk2, entoncesuyvson ortogonales. 5. Siu,v6=0ykuvk2= kuk2+ kvk2, entoncesuyvson ortogonales.

6. El conjunto de todos los vectores enRnortogonales a uno dado es un subespacio vectorial deRn.

7. Si {v1,v2,v3} es un conjunto ortogonal, yc1,c2,c3∈R, entonces {c1v1,c2v2,c3v3} es un conjunto ortogonal. 8. Si una matrizUcuadrada tiene sus columnas ortonormales, entoncesUUt=I.

9. Una matriz cuadrada con columnas ortogonales es una matriz ortogonal.

Ejercicio 8.55. Decimos que una matriz cuadrada complejaC∈M(n×n,C) es rango-hermitiana si Col(C)=Col(C∗). 1. Pruebe queCes rango-hermitiana si y solamente si null(C)=null(C∗).

2. Sean A,B∈M(n×n,C) conr=rango(A)=rango(B). Pruebe que si dim(Col(A)Col(B))=k, entonces dim(Col(A)+ Col(B))=2r−k.

3. SeanA,B∈M(n×n,C) matrices rango-hermitianas. Pruebe que

(Col(A)+Col(B))⊥=null(A)null(B).

4. Sean A,B∈M(n×n,C) conr =rango(A)=rango(B) y ambas rango-hermitianas. SeanW1yW2subespacios deCn tales que

Col(A)=(Col(A)∩Col(B))⊕W1,null(A)=(null(A)∩null(B))⊕W2.

Pruebe que dimW1=dimW2.

Ejercicio 8.56. Consideremos la aplicación linealf :R5R4dada por la matriz

A=         1 2 3 2 1 3 6 9 6 3 1 2 4 1 2 2 4 9 1 2         ,f(v)=Av.

(10)

1. Calcule una base de null(A) y otra de Col(A).

2. Calcule una base de null(A)y obtenga una baseBdeR5que la contenga. Ejercicio 8.57. 1. Sean A=   1 2 1 −1 2 1  ,b=   1 1 1  .

a) Verifique que el sistemaAtAx=Atbtiene solución única, que llamamosu. b) Pruebe queAtues la proyección ortogonal debsobre Col(A).

2. SeaAm×nuna matriz real con rango(A)=n.

a)

b) Verifique que el sistemaAtAx=Atbtiene solución única, que llamamosu. c) Pruebe queAtues la proyección ortogonal debsobre Col(A).

Ejercicio 8.58. Sea (V,〈·|·〉) unC-espacio vectorial de dimensión 4 con producto escalar yT ={v1,v2,v3,v4} un conjunto ortogonal enV. Pruebe que

1. Tes una base.

2. 〈v1,v2〉 ∩ 〈v2,v4〉⊥= 〈v1〉.

Ejercicio 8.59. Sea (V,〈·|·〉) unC-espacio vectorial con producto escalar de dimensión finitanyWV un subespacio, con BW ={w1,... ,wr} una base ortogonal deW. Pruebe que si {w1,... ,wr,wr+1,... ,wn} es una base ortogonal deV, entonces {wr+1,... ,wn} es una base deW⊥.

Isometrías

Ejercicio 8.60. Sea (V,〈·|·〉) unR-espacio vectorial euclídeo, donde fijamos un vectoryVno nulo. Definimos la aplicación fy:VV dada por

fy(v)= −v+2

〈v|y〉 〈y|y〉y.

Pruebe quefyes una isometría y calculefy2.

Ejercicio 8.61. Sea (V,〈,〉) un espacio vectorial euclídeo, con dimV =n. SiWV es un subespacio vectorial no trivial, expresamos cadav∈V comov=v1+v2, dondev1∈W,v2∈W⊥. Definimos la aplicaciónsW:VV comosW(v)=v1−v2. Pruebe quesW es una isometría.

Dadoa∈V no nulo, se defineh(v)= −v+2〈v|a〉

〈a|a〉a. Pruebe queh=sW paraW= 〈a〉.

Ejercicio 8.62. SeaW elR-espacio vectorial formado por las matricesAM(3×3,R) tales queAt= −A(matrices antisimé-tricas).

1. Pruebe que dimW=3.

2. Definimos〈A|B〉 =12traza(ABt). Pruebe que〈·|·〉es un producto escalar enW.

3. SeaV=R3con el producto escalar estándar yf :VW definida como

f :   a b c  7→   0 −c b c 0 −ab a 0  .

Pruebe quef es una isometría.

Ejercicio 8.63. Si f :VW es un homomorfismo de espacios vectoriales euclídeos de dimensión finita, sabemos que son equivalentes las condiciones de f isometría y f isometría e isomorfismo. Sin embargo, esto no es cierto en espacios de dimensión infinita. ConsideremosV =C([0,1]), donde definimos el producto escalar〈f|gV =

R1

0 f(x)g(x)x2d x, yW = C([0,1]) con el producto escalar〈f|gW=

R1

(11)

1. Pruebe queFes una isometría.

2. Pruebe que la funciónf(x)=x2+1 no pertenece a la imagen deF, por lo queFno es isomorfismo.

Ejercicio 8.64. SeanV =M(n×n,R) yW =RN, conN=n2. Consideramos enV el producto escalar definido porA|B〉 = traza(AtB) y enW el producto escalar estándar.

1. Pruebe que siA=(ai j)∈V, entonceskAk2=Pi,ja2i j.

2. SeaQuna matriz ortogonal deV. Pruebe quekAQk = kQ Ak = kAk.

3. Definimos la aplicaciónΦ:VW dada porΦ(A)=vec(A), donde vec(A) es el vector deW que se obtiene apilando las columnas deA. Pruebe queΦes una isometría.

Ejercicio 8.65. Sea (V,〈·|·〉) un espacio vectorial euclídeo de dimensiónn≥2 yu6=0. EntoncesV = 〈u〉 ⊕ 〈uy cada vector v∈V se descompone comov=u1+u2, conu1∈ 〈u〉,u2∈ 〈u〉⊥=W. Definimos la isometríasW :VV comosW(v)=

u1−u2, que además verifica

sW(v)=v−2〈v|u〉

〈u|u〉u.

Pruebe las siguientes propiedades desW.

1. sWes una isometría de determinante igual a−1.

2. sWtiene el autovalor 1 con multiplicidadn−1 y el autovalor−1 de multiplicidad 1. No tiene, por tanto, más autovalores.

3. Existe una base ortonormalBdeV tal queMB(sW)=¡In−1 0

0 −1

¢

.

4. Existe una descomposiciónV=U1U2, dondeU1=ker(idVsW),U2=ker(−idVsW).

5. sWsW=idV.

6. Sin=2 yf :V→Ves una isometría de determinante igual a−1, entonces existeu6=0tal quef =sWparaW= 〈u⊥. 7. Sin=2 yg:VV es una isometría de determinante igual a 1, entoncesg=sWsW′para ciertosW= 〈u〉⊥,W′= 〈u′〉⊥.

8. SeaUV un subespacio vectorial con dimU=2 yf :U→Uuna isometría de determinante igual a−1. Prolongamos

a un endomorfismo ¯f :VVdefinido como

(¯

f(v)=f(v) siv∈U,

v siv∈U⊥,

y se extiende por linealidad. Pruebe que ¯f es una isometría deV, con autovalor 1 de multiplicidadn−1 y autovalor−1

con multiplicidad 1.

Ejercicio 8.66. SeaV=R2con el producto escalar estándar. Encuentre un homomorfismof :VV, que no sea isometría, tal que para cualquier base ortogonalB={u1,u2} deR2se verifica que {f(u1),f(u2)} es una base ortogonal.

Ejercicio 8.67. SeaAla matriz compleja

A=   0 i 0 −i 0 0 0 0 1  ,

yf :C3C3el homomorfismo definido porf(v)=Av. Consideramos el producto escalar estándar enC3. ¿Esf una isome-tría? ¿Esf biyectivo?

Sea (V,〈·|·〉) unR-espacio vectorial con producto escalar de dimensión finita y f :V V una isometría. SeaW V un subespacio invariante, es decir,f(W)⊂W.

1. Pruebe quef(W)=W.

(12)

* Mínimos cuadrados

Ejercicio 8.68. Halle la proyección ortogonal debsobre〈v1,v2,v3〉, siendo

b=     1 1 1 1     ,v1=     1 2 0 1     ,v2=     0 1 1 0     ,v3=     1 1 −1 1     .

Ejercicio 8.69. Sea (V,〈·|·〉) un espacio vectorial de dimensión finita con producto escalar,WV un subespacio vectorial y

v∈V un vector fijado. SiBW={w1,... ,wr} es una base ortogonal del subespacioW, definimos pW(v)=〈 w1|v〉 kw1k2 w1+ ··· +〈wr|v〉 kwrk2 wr. 1. Pruebe quevpW(v)∈W⊥.

2. Demuestre que siw′∈W, distinto depW(v), entonces

° °v−w′ ° °> ° °v−pW(v) ° °.

Ejercicio 8.70.ConsideremosCncon la estructura euclídea natural,Am

×nuna matriz yb∈Knun vector. Llamamossolución

mínimo cuadráticadel sistemaAx=ba un vectoru∈Cnque haga mínima la normakAubk, o lo que es equivalente, que minimice (Au−b)∗(Aub). Pruebe los siguientes resultados:

1. Las soluciones mínimo cuadráticas del sistemaAm×nx=bcoinciden con las soluciones del sistemaAAx=A∗b, que

es compatible. Este sistema de ecuaciones recibe el nombre deecuaciones normales.

2. SiAes de rango pleno por columnas, esto es, rango(A)=n, entonces existe una única solución mínimo cuadrática determinada porx=(A∗A)−1A∗b.

Ejercicio 8.71. Consideremos el sistemaAx=b, donde

A=   3 2 1 1 1 0 −1 0 −1  ,b=   2 0 1  .

Calcule las soluciones mínimo cuadráticas del sistema. Ejercicio 8.72. Consideremos el siguiente conjunto de datos:

ti 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

yi 1,1 1,2 1,3 1,3 1,4

1. Calcule la rectay=α0+α1tde mejor ajuste.

2. Calcule la parábolay=α0+α1t+α2t2de mejor ajuste.

Ejercicio 8.73. Consideremos un problema de ajuste por mínimos cuadradosAx=b, donde la matrizAes de la forma

A=       1 t1 1 t2 .. . ... 1 tn      

,tel vector con los datos experimentales,,ti6=tj,i6=j.

1. Estudie la forma de los coeficientes de la matriz de coeficientes del sistema de ecuaciones normales.

2. Hacemos el cambioyi=1s(tiE[y]), dondeses la desviación estándar (muestral o de la población, según se quiera),

para calcular el ajusteα0+α1yi=bi. Determine los coeficientes de la nueva matriz del sistema de ecuaciones normales.

Ejercicio 8.74. Ajuste el siguiente conjuntos de datos:

ti 1000 1050 1060 1080 1110 1130

(13)

con una aproximación lineal, sin centrado previo y con centrado.

Ejercicio 8.75. Sea Auna matriz de ordenm×nyb∈Rn. Pruebe quex2es una solución mínimo-cuadrática del sistema Ax=bsi y solamente six2es una parte de una solución del sistema ampliado

µ Im×m A At 0n×n ¶ µ x1 x2 ¶ = µ b 0 ¶ .

No es extraño encontrar problemas de mínimos cuadrados en los que la matrizAes muy grande pero contiene muchos ceros. Para esta situación, el anterior sistema ampliado contendrá menos entradas no nulas que el sistema de ecuaciones normales, y evitará los problemas de memoria que suelen dar los algoritmos de resolución. Además, se evita el cálculo de AtAque, como sabemos, puede producir problemas de mal condicionamiento.

Figure

Actualización...

Referencias

Actualización...