Fundamentos de las operaciones financieras

Fundamentos de las operaciones

financieras

1.5- Problemas Préstamos (Prof. González Catalá)

Parte 2 (del problema 21 al 40)

Autor:

Indice

1

PROBLEMAS PRÉSTAMOS

¡ERROR! MARCADOR NO DEFINIDO.

1.1 Problemas préstamos (Universidad de Granada) ¡Error! Marcador no definido.

1.2 Problemas préstamos (Universidad de Albacete) ¡Error! Marcador no definido.

1.3 Problemas préstamos (Universidad de León) ¡Error! Marcador no definido.

1.4 Problemas préstamos (Universidad de Sevilla) ¡Error! Marcador no definido.

5

Problemas préstamos

5.1

Problemas préstamos (V. González Catalá)

Problema 5.1-1

Construir el cuadro de amortización de un préstamo método alemán cuyas características financieras son: - Cuantía del capital nominal prestado 700.000 €

- Rédito constante anual anticipado concertado el 9 %. - Duración de la operación 10 años.

Se trata de un préstamo de términos amortizativos constantes (método alemán), y la cuota constante de interés prepagable. Se entiende que la tasa de interés dada está referida al inicio de cada período.

1 2 4

0

A[1] A[2] A[3]

Cp[3]*i[4] 1+i[4] Cp[2]*i[3] 1+i[3] Cp[1]*i[2] 1+i[2] x x x A[4] Cp[4]*i[5] 1+i[5] 10 A[n-1] Cp[n-1]*i[n] 1+i[n] x _x A[n] x i1 𝐶0− 𝐶0𝑖1 1 +𝑖1

Hallamos la tasa de interés equivalente a interés vencido.

El término amortizativo constante se obtiene resolviendo la ecuación de equivalencia respecto al inicio:

Para calcular el capital pendiente, planteamos la ecuación de equivalencia similar a la inicial, sustituyendo C0 por Cp[h]

h+1 n i1 [ 1] [ ] [ ] 1 [ 1] i h Cp h Cp h i h + − + + a[h+1] a[h] 𝐶𝑝[ℎ] − 𝐶𝑝[ℎ] 𝑖[ℎ + 1] 1 + 𝑖[ℎ + 1]= 𝐶𝑝[ℎ] [1 − 𝑖[ℎ + 1] 1 + 𝑖[ℎ + 1]] = 𝐶𝑝[ℎ] 1 + 𝑖[ℎ + 1]= ∑ 𝑎[𝑗] 𝑛 𝑗=ℎ+1 ∏ (1 + 𝑖[𝑘])−1 𝑗 𝑘=ℎ+1 Despejando: 𝐶𝑝[ℎ] = (1 + 𝑖[ℎ + 1]) ∑ 𝑎[𝑗] 𝑛 𝑗=ℎ+1 ∏ (1 + 𝑖[𝑘])−1 𝑗 𝑘=ℎ+1 C0 700 000; n 10;ip 0.09;i1 ip 1 ip 0.0989011 xx x . First NSolve C0 C0 i1 1 i₁ j1 n x k1 j 1 i1 1,x 103 180.

Tabla de amortización a h : xx; Cp h : 1 i1 jh1 n a j kh1 j 1 i1 1; h : Cp h 1 i1 1 i1 ; Interes adelantado A h : a h Cp h i1 1 i1

; Interés adelantado periodo siguiente

M h :

j1

h

A j ;

TableForm Table h, a h , h , A h , Cp h , M h , h, n ,

TableHeadings None, "Año", "a h ", "I h ", "A h ", "Cp h ", "M h "

Año a h I h A h Cp h M h 1 103 180. 63 000. 44 153.8 655 846. 44 153.8 2 103 180. 59 026.2 48 520.6 607 326. 92 674.4 3 103 180. 54 659.3 53 319.4 554 006. 145 994. 4 103 180. 49 860.6 58 592.7 495 414. 204 586. 5 103 180. 44 587.2 64 387.6 431 026. 268 974. 6 103 180. 38 792.3 70 755.6 360 270. 339 730. 7 103 180. 32 424.3 77 753.4 282 517. 417 483. 8 103 180. 25 426.5 85 443.3 197 074. 502 926. 9 103 180. 17 736.6 93 893.7 103 180. 596 820. 10 103 180. 9286.19 103 180. 0. 700 000.

Construir el cuadro de amortización de un préstamo concertado bajo las siguientes condiciones: - Capital nominal prestado 250.000 €

- Duración de la operación 8 años.

- Abono de intereses anticipados a rédito anual constante del 10%. - Amortización con cuotas de amortización anuales constantes.

Calculamos la tasa de interés vencido:

Determinamos las expresiones funcionales de los parámetros:

Tabla de amortización C0 250 000; n 8;ip 0.1;i1 ip 1 ip 0.111111 A h : C0 n ; M h : j1 h A j ; Cp h : C0 M h ; Interes adelantado h : Cp h 1 i1 1 i₁;

Interes adelantado período siguiente

a h : A h Cp h i1

1 i₁;

TableForm Table h, a h , h , A h , Cp h , M h , h, n ,

TableHeadings None, "Año", "a h ", "I h ", "A h ", "Cp h ", "M h "

Año a h I h A h Cp h M h 1 53 125. 25 000. 31 250 218 750 31 250 2 50 000. 21 875. 31 250 187 500 62 500 3 46 875. 18 750. 31 250 156 250 93 750 4 43 750. 15 625. 31 250 125 000 125 000 5 40 625. 12 500. 31 250 93 750 156 250 6 37 500. 9375. 31 250 62 500 187 500 7 34 375. 6250. 31 250 31 250 218 750 8 31 250. 3125. 31 250 0 250 000

Problema 5.1-3

Construir el cuadro de amortización de un préstamo cuyas características financieras son: - Capital prestado 300.000

- Duración de la operación 6 años.

-Abono de intereses semestrales a rédito variable de acuerdo con el siguiente plan:

𝑖₁(2)= 𝑖₂(2)= 0′04; 𝑖₃(2) = 𝑖₄(2)= 0′045; 𝑖₅(2)= 0′05; 𝑖₆(2) = 0′06

- Las cuotas de amortización de cada uno de los años son: 𝐴1= 𝐴2 = 𝑥; 𝐴3= 𝐴4 = 2𝑥; 𝐴5 = 𝐴6= 3𝑥

Como las cuotas de interés se desembolsan mensualmente, aunque las amortizaciones sean anuales, los períodos a considerar deben ser semestrales. El gráfico de la operación es:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

0

I+x I+x _{I+2x I+2x I+3x I+3x}

i2 =0'04 i2 =0'045 i2 =0'05 i2 =0'06

0+I 0+I 0+I 0+I _{0+I 0+I}

Obtenemos el valor de “x” resolviendo la ecuación que resulta de igualar el principal a la suma de las cuotas de amortización en función de “x”.

Determinamos las expresiones funcionales de cada parámetro ajustándonos a las condiciones del enunciado:

Tabla de amortización

C0 300 000; n 6 2;

i2 h : 0.04, 0.04, 0.04, 0.04, 0.045, 0.045, 0.045, 0.045, 0.05, 0.05, 0.06, 0.06 h ;

AA 0,x, 0,x, 0, 2x, 0, 2x, 0, 3x, 0, 3x ;

AA AA . First NSolve C0 Total AA ,x

0, 25 000., 0, 25 000., 0, 50 000., 0, 50 000., 0, 75 000., 0, 75 000. A h : AA h ; M h : j1 h A j ; Cp h : C0 M h ; h : Cp h 1 i2 h ; a h : A h h ; TableForm Table h, a h , h , A h , Cp h , M h , h, n ,

TableHeadings None, "Año", "a h ", "I h ", "A h ", "Cp h ", "M h "

Año a h I h A h Cp h M h 1 12 000. 12 000. 0 300 000 0 2 37 000. 12 000. 25 000. 275 000. 25 000. 3 11 000. 11 000. 0 275 000. 25 000. 4 36 000. 11 000. 25 000. 250 000. 50 000. 5 11 250. 11 250. 0 250 000. 50 000. 6 61 250. 11 250. 50 000. 200 000. 100 000. 7 9000. 9000. 0 200 000. 100 000. 8 59 000. 9000. 50 000. 150 000. 150 000. 9 7500. 7500. 0 150 000. 150 000. 10 82 500. 7500. 75 000. 75 000. 225 000. 11 4500. 4500. 0 75 000. 225 000.

Problema 5.1-4

Se concede un préstamo de un millón de € para ser amortizado en cinco años por el método francés con abono de intereses semestrales a un rédito semestral constante del 5 % y amortización anual.

Construir el cuadro de amortización.

0

1 2 4 5 6 7 9 10

semestres

I I+A I I+A I I+A I I+A I I+A

i2 C0

El sistema francés se caracteriza por ser constantes e iguales todos los términos y ser igual y constante la tasa de interés en todos los períodos. A la vista del gráfico adjunto, deducido del enunciado, resulta evidente que no puede tratarse de un sistema francés, a no ser que se considere separadamente los devengos anuales y los pagos (o imposiciones), semestrales.

En el libro dice que, en el sistema francés, las cuotas de amortización siguen una progresión geométrica creciente de razón 𝑞 = (1 + 𝑖1).

Aplicamos este criterio para resolver la operación, considerando períodos anuales.

Calculamos la tasa anual equivalente de interés.

Para calcular el primer término de la progresión geométrica, resolvemos la ecuación de equivalencia respecto al inicio:

Las expresiones funcionales del resto de parámetros, devengados anualmente, son:

Tabla de amortización anual

Para resolver la operación financiera, tomando períodos semestrales, reformulamos todas las expresiones funcionales:

C0 106; n 5;i2 0.05;i1 1 i2 2 1 0.1025 q 1 i1; A h : xqh1; A1 x . First NSolve C0 j1 n A j ,x 162 984. A h : A1 qh1; M h : j1 h A j ; Cp h : C0 M h ; h : Cp h 1 i1; a h : h A h ; TableForm Table h, a h , h , A h , Cp h , M h , h, n ,

TableHeadings None, "Año", "a h ", "I h ", "A h ", "Cp h ", "M h "

Año a h I h A h Cp h M h 1 265 484. 102 500. 162 984. 837 016. 162 984. 2 265 484. 85 794.1 179 690. 657 325. 342 675. 3 265 484. 67 375.8 198 109. 459 217. 540 783. 4 265 484. 47 069.7 218 415. 240 802. 759 198. 5 265 484. 24 682.2 240 802. 0. 1. 106

Tabla de amortización semestral A h : If OddQ h , 0, A1 q h 2 1 _; M h : j 1 h A j ; Cp h : C0 M h ; h : Cp h 1 i2; a h : h A h ; TableForm Table h, a h , h , A h , Cp h , M h , h, 2 n ,

TableHeadings None, "Año", "a h ", "I h ", "A h ", "Cp h ", "M h "

Año a h I h A h Cp h M h 1 50 000. 50 000. 0 1 000 000 0 2 212 984. 50 000. 162 984. 837 016. 162 984. 3 41 850.8 41 850.8 0 837 016. 162 984. 4 221 541. 41 850.8 179 690. 657 325. 342 675. 5 32 866.3 32 866.3 0 657 325. 342 675. 6 230 975. 32 866.3 198 109. 459 217. 540 783. 7 22 960.8 22 960.8 0 459 217. 540 783. 8 241 375. 22 960.8 218 415. 240 802. 759 198. 9 12 040.1 12 040.1 0 240 802. 759 198. 10 252 842. 12 040.1 240 802. 0. 1. 106

Construir el cuadro de amortización de un préstamo de 300.000 € concedido en las siguientes condiciones: - Duración de la operación 10 años.

- Abono de intereses semestrales a rédito del 3,50 %.

- Amortización mediante cuotas anuales iguales abonándose la primera a los tres años de concertada la operación. Resulta evidente que conviene tomar períodos de duración mensual, con lo cual resulta el gráfico siguiente:

0

1 2 4 5 6 7 9 10

semestres

I I I I I I+A I I+A I I+A

i2 C0

19 20

I I+A

Paga intereses Cuotas anuales iguales de amortización

Tomamos como punto de referencia, el inicio de la operación financiera y calculamos la tasa semestral de interés.

Tabla de amortización C0 300000; n 10;i2 0.035; A h : If h 4 OddQ h , 0, C0 n 2 ; M h : j1 h A j ; Cp h : C0 M h ; h : Cp h 1 i2; a h : h A h ; TableForm Table h, a h , h , A h , Cp h , M h , h, 2 n ,

TableHeadings None, "Año", "a h ", "I h ", "A h ", "Cp h ", "M h "

Año a h I h A h Cp h M h 1 10 500. 10 500. 0 300 000 0 2 10 500. 10 500. 0 300 000 0 3 10 500. 10 500. 0 300 000 0 4 10 500. 10 500. 0 300 000 0 5 10 500. 10 500. 0 300 000 0 6 48 000. 10 500. 37 500 262 500 37 500 7 9187.5 9187.5 0 262 500 37 500 8 46 687.5 9187.5 37 500 225 000 75 000 9 7875. 7875. 0 225 000 75 000 10 45 375. 7875. 37 500 187 500 112 500 11 6562.5 6562.5 0 187 500 112 500 12 44 062.5 6562.5 37 500 150 000 150 000 13 5250. 5250. 0 150 000 150 000 14 42 750. 5250. 37 500 112 500 187 500 15 3937.5 3937.5 0 112 500 187 500 16 41 437.5 3937.5 37 500 75 000 225 000 17 2625. 2625. 0 75 000 225 000 18 40 125. 2625. 37 500 37 500 262 500 19 1312.5 1312.5 0 37 500 262 500 20 38 812.5 1312.5 37 500 0 300 000

Problema 5.1-6

Se presta un capital de 200.000 € a un tipo de interés del 7 % anual para ser amortizado mediante anualidades constantes. Sabiendo que a los seis años el capital pendiente de amortización es la mitad que el prestado, determinar: 1º Anualidad que amortiza el préstamo.

2.° Componentes del cuadro de amortización del tercer año.

1 2 h h+1 0 x x x x C0 M[h] i M[h] Cp[h] 𝐶𝑝[ℎ]= 𝐶0− 𝑀[ℎ] (1 +𝑖)−1 ℎ 𝑘=1

Como desconocemos el número de términos (anualidades), la ecuación de equivalencia debemos referirla al inicio de la operación financiera 𝑀[ℎ] = ∑ 𝑥 ℎ 𝑗=1 ∏(1 + 𝑖)−1 𝑗 𝑘=1 𝐶𝑝[ℎ] = ∑ 𝑥 𝑛 𝑗=ℎ+1 ∏(1 + 𝑖)−1 𝑗 𝑘=1 (𝑛 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑜𝑛𝑜𝑐𝑖𝑑𝑜) } 𝐸𝑐.𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑜 → 𝐶𝑝[ℎ] = 𝐶0− 𝑀[ℎ] (1 + 𝑖)−1 ℎ 𝑘=1

Determinamos las expresiones funcionales del monto amortizado y del capital pendiente, resolviendo la ecuación de equivalencia por la izquierda:

Calculamos el término amortizativo constante resolviendo las condiciones del enunciado:

Al intentar obtener el número total de períodos de la operación financiera, el resultado es un número no entero.

C0 200000;i1 0.07; M h : j1 h x k1 j 1 i1 1; Cp h : C0 M h k1 h _{1 i} 1 1 ; xx x . First NSolve C0 2 Cp 6 ,x 27 979.6 FindRoot C0 j1 y a j k1 j 1 i1 1, y, 10 y 10.2556

Construir el cuadro de amortización de un préstamo con las siguientes características: - Capital prestado 200.000 €

- Tipo de interés anual el 6 %. - Duración de la operación 10 años.

- Durante los cinco primeros años abono de una anualidad constante que permita amortizar la cuarta parte del principal y durante los cinco restantes abono de la anualidad que extinga la deuda.

La redacción del enunciado es incorrecta porque, en el libro, el método de resolución del problema, que se ha empleado en el libro, no se ajusta al mencionado enunciado. El método empleado responde más bien a lo siguiente:

“……….

- Duración de la operación: desconocida.

- - Durante los cinco primeros años abono de una anualidad constante que permita amortizar la cuarta parte del principal y durante los cinco siguientes, abono de la anualidad que extinga la deuda.”

Para la resolución, debemos tener en cuenta que se trata de un préstamo sobre saldos (capital vivo, capital pendiente de amortizar)

Fase A: De período 1 a período 5

1 2 5 h+1 0 x x x x C0 i1 𝐶𝑝[ℎ]=∑ 𝑎[𝑗] 𝑛 ℎ+1 ∏ [1 +𝑖[𝑘]]−1 𝑛 𝑘=ℎ+1 ∑ 𝑎[ℎ] ℎ 𝑗=1 ∏(1 +𝑖1)−1 𝑗 𝑘=1 𝐶𝑝[ℎ]=𝐶0− (1 +𝑖1) −1 ℎ 𝑗=1 (1 +𝑖1)−1 ℎ 𝑘=1 C0 200000;i1 0.06; aA h : x; CpA h : C0 j 1 h _{aA j} k1 j 1 i1 1 k1 h _{1 i} 1 1 ; xx x . First NSolve 3C0 4 CpA 5 ,x 20 869.8 aA h : xx; CpA h : C0 j 1 h _{aA j} k1 j 1 i1 1 k1 h _{1 i} 1 1 ; IA h : CpA h 1 i1; AA h : aA h IA h ; MA h : j1 h AA j ; Año a h I h A h Cp h M h 1 20 869.8 12 000. 8869.82 191 130. 8869.82 2 20 869.8 11 467.8 9402.01 181 728. 18 271.8 3 20 869.8 10 903.7 9966.13 171 762. 28 238. 4 20 869.8 10 305.7 10 564.1 161 198. 38 802.1 5 20 869.8 9671.88 11 197.9 150 000. 50 000.

Fase B: De período 5 a período 10 y y i1 ∑ 𝑎[ℎ] ℎ 𝑗=1 ∏(1 +𝑖1)−1 𝑗 𝑘=1 𝐶𝑝[ℎ]=𝐶𝑝𝐴[5]− (1 +𝑖1) −1 ℎ 𝑗=1 (1 +𝑖1)−1 ℎ 𝑘=1 6 7 9 10 CpA[5]=150000 CpB[10]=0

Se opera de la misma forma que en la fase A, salvo que, en este caso, el capital inicial (principal) es igual al capital pendiente al final del período 5 de la fase anterior. La condición de cálculo es que, al final de esta fase, el capital vivo (pendiente de amortizar) es nulo.

Reescribimos las expresiones funcionales con los valores obtenidos

aB h : y; CpB h : 150 000 j1 h _{aB j} k1 j 1 i1 1 k1 h _{1 i} 1 1 ; yy y . First NSolve 0 CpB 5 ,y 35 609.5 aB h : yy; CpB h : 150 000 j1 h _{aB j} k1 j 1 i1 1 k1 h _{1 i} 1 1 ; IB h : CpB h 1 i1; AB h : aB h IB h ; MB h : j1 h AB j ; TableForm Table h, aB h , IB h , AB h , CpB h , MB h , h, 5 , TableHeadings None, "Año", "a h ", "I h ", "A h ", "Cp h ", "M h "

Año a h I h A h Cp h M h 1 35 609.5 9000. 26 609.5 123 391. 26 609.5 2 35 609.5 7403.43 28 206. 95 184.5 54 815.5 3 35 609.5 5711.07 29 898.4 65 286.1 84 713.9 4 35 609.5 3917.17 31 692.3 33 593.8 116 406. 5 35 609.5 2015.63 33 593.8 3.89475 1011 _{150 000.}

Hace cuatro años fue concedido un préstamo francés, a un tipo de interés del 6 % anual, si en estos momentos (principio del quinto año) el capital pendiente de amortización es 804.392,60 € y sabiendo que la cuota de amortización que hay que abonar al final del período ascenderá a 70.000 € determinar:

1.° Cuantía del capital que se prestó. 2.° Duración de la operación

Es un préstamo sobre saldos del que se desconoce el número total de períodos. Se desconoce el principal y el número de períodos.

Formamos las expresiones genéricas del término amortizativo (constante por ser un préstamo francés) y del capital pendiente de amortizar.

Resolvemos el sistema de dos ecuaciones que se forma con las condiciones del enunciado.

Determinamos las expresiones funcionales:

Calculamos el número de períodos de la operación financiera:

i1 0.06; a h : x; Cp h : C0 j1 h _{a j} k 1 j 1 i1 1 k1 h _{1 i} 1 1 ; C0,xx C0,x . First NSolve Cp 4 804 392.6, Cp 3 Cp 4 70 000 , C0,x 1.0615 106, 122 464. a h : xx; Cp h : C0 j1 h _{a j} k1 j 1 i1 1 k1 h _{1 i} 1 1 ; h : Cp h 1 i1; A h : a h h ; M h : j1 h A j ; TableForm Table h, a h , h ,A h , Cp h ,M h , h, 12 ,

TableHeadings None, "Año", "a h ", "I h ", "A h ", "Cp h ", "M h "

Año a h I h A h Cp h M h 1 122 464. 63 690.2 58 773.3 1.00273 106 _{58 773.3} 2 122 464. 60 163.8 62 299.8 940 430. 121 073. 3 122 464. 56 425.8 66 037.7 874 393. 187 111. 4 122 464. 52 463.6 70 000. 804 393. 257 111. 5 122 464. 48 263.6 74 200. 730 193. 331 311. 6 122 464. 43 811.6 78 652. 651 541. 409 963. 7 122 464. 39 092.4 83 371.1 568 169. 493 334. 8 122 464. 34 090.2 88 373.4 479 796. 581 707. 9 122 464. 28 787.8 93 675.8 386 120. 675 383. 10 122 464. 23 167.2 99 296.3 286 824. 774 679. 11 122 464. 17 209.4 105 254. 181 570. 879 934. 12 122 464. 10 894.2 111 569. 70 000.5 991 503. FindRoot Cp n 0, n, 10 n 12.5989

Problema 5.1-9

Sabiendo que la contraprestación pendiente de una operación de préstamo es la representada en el esquema

s s+1 s+3 s+4 0'08 0'085 0'09 0'10 Hoy Cp[s] 0'08 0'085 0'09 0'10 Hoy C0=Cp[s] 1 2 4 determinar.

1º Cuantía de las reservas al principio de los períodos s + 1, s + 2, s + 3 y s + 4.

2º Descomposición de los términos amortizativos en sus cuotas de intereses y sus cuotas de amortización. 3º Valor del préstamo, valor del usufructo y valor de la nuda propiedad al principio del año s+1.

4.° Suponiendo que, al principio de los años s+2, s+3 y s+4, el mercado continuase valorando con los mismos ¿cuáles serían los valores del préstamo en cada uno de esos principios de años?

Con los datos del enunciado, formamos las expresiones funcionales del término amortizativo y de la tasa de interés aplicable en cada período

La suma de las actualizaciones de las reservas (término amortizativos) a ser satisfechos es equivalente al principal de un préstamo de duración cuatro años. Tabla de amortización a h : 150 000, 200 000, 200 000, 225 000 h ; i h : 0.08, 0.085, 0.09, 0.10 h ; C0 j1 4 a j k1 j 1 i k 1 626 295. Cp h : C0 j1 h _{a j} k 1 j 1 i k 1 k1 h _{1 i h} 1 ; h : Cp h 1 i h ; A h : a h h ; M h : j 1 h A j ; TableForm Table h, a h , h , A h , Cp h ,M h , h, 4 ,

TableHeadings None, "Año", "a h ", "I h ", "A h ", "Cp h ", "M h "

Año a h I h A h Cp h M h

1 150 000 50 103.6 99 896.4 526 399. 99 896.4

2 200 000 44 743.9 155 256. 372 861. 255 152.

3 200 000 33 557.5 166 443. 207 391. 421 595.

Se otorgó un préstamo de 2 millones de € para ser amortizado en 12 años a un tipo de interés del 12 % anual. Si en estos momentos, principio del sexto año del préstamo, el tipo de interés del mercado es el 11 % determinar el valor del préstamo, el valor del usufructo y el valor de la nuda propiedad en las siguientes hipótesis:

1.° Método francés. 2.° Método americano.

3.º Términos variables en progresión aritmética de razón d =10.000. 4.° Términos variables en progresión geométrica de razón q = 1,08. 5.° Amortización con cuota de amortización constante.

Método francés 1 2 4 5 0 6 7 x x x x x i1 =0'12 C0 M[h] Cp[h] Hoy

En el método francés, los términos amortizativos y las tasas de interés permanecen constantes e iguales.

Calculamos la tabla de amortización para validar las expresiones:

Usufructo y nuda propiedad a día de hoy:

C0 2 106; n 12;i1 0.12;im 0.11; xx x . First NSolve C0 j1 n x k1 j 1 i1 1,x 322 874. a h : xx; Cp h : jh 1 n a j k h1 j 1 i1 1; h : Cp h 1 i1; A h : a h h ; M h : j1 h A j ; TableForm Table h, a h , h , A h , Cp h , M h , h, 1, 2, 3, 4, 5, 10, 11, 12 , TableHeadings None, "Año", "a h ", "I h ", "A h ", "Cp h ", "M h "

Año a h I h A h Cp h M h 1 322874. 240000. 82873.6 1.91713 106 82 873.6 2 322874. 230055. 92818.4 1.82431 106 _{175 692.} 3 322874. 218917. 103957. 1.72035 106 _{279 649.} 4 322874. 206442. 116431. 1.60392 106 _{396 080.} 5 322874. 192470. 130403. 1.47352 106 526 483. 10 322874. 93058.6 229815. 545 673. 1.45433 106 11 322874. 65480.7 257393. 288 280. 1.71172 106 12 322874. 34593.6 288280. 0 2. 106

Sistema americano

Se paga solamente los intereses, salvo al final del último período en el que abona el interés correspondiente más el principal. Progresión aritmética V h : jh1 n a j kh1 j 1 im 1; V 5 1.52144 106 U h : jh1 n j kh 1 j 1 im 1; U 5 575 127. Np h : j h1 n A j kh 1 j 1 im 1; Np 5 946 317. a h : If h 11, C0i1, C0 1 i1 ; Cp h : If h 11, C0, 0 ; h : C0i1; A h : a h h ; M h : j1 h A j ; TableForm Table h, a h , h , A h , Cp h , M h , h, 1, 2, 3, 4, 5, 10, 11, 12 , TableHeadings None, "Año", "a h ", "I h ", "A h ", "Cp h ", "M h "

Año a h I h A h Cp h M h 1 240000. 240000. 0. 2 000 000 0. 2 240000. 240000. 0. 2 000 000 0. 3 240000. 240000. 0. 2 000 000 0. 4 240000. 240000. 0. 2 000 000 0. 5 240000. 240000. 0. 2 000 000 0. 10 240000. 240000. 0. 2 000 000 0. 11 240000. 240000. 0. 2 000 000 0. 12 2.24 106 240000. 2. 106 0 2. 106 V h : jh1 n a j kh1 j 1 im 1; V 5 2.09424 106 U h : jh1 n j kh 1 j 1 im 1; U 5 1.13093 106 Np h : j h1 n A j kh 1 j 1 im 1; Np 5 963 317. d 10000; a h : x d h 1 ; a1 x . First NSolve C0 j1 n a j k 1 j 1 i1 1,x 280 977. a h : a1 d h 1 ; Cp h : jh 1 n a j k h1 j 1 i1 1; h : Cp h 1 i1; A h : a h h ; M h : j1 h A j ;

TableHeadings None, "Año", "a h ", "I h ", "A h ", "Cp h ", "M h " Año a h I h A h Cp h M h 1 280977. 240000. 40977.1 1.95902 106 _{40 977.1} 2 290977. 235083. 55894.3 1.90313 106 _{96 871.4} 3 300977. 228375. 72601.7 1.83053 106 _{169 473.} 4 310977. 219663. 91313.9 1.73921 106 260 787. 5 320977. 208706. 112272. 1.62694 106 _{373 058.} 10 370977. 109588. 261389. 651 843. 1.34816 106 11 380977. 78221.1 302756. 349 087. 1.65091 106 12 390977. 41890.4 349087. 0 2. 106 V h : jh1 n a j kh1 j 1 im 1; V 5 1.6815 106 U h : jh1 n j kh 1 j 1 im 1; U 5 654 709. Np h : j h1 n A j kh 1 j 1 im 1; Np 5 1.02679 106

Problema 5.1-11

Un préstamo alemán fue concedido hace tres años con las siguientes características: - Capital nominal prestado 1.000.000 de €.

- Duración de la operación diez años. - Rédito anticipado anual concertado el 6 %.

Si, en estos momentos, el acreedor vende el préstamo a un tanto del 5 % determinar el valor del préstamo, valor del usufructo y valor de la nuda propiedad en los supuestos:

a) Los intereses del cuarto año no se han devengado. b) Los intereses del cuarto año han sido devengados.

𝑀é𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑎𝑙𝑒𝑚á𝑛 → {

1. −𝑇é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡𝑖𝑧𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑎[ℎ] = 𝐶𝑡𝑒. 2. −𝑇𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟é𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑖𝑘 = 𝐶𝑡𝑒

3. −𝑃𝑎𝑔𝑜 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑒𝑠𝑒𝑠 𝑎𝑙 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜 → 𝑖∗

Se trata de un préstamo de términos amortizativos constantes (método alemán), y la cuota constante de interés prepagable. Se entiende que la tasa de interés dada está referida al inicio de cada período.

1 2 4

0

A[1] A[2] A[3]

Cp[3]*i[4] 1+i[4] Cp[2]*i[3] 1+i[3] Cp[1]*i[2] 1+i[2] x x x A[4] Cp[4]*i[5] 1+i[5] 10 A[n-1] Cp[n-1]*i[n] 1+i[n] x _x A[n] x i1 𝐶0− 𝐶₀𝑖₁ 1 +𝑖1

Hallamos la tasa de interés equivalente a interés vencido.

El término amortizativo constante se obtiene resolviendo la ecuación de equivalencia respecto al inicio:

Para calcular el capital pendiente, planteamos la ecuación de equivalencia similar a la inicial, sustituyendo C0 por Cp[h]

h+1 n i1 [ 1] [ ] [ ] 1 [ 1] i h Cp h Cp h i h + − + + a[h+1] a[h] 𝐶𝑝[ℎ] − 𝐶𝑝[ℎ] 𝑖[ℎ + 1] 1 + 𝑖[ℎ + 1]= 𝐶𝑝[ℎ] [1 − 𝑖[ℎ + 1] 1 + 𝑖[ℎ + 1]] = 𝐶𝑝[ℎ] 1 + 𝑖[ℎ + 1]= ∑ 𝑎[𝑗] 𝑛 𝑗=ℎ+1 ∏ (1 + 𝑖[𝑘])−1 𝑗 𝑘=ℎ+1 Despejando: C0 106;ip 0.06;i1 ip 1 ip 0.0638298 xx x . First NSolve C0 C0 i1 1 i1 _j1 10 x k1 j 1 i1 1,x 130 043.

𝐶𝑝[ℎ] = (1 + 𝑖[ℎ + 1]) ∑ 𝑎[𝑗]

𝑗=ℎ+1

∏ (1 + 𝑖[𝑘])−1

𝑘=ℎ+1

Tabla de amortización

El resultado arroja un valor distinto a V[3], luego algo está mal.

a h : xx; Cp h : 1 i1 jh1 n a j kh1 j 1 i1 1; h : Cp h 1 i1 1 i1 ; Interes adelantado A h : a h Cp h i1 1 i1

; Interés adelantado periodo siguiente

M h :

j1

h

A j ;

TableForm Table h,a h , h ,A h ,Cp h ,M h , h,n ,

TableHeadings None, "Año", "a h ", "I h ", "A h ", "Cp h ", "M h "

Año a h I h A h Cp h M h 1 130 043. 60 000. 74 514.1 925 486. 74 514.1 2 130 043. 55 529.2 79 270.3 846 216. 153 784. 3 130 043. 50 772.9 84 330.1 761 885. 238 115. 4 130 043. 45 713.1 89 712.9 672 172. 327 828. 5 130 043. 40 330.3 95 439.3 576 733. 423 267. 6 130 043. 34 604. 101 531. 475 202. 524 798. 7 130 043. 28 512.1 108 012. 367 190. 632 810. 8 130 043. 22 031.4 114 906. 252 284. 747 716. 9 130 043. 15 137. 122 241. 130 043. 869 957. 10 130 043. 7802.6 130 043. 0. 1. 106 iv 0.05; U h : j h1 n j kh1 j 1 iv 1; U 3 167 569. Np h : jh 1 n A j kh1 j 1 iv 1; Np 3 622 244. V h : jh1 n a j kh 1 j 1 iv 1; V 3 752 479. U 3 Np 3 789 814.

Problema 5.1-12

Hace seis años se concedió un préstamo de 3.000.000 de €, para ser amortizado en 10 años por el método francés con abono de intereses semestrales a rédito 𝑖2= 0′05. En estos momentos, principio del séptimo año de la operación, el

mercado valora a un tanto efectivo anual del 12 %.

Determinar el valor del préstamo, el valor del usufructo y el valor de la nuda propiedad al principio del referido año séptimo.

El método francés implica que los términos amortizativos son constantes:

Determinamos las expresiones funcionales de los parámetros que interesan:

Obtenemos la tabla de amortización de los períodos interesantes, para verificar que las expresiones de los parámetros son correctas:

Calculamos los valores de: el usufructo, la nuda propiedad y el valor del préstamo al final del décimo segundo semestre (sexto año), determinando previamente la tasa de mercado semestral equivalente a la tasa anual:

C0 3 106; n 10 2;i2 0.05; xx x . First NSolve C0 j1 n x k1 j 1 i2 1,x 240 728. a h : xx; Cp h : jh1 n a j kh1 j 1 i2 1; h : Cp h 1 i2; A h : a h h ; M h : j 1 h A j ; TableForm Table h, a h , h , A h , Cp h , M h , h, 1, 3, 3, 12, 19, 20 ,

TableHeadings None, "Año", "a h ", "I h ", "A h ", "Cp h ", "M h "

Año a h I h A h Cp h M h 1 240 728. 150 000. 90 727.8 2.90927 106 90 727.8 3 240 728. 140 700. 100 027. 2.71398 106 _{286 019.} 3 240 728. 140 700. 100 027. 2.71398 106 _{286 019.} 12 240 728. 85 552.5 155 175. 1.55587 106 1.44413 106 19 240 728. 22 380.6 218 347. 229 265. 2.77074 106 20 240 728. 11 463.2 229 265. 0 3. 106 im 1 0.12 1 2 _1; U h : jh1 n j kh1 j 1 im 1; U 12 306 597. Np h : jh 1 n A j kh1 j 1 im 1; Np 12 1.19838 106 V h : jh1 n a j kh1 j 1 im 1; V 12 1.50498 106

La venta de un préstamo francés, del que quedan siete años para su amortización ha producido unos ingresos de 727.105,18 € . De este préstamo se sabe que la cuota de intereses del año en curso hubiese ascendido a 50.000 €, que la cuota de amortización del año anterior fue de 75.000 € y que el tanto de concesión del préstamo es un uno por ciento superior al de venta

Determinar:

1.° El tanto de concesión del préstamo y el tanto de venta. 2.° La anualidad que lo amortiza.

3.° El capital vivo en el momento de la venta.

Se trata de una operación financiera de la que se desconoce el número total de períodos implicados. Sólo se conocen algunos valores de los últimos períodos.

De la redacción un tanto confusa he deducido el siguiente gráfico lineal:

s+4 s+5 s+6 s+7 s+8 s+9 s+1 S+2 x x x x x x x x x s i1 Fin A[s+1]=75000 V[s+2]=727105'18 I[s+3]=50000 Año actual Referencia h=1 Variación de h h=9 𝑃𝑟é𝑠𝑡𝑎𝑚𝑜 𝑓𝑟𝑎𝑛𝑐é𝑠 → {1. −𝑇é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡𝑖𝑧𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑎[ℎ] = 𝐶𝑡𝑒 2. −𝑇𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟é𝑠 𝑠𝑒 𝑚𝑎𝑛𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑖[ℎ] = 𝐶𝑡𝑒 Tomo como referencia el período “s” anterior al más temprano para que:

• Al final del período s+1, la cuota de amortización es 𝐴[𝑠 + 1] = 75000

• Al final del período s+2, se supone realizada la venta del préstamo 𝑉[𝑠 + 2] = 727105′18, quedando 7 años para finalizar la operación.

• Al final del período s+3 (año actual después de la venta), la cuota de interés es 𝐼[𝑠 + 3] = 50000

Según estas premisas, determinamos las expresiones funcionales del capital vivo, de la cuota de interés y del valor del préstamo. Cp h : js1h s9 x ks 1h j 1 i1 1; h : Cp h 1 i1; V h : js1 h s9 x ks1h j 1 iv 1; NSolve V 2 727 105.18, 3 50 000 , x,i1 , Reals i1 0.0712237, x 130 817. iv i1 0.01;

Problema 5.1-14

Un capital de 750.000 €, se presta en las siguientes condiciones: - Amortización en diez años.

- Tanto instantáneo de capitalización 𝜌 = 0′11 - Densidad constante del término amortizativo Determinar:

1.° La densidad constante del término amortizativo a'(t) = a' 2.º Capital pendiente de amortización al principio del cuarto año. 3.° Capital amortizado después de siete años.

Se concede un préstamo de 1.500.000 € para ser amortizado en cinco años, en base a la ley 𝐿(𝑡, 𝑝) = 𝑒0′10(𝑝−𝑡), y siendo constante la densidad de la cuota de amortización.

Determinar

1.° La densidad A'(t)=A'.

2.° Capital amortizado a los tres años y medio de concertada la operación y capital pendiente de amortización al principio del tercer año.

Problema 5.1-16

Sea una operación de amortización con las siguientes características: a) Contractuales

- Cuantía del capital prestado 2.000.000 de € - Duración de la operación 5 años.

- Tipo de interés anual concertado el 10 %. - Términos amortizativos constantes. b) Comerciales

- Gastos iniciales de 25.000 € a cargo del prestatario.

- Gastos de administración anuales del 0,5 % sobre el saldo pendiente al principio del año más una cantidad fija de 750 €, y a cargo del prestatario.

- Gastos finales a cargo del prestatario por un importe del 1,5 % sobre la cantidad demandada en préstamo. - Impuestos anuales del 15 % sobre las cuotas de interés a cargo del prestamista.

Obtener

1.° El tanto efectivo activo o del prestamista. 2.° El tanto efectivo pasivo o del prestatario.

Calculamos el término amortizativo sin considerar los gastos de ambos agentes:

Determinamos las expresiones funcionales de los parámetros interesantes:

Tabla de amortización C0 2 106; n 5;i1 0.1; xx x . First NSolve C0 j1 n x k1 j 1 i1 1,x 527 595. a h : xx; Cp h : jh1 n a j kh1 j 1 i1 1; h : Cp h 1 i1; A h : a h h ; M h : j1 h A j ; TableForm Table h, a h , h , A h , Cp h , M h , h, n ,

TableHeadings None, "Año", "a h ", "I h ", "A h ", "Cp h ", "M h "

Año a h I h A h Cp h M h 1 527 595. 200 000. 327 595. 1.67241 106 _{327 595.} 2 527 595. 167 241. 360 354. 1.31205 106 _{687 949.} 3 527 595. 131 205. 396 390. 915 661. 1.08434 106 4 527 595. 91 566.1 436 029. 479 632. 1.52037 106 5 527 595. 47 963.2 479 632. 0 2. 106

Tanto efectivo pasivo (para el prestamista)

Gastos iniciales a cargo del prestatario, abonado a terceros (unilateral) Gastos anuales a cargo del prestatario, abonados al prestamista (bilateral) Gastos finales a cargo del prestatario, abonados al prestatario (bilateral) Impuestos anuales a cargo del prestamista abonados a terceros

Tanto efectivo o real del prestatario (deudor)

Considerando que la “prestación real” es igual a la prestación efectiva (o del prestamista) menos los gastos a cargo del prestatario, debe determinarse los momentos en los que devengan dichos gastos y las tasas de interés que le son aplicables. Debe ser así para que se pueda aplicar la actualización o capitalización que corresponda. En este caso, se ha considerado que los devengos se realizan al final de los períodos. Las tasas de interés aplicables pueden ser cualesquiera: las del préstamo u otras diferentes.

Resolviendo la ecuación de equivalencia: Prestación al inicio menos gastos actualizados al inicio es igual a la contraprestación actualizada al inicio, sometida a la tasa efectiva (a calcular).

Tanto efectivo o real del prestamista (acreedor) Razonando de la misma forma que en el caso anterior:

G0 25000; Gadmon h : 0.005 Cp h 1 750; NSolve C0 G0 j1 n a j Gadmon j k1 j

1 iact 1,iact, Reals

iact 0.110553 Imp h : 0.15 h ; NSolve C0 j1 n a j Imp j k 1 j

1 ipas 1,ipas, Reals

Problema 5.1-17

Un préstamo de 1.000.000 de €, es concedido en las siguientes condiciones: a) Tipo de interés 7 % anual.

b) Duración 10 años.

c) Amortización por anualidades constantes percibiéndose la primera a los tres años de concertada la operación.

Si el prestatario tiene unos gastos iniciales de 5.000 €, y el sistema impositivo le detrae al prestamista el 1 % de las anualidades, determinar:

1.°) Tantos efectivos del prestamista y del prestatario.

2.°) En el supuesto de que el préstamo fuera rescindido después de vencido el sexto pago y la rescisión llevase una penalización del 0,5 % sobre la deuda pendiente, determinar el tanto de coste para el prestatario en este caso.

1 2 4 5 6 7 9 10

0

x x x x x x x x

i1 C0

La redacción es un tanto confusa puesto que, desde el inicio de la operación financiera (firma del préstamo), se aplica la misma tasa de interés, pero, durante los dos primeros años no se amortiza nada del principal, sino, todo lo contrario, se incrementa por impago de intereses. Por consiguiente, se debe considerar como un préstamo con términos amortizativos negativos (impago de intereses y aumento del principal) durante los dos primeros años y términos amortizativos constantes los ocho años siguientes.

Admitiendo que, durante los dos años de demora, no se paga nada y que la tasa aplicable es la misma que la de los períodos posteriores, podemos presentar la ecuación de equivalencia respecto al origen:

Tabla de amortización C0 106;i1 0.07; n 10; xx x . First NSolve C0 j1 2 n x k1 j 1 i1 1,x 191 734. xx x . First NSolve C0 j1 2 n x k1 j 1 i1 1,x 191 734. h : Cp h 1 i1; A h : a h h ; M h : j1 h A j ;

Para calcular los tantos efectivos debemos tener en cuenta la fecha (período) en los que se abonan o perciben los gastos, impuestos, etc, así como la característica de los mismos (unilateral o bilateral).

Tanto efectivo para el prestatario (deudor) Abona un único gasto G0 a la firma del contrato.

1 2 4 5 6 7 9 10

0

i1 C0 -G0

a[h]

Resolviendo la ecuación de equivalencia real, efectiva:

Tanto efectivo del prestamista (acreedor)

El impuesto dependiente del término amortizativo hace que el valor real de éste sea 0’99a[h], pagadero periódicamente al mismo tiempo que dicho término amortizativo. Por tanto, resolviendo la ecuación de equivalencia:

Si se quisiera rescindir el préstamo al final del 8º año, con un recargo del 0’5% sobre el capital pendiente, la tasa efectiva es:

TableHeadings None, "Año", "a h ", "I h ", "A h ", "Cp h ", "M h "

Año a h I h A h Cp h M h 1 0 70 000. 70 000. 1.07 106 _{70 000.} 2 0 74 900. 74 900. 1.1449 106 _{144 900.} 3 191 734. 80 143. 111 591. 1.03331 106 _{33 309.2} 4 191 734. 72 331.6 119 402. 913 907. 86 093. 5 191 734. 63 973.5 127 760. 786 147. 213 853. 6 191 734. 55 030.3 136 704. 649 443. 350 557. 7 191 734. 45 461. 146 273. 503 170. 496 830. 8 191 734. 35 221.9 156 512. 346 658. 653 342. 9 191 734. 24 266.1 167 468. 179 191. 820 809. 10 191 734. 12 543.3 179 191. 0 1. 106 G0 5000; NSolve C0 G0 j1 n a j k1 j

1 iact 1,iact, Reals

iact 1.78759 , iact 0.0708732 Imp h : 0.01 a h ; NSolve C0 j1 n a j Imp j k 1 j

1 ipas 1,ipas, Reals

Problema 5.1-18

Una sociedad contrae un préstamo con una entidad bancaria con arreglo a las siguientes características: - capital prestado un millón de €

- amortización sistema americano, -tanto 6 % anual.

- duración 10 años.

Por otra parte, forma un fondo en otro Banco en el cual realizará imposiciones semestrales para conseguir el montante que extinga la deuda y a un tanto del 5 %.

Calcular:

1) Cuota de interés del 6.° año del préstamo.

2) Cuantía constante que hay que imponer en el fondo. 3) Tanto efectivo a que resulta la doble operación.

El enunciado del problema es confuso por tres inconcreciones en la constitución del fondo:

1.- No dice si las imposiciones son prepagables o pospagables. Si no se indica otra cosa, se entiende que, en las constituciones de capital, las imposiciones son prepagables.

2.- No especifica claramente si la tasa de interés es semestral o anual. Si las imposiciones son semestrales y no se indica otra cosa, se entiende que la tasa aplicable es semestral.

3.- En el sistema americano, la última imposición está formada por los intereses del último período más el principal. Por tanto, “…el montante que extinga la deuda…” es, precisamente, esa suma.

1 2 4 5 6 7 9 10 0 iA1 C0 A.- Préstamo C0+C0 iA1 años C0 iA1 C0 iA1 C0 iA1 C0 iA1 C0 iA1 C0 iA1 C0 iA1 C0 iA1 C0 iA1 1 2 4 5 iB2 C0+C0 iA1 19 20 semestres B.- Fondo y y _{y y y y} y y

En el sistema americano, al final de cada período, sólo se paga los intereses del principal. Por tanto, al final del sexto año, pagará:

Al final del último período, deberá abonar el interés de dicho período, que es igual al importe de los períodos anteriores, más el principal. Por consiguiente, la cantidad a constituir es igual a la última entrega para cancelar la deuda.

C0 106;iA1 0.06;nA 10; años

C10 C0 1 iA1

Dado que, en el préstamo, las anualidades son pospagables (se abonan al final de cada periodo) y que, en la configuración de capital, las imposiciones se realizan al inicio de cada período, conviene que, al final de la operación financiera y, en el momento de la liquidación final, se añada una imposición complementaria al inicio del período 21, coincidente con el fin del período 20 del préstamo.

Resolviendo la ecuación de equivalencia financiera de una operación de constitución de capital, respecto al final de “2n+1” semestres: yy y . First NSolve C10 j 1 nB y k j nB 1 iB2 ,y 28 262.7

Problema 5.1-19

Una empresa ha recibido en concepto de préstamo 1.000.000 de €, que habrá de amortizar mediante 10 anualidades vencidas y siendo el tipo de interés del 6 % para los primeros cuatro años, del 6.5 % para los tres años siguientes y del 7 % para los tres últimos. Sabiendo que los gastos iniciales a cargo del prestatario ascendieron a 11.000 €, se pide: 1) Anualidad que amortiza el préstamo.

2) Capital vivo al principio del cuarto año. 3) Cuotas de intereses de los años sexto y noveno. 4) Tantos efectivos del prestamista y del prestatario.

Datos del enunciado y expresión funcional de la tasa de interés deducida del mismo.

Admitiendo que el término amortizativo sea constante e igual para todos los períodos, se obtiene su cuantía aplicando la ecuación de equivalencia respecto al inicio:

Las expresiones funcionales de los parámetros que interesan son:

Tabla de amortización C0 106; n 10; i h : Which 1 h 4, 0.06, 5 h 7, 0.065, 8 h 10, 0.07 ; xx x . First NSolve C0 j1 n x k1 j 1 i k 1,x 137 291. a h : xx; Cp h : jh1 n a j k h1 j 1 i k 1; h : Cp h 1 i h ; A h : a h h ; M h : j1 h A j ; TableForm Table h, a h , h , A h , Cp h , M h , h, n ,

TableHeadings None, "Año", "a h ", "I h ", "A h ", "Cp h ", "M h "

Año a h I h A h Cp h M h 1 137 291. 60 000. 77 291. 922 709. 77 291. 2 137 291. 55 362.5 81 928.4 840 781. 159 219. 3 137 291. 50 446.8 86 844.1 753 936. 246 064. 4 137 291. 45 236.2 92 054.8 661 882. 338 118. 5 137 291. 43 022.3 94 268.7 567 613. 432 387. 6 137 291. 36 894.8 100 396. 467 217. 532 783. 7 137 291. 30 369.1 106 922. 360 295. 639 705. 8 137 291. 25 220.6 112 070. 248 225. 751 775. 9 137 291. 17 375.7 119 915. 128 309. 871 691. 10 137 291. 8981.65 128 309. 0 1. 106

Tanto efectivo del prestamista: Tanto efectivo del prestatario: NSolve C0 j1 n a j k 1 j 1 z 1,z, Reals z 1.76869 , z 0.0622052 G0 11000; NSolve C0 G0 j 1 n a j k1 j 1 y 1,y, Reals y 1.76945 , y 0.0645593

Problema 5.1-20

Una entidad bancaria concede un préstamo, con garantía hipotecaria, por un importe de 200.000 € a un tipo de interés del 8 % anual para ser amortizado en 10 años, y por el método de cuotas de amortización constantes.

El prestatario tiene unos gastos iniciales para formalización de las garantías del 1,90 % de la cantidad hipotecada y, al final de la operación, para el levantamiento de la escritura hipotecaria, el 2 % de la cantidad hipotecada.

El prestamista verá disminuidos sus ingresos por los impuestos que gravan la operación cuyos tipos de gravamen los suponemos el 24 % sobre los intereses y el 1 % sobre las cuotas de amortización.

Determinar:

1. -El cuadro de amortización del préstamo.

2. -Las anualidades netas de impuestos que recibe el prestamista. 3. -Tanto efectivo del prestamista.

4. -Tanto efectivo del prestatario.

Expresiones funcionales de los parámetros principales para una cuota de amortización constante:

Tabla de amortización C0 200 000;i1 0.08; n 10; A h : C0 n; M h : j1 h A j ; Cp h : C0 M h ; h : Cp h 1 i1; a h : h A h ; TableForm Table h, a h , h , A h , Cp h , M h , h, n ,

TableHeadings None, "Año", "a h ", "I h ", "A h ", "Cp h ", "M h "

Año a h I h A h Cp h M h 1 36 000. 16 000. 20 000 180 000 20 000 2 34 400. 14 400. 20 000 160 000 40 000 3 32 800. 12 800. 20 000 140 000 60 000 4 31 200. 11 200. 20 000 120 000 80 000 5 29 600. 9600. 20 000 100 000 100 000 6 28 000. 8000. 20 000 80 000 120 000 7 26 400. 6400. 20 000 60 000 140 000 8 24 800. 4800. 20 000 40 000 160 000 9 23 200. 3200. 20 000 20 000 180 000 10 21 600. 1600. 20 000 0 200 000

Tanto efectivo prestamista (acreedor) G0 0.019 C0;G10 0.02 C0; NSolve C0 G0 G10 k1 n 1 i1 1 j1 n a j k1 j

1 ideudor 1,ideudor, Reals

ideudor 1.74892 , ideudor 0.0870329 ImpI h : 0.24 h ; ImpA h : 0.01 A h ; NSolve C0 j1 n a j ImpI j ImpA j k1 j

1 iacreedor 1,iacreedor, Reals