CASTILLA Y LEÓN / JUNIO 03. LOGSE / MATEMÁTICAS II / EXAMEN COMPLETO
CRITERIOS GENERALES DE EVALUACIÓN DE LA PRUEBA: Se observarán fundamentalmente los siguientes aspectos: correcta utilización de los conceptos, definiciones y propiedades relacionadas con la naturaleza de la situación que se trata de resolver. Justificaciones teóricas que se aporten para el desarrollo de las respuestas. Claridad y coherencia en la exposición. Precisión en los cálculos y en las notaciones. DATOS O TABLAS (SI HA LUGAR): Podrá utilizarse una calculadora “de una línea”. No se admitirá el uso de memoria para texto, ni de las prestaciones gráficas.
OPTATIVIDAD: Se proponen dos pruebas, A y B. Cada una de ellas consta de dos problemas, 1 y PR-2, y de cuatro cuestiones, C-1, C-PR-2, C-3 y C-4. Cada problema tendrá una puntuación máxima de tres puntos, y cada cuestión se puntuará, como máximo, con un punto. EL ALUMNO DEBERÁ ESCOGER UNA DE LAS PRUEBAS, A O B, Y DESARROLLAR LAS PREGUNTAS DE LA MISMA.
PRUEBA A PROBLEMAS
PR-1. a) Hallar el valor del parámetro a para que los planos de ecuaciones:
4 3 2 3 2 = + − = + − = + − az y x z y x z y x
se corten en una recta r. (1,5 puntos)
b) Obtener la ecuación del plano que pasa por el punto P(2, 1, 3) y contiene a la recta
r del apartado anterior. (1,5 puntos)
PR-2. Dada la función 1 ) ( 2 + = x x x f , hallar:
a) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento y sus máximos y mínimos relativos. (1,5 puntos)
b) El área de la región limitada por la gráfica de f, el eje OX y las rectas x = −1, x = 1. (1,5 puntos)
CUESTIONES
C.1. Estudiar el rango de la matriz A, según los distintos valores de m:
= m A 2 1 2 2 1 1 1 1 (1 punto)
C.2. Hallar la distancia del punto P(2, 1, 1) a la recta = + = = ≡ λ λ z y x r 2/3 3 / 1 . (1 punto) C.3. Calcular x sen x x e lím x x 0 2 cos − − → . (1 punto).
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C.4. Demostrar que la ecuación x5 +4x3 +3=0 tiene exactamente una raíz en el intervalo [−1, 1]. ¿En qué resultados te basas? (1 punto)
PRUEBA B PROBLEMAS
PR-1. Dadas las matrices
− − = 1 2 3 0 1 2 1 0 1 A y − − = 0 0 2 1 1 1 1 0 1 B , se define la matriz C = A + mB.
a) Hallar para qué valores de m la matriz C tiene rango menor que 3. (1,5 puntos) b) Para m = −1, resolver el sistema lineal homogéneo cuya matriz de coeficientes es
C. (1,5 puntos)
PR-2. a) Hallar a y b para que la función siguiente sea continua en x = 0: ≥ + + < + = 0 si 0 si ) ln( ) ( 3 x b ax x x senx e x f (1,25 puntos)
b) Hallar a y b para que f(x) sea derivable en x = 0. (1,25 puntos) c) Calcular − 2 ´ π f (0,5 puntos) CUESTIONES
C.1. Si A es una matriz cuadrada, ¿la matriz A + At es igual a su traspuesta? Razonar la respuesta. (At es la matriz traspuesta de A) (1 punto)
C.2. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(1, 2, −1), es paralela al plano π ≡ 2x + y − z − 3 = 0 y es perpendicular a la recta
3 4 1 1 − = − − = ≡x y z r . (1 punto)
C.3. Hallar el área de la región limitada por la curva y = x2 y la recta y = 2x + 3. (1 punto) C.4. ¿Cuál es la ecuación de la circunferencia de centro (3, 2) que es tangente al eje
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SOLUCIÓN A LA PRUEBA A Problema 1
a) Los planos se cortarán en una recta cuando el sistema que determinan sea compatible indeterminado, con un grado de indeterminación. Esto es, cuando r(A) = r(M) = 2, siendo A la matriz de coeficientes y M la matriz ampliada.
M a A = − − − = 4 2 3 1 3 1 1 1 1 1 2
Para que r(A) = 2, el determinante de A debe valer 0: 0 1 1 3 1 1 1 1 1 2 = + − = − − − = a a A ⇒ a = 1
Como la matriz A tiene menores de orden 2 distintos de 0, si a = 1, su rango será 2. La matriz M tiene el mismo rango que A, pues independientemente de a, la columna 4ª depende linealmente de la 1ª y de la 2ª: C4 = C1 − C2.
Por tanto, si a = 1 los tres planos se cortan en una recta.
b) La ecuación de la recta que determinan es la solución del sistema:
= + − = + − = + − 4 3 2 3 2 az y x z y x z y x ⇔ = + − = + − 2 3 2 z y x z y x ⇔ − = − − = − z y x z y x 2 3 2 ⇒ = + − = = t z t y x r 1 1 :
El plano pedido viene determinado por el punto P(2, 1, 3), el vector vrr = (0, 1, −1) y el vector AP = (2, 1, 3) − (1, −1, 0) = (1, 2, 3). Su ecuación será: 0 3 1 3 2 1 1 1 0 2 = − − − z y x ⇔ x + y − z = 0 Problema 2
a) La función está definida para todo número real. Su derivada vale:
CASTILLA Y LEÓN / JUNIO 03. LOGSE / MATEMÁTICAS II / EXAMEN COMPLETO 2 2 2 ) 1 ( 1 ) ´( + − = x x x f 0 ) ´(x = f ⇒ 1−x2 =0 ⇒ x = −1 o x = 1 • Si x < −1, f ´(x) < 0 ⇒f(x) es decreciente • Si −1 < x < 1, f ´(x) > 0 ⇒f(x) es creciente • Si x > 1, f ´(x) < 0 ⇒f(x) es decreciente
Como la función decrece a la izquierda de x = −1 y crece a sus derecha, en x = −1 hay un mínimo.
Análogamente, como la función crece a la izquierda de x = 1 y decrece a su derecha, en x = 1 hay un máximo.
b) Como la función es impar y positiva para x > 0, el área pedida es el doble que la comprendida entre la curva, el eje OX y las rectas x = 0 y x = 1. Esto es:
A =
(
ln( 1))
ln2 1 2 1 0 2 1 0 2+ = + =∫
dx x x xNOTA: Aunque no sea necesario, es bueno hacer un esbozo de su gráfica. En ella indicamos, sombreada, la región de la que se pide el área.
Cuestión 1
El rango de una matriz es el orden del mayor menor no nulo.
Como 2 2 1 2 2 1 1 1 1 − = = m m A , se tendrá: • Si m≠ 2, A ≠0 ⇒ rango(A) = 3
• Si m = 2, A =0 ⇒ rango(A) = 2, pues el menor 0 2 1 1 1 ≠ Cuestión 2
CASTILLA Y LEÓN / JUNIO 03. LOGSE / MATEMÁTICAS II / EXAMEN COMPLETO r r v v AP r P d r r × = ) , ( , siendo A∈r. En este caso: A = (1/3, 2/3, 0), P = (2, 1, 1), AP= (5/3, 1/3, 1) y vrr= (0, 1, 1) ⇒ ⇒ AP×vrr= 1 1 0 1 3 / 1 3 / 5 3 2 1 u u ur r r = (−2/3, –5/3, 5/3) Luego: 3 1 1 9 / 25 9 / 25 9 / 4 ) , ( = + + + = r P d Cuestión 3 x sen x x e lím x x 0 2 cos − − → = 0 0
= (Por la regla de L´Hôpital) = = x senx senx e lím x x 2 cos 1 0 + − → = 0 0 = 1 2 2 2 cos 2 cos 2 2 0 − = = + → x sen x x e lím x x Cuestión 4 Consideramos la función f(x)= x5 +4x3 +3.
Esta función es continua en el intervalo [−1, 1]; además, f (−1)<0 y f(1)>0. Por tanto, por el teorema de Bolzano, la función corta al eje OX en el intervalo [−1, 1].
Para ver que sólo corta unan vez hay que darse cuenta de que siempre es creciente, pues
2 4 12 5 ) ´(x x x
f = +
≥
0 para cualquier valor de x.Por tanto, f(x)= x5 +4x3 +3 sólo toma una vez el valor 0. Esto equivale a decir que la ecuación x5 +4x3 +3=0 sólo tiene una raíz en el intervalo [−1, 1].