Ejercicio 1:
Dadas las siguientes frases identifique e indique cuáles son proposiciones simples: 2. La cantante triunfa inesperadamente.
5. 35 es un número par.
6. Los senadores debaten con tranquilidad. 8. Todo número real elevado a la cero da uno. 9. Salta la cuerda.
10. -34 * 10 = 340 No son PS:
1. ¿Pedro es alto?. No es PS porque es una frase interrogativa. 3. ¡corre!. No es PS. Expresa una orden.
4. Llévame a pasear. No es PS. Expresa una orden. 7. Z > 68. No es PS. Necesitamos conocer el valor de Z
Ejercicio 2:
Para cada una de las siguientes proposiciones, identifique las proposiciones elementales representándolas con las letras (A, B, C, . . .) respectivamente.
Ustedes pueden usar las cámaras digitales o las cámaras de sus teléfonos celulares o ambas. A= Ustedes pueden usar las cámaras digitales.
B= Ustedes pueden usar las cámaras de sus teléfonos.
Siempre que llueve, las plantas se riegan. A= Llueve
B= Las plantas se riegan
A pesar de que el coche no aceleró, hubo un accidente. A=El coche aceleró.
B=Hubo un accidente Ejercicio 3:
Dadas las siguientes proposiciones simples:
A = El matemático estudia. B = El problema es sencillo. C = La solución es correcta.
Reemplace en las siguientes proposiciones compuestas, tratando de obtener dos versiones de las mismas:
(A ⇒ (B∧C))
1- Si el matemático estudia entonces el problema es sencillo y la solución es correcta. 2- El matemático estudia sólo si el problema es sencillo y la solución es correcta
Las P Simples o Elementales:
Deben estar completas, correctamente escritas e identificadas.
Son afirmativas, el NO es un conectivo Todas las palabras que correspondan con
un conectivo NO FORMAN parte de las PS
Ejercicio 4:
Indique si las siguientes son fórmulas bien formadas (fbfs), en caso de no serlo justifique:
1. P ∧∧Q ∧R.
NO es fbf porque no pueden aparecer dos conectivos binarios seguidos. Además faltan los paréntesis correspondientes.
2. ((P ∧¬ Q) ↔(S ∨R))
SI es fbf. (P ∧¬ Q) es fbf, (S ∨R) es fbf, luego ((P ∧¬ Q) ↔ (S ∨R)) es fbf. Ejercicio 5:
Identifique con letras (A, B, C, . . .) las proposiciones elementales y escriba, utilizando los símbolos de la lógica proposicional, las proposiciones compuestas:
Resuelvo los prácticos sólo si leo los manuales.
R= Resuelvo los prácticos M= Leo los manuales RM
Ejercicio 7:
Para cada una de las fórmulas bien formadas que siguen, sugiera las proposiciones elementales para P, Q, R y S respectivamente y escriba las frases que representen cada fbf.
((P ∨ (S ∧R))∨Q)
P= El equipo rojo jugó bien S= El equipo verde jugó mal
R= El entrenador del equipo rojo es malo Q= La cancha estaba en mal estado.
El equipo rojo jugó bien o, el equipo verde jugó mal y el entrenador del equipo rojo es malo, o la cancha estaba en mal estado.
Ejercicio 8:
Construya la tabla de verdad para las siguientes proposiciones:
a. (A ∧A) A (A ∧A) V V F F b. (A ∧ ¬ A) A ¬A (A ∧ ¬ A) V F F F V F
c. (A ∨A) A (A ∨A) V V F F d. (A ∨ ¬ A) A ¬A (A ∨ ¬ A) V F V F V V
1. Decida si cada una de las siguientes fórmulas cumple con ser tautología, contradicción, contingencia, o consistente. a. Contingencia y consistente b. Contradicción c. Contingencia y consistente d. Tautología y consistente Ejercicio 9:
Para cada una de las fórmulas bien formadas que siguen, escriba otra lógicamente equivalente:
2. ((P
∨
Q)
⇒
R ) ≡ (¬(P ˅Q) ˅R)
Reglas y equivalencias aplicadas: (Por definición de =>) (T
⇒
L)
≡(¬T ˅ L)
Ejercicio 10:Teniendo en cuenta la siguiente situación:
Cuatro amigos, Federico, Diego, Mabel y Laura van al cine y eligen entre dos películas diferentes.
Formalice cada enunciado usando las letras de proposición que se indican:
P = Federico ve la película de terror. Q = Diego ve la película de terror. R = Mabel ve la película de terror. S = Laura ve la película de terror.
1. Sólo si Mabel no ve la misma película que Laura, Federico y Diego ven la película de terror.
((P ˄ Q)
((
¬
R ˄ S) ˅ (R ˄
¬
S)))
1Ejercicio 11:
Sabiendo que
v
( P →Q) = V, ¿qué puede decir del valor de verdad de las siguientes fórmulas, conociendo el comportamiento de cada conectivo?( P ∧R ) → (Q∧R)
Si v( P →Q) = V, tenemos en cuenta las filas de la tabla de verdad donde el valor de verdad final es verdadero entonces se pueden distinguir tres casos:
v( P) = V y v( Q) = V. Tanto para v (P
^
R) como de v (Q^
R) no se puede decir nada ya que hace falta saber la valuación de R. Por lo tanto, no se puede decir nada sobre el valor de verdad de la fórmula. v( P) = F y v( Q) = V,Vemos que v (P
^
R) = F y de v (Q^
R) no se puede decir nada sobre la valuación sin conocer v( R). Pero al ser el antecedente FALSO, entonces la valuación final de la fórmula seráVerdadera.
v( P) = F y v( Q) = F. Vemos que v (P
^
R) = F y v (Q^
R) = F. Luego la valuación final de la fórmula será Verdadera. Ejercicio 14: Encuentre en la siguiente lista de fórmulas cuál se corresponde con el significado de: ¬ P → ¬ Q ∧ R. 1. (¬ P → ¬ Q )∧ R 2. ¬ P → ¬( Q ∧R ) 3. ¬( P → ¬( Q ∧R )) 4. ¬ P → (¬ Q ∧R ) 5. ¬( P → (¬ Q ∧R ))Considerando la jerarquía y asociatividad de los conectivos, la fórmula correspondiente es la 4.
Ejercicio 15:
Pruebe que los conectivos de negación y disyunción forman un conjunto adecuado de conectivos. Es decir, que se puede expresar el resto de los conectivos sólo usando el conjunto {¬, ∨}.
A=>B≡ ¬A ˅ B (por definición de =>) Como se observa en la tabla son equivalentes:
A B ¬A A=>B ¬A ˅ B
V V F V V
V F F F F
F V V V V
A ˄ B ≡ ¬( ¬A ˅ ¬B) (por doble negación y luego ley de De Morgan) Como se observa en la tabla son equivalentes:
A B ¬A ¬ B A˄B (¬A˅¬B) ¬(¬A˅¬B)
V V F F V F V
V F F V F V F
F V V F F V F
F F V V F V F
A<=>B ≡ (A=> B ˄ B=>A) (por definición de <=> )
A=> B ˄ B=>A = (¬A ˅ B) ˄ (¬B ˅ A) (por definición de =>)
(¬A ˅ B) ˄ (¬B ˅ A) = ¬ (¬(¬A ˅ B) ˅ ¬(¬B ˅ A)) (por doble negación y luego ley de De Morgan)
A B ¬A ¬B A<=>
B
¬A
˅ B ¬B ˅A ¬(¬A ˅ B) ¬(¬B ˅ A) (¬¬(¬B ˅ A))(¬A ˅ B) ˅
¬ (¬(¬A ˅ B) ˅ ¬(¬B ˅ A)) V V F F V V V F F F V V F F V F F V V F V F F V V F F V F F V V F F F V V V V V F F F V
Como es posible reescribir fórmulas que involucran a los otros conectivos sólo usando los conectivos de negación y disyunción, queda demostrado que la negación y la disyunción es un conjunto adecuado de conectivos.
Ejercicio 16:
Dada las siguientes fórmulas bien formadas: (P ⇒(Q ⇒(P ∧Q)))
(A ⊻¬ B)
Exprese fórmulas bien formadas equivalentes a cada una de ellas:
Usando sólo los conectivos ∧y ¬. (P ⇒(Q ⇒(P ∧ Q))): (P ⇒(Q ⇒(P ∧Q))) ≡ (P ⇒¬ (Q ∧ ¬ (P ∧Q))) Porque (P ⇒ Q)≡¬(P ∧¬ Q) ≡ ¬ (P∧¬ ¬ (Q∧¬ (P ∧ Q))) Porque (P ⇒ Q) ≡ ¬(P ∧¬ Q) ≡ ¬ (P ∧ (Q ∧ ¬ (P ∧ Q))) Porque ¬ ¬A ≡ A (A ⊻¬ B): (A ⊻¬B) ≡ ((¬A ∧¬B) ∨(A ∧¬¬B)) Porque (P ⊻ Q)≡(¬P ∧ Q)∨(P ∧¬ Q)) ≡ ¬ ¬((¬A∧¬B)∨(A∧¬¬B)) Porque ¬¬A ≡ A ≡ ¬ (¬(¬A∧¬B)∧¬(A∧¬¬B))
Por Leyes de De Morgan
Se deben justificar todas las equivalencias aplicadas
4. Usando sólo el conectivo ↓. (A ⊻¬ B): (A ⊻¬B) ≡ ((¬A ∧¬B) ∨(A ∧¬¬B)) Porque (P ⊻ Q)≡(¬P ∧ Q)∨(P ∨¬ Q)) ≡(¬¬(¬A∧¬B)∨¬¬(A∧B)) Porque ¬¬A ≡ A ≡¬(¬(¬A∧¬B)∧¬(A∧B))
Por Leyes de De Morgan
≡¬((((A↓A)∧(B↓B))↓((A↓A)∧(B↓B)))∧((A∧B)↓(A∧B)) Porque ¬P ≡(P ↓ P) ≡¬((((((A↓A)↓(A↓A))↓((B↓B)↓(B↓B))↓((((A↓A)↓(A↓A))↓((B↓B)↓(B↓B))) ∧(((A↓A)↓(B↓B))↓((A↓A)↓(B↓B))) Porque (P ∧ Q)≡((P ↓ P)↓(Q ↓ Q)) ≡¬(((((((A↓A)↓(A↓A))↓((B↓B)↓(B↓B))↓((((A↓A)↓(A↓A))↓((B↓B)↓(B↓B))) ↓(((((A↓A)↓(A↓A))↓((B↓B)↓(B↓B))↓((((A↓A)↓(A↓A))↓((B↓B)↓(B↓B)))↓ ((((A↓A)↓(B↓B))↓((A↓A)↓(B↓B))↓((((A↓A)↓(B↓B))↓((A↓A)↓(B↓B)))) Porque (P ∧ Q)≡((P ↓ P)↓(Q ↓ Q)) ≡((((((((A↓A)↓(A↓A))↓((B↓B)↓(B↓B))↓((((A↓A)↓(A↓A))↓((B↓B)↓(B↓B))) ↓(((((A↓A)↓(A↓A))↓((B↓B)↓(B↓B))↓((((A↓A)↓(A↓A))↓((B↓B)↓(B↓B)))↓ ((((A↓A)↓(B↓B))↓((A↓A)↓(B↓B))↓((((A↓A)↓(B↓B))↓((A↓A)↓(B↓B))))↓ (((((((A↓A)↓(A↓A))↓((B↓B)↓(B↓B))↓((((A↓A)↓(A↓A))↓((B↓B)↓(B↓B))) ↓(((((A↓A)↓(A↓A))↓((B↓B)↓(B↓B))↓((((A↓A)↓(A↓A))↓((B↓B)↓(B↓B)))↓ ((((A↓A)↓(B↓B))↓((A↓A)↓(B↓B))↓((((A↓A)↓(B↓B))↓((A↓A)↓(B↓B))))) Porque ¬P ≡(P ↓ P)