1. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales por el método de Gauss

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(1)

1.

Resoluci´

on de sistemas de ecuaciones lineales por el m´

etodo

de Gauss

1.1.

Introducci´

on (Miguel de Guzm´

an)

Multitud de fen´omenos naturales y sociales se comportan linealmente, es decir, una causa doblemente intensa produce un efecto doblemente intenso, una misma causa que act´ua por un espacio de tiempo dos veces m´as largo produce un efecto dos veces mayor. Y a´un cuando muchos fen´omenos se comportan as´ı tan s´olo aproximadamente, se tratan como si fueran lineales para facilitar su estudio inicial. Un muelle se alarga al colgarle un peso y su alargamiento es doble cuando se cuelga un peso doble. Un coche a una velocidad de 60 km/h recorre 1 km en un minuto y, naturalmente 2 km en 2 minutos. Si el precio del kilo de az´ucar es de 0.90e, es claro que por 2 kilos, a no ser que haya una oferta especial, tendr´e que pagar

1.80e.

Esto explica que la matem´atica de las aplicaciones a los fen´omenos naturales y sociales sea muy funda-mentalmente lineal en un primer acercamiento y que los sistemas de ecuaciones lineales, en particular, constituyan el esqueleto b´asico de estas aplicaciones. De hecho, se dice que la mayor parte del tiempo que los ordenadores actuales dedican a resolver problemas matem´aticos que tienen que ver con la industria y el comercio, se emplea en el tratamiento de sistemas de ecuaciones lineales, sobre todo en lo que constituye laprogramaci´on lineal.

De aqu´ı se deriva el enorme inter´es por conseguir m´etodos r´apidos, eficaces y econ´omicos que simplifiquen al m´aximo las tareas del ordenador. Teniendo en cuenta que este tiene que trabajar, por ejemplo, en la optimizaci´on del aprovechamiento de las rutas de una gran compa˜n´ıa a´erea o telef´onica, con sistemas de ecuaciones lineales con m´as de 800 000 variables, es f´acil comprender que cualquier simplificaci´on, en el tratamiento de tales sistemas, por trivial que parezca, puede representar un ahorro de miles de horas de ordenador.

En este tema se introduce uno de los m´etodos m´as interesantes para resolver sistemas de ecuaciones lineales, el m´etodo de Gauss, sumamente simple en su concepci´on y f´acilmente implementable con el ordenador. Aunque trataremos aqu´ı sistemas sencillos, de pocas variables, el m´etodo es el mismo aunque el n´umero de variables sea gigantesco.

1.2.

Reflexi´

on sobre las infinitas soluciones de una ecuaci´

on lineal:

De un sistema lo primero que hay que tener claro es qu´e inc´ognitas tiene (¿en qu´eRn nos movemos?) a) x+y= 5 o R2

: x, y

algunas soluciones son (1,4),(7,−2), . . . hay por supuesto infinitas, pero no son cualesquiera: Si x=ω→y= 5−ω y as´ı las soluciones ser´an {(ω,5−ω)/ω∈R}

a esto le llamamos parametrizar las soluciones, y solemos usar letras del alfabeto griego para ello. Decimos que hay infinitas soluciones con un grado de libertad (un par´ametro).

b) x+y= 5 o R3

: x, y, z la ecuaci´on es con precisi´on m´aximax+y+ 0·z= 5

algunas soluciones son (1,4,0),(7,−2,9), . . . hay por supuesto infinitas, pero no cualesquiera: Si x=ω→

(

y= 5−ω

(2)

La clave del asunto es interpretar correctamente la participaci´on dez. Como vale cualquier valor dez, decimos z=ξ

Decimos que hay infinitas soluciones con dos grados de libertad.

Todo el problema est´a en resolver la ecuaci´on m´as elemental, observa con atenci´on: 3·x= 6 → x= 2 (soluci´on ´unica)

2·x= 0 → x= 0 (soluci´on ´unica) 0·x= 4 → no hay soluci´on

0·x= 0 → cualquier n´umero vale (x=ξ)          ✞ ✝ ☎ ✆ a·x=b a6= 0 (sin problemas) a= 0 ( b6= 0→ sin soluci´on b= 0→ infinitas solucionesx=ω

1.3.

Los sistemas triangulares y su f´

acil soluci´

on

A los sistemas de ecuaciones cuya matriz de coeficientes est´a triangulada les llamamos sistemas triangu-lares, y pueden resolverse de modo elemental como ilustran los siguientes ejemplos:

a) x+ 2y− z= 4 3y+ 2z= 5 2z= 2      Comenzamos por la 3a ecuaci´on: 2z= 2→z= 1 ahora en la 2a : 3y+ 2·1 = 5→3y= 5−2→y = 1 y por fin: x+ 2·1−1 = 4→x= 4−2 + 1→x= 3      Soluci´on (3,1,1) Se trata de un SCD, sistema compatible (tiene soluci´on) determinado (esta es ´unica).

Observa c´omo toda la informaci´on del sistema la transmite la siguiente matriz triangulada en donde hemos marcado una raya de divisi´on para separar los t´erminos independientes:

   1 2 1 4 0 3 2 5 0 0 2 2   

A esta matrizA/B le llamamosmatriz ampliadadel sistema. Une la matrizA=    1 2 1 0 3 2 0 0 2    de

coeficientes con la matriz B =    4 5 2  

 de los t´erminos independientes, de manera que en un ´unico bloque observamos la que queremos de las tres.

b) En el siguiente ejemplo la ´ultima ecuaci´on

✞ ✝

☎ ✆

0·z= 0 podr´ıa, en principio, no aparecer (en ese caso nosotros la a˜nadir´ıamos).

x+ y− z =−2 −3y+ 5z =−1 0·z= 0     

Comenzamos de nuevo por la 3a

ecuaci´on: 0·z= 0→z=ω (cualquier no

) ahora en la 2a : −3y+ 5·ω=−1→3y= 1 + 5ω→y=1 3+ 5 3ω y en la 1a : x+ 1 3+ 5 3ω −ω=−2→x=−2−1 3− 5 3ω+ω→x=− 7 3− 2 3ω Soluci´on: −7 3− 2 3ω, 1 3+ 5 3ω, ω /ω∈R

(3)

Se trata de SCI, sistema compatible (tiene soluci´on) indeterminado (infinitas soluciones). Se puede precisar m´as diciendo que es un SCI(1), es decir, con un grado de libertad (par´ametro). c) El tercer ejemplo muestra un SI, sistema incompatible (sin soluciones).

x−2y−z= 2 5y+z= 1 0·z= 5     

Comenzamos de nuevo por la 3a

ecuaci´on, y en ella terminamos: 0·z= 5→ ¡imposible!

¡Desde luego que es f´acil resolver sistemas triangulados! ¡qu´e pena que la mayor´ıa no sean as´ı!

¡pero los podemos triangular!

¡pero el nuevo sistema tendr´a otras soluciones! ¡NO! Gauss nos garantiza que las soluciones son las mismas.

1.4.

Teorema de Gauss sobre sistemas de ecuaciones

Si en un sistema de ecuaciones cambiamos una ecuaci´on por una combinaci´on lineal de todas las ecuacio-nes donde la ecuaci´on cambiada aparece, el sistema obtenido es equivalente al anterior, es decir, tiene exactamente las mismas soluciones.

Nota: La consecuencia inmediata del teorema es que al aplicar Gauss y triangular cualquier sistema las soluciones del sistema triangulado son las mismas que las del sistema original.

Haremos por comodidad la demostraci´on para un sistema 3×3 y llamaremosEi(X) =bi a la ecuaci´on i-´esima.

Demostraci´on:

Supongamos que partimos de un sistemaS de ecuaciones

E1(X) =b1 E2(X) =b2 E3(X) =b3     

y hacemos el cambio E2(X) =b2 → αE1(X) +βE2(X) +γE3(X) =αb1+βb2+γb3 siendoβ6= 0

(de nuevo esta condici´on es esencial, pues nos permitir´a poder despejarE2(X))

con lo que el sistema se transforma en el S′

E1(X) =b1

αE1(X) +βE2(X) +γE3(X) =αb1+βb2+γb3

E3(X) =b3      Es evidente que una soluci´on deS lo ser´a de S′. Veamos la parte m´as dif´ıcil, por qu´e una soluci´on deS′ lo es tambi´en deS.

Si se cumple S′

E1(X) =b1

αE1(X) +βE2(X) +γE3(X) =αb1+βb2+γb3

E3(X) =b3     

s´olo nos falta probar E2(X) =b2

para que se cumplan las tres ecuaciones deS

De la segunda ecuaci´on cancelo los que ya s´e que son iguales y obtengo:

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y de βE2(X) =βb2 → βE✁✁ 2(X) =✁✁βb2 l´ıcito, pues s´e queβ6= 0

¡y ya tenemos que tambi´en E2(X) =b2!

Nota: Gauss generaliza nuestro conocido m´etodo de reducci´on. Observa: 2x+y = 5 3x−5y= 1 ) → 2E2−3E1 2x+y= 5 −13y=−13 ) → −13y=−13 → y= 1 → x= 2 Ejercicios: 1). Resuelve el sistema 2x+ y + z = 4 x− y −2z=−2 3x+ 2y+ z = 6      Soluci´on:

Es m´as c´omodo usar las matrices del sistema:

   2 1 1 4 1 −1 −2 −2 3 2 1 6    → 2E2−E1 2E3−3E1    2 1 1 4 0 −3 −5 −8 0 −1 −1 0    → 3E3−E2    2 1 1 4 0 −3 −5 −8 0 0 −8 −8   

y por tanto el sistema es equivalente al

2x+y +z = 4 3y−5z=−8 −8z=−8      →z= 1→y= 1→x= 1 SCD sol.{(1,1,1)} 2). Resuelve el sistema 2x+y+z = 4 x−y−2z=−2 4x−y−3z= 0      Soluci´on:    2 1 1 4 1 −1 −2 −2 4 −1 −1 0    → 2E2−E1 E3−2E1    2 1 1 4 0 −3 −5 −8 0 −3 −3 −8    → E3−E2    2 1 1 4 0 −3 −5 −8 0 0 0 0    equivalente a 2x+y + z = 4 −3y− 5z =−8 0·z= 0      → z=λ→y=8 3− 5 3λ 2x+ 8 3− 5 3λ +λ= 4 x=2 3+ 2 3λ →SCI sol. 2 3+ 2 3λ, 8 3− 5 3λ, λ)/λ∈R

1.5.

Discusi´

on de una familia de sistemas en funci´

on de un par´

ametro

A veces ocurre que aparece un par´ametro indeterminado en un sistema de ecuaciones, convirtiendo a este en una familia de infinitos y parecidos sistemas. Lo que hemos de hacer es estudiar en funci´on del par´ametro (en principio usando Gauss) para qu´e valores de ´este el sistema es SCD, SCI o SI, y dar la soluci´on (si nos la piden) en los casos en que sea compatible.

La manera de trabajar la ilustramos con algunos ejemplos resueltos subrayando convenientemente ciertos briconsejos claves para no equivocarse:

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3). Discute y resuelve si es compatible en funci´on deael sistema: x −2y+ z = 1 2x− y + z = 2 ax− y + 2z= 4      Soluci´on:    1 −2 1 1 2 −1 1 2 a −1 2 4    → E2−2E1 E3−aE1    1 −2 1 1 0 3 −1 0 0 −1 + 2a 2−a 4−a    →

¡cuidado con los pr´oximos c´alculos!

3E3−(−1 + 2a)E2        ✞ ✝ ☎ ✆ 1 −2 1 1 0 ✞ ✝ ☎ ✆ 3 −1 0 0 0 ✞ ✝ ☎ ✆ 5−a 12−3a       

recuerda que para deshacer la madeja y despejar necesitamos diagonal principal no nula. Los casos que anulen alg´un t´ermino de la diagonal principal los estudiamos aparte.

x−2y+ z = 1 3y− z = 0 (a−5)z= 12−3a      Si ✞ ✝ ☎ ✆ a6= 5 tendremos (a−5)z= 12−3a→z=12−3a a−5 y sustituyendo en la 2 a 3y−12−3a a−5 = 0→y= 4(3−a) 3(a−5) = 4−a a−5→ y ahora ambasyyzen la 1 a →x−2·4−a a−5+ 12−3a a−5 = 1→ →x= 1 +8−2a a−5 − 12−3a a−5 →x= a−5 a−5+ 8−2a a−5 − 12−3a 5−a →x= 2a−9 a−5 Si ✞ ✝ ☎ ✆ a= 5 ¡quitamosay ponemos 5!    1 −2 1 4 0 3 −1 0 0 0 0 −3    en la 3 a 0·z=−3→SI Resumiendo:    a6= 5 SCD de soluci´on 4(a−4) a−5 , a−4 a−5, 2a−9 a−5 a= 5 SI

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Figure

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