COLISIONES EN DOS DIMENSIONES
ObjetivoEstudiar las leyes de conservación del momento lineal y la energía mecánica en colisiones elásticas en dos dimensiones.
Equipo
Plano inclinado con canal de aluminio, dos esferas metálicas de 1 o 2 cm de diámetro, regla de un metro de longitud, una hoja de papel de 90 cm x 70 cm, cinta de enmascarar, plomada, calibrador, dos balanzas digitales y transportador.
Teoría
Con el propósito de entender fundamentos de la teoría en que se basa este experimento, consideremos el montaje que se ilustra en la figura 1. En este aparece una esfera de masa m1, que rueda por un canal de aluminio y que en el punto P choca con otra esfera de masa m2, la cual está en reposo
Figura 1 representación esquemática del montaje experimental
Queremos utilizar estos elementos para examinar la validez de la conservación del momento lineal, el cual dice que cuando la fuerza externa neta que actúa sobre un sistema es nula, el momento lineal total del sistema permanece constante. Pero el sistema nuestro de dos esferas está sometido a fuerzas externas: la fuerza gravitatoria terrestre y la fricción; a la fuerza de fricción con el aire la consideramos despreciable, lo cual nos permite afirmar que no actúan fuerzas sobre las esferas en las direcciones x, y, paralelas al plano del piso y por lo tanto el momento lineal de las dos esferas se conserva en estas dos direcciones, pero no en la dirección z perpendicular al piso. Esta es la base del experimento. Consideremos que m2 está colocada en un punto Q tal que m1 no la golpea frontalmente. Esto da lugar a dos fenómenos: primero, las esferas adquieren cierto "efecto"
rotacional alrededor de un eje perpendicular al piso (además del que tendrán por rotación alrededor de un eje paralelo al piso debido a la rodadura sobre el canal) y segundo la colisión se va a efectuar en dos dimensiones tal como lo vemos en la figura 2.
Es necesario notar que los movimientos de rotación involucran cierta energía cinética de rotación. La energía cinética rotacional de la esfera incidente, asumiendo que rueda sin deslizar, es igual a
En el extremo inferior del canal, y representa un 29% de la energía cinética total, pero no es una causa de error importante el despreciarla (¿por qué?). Por otra parte el proceso de colisión puede dar lugar a otros movimientos rotacionales en los que no es simple expresar la velocidad en términos de la velocidad lineal, razón por la cual estos movimientos deben incluirse dentro de las causas de error.
Si en un punto Q que está fuera de la dirección que trae m1, pero al alcance de esta, se coloca la esfera de masa m2la colisión se va a efectuar en dos dimensiones tal como lo vemos en la figura 2.
Figura 2
La conservación del momento lineal para las componente x y y se expresa matemáticamente como
Si se acepta que la colisión entre dos esferas metálicas es elástica, la energía cinética de las dos esferas antes y después del choque es la misma, es decir,
Lo cual nos está diciendo que si las esferas tienen masas iguales, si el momento lineal se conserva y si la energía cinética se conserva, entonces, después de la colisión, las dos esferas se alejan siguiendo trayectorias que forman 'entre sí un ángulo recto.
Para hallar las velocidades de las esferas utilizaremos lo que hemos aprendido sobre el movimiento del tiro parabólico. Sabemos que cuerpos lanzados desde el borde de una mesa con diferentes velocidades horizontales tardan el mismo tiempo para caer al suelo. Si h es la altura a la que se encuentra el bordo del canal con respecto al piso, entonces, el tiempo que tardan las esferas para caer al suelo es
Si despreciamos la resistencia del aire, la componente horizontal de su velocidad permanece constante, y por tanto, la distancia que recorren horizontalmente es proporcional a la velocidad en esa dirección. Podemos utilizar esto para medir las velocidades de las esferas
Donde L0es la distancia horizontal que recorre la esfera de masa m1 sin que colisione, L1 es la distancia horizontal que recorre la esfera m1 después de la colisión, L2 es la distancia horizontal que recorre la esfera m2 después de la colisión y h es la altura a la que se encuentra el borde del canal, con respecto al piso. Reemplazando las ecuaciones (8), (9) y (10) en la ecuación (6), se tiene
Del teorema de Pitágoras y de la relación (11) se concluye que las los segmentos de longitudes L0, L1 y L2 forman un triángulo rectángulo con hipotenusa L0 y catetos L1y L2 Como el eje x está a lo largo de L0 se concluye que (figura 3)
De dicha figura 3 se concluye también que
Si se va cambiando el ángulo de impacto escogiendo diferentes puntos Q (figura 2), sin cambiar la altura desde la cual se deja rodar m1, lospuntos de caída de cada esfera van a quedar situados sobre una circunferencia de diámetro L0. En la figura 3 se ilustra esto.
Las leyes de conservación que estamos considerando en el experimento (ecuaciones 3, 4 y 5) se pueden reducir a las siguientes tres relaciones en la figura 3:
En el experimento se miden la cantidades L1, L2, L0, θ1 y θ2 con errores ΔL1 , ΔL2 , ΔL0, Δθ1, Δθ2. Los errores del experimento se pueden caracterizar por los errores en Δƒ1, Δƒ2 y Δƒ3:
Procedimiento
1. Pesar cada una de las esferas para estar seguro que las masas son iguales y llámela m.
2. Medir la altura (h) del borde del canal con respecto al piso. 3. Hacer el montaje de la figura 1.
4. Pegar al piso la hoja de papel de tal manera que uno de sus bordes angosto quede paralelo a eje, y a unos 1 0 cm detrás de la plomada y centre la hoja.
5. Deje rodar libremente por el canal una esfera y marque el punto en el cual golpea la hoja de papel; marque también la posición de la plomada; la línea que une estos dos puntos será el eje x.
6. Calculo del momento lineal inicial de la esfera proyectil: Gire la placa del tornillo de tal manera que no interrumpa el movimiento de la esfera que se mueve sobre el plano inclinado. Elija la altura desde la cual se dejara rodar la esfera incidente (punto A del
canal), que será la misma para todos los ensayos y repita 5 veces. Haga un promedio de las posiciones donde cayó la esfera y mida la distancia entre la marca de la plomada y la posición promedio, llámela L0 y llévelo a la tabla I.
7. Colocar una esfera en el extremo inferior del canal y la otra sobre el tornillo de la lamina y ajuste su posición para que las dos esferas se encuentren al mismo nivel.
8. Retirar las esferas y aflojar el tornillo que ajusta la placa para que rote un pequeño ángulo de tal manera que el centro de la esfera que sirve de blanco quede a 2.5 radios del borde del canal (figura 4).
9. Momento final de las dos esferas
Coloque la esfera blanco encima del tomillo y ajuste el nivel para no cambiarlo más y tenga la esfera incidente sobre una marca del canal cercano al extremo superior (punto A de la figura 1), déjela rodar libremente, otros dos estudiantes estarán pendientes de atrapar las esferas después del impacto al piso para evitar el rebote. Coloque el número 1 al pie de las marcas dejadas por cada esfera. Repita este procedimiento 5 veces. Con las marcas que tiene de cada esfera, encuentre una posición promedio de caída para cada una de las esferas y trace con la regla una recta de la marca de la plomada en el papel, a cada una de las dos posiciones promedio. Estas dos rectas son L1 y L2 que definimos en la teoría. Mida las longitudes de las rectas L1 y L2 lleve estos valores a la tabla I. Compruebe si la suma vectorial de L1 y L2 es L0 (construyendo el paralelogramo de lados L1 y L2 yviendo sí L0 es su diagonal). Mida los ángulos θ1 y θ2 que hacen las rectas L1 y L2 con L0 y lleve estos valores a la tabla I. Observe si es el mismo que predice la teoría (θ1 + θ2 = 90°). Evalúe los errores con ayuda de las formulas (16), (17) y (18) y lleve estos valores a la tabla I. Repita 8 veces este procedimiento cambiando el ángulo de impacto (4 veces hacia la izquierda y 4 hacia la derecha de la dirección incidente del proyectil) y termine de llenar la tabla I.
Para cambiar el punto de colisión mueva el tornillo una pequeña distancia, paralelamente al borde final del canal del plano inclinado.
De acuerdo a la teoría todos los puntos van a estar situados en una circunferencia de diámetro L0.
INFORME SOBRE COLISIONES EN DOS DIMENSIONES
Nombres:……….. Mesa #... Fecha:………… ………..
……….. 1. Llene la tabla I. Medidas experimentales L’0 = m’ = h = Posición del tornillo 1 2 3 4 5 6 7 8 Preguntas
1. ¿Se conserva la energía cinética y el momento lineal en esta colisión?
2. ¿Por qué no se espera que se conserve el momento lineal en la dirección perpendicular al plano del piso?
3. ¿Por qué no es necesario considerar la fricción de la esfera proyectil al rodar por el canal? 4. ¿Cuál es la diferencia entre rodar y deslizar?
5. ¿Cuál es el valor de la energía cinética de rotación de la esfera incidente en el extremo inferior del canal?
6. ¿Por qué en la ecuación (3) no se tiene en cuenta la energía cinética de rotación? ¿Hay alguna aproximación?
7. Numere las conclusiones principales de su experimento (sólo se aceptan conclusiones que se deduzcan en forma lógica del experimento)
8. Enumere las causas de error diciendo cómo influyen en sus resultados. Nota: Debe entregar la hoja con las marcas y los vectores respectivos.
