UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN

FACULTAD DE CIENCIAS DE LA TIERRA

MANUAL PARA EL CURSO PROPEDÉUTICO DE

MATEMÁTICAS

Elaborado por:

Roberto Soto Villalobos

Trigonometría

Un

ángulo

se forma al girar un rayo alrededor de su punto final. El rayo en su

posición inicial se llama

lado inicial

del ángulo, mientras que el rayo en su posición

después del giro está en el

lado terminal

del ángulo. El punto final del rayo es el

vértice del ángulo

.

Definición (ángulo)

Si la rotación del lado terminal es en el

sentido levógiro

(en contra de las manecillas

del reloj)

el ángulo es positivo

. Si la rotación del lado terminal es en el

sentido

dextrógiro

(a favor de las manecillas del reloj)

el ángulo se negativo

.

Definición (ángulo positivo-negativo)

Un

grado

es la magnitud de un ángulo cuyo vértice esta en el centro de un circulo y

cuyos lados interceptan un arco de longitud igual a 1/360 de la circunferencia. Un

ángulo de un grado puede ser subdividido en 60 partes iguales cada una de las

cuales recibe el nombre de

minuto

; cada minuto puede ser subdividido en 60 partes

iguales, cada una de las cuales recibe el nombre de

segundo

. Los símbolos

°

,

´

,

´´

sirven para designar,

grados,

minutos

y

segundos

.

Definición (medida del ángulo)

Un

ángulo agudo

es aquél ángulo que mide entre

0

°

y 90

°

.

Definición (ángulo agudo)

Un

ángulo recto

es aquél ángulo que mide exactamente 90

°

.

Definición (ángulo recto)

Un

ángulo obtuso

es aquél ángulo que mide entre

90

°

y 180

°

.

Definición (ángulo obtuso)

Un

ángulo llano

es aquél ángulo que mide exactamente 180

°

.

Definición (ángulo llano)

Si la suma de las medidas de dos ángulos positivos es igual a 90

°

los ángulos se

llaman

complementarios

.

Definición (ángulos complementarios)

Si la suma de las medidas de dos ángulos positivos es igual a 180

°

los ángulos se

llaman

suplementarios

.

Definición (ángulos suplementarios)

Realizar la suma de las siguientes medidas de ángulos:

30

°

20’17’’

15

°

47’25’’

65

°

38’34’’

Ejemplo I (suma de ángulos)

Encuentra los ángulos complementarios y suplementarios de los siguientes ángulos

positivos.

70

°

31’42’’

35

°

43’31’’

14

°

37’44’’

Ejemplo III (ángulos complementarios y suplementarios)

Convertir los ángulos dados en ángulos decimales.

43

°

22’35’’

102

°

17’45’’

34

°

45’57’’

Ejemplo IV (conversión de grados minutos y segundos a grados decimales)

Convertir los ángulos dados en decimal a ángulos en grados minutos y segundos.

65.3452

87.4596

105.3333

Ejemplo V (conversión de grados decimales agrados minutos y segundos)

Realizar la suma de las siguientes medidas de ángulos:

30

°

20’17’’-15

°

16’13’’

65

°

38’34’’-15

°

47’25’’

Ejemplo II (resta de ángulos)

Los ángulos que tienen los mismos lados inicial y terminal, se llaman ángulos

coterminales

.

Definición (ángulos coterminales)

Un ángulo está en su

posición normal

o

estándar

si su vértice se ubica en el origen y

su lado inicial está a lo largo del eje positivo del eje de las x. Si el lado terminal

está en el primer cuadrante se denomina

ángulo del primer cuadrante

, si se

encuentra en el segundo se llamará

ángulo del segundo cuadrante

, y análogamente

para los otros cuadrantes. Si los lados terminales coinciden con el eje de las x o el

eje de las y se llaman

ángulos cuadrantales

.

Definición (posición normal de un ángulo)

Un

radián

es la medida de un ángulo con vértice en el centro de un circulo y cuyos

lados interceptan un arco de circunferencia de longitud igual al radio.

Definición (radián)

Π

radianes

=180

°

1

radian

es aproximadamente 57.3

°

1

°

es aproximadamente 0.0175

radianes

Relación entre grados y radianes

Encuentra por los menos dos ángulos coterminales para lo siguientes ángulos:

27

°

105

°

-35

°

Ejemplo VI (suma de ángulos)

Convertir la medida de los ángulos grados a radianes.

180

°

60

°

45

°

240

°

122.5

°

200

°

10’

326

°

41’

425.2

°

Ejemplo VIII (conversión de grados a radianes)

Encuentra por los menos dos ángulos positivos coterminales para lo siguientes ángulos

30

°

20’17’’

-15

°

16’13’’

65

°

38’34’’

Ejemplo VII (resta de ángulos)

Convertir la medida de los ángulos radianes a grados.

0.028

2.3

30

2.12

Ejemplo IX (conversión de radianes a grados )

1



2

3



2

3



1.9



Determinar la medida de cada uno de los ángulos en la siguientes figuras:

Ejemplo X

(11 )

x



(7 )

x



(2 )

y



(4 )

y



Funciones Trigonométricas

Sea (x,y) un punto diferente del origen en el lado terminal de un ángulo θ en su

posición normal. La distancia del punto al origen es Las seis funciones

trigonométricas se definen como sigue:

Definición (Funciones trigonométricas)

cos

tan

(

0)

csc

(

0)

sec

(

0)

cot

(

0)

y

x

y

sen

x

r

r

x

r

r

x

y

x

x

y

x

y









r



x



y

El lado terminal de un ángulo θ pasa a través del punto (8,15) determinar los

valores de las seis funciones trigonométricas del ángulo θ

Ejemplo XI (Funciones trigonométricas)

El lado terminal de un ángulo θ pasa a través del punto (-3,-4) determinar los

valores de las seis funciones trigonométricas del ángulo θ

Ejemplo XII (Funciones trigonométricas)

Determinar los valores de las funciones trigonométricas en los ángulos cuadrantales

Ejemplo XIII (Funciones trigonométricas de los ángulos cuadrantales)

sen

θ

cos

θ

tan

θ

cot

θ

sec

θ

csc

θ

0

°

90

°

180

°

270

°

Evalúa cada una de las expresiones:

Ejemplo XIV (simplificación de expresiones)

Cos90

°

+3sen270

°

Tan0

°

-6sen90

°

3sec180

°

-5tan360

°

4csc270

°

+3cos180

°

Tan360

°

+4sen180

°

+5cos

180

°

2sec0

°

+4cot

90

°

+cos360

°

sen

₁₈₀

_°

_+cos

₁₈₀

_°

sen

₃₆₀

_°

_+cos

₃₆₀

_°

sec

₁₈₀

_°

_-3sen

₃₆₀

_°

_+2cos180

_°

5sen

₉₀

_°

_+2cos

₂₇₀

_°

_-7tan360

_°

Si n es un número entero encontrar el valor de las siguientes expresiones:

cos[(2

n

  

1) 90 ],

sen n

[ 180 ],





tan[ 180 ],

n





tan[(2

n

  

1) 90 ]

Identidades recíprocas

1

1

1

sen

cos

tan

csc

sec

cot

1

1

1

csc

sec

cot

sen

cos

tan

sen csc

1

cos sec

1

tan cot

1























































sen

θ

cos

θ

tan

θ

cot

θ

sec

θ

csc

θ

I

₊

₊

₊

₊

₊

₊

II

₊

_-

_-

_-

_-

₊

III

_-

_-

₊

₊

_-

_-

IV

_-

₊

_-

_-

₊

_-

Signos de los valores de las funciones trigonométricas

Para cualquier ángulo θ para los cuales la función indicada existe:

1).-

2).- tanθ y cotθ pueden ser iguales a cualquier numero real

3).-

Rangos de las funciones trigonométricas

1 sen



1

y

1 cos



1

 



 



1 sec



1

y

1 csc



1

 



 



Identidades Pitagóricas

cos

1 tan

1 sec

1 cot

csc

sen











 











Identidades Cociente

cos

tan

cot

cos

sen

sen



_



_









Si está en el II cuadrante encontrar las restantes funciones

trigonométricas.

Ejemplo XV (Dada una función trigonométrica encontrar las restantes)

cos



 

3 / 4

Si está en el IV cuadrante encontrar las restantes funciones

trigonométricas.

Ejemplo XVI (Dada una función trigonométrica encontrar las restantes)

tan



 

1.5

Ejemplo XVII

(Valores exactos de las funciones trigonométricas de 30

°

, 45

°

y 60

°

)

cos

tan

cot

sec

csc

30

45

60

sen













Encontrar las funciones trigonométricas de sen(0.2) y las demás funciones

trigonométricas en el I cuadrante.

Ejemplo XVIII (funciones trigonométricas de ángulos agudos positivos)

3

5

7

9

3!

5!

7!

9!

sen

 

 

















2

4

6

8

cos

1

2!

4!

6!

8!











 









Identidades Trigonométricas

cos

csc

1

cos

sec

1

tan

cot

1

tan

cos

cos

cot

tan

cos

1

1

tan

sec

1

cot

csc

Identidades de recípro

sen

Identidades de cocientes

sen

Identidades pitagóricas

sen



























































Ejemplo XVII (Identidades Trigonométricas)

csc

1

cos

sec

1

tan

cot

1

tan

cos

cos

cot

tan

cos

1

1

tan

sec

1

cot

csc

sen

sen

sen



























































2

2

cos



(1



tan



)



1

Ejemplo XVIII (Identidades Trigonométricas)

csc

1

cos

sec

1

tan

cot

1

tan

cos

cos

cot

tan

cos

1

1

tan

sec

1

cot

csc

sen

sen

sen



























































2

2 cos (1 cos

)

1

2

sen

cos













Ejemplo XIX (Identidades Trigonométricas)

csc

1

cos

sec

1

tan

cot

1

tan

cos

cos

cot

tan

cos

1

1

tan

sec

1

cot

csc

sen

sen

sen



























































cos

sec

tan

1

sen



_

_









Ejemplo XX (Identidades Trigonométricas)

csc

1

cos

sec

1

tan

cot

1

tan

cos

cos

cot

tan

cos

1

1

tan

sec

1

cot

csc

sen

sen

sen



























































tan

sec

cot

csc

cot

csc

tan

sec



























Ejemplo XXI (Identidades Trigonométricas)

csc

1

cos

sec

1

tan

cot

1

tan

cos

cos

cot

tan

cos

1

1

tan

sec

1

cot

csc

sen

sen

sen



























































1 cos

1 cos

sen

sen















Ejemplo XXII (Identidades Trigonométricas)

csc

1

cos

sec

1

tan

cot

1

tan

cos

cos

cot

tan

cos

1

1

tan

sec

1

cot

csc

sen

sen

sen



























































cos

tan

sec

1

sen



_

_









Ejemplo XXIII (Identidades Trigonométricas)

csc

1

cos

sec

1

tan

cot

1

tan

cos

cos

cot

tan

cos

1

1

tan

sec

1

cot

csc

sen

sen

sen



























































2

1

1

2 sec

1



sen





1



sen







Ejemplo XXIV (Identidades Trigonométricas)

csc

1

cos

sec

1

tan

cot

1

tan

cos

cos

cot

cos

1

1

tan

sec

1

cot

csc

sen

sen

sen

sen



























































2

2

2

2

2 cos



(cot



 

1)

csc





cot





1

Ejemplo XXV (Identidades Trigonométricas)

2

2

2

4

4

4

2

sec

tan

sec

tan

cos

2

sen

sen





















csc

1

cos

sec

1

tan

cot

1

tan

cos

cos

cot

cos

1

1

tan

sec

1

cot

csc

sen

sen

sen

sen



























































Ejemplo XXVI (Identidades Trigonométricas)

4

4

4

2

2

2

sec

tan

cos

2

sec

tan

sen















_

_

csc

1

cos

sec

1

tan

cot

1

tan

cos

cos

cot

cos

1

1

tan

sec

1

cot

csc

sen

sen

sen

sen



























































Ejemplo XXVII (Identidades Trigonométricas)

4

4

4

2

2

2

sec

tan

cos

2

sec

tan

sen















_

_

csc

1

cos

sec

1

tan

cot

1

tan

cos

cos

cot

cos

1

1

tan

sec

1

cot

csc

sen

sen

sen

sen



























































Ejemplo XXVIII (Identidades Trigonométricas)

tan

cos cot

cos

csc

sec

sen





sen























csc

1

cos

sec

1

tan

cot

1

tan

cos

cos

cot

cos

1

1

tan

sec

1

cot

csc

sen

sen

sen

sen



























































Ejemplo XXIX (Identidades Trigonométricas)

2

2

2

cot



sec



 

1 cot



2 2 2 2 2 2

csc

1

cos

sec

1

tan

cot

1

tan

cos

cos

cot

cos

1

1

tan

sec

1

cot

csc

sen

sen

sen

sen



























































Ejemplo XXX (Identidades Trigonométricas)

2

2

1

cot

tan

cos

sen













csc

1

cos

sec

1

tan

cot

1

tan

cos

cos

cot

cos

1

1

tan

sec

1

cot

csc

sen

sen

sen

sen



























































Ejemplo XXXI (Identidades Trigonométricas)

cot

cot

tan

tan

1 cot

cot

tan

tan

1



























csc

1

cos

sec

1

tan

cot

1

tan

cos

cos

cot

cos

1

1

tan

sec

1

cot

csc

sen

sen

sen

sen



























































Ejemplo XXXII (Identidades Trigonométricas)

cot

cot

1 cot

cot

0

tan

tan

1

tan

tan





























csc

1

cos

sec

1

tan

cot

1

tan

cos

cos

cot

cos

1

1

tan

sec

1

cot

csc

sen

sen

sen

sen



























































Ejemplo XXXIII (Identidades Trigonométricas)

3

2

cos

tan

1 cos

sen

sen

sen



















csc

1

cos

sec

1

tan

cot

1

tan

cos

cos

cot

cos

1

1

tan

sec

1

cot

csc

sen

sen

sen

sen



























































Ejemplo XXXIV (Identidades Trigonométricas)

2

cot





tan





sec csc (1 2







sen



)

2 2 2 2 2 2

csc

1

cos

sec

1

tan

cot

1

tan

cos

cos

cot

cos

1

1

tan

sec

1

cot

csc

sen

sen

sen

sen



























































Ejemplo XXXV (Identidades Trigonométricas)

3

3

2

2

cos

sec

sec

cos

sec

x

x

x

sen x

x

x



_

_



csc

1

cos

sec

1

tan

cot

1

tan

cos

cos

cot

cos

1

1

tan

sec

1

cot

csc

sen

sen

sen

sen



























































Ejemplo XXXVI (Identidades Trigonométricas)

2

2

2

2

sec

x

cot

x



cos

x

csc

x



1

2 2 2 2 2 2

csc

1

cos

sec

1

tan

cot

1

tan

cos

cos

cot

cos

1

1

tan

sec

1

cot

csc

sen

sen

sen

sen



























































Ejemplo XXXVII (Identidades Trigonométricas)

6

6

2

2

cos

1 3

cos

sen







 

sen





csc

1

cos

sec

1

tan

cot

1

tan

cos

cos

cot

cos

1

1

tan

sec

1

cot

csc

sen

sen

sen

sen



























































Ejemplo XXXVIII (Identidades Trigonométricas)

2

2

2

2

2

2

tan

cos

cot

tan

cot

1

sen





















csc

1

cos

sec

1

tan

cot

1

tan

cos

cos

cot

cos

1

1

tan

sec

1

cot

csc

sen

sen

sen

sen



























































Ejemplo XXXVIII (Identidades Trigonométricas)

2

cot

csc

cot

csc

sen



sen



















csc

1

cos

sec

1

tan

cot

1

tan

cos

cos

cot

cos

1

1

tan

sec

1

cot

csc

sen

sen

sen

sen



























































Ejemplo XXXIX (Identidades Trigonométricas)

cot

cos

csc

sec

tan

sec

tan

sen





_

_



















csc

1

cos

sec

1

tan

cot

1

tan

cos

cos

cot

cos

1

1

tan

sec

1

cot

csc

sen

sen

sen

sen



























































Ejemplo XL (Identidades Trigonométricas)

2

2

2

2

2

2 cos

cos

cot

csc

sen

















csc

1

cos

sec

1

tan

cot

1

tan

cos

cos

cot

cos

1

1

tan

sec

1

cot

csc

sen

sen

sen

sen



























































Gráficas de funciones

trigonométricas

Aplicaciones del triangulo rectángulo

Problema

La base de un triángulo rectángulo isósceles mide 20.4 unidades, y los ángulos de la base

miden 48

°

40’. Encontrar los lados iguales y la altura del triángulo

Problema

Considérese la Tierra como una esfera de radio 6378.4 metros, encontrar el radio

correspondiente al paralelo cuya latitud es de 40 grados

Problema

Encontrar el perímetro de un octágono regular inscrito en una circunferencia de un metro de

radio. ¿y de un n-ágono?

Problema

Demostrar que el perímetro P de un polígono regular de n lados inscritos en una

circunferencia de radio r está dado por

180

2

P

rsen

n











_

_





Problema

Desde lo alto de un faro, a 175 pies sobre el nivel del mar, el ángulo de depresión de un barco

situado directamente al sur, es de 18

°

50’. Dos minutos después el ángulo de depresión es de

14

°

20’. Calcular la velocidad del barco si se observa que navega directamente hacia el oeste.

Problema (diámetro del Sol)

Para determinar el diámetro del sol, un astrónomo podría ver con un teodolito primero un

extremo del Sol y después el otro y hallar un ángulo de 32

´

. Suponer que la distancia d desde

la tierra al Sol es de 149,597,870.691 Km (Wikipedia). Calcular el diámetro del Sol.

Problema (la gran pirámide)

Las dimensiones de la gran pirámide en Egipto son, altura 146. 61 metros originalmente y los

lados de la base una longitud medio de 234.347 metros. Encontrar el ángulo de elevación de

sus caras, el ángulo de elevación de sus aristas.

Problema (Estaciones de radar)

Las estaciones de Radar A y B están en una línea recta este-oeste, a una distancia de 3.7

kilómetros . La estación A detecta un avión en C con un rumbo de 61

°

la estación B detecta

simultáneamente el mismo avión en un rumbo de 331

°

. Determinar las distancias en que se

encuentra el avión de las estaciones de Radar en el momento de la medición.

Problema (Rumbos)

El rumbo de A a C es S52

°

E. El rumbo de A a B es N84

°

E. El rumbo de B a C es S38

°

O. Un

avión que vuela a 400 km/h invierte 2.4 horas en ir de A a B, Determinar la distancia de A a C.

Problema (ángulos de elevación)

Chanklón Van Dam necesita saber la altura de un árbol. Desde cierto puno en el suelo,

encuentra que el ángulo de elevación a la parte superior del árbol es de 37.7

°

. Después se

mueve 16 pies hacia atrás. A partir del segundo punto, el ángulo de elevación a la parte

superior del árbol es de 22.2

°

. ¿Cuál es la altura del árbol?, Chanklón además quiere determinar

la distancia que hay desde el primer árbol hasta la primera medición.

Problema (distancia entre dos naves)

Una nave deja su puerto de origen y navega con un rumbo de N28

°

10’E. Otra nave abandona el

mismo puerto al mismo tiempo y navega con rumbo de S61

°

50’E, Si la primera nave navega a 38

km/h y la segunda a 45 km/h, determinar la distancia entre las dos naves después de 4 horas.

Problema (distancia entre una ballena y un faro)

Chanklón Van Dam detecta una ballena que se aproxima directamente hacia el faro desde cuya

parte alta observa. Cuando descubre por primera vez a una ballena su ángulo de depresión es

de 15

°

50’, Justo en el momento en que la ballena se sumerge, el ángulo de depresión es de

35

°

40’. Si la altura del faro es de 68.7 metros, determinar la distancia que la ballena he

recorrido conforme se aproxima al faro.

Demostrar que:

cos A

(



B

)



cos

A

cos

B



senAsenB

Demostrar que:

cos A

(



B

)



cos

A

cos

B



senAsenB

Demostrar que:

sen A

(



B

)



senA

cos

B



cos

AsenB

Demostrar que:

sen A

(



B

)



senA

cos

B



cos

AsenB

Demostrar que:

tan

tan

tan(

)

1

tan

tan

A

B

A

B

A

B









Demostrar que:

tan

tan

tan(

)

1

tan

tan

A

B

A

B

A

B









Demostrar que:

2

2

cos 2

A



cos

A



sen B

Demostrar que:

2

cos 2

A

 

1 2

sen A

Demostrar que:

2

cos 2

A



2 cos

A



1

Demostrar que:

sen A

2



2

senA

cos

B

Demostrar que:

2

2 tan

tan 2

1

tan

A

A

A





Solución de Triángulos Oblicuángulos

Un triángulo que no es un triángulo rectángulo se llama rectángulo. Las medidas de

los tres lados y los tres ángulos se pueden encontrar si se conocen al menos un lado

y otras dos medidas. Hay cuatro casos posibles.

Caso I.- se conocen un lado y los dos ángulos (LAA o ALA)

Caso II.- se conocen dos lados y un ángulo no incluido entre los dos lados (LLA).

Este caso puede conducir a más de un triángulo.

Caso III.- se conocen dos lados y el ángulo entre los dos lados (LAL)

Caso IV.- se conocen tres lados (LLL)

Ley de los senos

Ley de los cosenos

a

a

c

senA



senB



senC

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

cos

2

cos

2

cos

a

b

c

bc

A

b

a

c

ac

B

c

a

b

ab

C



















Deducción de la ley de los senos

Deducción de la ley de los cosenos

Problema

Resolver el triángulo ABC si A=32.0

°

, B=81.8

°

, y a=42.9 cm

Problema

Chanklón Van Dam

desea medir la distancia a través de del río Santa Catarina el determina

que C = 112.90

°

, A=31.10

°

y b=347.6 pies. Determinar la distancia a través del río

A

B

C

Problema

Dos estaciones de bomberos están en una recta este-oeste separadas una distancia de 177 km.

Un incendio forestal esta ubicado en un rumbo de N42

°

E desde la estación occidental en A y en

un rumbo de N15

°

E desde la estación oriental en B. ¿A que distancia de la estación occidental

se encuentra el incendio?

Problema

Encontrar el área de un triángulo

Problema

Tres átomos con radios atómicos de 2.0, 3.0 y 4.5 están colocados como se muestra en la

figura. Determinar la distancia entre los centros de los átomos

C

B

A

18°

Problema

Chanklón Van Dam está sobre un globo aerostático directamente por arriba de una carretera

de 2400 metros de longitud que una a dos pueblos el pueblo más cercano está a un ángulo de

depresión de 35

°

y el más lejano a un ángulo de depresión de 31

°

, ¿A qué altura arriba del

suelo está el globo?

Problema

Chanklón Van Dam está por medir la distancia de la tierra a la luna. Puesto que la luna es un

cuerpo celeste, su distancia se puede medir de manera directa al tomar dos diferentes

posiciones . La luna tendrá un ángulo diferente de elevación en cada posición. El 29 de abril de

1976 a las 11:35 a.m. los ángulos de elevación de la Luna durante un eclipse parcial de Sol en

Bochum, en la alta Alemania y en Donaueschingen, en la Baja Alemania se midieron de

52.6997

°

y 52.7430

°

, respectivamente. Las dos ciudades tienen 398 km de separación. Calcular

la distancia a la Luna desde Bochum en este día y compararla con el valor real de 406,000 km.

No considerar la curvatura de la Tierra.

Problema

Ahora Chanklón Van Dam de topógrafo y desea medir la distancia entre dos puntos

inaccesibles A y B en los lados opuestos de un lago. Mientras se encuentra en el punto C,

encuentra que AC=29 m, BC=423 m y que el ángulo ACB mide 132

°

20’, Determinar la distancia

entre los puntos A y B.

Problema

Resolver el triángulo ABC si A=42.3

°

, b=12.9 m y a=15.4 m

Problema

Resolver el triángulo ABC si a=9.47 m, b=15.9 m y c=21.1 m

P

(0,0)

P

(2,5)

P

(5,13)

P

(8,7)

P

(11,12)

P

(15,12)

P

(18,15)

P

(20,12)

P

(24,10)

P

(28,12)

P

(28,8)

P

(23,-1)

P

(22,5)

P

(20,2)

P

(17,-1)

P

(14,4)

P

(11,0)

P

(6,-3)

P

(0,0)

Área de un polígono

Ecuaciones Trigonométricas