Gu´ıa 3 - Densidad espectral de potencia, transformaci ´on
de procesos, ergodicidad
Nivel de dificultad de los ejercicios Estrellas Dificultad
? Normal
?? Intermedio ? ? ? Desaf´ıo
Densidad espectral de potencia, transformaci ´on de procesos y
Ergo-dicidad
?Ejercicio 1 - Lazo de enganche de fase (PLL)
Un PLL es un dispositivo utilizado en los receptores de comunicaciones para estimar la fase de la “portadora”sin(wct+θi(t)), dondewc es su frecuencia angular yθi(t) es su fase
en medidas en el receptor. En la Fig. 1 se muestra un modelo lineal del PLL, donde Kd y
K0 son constantes yF(s)es la transferencia delfiltro de lazo. En este problema considerare-mosF(s) = α. Por ´ultimo,n(t) es un proceso estoc´astico blanco Gaussiano con densidad espectral de potencia (PSD)N0/2.
1. Obtenga la transferencia a lazo cerrado del PLL definida porH(s) = Θo(s)
Θi(s). ¿Qu´e tipo de respuesta es? Determine la frecuencia de corte de 3dB.
2. Obtenga la PSD y varianza del ruido a la salida del PLL cuando s ´olo se considera el ruido a la entrada.
3. Calcule la funci ´on de autocorrelaci ´on del ruido a la salida del PLL. Verifique el c´alculo de la varianza del punto anterior evaluandoRo(0).
Figura 1: Modelo lineal de un PLL.
?Ejercicio 2 - Ruido en un Amplificador operacional
Un amplificador operacional (OPAMP) presenta fundamentalmente dos fuentes de rui-do: ruido t´ermico ( ´o ruido Johnson-Nyquist) y ruidoflicker ( ´o ruido1/f). Ambos son mo-delados a trav´es de la fuente de tensi ´onen(t) en la Fig. 2, cuyo valor cuadr´atico medio es
¯ e2 n= ¯e2w(fh−fl+fnclogffh l), donde ¯ e2
wes el valor cuadr´atico medio del ruido blanco,fhyfl
especifican el ancho de banda de funcionamiento del circuito yfnces la frecuencia de corte
del ruido1/f.e¯2
wyfncson datos del fabricante.
Por otro lado, un resistor de resistencia R presenta ruido t´ermico que puede ser mo-delado por ruido blanco Gaussiano con densidad espectral de potencia unilateral N0 =
4kT R [V2/Hz], donde ke sla constante de Boltzmann y T es la temperatura en el circui-to . Todas las fuentes de ruido pueden ser consideradas independientes.
1. Determine la ganancia del circuito inversorA.
2. Usando el principio de superposici ´on, determine la varianza de ruido a la salida del OPAMP en t´erminos deA. ¿C ´omo influyen los resistores, el ancho de banda, la ga-nancia del circuito y la frecuencia de corte de ruido del OPAMP en dicha varianza?
Figura 2: Fuentes de ruido en el OPAMP y los resistores.
?Ejercicio 3 - Modelo de Clark para Canales Inal´ambricos
Un transmisor de comunicaciones (Tx) se mueve hacia el receptor (Rx) a una velocidad v. En ciertas condiciones, el canal inal´ambrico se puede modelar como una variable aleato-ria compleja circular con distribuci ´on Gaussianah[n]. En el caso de la Fig. 3, los reflectores ubicados alrededor del Rx reflejan la se ˜nal, con lo cual se asume que la se ˜nal llega al Rx desde todos los ´angulos. Seaτθ[n]el retardo asociado a la se ˜nal que proviene del ´anguloθ
correspondiente al instante de tiempony aθ su correspondiente ganancia, h[n]puede ser
expresada de la siguiente manera: h[n] =
Z 2π 0
aθe−wcτθ[n]dθ,
dondewces la frecuencia angular de la portadora, yτθ[n] =τθ[0]−vcWcosθn, concla velocidad
de la luz yW el ancho de banda de la se ˜nal. Todos los par´ametros son determin´ısticos salvo aθ yτθ[0].aθtiene varianzaA2ywcτθ[0](mod2π) ∼U(0,2π). Adem´as, los distintos retardos
son independientes si corresponden a distintos ´angulos de arribo.
1. Demuestre que h[n]es estacionario y que su funci ´on de autocorrelaci ´on esR(k) =
A2πJ (πDsk), dondeJ (x) = 1Rπ
2. Demuestre que la PSD esS(f) = 2A2
Ds
√
1−(2f /Ds)21
(|f|< Ds/2).
Ayuda:Puede partir deS(f)usando la f ´ormula de la transformada de Fourier.
Figura 3: Modelo de canal de Clark.
??Ejercicio 4 - Ergodicidad de procesos MA
Considere un proceso MA-mcuya entradaX(n)es de la forma: X(n) =W(n) +s,
dondeses una constante desconocida yW(n)es ruido blanco de media nula y varianzaσ2X. 1. Demuestre que el procesoY(n)es erg ´odico en la media.
2. Suponga ahora que la entradaX(n)es un proceso ESA arbitrario cuya autocovarianza satisface:CX(k) = 0si|k| > K, dondeK es una constante desconocida. Demuestre
que la salida del procesoY es erg ´odico en la media.
Sugerencia: Analice qu´e tipo de proceso es la cascada de dos proceso MA y aplique el inciso anterior.
??Ejercicio 5 - Ergodicidad de procesos AR
Considere un proceso AR-m excitado por una se ˜nal de la forma: X(n) =W(n) +s,
dondeses una constante desconocida yW(n)es ruido blanco de media nula y varianzaσ2X. 1. Demuestre que el proceso es erg ´odico en la media. Para simplificar el problema asuma
que todas las ra´ıces son distintas.
??Ejercicio 6
-Considere el problema de usar un filtro pasa bajos de primer orden con funci ´on de trans-ferencia
H(ω) = 1 1 +jωω
1 .
para atenuar el ruido blanco aditivoN(t)con densidad espectral de potenciaN0superpuesto a una se ˜nalX(t)con densidad espectral
SX(ω) =
S0
1 +ωω
0 2.
El ruidoN(t)tiene media nula y esta descorrelacionado deX(t). La se ˜nal filtrada es:
ˆ
X(t) = (h∗[S+N])(t).
Se desea determinar la frecuencia de corte ω1 que minimiza el error cuadr´atico medio2. Para ello:
1. Demuestre que el error cuadr´atico medio se puede expresar como: 2 = 1 2π Z ∞ −∞ |1−H(ω)|2S X(ω)dω+ 1 2π Z ∞ −∞ |H(ω)|2S N(ω)dω.
Interprete esta expresi ´on.
2. Minimice el error con respecto aω1. Interprete el resultado. ¿Qu´e significa un valor negativo de la soluci ´on?
Sugerencia:Considere la siguiente igualdad: Z ∞ −∞ ω2 (b2+ω2)(c2+ω2)dω= π b+c. ??Ejercicio 7
-La entrada a un filtro pasabajos de primer orden con transferencia H(ω) = 1
1 +jωω c .
esX(t) = Acos(ω0t+φ) +N(t), donde Ay ω0 son constantes y N(t) es ruido blanco de densidad espectralN0.
1. Obtenga la frecuencia de corte del filtroωcde modo que la relaci ´on se ˜nal a ruido a la
salida sea m´axima.
???Ejercicio 8
-Considere el filtro lineal caracterizado por:
que es excitado por una entrada ESA:
X(n) =s+V(n)
en la cualses una constante desconocida yV(n)es una secuencia de ruido cuya autocorre-laci ´on es:
RV(k) =
1
2δ(k−1) +δ(k) + 1
2δ(k+ 1).
Se quiere seleccionar los coeficientesbk del filtro de modo que su respuesta Y(n) sea un
estimador del par´ametro desconocidos.
1. Para queE[Y(n)] =s, demuestre que los coeficientes del filtro deben satisfacer
q
X
k=0
bk = 1.
2. Para la clase de filtros que satisfacen la restricci ´on anterior, encuentre uno que mini-mice la varianza de la respuesta.
3. ¿C ´omo depende la varianza de la respuesta de la longitud del filtroq?
???Ejercicio 9
-Sea el pulso rectangular de alturaAy duraci ´onT definido como: p(t) =A1{0≤t≤T}.
El pulso est´a superpuesto a ruido blanco aditivo de media nula y densidad espectral de potenciaN0/2. Se filtran la se ˜nal y el ruido con un filtro pasabajos RC con funci ´on de trans-ferencia:
H(ω) = 1 1 +jωω
c , dondeω0 = 1/RC es el ancho de banda de 3 dB del filtro.
1. Demuestre que el valor ´optimo deω0 para el cual el filtro RC maximiza la relaci ´on se ˜nal/ruido (o sea, potencia de pico de se ˜nal/potencia media de ruido) a la salida es ω0= 1,26/T.
2. Demuestre que la m´axima relaci ´on se ˜nal/ruido a la salida del filtro es: ρm´ax= 0,816
2A2T N0
.
3. ¿En cu´antos dB se debe incrementar la energ´ıa de la se ˜nal para lograr la misma rela-ci ´on se ˜nal/ruido que con un filtro adaptado?
Sugerencia:recordar que la respuesta de un filtro pasabajos RC a un escal ´on unitario u(t)es:
Serie de Fourier y Karhunen-Lo`eve
???Ejercicio 10 - Compresi ´on con PCA
En la era de la informaci ´on, cada vez resulta m´as ´util, o incluso necesario, poder com-primir un conjunto de datos. Por supuesto, esto debe realizarse de forma tal que la p´erdida de informaci ´on sea m´ınima, mediante alg ´un criterio a establecer. Supongamos que nues-tros datos son realizaciones de un vector aleatorioXN-dimensional y, por simplicidad, que
E[X] = 0. Una forma de realizar la tarea de compresi ´on es mediante una reducci ´on en la dimensionalidad deX. Lo que buscaremos es un subespacio, de dimensi ´onM < N, sobre el cual proyectarXtal que el error cuadr´atico medio entre el vector original y su represen-taci ´on en el subespacio sea m´ınimo. Formalmente, queremos hallar un conjunto de vectores ortonormalesw1, . . . ,wM tales que
E X− M X i=1 (wTi X)wi 2 ,
sea m´ınimo. Este procedimiento se conoce como an´alisis de componentes principales (PCA) y las variablesYi=wTi Xcomo las componentes principales deX. Notar que PCA se puede
interpetrar como una versi ´on finito dimensional de la serie de Karhunen-Lo´eve.
1. Resuelva el problema para el caso m´as simple:M = 1, N = 2. Interprete el resultado para los siguentes casos:
CX= 1 ρ ρ 1 , ρ= 0,1/2,1.
2. Muestre que el error cuadr´atico medio para el caso general se puede expresar co-mo E[kXk2]−PiM=1wTi CXwi, de modo que el problema es equivalente a maximizar
PM
i=1wiTCXwi conwivectores ortonormales.
3. Resuelva el problema en forma recursiva, es decir, use la soluci ´on del problema con M = mpara hallar la soluci ´on conM = m+ 1. Con este enfoque se encuentra una soluci ´on ´optima, aunque no la ´unica.
4. ¿Cu´anto vale el m´ınimo error cuadr´atico medio? Interprete el resultado e indique de qu´e depende la calidad de la compresi ´on.
5. ¿Qu´e sucede cuandoXes un vector blanco, es decir, cuandoCX =σ2I? ???Ejercicio 11 - Serie de Fourier
SeaX(t)un proceso ESA conRX(τ)una funci ´on peri ´odica con per´ıodoT. Sea
RX(τ) =
X
n∈Z
la expansi ´on en serie de Fourier deX(t), dondeω0= 2π/T y cn= 1 T Z T 0 RX(τ)e−jnω0τdτ,
son los coeficientes de la serie. Se define la serie de Fourier deX(t)como b
X(t) =X
n∈Z
Xnejnω0t,
donde el l´ımite se entiende en media cuadr´atica y los coeficientes de la serie son variables aleatorias definidas como
Xn= 1 T Z T 0 X(t)e−jnω0tdt.
1. Demuestre que los coeficientes de la serieXnsatisfacen
E[Xn] =µXδn, E[XnXm∗] =cnδmn.
2. Verifique el teorema de Parseval:
E[|X(t)|2] =
X
n∈Z
E[|Xn|2].
3. Demuestre que la serie de Fourier converge en media cuadr´atica a X(t) para todo t∈R, es decir
E[|X(t)−Xb(t)|2] = 0, 0< t < T.
??Ejercicio 12 - Serie de Fourier para proceso Gaussiano no peri ´odico
SeaX(t)un proceso Gaussiano ESA conRX(τ) = exp(−|τ|). Halle la expansi ´on en serie
de Fourier deX(t) en el intervalo(0, T)y especifique la distribuci ´on de los coeficientes de la serie. Demuestre lo siguiente:
1. La convergencia en media cuadr´atica es v´alida pero solamente para el intervalo(0, T). 2. Las variablesXnno est´an descorrelacionadas entre s´ı.
???Ejercicio 13 - Serie de Karhunen-Lo`eve
SeaX(t)un proceso aleatorio y consideremos la serie b
X(t) =X
n∈N
Xnφn(t),
definida parat∈ (0, T), donde{φn(t)}n∈Nson funciones ortonormales en(0, T)y los coefi-cientesXnson variables aleatorias definidas como
Xn=
Z T 0
Supngamos adem´as que las funciones{φn(t)}n∈Nson autofunciones de la funci ´on de auto-correlaci ´on deX(t), es decir, satisfacen la siguiente ecuaci ´on integral:
Z T 0
RX(t1, t2)φn(t2)dt2=λnφn(t1), 0< t1 < T.
Decimos que{λn}n∈Ny{φn(t)}n∈Nson los autovalores y correspondientes autovectores de la funci ´on de autocorrelaci ´on del proceso. El teorema de Mercer establece que siRX es
con-tinua, efectivamente las funciones{φn(t)}n∈Nson ortonormales y adem´as la funci ´on de au-tocorrelaci ´on se puede representar como
RX(t1, t2) = X
n∈N
λnφn(t1)φ∗n(t2).
Demuestre los siguientes resultados:
1. La serie de Karhunen-Lo`eve converge en media cuadr´atica aX(t)en el intervalo(0, T), es decir
E[|X(t)−Xb(t)|2] = 0, 0< t < T.
2. Los coeficientesXnsatisfacen
E[XnXm∗] =λnδnm.
?Ejercicio 14 - Serie de Karhunen-Lo`eve de se ˜nal ruidosa
SeaY(t) =X(t) +W(t), dondeX(t)es una se ˜nal aleatoria yW(t)es ruido blanco. Los procesos est´an descorrelacionados entre s´ı. Sea{φn(t)}n∈Nel conjunto de autofunciones de RX(t1, t2).
1. Hallar la serie de Karhunen-Lo`eve paraW(t).
2. Demuestre que{φn(t)}n∈Nson tambi´en autofunciones deRY(t1, t2). ¿Cu´al es la rela-ci ´on entre los autovalores deRX(t1, t2)yRY(t1, t2)?
???Ejercicio 15 - Serie de Karhunen-Lo`eve de proceso de Wiener
Encuentre expl´ıcitamente la serie de Karhunen-Lo`eve para el proceso de Wiener, cuya funci ´on de autocorrelaci ´on es de la formaRX(t1, t2) =αm´ın(t1, t2).
