CÁLCULO
Ingeniería Industrial. Curso 2009-2010.
Departamento de Matemática Aplicada II. Universidad de Sevilla.
Lección 1. Derivadas. Polinomios de Taylor.
Resumen de la lección.
1.1. La derivada y la recta tangente.
Teorema de Bolzano. Si f es una función continua en un intervalo cerrado
[a, b] y toma valores de distinto signo en los extremos (es decir, f(a)f(b) < 0) entonces existe, al menos, un puntoc∈(a, b) tal que f(c) = 0.
a
b
c
a
b
c
Derivada. Se dice que una función f es derivable en a si existe, y es finito, el siguiente límite l´ım x→a f(x)−f(a) x−a =f 0(a).
Cuandof es derivable enaal resultado del límite anterior, denotado porf0(a),se le llama derivada de f en el punto a.Si f es una función derivable ena entonces es continua en a. La función derivada de f está definida sobre el conjunto de puntos dondef es derivable y es aquella que asigna a cada punto su derivada. Si la función derivada es, a su vez, derivable enase dice quef es dos veces derivable ena, y así sucesivamente pueden construirse derivadas de cualquier orden natural. Recta tangente. Seaf una función derivable en un punto a. La derivada def
enaes la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto. La recta tangente a la gráfica de f en el punto a es, por tanto, aquélla que pasa por el punto (a, f(a)) y tiene como pendiente la derivada f0(a),
Teorema de Rolle. Si f es una función continua en el intervalo cerrado [a, b], derivable en el intervalo abierto (a, b) y tal que f(a) = f(b), entonces existe, al menos, un puntoc∈(a, b)tal quef0(c) = 0.Geométricamente esto significa que,
bajo las condiciones anteriores, existe un punto en el interior del intervalo en el que la tangente a la gráfica def es horizontal.
a b
c c’
a b
c c’
Teorema del valor medio.Sif es una función continua en el intervalo cerrado
[a, b]y derivable en el intervalo abierto (a, b), entonces existe, al menos un punto
c∈(a, b) tal que
f0(c) = f(b)−f(a) b−a .
Geométricamente, esto significa que, bajo las condiciones anteriores, existe un punto en el interior del intervalo en el que la tangente a la gráfica def es paralela a la recta que une los puntos (a, f(a)) y(b, f(b)).
a c b
a c b
Función de claseCn.Se dice quef es declase Cnen un intervaloI si esn-veces
derivable en todo I y la función derivadan-ésima,f(n),es continua en todo I. Si la funciónf admite derivadas de todos los órdenes en todo el intervaloI entonces se dice quef es de clase C∞.
1.2. Los polinomios de Taylor.
Polinomio de Taylor.Seaf una función de clase Cnen un intervalo I ya∈I.
El polinomio de Taylor de f centrado en a de grado n es
pn(x) =f(a) +f0(a) (x−a) + f00(a) 2! (x−a) 2 +· · ·+f (n)(a) n! (x−a) n .
Sia= 0 entonces se denomina polinomio de Maclaurin.
Propiedades de los polinomios de Taylor. Seaf una función de claseCnen
un intervalo I ya ∈I. Sipn(x) es el polinomio de Taylor de f centrado ena de
grado n entonces:
1. El polinomiopn(x)es de grado menor o igual que n.
2. El polinomiopn(x) es el único polinomio de grado menor o igual quenque
satisface
p(a) =f(a), p(k)(a) =f(k)(a) ∀k = 1, ..., n.
3. La recta tangente a la gráfica de f en a es la gráfica de p1(x).
4. Si f es un polinomio de grado m entonces pn(x) =f(x)para todon≥m.
Polinomios de Maclaurin de funciones elementales.
f(x) =ex p n(x) = 1 +x+ x2 2! +· · ·+ xn n! f(x) = senx p2k+1(x) =x− x3 3! +· · ·+ (−1) k x2k+1 (2k+ 1)! f(x) = cosx p2k(x) = 1− x2 2! +· · ·+ (−1) k x2k (2k)! f(x) = log (1 +x) pn(x) =x− x2 2 +· · ·+ (−1) n−1 xn n f(x) = 1 1 +x pn(x) = 1−x+x 2+ · · ·+ (−1)nxn f(x) = (1 +x)α, α∈R pn(x) = µ α 0 ¶ + µ α 1 ¶ x+ µ α 2 ¶ x2+· · ·+ µ α n ¶ xn
donde paraα ∈R yk∈N µ α k ¶ = α(α−1)· · ·(α−k+ 1) k! , µ α 0 ¶ = 1.
Operaciones con polinomios de Taylor.Seanf yg dos funciones de claseCn
en un intervaloI. Seanp yq los polinomios de Taylor def yg, respectivamente, centrados en a ∈I y de gradon.
1. Si α, β ∈R entonces el polinomio de Taylor de h=αf +βg centrado ena
de grado nespn =αp+βq.
2. El polinomio de Taylor deh=f g centrado ena de gradones el polinomio
pn que resulta de realizar la operación pq eliminando en el resultado los
términos de grado mayor que n.
3. Si g(a) 6= 0 entonces el polinomio de Taylor de h = f /g centrado en a
de grado n es el polinomio pn que resulta de realizar el cociente p/q con
potencias crecientes hasta grado n.
4. El polinomio de Taylor de la derivadah=f0 centrado en a de grado n−1
es pn−1 =p0.
5. El polinomio de Taylor de una primitiva h de f centrado en a y de grado
n+ 1es la primitiva pn+1 de pque satisface quepn+1(a) =h(a).
6. Sipees el polinomio de Taylor def centrado eng(a)de gradonentonces el polinomio deh=f◦g de Taylor centrado enade gradon,pn, es el resultado
de realizar la operaciónp◦qeliminando en el resultado los términos de grado mayor que n.
1.3. El teorema de Taylor.
Error cometido por el polinomio de Taylor. Seaf una función de clase Cn
enI ya ∈I. Elerror cometido por el polinomio de Taylor def centrado enade grado n es rn(x) = f(x)−pn(x) para cada x del dominio def. De esta forma
se tiene que
f(x) =pn(x) +rn(x),
expresión que se denomina fórmula de Taylor.
Teorema de Taylor.Sean f función de claseCn+1 en un intervaloI,a
∈I ypn
el polinomio de Taylor def centrado en a de grado n. Entonces para todo x∈I
existe un valor c entre a y x (es decir, si x > a entonces c ∈ (a, x) y si x < a
entoncesc∈(x, a)) de forma que
rn(x) =
f(n+1)(c)
(n+ 1)! (x−a)
n+1
Además se verifica que l´ım x→a rn(x) (x−a)n = 0. Por lo tanto f(x) =f(a) +f0(a) (x−a) +· · ·+ f (n)(a) n! (x−a) n + f (n+1)(c) (n+ 1)! (x−a) n+1 ,
ecuación que se denomina fórmula de Taylor centrada en a de grado ncon resto de Lagrange.
El teorema del valor medio (de Lagrange) es un caso particular del teorema de Taylor.
Errores de los polinomios de Maclaurin de las funciones elementales. En todos los casos, si x >0 entoncesc∈(0, x) y si x <0 entonces c∈(x,0).
f(x) =ex r n(x) =ec xn+1 (n+ 1)! f(x) = senx r2k+1(x) = senc (−1)k+1x2k+2 (2k+ 2)! f(x) = cosx r2k(x) = senc (−1)k+1x2k+1 (2k+ 1)! f(x) = log (1 +x) rn(x) = (−1)n (1 +c)n+1 xn+1 n+ 1,∀x >−1 f(x) = 1 1 +x rn(x) = (−1) n+1(1 +c)−n−2xn+1, ∀x6=−1 f(x) = (1 +x)α, α∈R rn(x) = (1 +c) α−n−1 µ α n+ 1 ¶ xn+1, ∀x >−1
1.4. Aplicación: Cálculo de indeterminaciones.
Indeterminaciones.Las indeterminaciones se producen en los límites de ciertas operaciones cuando ocurre alguna de las siguientes circunstancias en las cuales no es posible predecir el resultado. Sea a∈R oa=∞.
1. Tipo cociente µ ∞ ∞, 0 0 ¶ . Se tiene quel´ım x→af = l´xı→mag =∞oxl´ı→maf = l´xı→mag = 0 y se quiere calcular l´ım x→a f g. La indeterminación ∞ ∞ puede transformarse en 0 0 haciendo f g = 1/g 1/f.
El resto de indeterminaciones pueden transformarse en la anterior. 2. Tipo producto (0·∞). Se quiere calcular l´ım
x→af g teniéndose que xl´ı→maf = 0
y l´ım
x→ag =∞. En este caso si se escribe
f g= f 1/g,
se transforma en una indeterminación del tipo anterior. 3. Tipo diferencia (∞ − ∞). En este caso, se quiere calcular l´ım
x→af−g
tenién-dose que l´ım
x→af = l´xı→mag = ∞. Para ello se transforma la expresión de la
siguiente forma f−g =f µ 1− g f ¶ . 4. Tipo potencia (00,
∞0,1∞). En este caso, se quiere calcular l´ım
x→af
g donde
l´ım
x→af = l´xı→mag = 0,oxl´ı→maf =∞yxl´ı→mag = 0,oxl´ı→maf = 1 yxl´ı→mag =∞. Para
ello se escribe la expresión de la siguiente forma
fg =eglogf.
Teorema de L’Hôpital. Sean f, g funciones de clase C1 en un intervalo I y
a ∈I tales queg0(x)6= 0 para todo x∈I conx6=a.
Si se tiene que l´ım x→af(x) = l´xı→mag(x) = 0 yxl´ı→ma f0(x) g0(x) =L entonces l´ım x→a f(x) g(x) =L.
Este resultado también es válido si a=∞.
Infinitésimos equivalentes. Sea f una función de clase Cn+1, n
≥ 1, en un intervalo I y a ∈ I de forma que f(a) = f(k)(a) = 0 para todo k = 1, ..., n−1
y f(n)(a)
6
p(x) = f
(n)(a)
n! (x−a)
n
, entonces f y p son infinitésimos equivalentes en a, es decir
l´ım
x→a
f(x) p(x) = 1.
Resolución de indeterminaciones usando infinitésimos equivalentes.Sean
f, g dos funciones definidas en un intervalo I y sea a ∈ I un punto tal que
f(a) =g(a) = 0. Si p yq son infinitésimos equivalentes ena de f yg, respecti-vamente, entonces l´ım x→a f(x) g(x) = l´xı→ma p(x) q(x).
1.5. Aplicación: Búsqueda de extremos de una función.
Extremo relativo de una función. Seaf una función definida en un intervalo
I. Se dice que f alcanza en el punto a ∈ I un máximo (mínimo) relativo si existe un entorno de a donde f esté definida, es decir un intervalo de la forma
(a−ε, a+ε) ⊂ I, de manera que para todo x ∈ (a−ε, a+ε) se verifica que
f(x) ≤ f(a) (f(x)≥f(a)). Bajo dicha condición al valor f(a) se le deno-mina máximo (mínimo) relativo de f. Los máximos y mínimo relativos de f se denominan conjuntamente extremos relativos de f.
Condición necesaria de la primera derivada. Si f es de clase C1 en I yf alcanza un extremo relativo ena∈I entonces f0(a) = 0.
Punto crítico. Seaf una función de claseC1 en un intervaloI. Los puntosa ∈I
que satisfacen quef0(a) = 0 se denominan puntos críticos def.
Condición suficiente de la segunda derivada. Sea f una función de clase
C3 en un intervalo I ya
∈I un punto crítico def. Entonces: 1. Si f00(a)>0entonces f alcanza un mínimo relativo en a.
2. Si f00(a)<0entonces f alcanza un máximo relativo en a.
Sif00(a) = 0 no da información. En este caso, el resultado se puede extender
para derivadas de orden superior. Sif es de claseC4 en el intervaloI yf000(a)6= 0
en el punto crítico a ∈I entonces a es unpunto de inflexión def (punto donde se produce un cambio de convexidad en la gráfica de la función).
Extremo absoluto de una función. Seaf una función definida en un intervalo
I. Se dice quef alcanza un máximo (mínimo) absoluto para I en a ∈I si para todo x ∈I se verifica que f(x) ≤ f(a) (f(x)≥f(a)). Bajo dicha condición al valor f(a) se le denominamáximo (mínimo) absoluto de f en I. Los máximos y mínimos absolutos def enI se denominan conjuntamenteextremos absolutos de f en I.
Teorema de Weierstrass.Sif es una función continua en un intervalo cerrado y acotadoI = [a, b]entonces existen el máximo y el mínimo absolutos de f enI. Búsqueda de los extremos absolutos.Seaf de claseC1en el intervaloI. Para encontrar los extremos absolutos def en I necesitaríamos realizar los siguientes pasos:
1. Garantizar la existencia de los extremos requeridos.
2. Encontrar los puntos críticos contenidos en el interior de I. 3. Tomar los extremos del intervaloI.
4. Evaluar f en todos los puntos seleccionados en los apartados 2 y 3. La mayor de dichas evaluaciones es el máximo absoluto de f enI, y la menor de ellas es el mínimo absoluto de f enI.
Ejercicios de la lección. Ejercicio 1.
1. Prueba que la función polinómica f(x) = x3 + 2x
−1 tiene un único cero en el intervalo [0,1].
2. Prueba que la funciónf(x) =x3
−2x2+ 3x
−5 tiene un único cero en toda la recta real y que dicho cero se encuentra en el intervalo [1,2].
Ejercicio 2. Sea f una función continua en [a, b] y derivable en (a, b) tal que
f[a, b]⊂[a, b]yf0(x)6= 1 para todox∈[a, b]. Prueba que dicha función tiene un
único punto fijo en[a, b], esto es, existe un único valorc∈(a, b)tal quef(c) =c.
Ejercicio 3. Encuentra el número de soluciones que tienen las siguientes ecua-ciones en toda la recta real:
1. x3
−12x+ 3 = 0. 2. 3x
2
x3+ 1 + 1 = 0. (Junio 04-05)
Ejercicio 4. Dada la función f(x) = cos(πx), prueba que existe al menos un punto c∈[1,2]tal que la recta tangente a la gráfica def en dicho punto es
y−cos(cπ) = 2(x−c).
Ejercicio 5. Halla los polinomios de Maclaurin de las siguientes funciones con el grado indicado.
1. f(x) =e−x+ex, grado 4. 2. f(x) =exsenx, grado 3.
3. f(x) = (1 +x2)−1, grado 4. 4. f(x) = cos (x2), grado 5. 5. f(x) = arctanx, grado 5. 6. f(x) =esenx, grado 4.
Ejercicio 6.Halla los polinomios de Maclaurin de las siguientes funciones con el grado indicado.
1. f(x) = (1 + cosx)−1, grado 3. 2. f(x) =exlog (1 +x), grado 4. 3. f(x) = (x−1)3, grado 4. 4. f(x) =√3 1−x, grado 4. 5. f(x) =√1 +x4, grado 8. 6. f(x) =x2√1 −x2, grado 8. (Primer Parcial 04-05) 7. f(x) = x 1 + 2x4, grado 8. Ejercicio 7. Calcula los polinomios de Taylor de grado 4 de las funciones que se indican a continuación centrados en el punto dado.
2. f(x) =x(1 +x)−1 centrado ena= 1. 3. f(x) = logx centrado ena= 1. 4. f(x) =x3
−2x2+ 3x
−5 centrado ena= 2.
Ejercicio 8. Determina los polinomios de Maclaurin de grado 3 de las primitivas que se anulan en x= 0 de las siguientes funciones .
1. 1. f(x) =e−x2. 2. f(x) = 1−cosx x2 , x6= 0 1 2, x= 0. Ejercicio 9.
1. Aproxima el númeroe usando el polinomio de Maclaurin de f(x) = ex de
grado 4 y estima el error cometido.
2. Aproxima el númerosen (0.5) usando el polinomio de Maclaurin de la fun-ción f(x) = senx de grado 5 y estima el error cometido.
3. Aproxima el número log (0.9) usando el polinomio de Maclaurin de la fun-ción f(x) = log (1 +x) de grado 4 y estima el error cometido.
4. (Junio 08-09)Aproxima el número(1,1)−5/2usando el polinomio de Maclau-rin de la función f(x) = q 1
(1−x)5
de grado 2 y estima el error cometido.
Ejercicio 10.Resuelve los siguientes límites en función del párametro a. 1. l´ım x→0+x a, a ∈R. 2. l´ım x→0+ logx xa , a∈R. 3. l´ım x→+∞ logx xa , a∈R. 4. x→l´ım+∞ ex xa, a∈R.
Ejercicio 11. Resuelve los siguientes límites. 1. l´ım x→0+x senx. 2. l´ım x→+∞ ¡√ x+ 1−√x¢. 3. l´ım x→0 µ 1 + 1 x ¶x . 4. l´ım x→+∞ µ 1 + 1 x ¶x . 5. l´ım x→π2 (senx)tan2x.
Ejercicio 12.Resuelve los siguientes límites. 1. l´ım x→+∞senx. 2. xl´ı→m0xsen 1 x. 3. xl´ı→m0 senx x .
Ejercicio 13.Resuelve los siguientes límites. 1. l´ım x→0 sen (x4) (e2x−1)4. 2. xl´→ım0+ x−senx (xsenx)32 . 3. l´ım x→π2 sen (2x) cos (x) xsen (4x) . 4. xl´→ım0+ µ tanx x ¶1 x . 5. l´ım x→0 xtanx−tan2x
sen2x−xsenx. (Primer Parcial 05-06) Ejercicio 14. (Septiembre 03-04) Considera la función
f(x) = arctan √ 1 +x2−√1−x2 √ 1 +x2+√1−x2. Se pide: 1. Comprueba que f0(x) = √ x 1−x4
2. Obtén el polinomio de Maclaurin de grado4n+ 1, conn∈N, de la función
f0(x).
3. Calcula, haciendo uso del apartado anterior, el polinomio de Maclaurin de grado 4n+ 2, con n∈N, de la función f(x).
4. Halla l´ım x→0 1 sen2xarctan √ 1 +x2−√1−x2 √ 1 +x2+√1−x2.
Ejercicio 15.(Primer parcial 06-07) Obtén el polinomio de Maclaurin de grado 6 de f(x) =√3 1−x2 y resuelve el límite l´ım x→0 3 √ 1−x2−1 +x2 x−log (1 +x) .
Ejercicio 16. (Primer Parcial 07-08) Construye el polinomio de Maclaurin de grado 5 de la función f(x) =x2log (1 + 3 senx)y halla el límite
l´ım
x→0
f(x) (1−cosx)3/2.
Ejercicio 17.(Primer Parcial 08-09) Considera la funciónf(x) =p1 + log (1 +x).
Construye su polinomio de Maclaurin de grado 3 y calcula el límite
l´ım
x→0
2f(x)−2−x xsenx .
Ejercicio 18. Encuentra los máximos y mínimos relativos de las siguientes fun-ciones en los intervalos mencionados.
1. f(x) = 2 (x−1) x −log (x 2) en R. 2. f(x) =exsenx en( −2π,2π). 3. f(x) =xne−x en R.
Ejercicio 19.Encuentra el extremo absoluto requerido de las siguientes funciones en los intervalos mencionados.
1. El mínimo absoluto def(x) =√x4−3x2+ 4 en[−1,2]. 2. El máximo absoluto de f(x) = 1 (1 +x)72 en[0,1]. 3. El máximo absoluto de f(x) =|6x−x3 | en[0,3]. Ejercicio 20. Seag(x) la primitiva def(x) = e
x
x tal que g(1) = 0. Se pide:
1. Halla el polinomio de Taylor de grado 2 deg en a= 1. 2. Aproxima g(1.1) usando el polinomio anterior.
3. Encuentra el máximo absoluto de|x2
−2x+ 2| en[1,1.1].
4. Estima el error cometido por la aproximación del apartado 2 haciendo uso del apartado 3.