Secundaria. Guía de
Matemáticas
INSTITUTO NACIONAL PARA LA EDUCACIÓN DE LOS ADULTOS
José Antonio Carranza Palacios
DIRECCIÓN ACADÉMICA
Luz María Castro Mussot
UNIDAD DE PRODUCCIÓN DE MEDIOS
Claudia Giménez Mercado
Elsa Mendiola Sanz, Mariana Sáiz Roldán
Profesoras de la Universidad Pedagógica Nacional COORDINACIÓN GRÁFICA Y CUIDADO DE LA EDICIÓN Greta Sánchez DISEÑO
Abel Alonso Villagrán Dolores Marcela Cervantes Inés Olivares
ILUSTRACIONES
Jorge Mora Suárez Francisco Carrillo Ricardo Aguilar
Guía de Matemáticas. Tercer grado secundaria.
D.R. © 1999, Instituto Nacional para la Educación de los Adultos, INEA. Francisco Márquez Núm. 160, Col. Condesa, México, D.F., C.P. 06140. 060499
ISBN en trámite
Esta obra es propiedad intelectual de su autor y los derechos de publicación han sido legalmente transferidos al INEA. Prohibida su reproducción parcial o total por cualquier medio, sin autorización escrita de su legítimo titular de derechos.
Índice
Presentación
Unidad I: Aritmética
Lección 1: Números reales 10 Los números irracionales 10
Aproximaciones 14
Lección 2: Notación exponencial 20 Números grandes 20 Números pequeños 24 Operaciones con números en
notación exponencial 27 Lección 3: Orden e intervalos 32
La recta real 32
Intervalos de números reales 35 Lección 4: Proporcionalidad 42 Proporcionalidad directa 44 Regla de tres 48 Proporcionalidad inversa 52 Variaciones proporcionales y no proporcionales 55 Lección 5: Porcentajes 60
Lección 7: Propiedades de las operaciones
con números reales 75 Propiedades de la suma 76
La resta 79
Propiedades de la multiplicación 81
La división 84
Potencias y raíces 85 Combinaciones de varias operaciones 88 Aplicaciones de las propiedades en la
solución de ecuaciones 91
Unidad II: Álgebra
Lección 8: Potencias con exponentes enteros 102 Operaciones con potencias 103 Propiedades de la potenciación 108 Lección 9: Polinomios 111
Definiciones 111
Operaciones con polinomios 114 Lección 10: Representación gráfica de algunas
expresiones algebraicas 125 Lección 11: Ecuaciones lineales con dos incógnitas 132 Ecuaciones con dos incógnitas 132 Gráfica de una ecuación lineal 136 Lección 12: Sistemas de ecuaciones lineales 143 Resolución gráfica 143 Sistemas sin solución y sistemas con
Lección 13: Resolución algebraica de sistemas de
ecuaciones 152
Lección 14: Problemas que se resuelven por
sistemas de ecuaciones lineales 162
Unidad III: Geometría
Lección 15: Escalas 176 Lección 16: Lectura de dibujos a escala 183 Lección 17: Semejanza 188
Unidad IV: Estadística
y probabilidad
Lección 18: Utilidad de la estadística 194 Lección 19: Histogramas 203 Lección 20: Medidas descriptivas de
un conjunto de datos 212 Lección 21: Probabilidad 225
Presentación
Este libro se diseñó para adultos que estudian la secundaria en un sistema abierto; es la continuación de los libros "Matemáticas I" y "Matemáticas II" de esta misma serie. Para facilitar el uso de este material hemos incluido los contenidos principales que se requieren para abordar este curso.
El libro está formado por cuatro unidades: "Aritmética",
"Álgebra", "Geometría" y "Estadística y Probabilidad". Las unidades están formadas por lecciones y cada una de ellas trata un tema distinto del contenido de esa unidad. Las lecciones tienen, en general, una explicación del tema con ejemplos y al final de cada sección una serie de ejercicios y problemas para el adulto. Al final del libro se encuentran las soluciones a los ejercicios y problemas para que usted pueda comparar sus resultados.
En todos los temas se explica desde lo más simple y se llega a los contenidos propios del curso. Como este material está hecho para adultos, se hace referencia a situaciones cotidianas y también se reflexiona sobre la lógica de los contenidos.
Las siete lecciones iniciales corresponden a aritmética; son principalmente un repaso del curso anterior, aunque se incorporan algunos contenidos nuevos y ejercicios diversos. La parte más fuerte de este curso es álgebra, que fue introducida
informalmente en el primer curso y abordada con algo más de formalidad en el segundo; en este curso se ahonda en su estudio, principalmente, con polinomios y sistemas de ecuaciones lineales. Las tres lecciones de geometría abordan principalmente el uso y construcción de figuras a escala. La unidad dedicada a la estadística y la probabilidad es un avance sobre los contenidos tratados en los cursos anteriores.
Le hacemos algunas sugerencias que creemos facilitarán su estudio:
• Vea todo. Lea con particular atención las partes en las que se sienta inseguro o sean nuevas para usted. Puede ser también recomendable leer las partes que ya domine: las leerá rápido, le servirán como recordatorio y le permitirán acostumbrarse al estilo de este texto y a la notación que usamos.
• Siempre, al leer, busque si se ilustra con ejemplos o dibujos lo que se está explicando y si se hace, identifique lo que lea en la ilustración.
• No avance si no está seguro de poder hacer usted solo las operaciones o trazos que se hacen en el texto; si para lograrlo necesita hacer varias veces un ejercicio, hágalo. • Procure resolver al menos algunos incisos de todos los
ejercicios, aun de los temas que ya domina. Después
verifique sus respuestas con las que se dan al final del libro y, cuando ya se sienta seguro, pase al siguiente ejercicio. Se han incluido muchos ejercicios para aquellos estudiantes que requieren más práctica para comprender; quienes no la
Lección 1:
Números reales
Los números irracionales
En los grados anteriores estudiamos distintas clases de números: • Vimos en primer lugar: los naturales, que son aquellos
que sirven para contar. Ejemplos de los números naturales son:
0, 1, 2, 3, 4, ..., 37, ..., 186, ..., 1999, ...
• Después, estudiamos los números enteros, que están formados por los naturales y por los números negativos. Con ellos podíamos indicar pérdidas, temperaturas bajo cero o distancias bajo el mar o la tierra. Ejemplos de los números enteros son:
• Posteriormente, conocimos a los números racionales, que están formados por los enteros, las fracciones (que siempre se pueden presentar en forma decimal), y los decimales. Ejemplos de los números racionales son: ..., -154, ..., -13, ..., -2, -1, 0, 1, 2, ..., 18, ..., 189723, ...
..., - , ..., -2.2, ..., -1, ..., -0.5, ...0, ..., 0.5, ... , ..., 1, ..., , ...
Cuando estudiamos fracciones y decimales, vimos que para convertir fracciones a decimales se divide el numerador entre el denominador. Por ejemplo:
= 1 ÷ 2 = 0.5 = 621 ÷ 13 = 47.769230769230...
A veces el cociente tiene una infinidad de cifras, pero hemos visto que estas cifras en algún momento empiezan a aparecer repetidas en un mismo orden, así que, aunque sean infinitas, es posible escribir el número indicando el conjunto de cifras que se repite, y que se llama período, poniendo una curvita arriba de las cifras que lo forman. Por ejemplo:
= 0.33333… pero escribimos 0.3, y la curvita arriba del 3
indica que éste se repite;
= 0.1666… pero escribimos 0.16, y la curvita arriba del 6
indica que es el período;
= 0.285732857328573… pero escribimos 0.28573, y la curvita arriba de 28573 indica que
es el período, o sea las cifras que se repiten. 1 2 621 13 1 3 1 6 2 7 187 5 621 13 3 4
todas las cantidades que encontramos en la vida cotidiana. Sin embargo, hay otra clase de números, que se escriben con una infinidad de decimales pero que no tienen un período, es decir, no tienen cifras que se repitan en el mismo orden. Los números de esta clase reciben el nombre de irracionales y, a diferencia de los racionales, no pueden ponerse en forma de fracción, sino sólo en forma decimal. Los racionales y los irracionales juntos forman el conjunto de los números reales y son los números con los que trabajaremos en este curso.
Hay una infinidad de números irracionales, pero en este curso trabajaremos sólo con algunos de ellos, que son los más usados. Tal vez usted se pregunte cómo vamos a escribir la infinidad de cifras que tienen los números irracionales. La respuesta es que cuando trabajamos con números irracionales, nos conformamos con una aproximación, o bien utilizamos algunos símbolos especiales.
El primer número irracional que presentaremos es un número que de hecho ya conoce. Usted ha usado el número π(pi) para expresar las fórmulas de la longitud de la circunferencia, del área del círculo y del volumen de la esfera. El número π representa las veces que cabe el diámetro de un círculo en la longitud de la circunferencia. Es decir, si tuviéramos las medidas exactas de la longitud (C) de una circunferencia y de su diámetro, (d), podríamos decir que π = C ÷ d, pero si quisiéramos hacer la división no terminaríamos nunca: podríamos tener tantas cifras decimales como quisiéramos, pero nunca llegaríamos a un residuo igual a cero, ni encontraríamos cifras que formen un período. Esto es, si intentáramos escribir π exactamente, nunca terminaríamos de escribir cifras decimales, por lo que decimos que πes un
número irracional. A continuación se expresa el número πcon sus primeras 54 cifras decimales:
π = 3.141592653589793238462643383279502884197169399 375105820...
En la práctica, sin embargo, cuando queremos calcular longitudes de circunferencias, áreas de círculos, volúmenes de esferas o para hacer cualquier otro cálculo, en el que aparezca π, podemos usar la aproximación π= 3.1416 o bien, como lo hemos hecho en los dos libros anteriores de este curso, la aproximación
π = 3.14.
Otro número irracional es
√
2. El número√
2 es la medida de la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden una unidad de longitud.Si necesitamos hacer
cálculos con
√
2, utilizamos 1.41,que es una aproximación. (Usted puede verificar que 1.412 = 1.9881, que se acerca bastante a 2.)
Otros números irracionales son
√
3 y el número e. Una manera de encontrar aproximaciones a estos números es utilizando la calculadora. Para encontrar el primero sacamos la raíz cuadrada de 3, y para encontrar el segundo pulsamos la tecla ex que tienen algunas calculadoras y encontramos asíla aproximación e = 2.7182818.
1 u
√
2 ua) En una calculadora calcule las raíces de 5, 7, 2 y 3; escriba cada uno de los resultados observados en la pantalla que son aproximaciones para los números irracionales
√
5,√
7,√
2 y√
3.b) Si su calculadora tiene la tecla π, oprímala para ver con qué aproximación representa este número irracional.
c) Exprese en forma decimal, indicando en cada caso el período, los siguientes números racionales:
, , , , , , .
Aproximaciones
En la sección anterior hemos dicho que cuando se trabaja con números irracionales se usan con aproximaciones, ya que es imposible escribir todas sus cifras decimales pues son una
infinidad. A veces también es conveniente usar aproximaciones
3 7 1 9 4 7 6 15 3 4 8 9 5 6
Ejercicio 1
con los números racionales. Hay dos maneras de hacer las aproximaciones: por truncamiento y por redondeo.
El método del truncamiento consiste en considerar sólo las cifras decimales que nos interesan y "eliminar" las demás. Primero debemos saber con cuántas cifras decimales queremos trabajar o cuántas nos están pidiendo.
Supongamos que necesitamos efectuar una multiplicación de decimales y nos piden que expresemos
el resultado con tres cifras decimales, usando truncamiento. Por ejemplo, la multiplicación que se muestra a la derecha.
El resultado tiene cinco cifras decimales y sólo queremos tres, así
que "eliminamos" los ochos y escribimos 0.124 x 2.37 ≈ 0.293. Observe que en lugar del signo "=" hemos escrito el signo "≈" porque el producto 0.124 x 2.37 no es exactamente igual a 0.293, es casi igual, una aproximación. Esto se indica usando el signo "≈", que se lee "aproximadamente igual a".
De manera que "truncar" números es deshacerse de las cifras que no interesan. Para comprender mejor esto, veamos dos ejemplos más, en los que realizaremos operaciones y expresaremos los resultados con las cifras decimales que se indican.
Resolvamos la suma 12.5465 + 0.8129 + 6.7353 + 42.235 y expresemos el resultado con dos cifras decimales mediante truncamiento. El resultado exacto de la suma
0.124 x 2.37 0868 0372 0248 0.29388
decimales eliminamos las dos últimas, esto es, al 9 y 7. Escribimos entonces:
12.5465 + 0.8129 + 6.7353 + 42. 235 ≈ 62.32
Resolvamos ahora la división 1.971 ÷ 8 y expresemos el resultado con tres cifras decimales mediante truncamiento. Al hacer la división obtenemos 1.971 ÷ 8 = 0.246375, pero como sólo queremos tres cifras decimales eliminamos el 375 que aparece al final y nos quedamos con 1.971 ÷ 8 ≈ 0.246.
Otra manera de aproximar números es el redondeo. Para comprender este método regresemos a nuestro ejemplo de la multiplicación 0.124 x 2.37 = 0.29388. Si utilizamos la recta numérica para representar este resultado, obtenemos un esquema como el siguiente, en el que la ubicación del número que nos interesa está señalada con una flecha
vertical:
Si queremos utilizar solamente tres cifras decimales para expresar el número 0.29388, vemos que este número está entre 0.293 y 0.294, pero está mucho más cerca de 0.294 que de 0.293. Es decir, si decimos que 0.124 x 2.37 ≈ 0.293 mentimos, y si
decimos que 0.124 x 2.37 ≈ 0.294 también mentimos, pero
mentimos menos en el segundo caso que en el primero. Entonces la aproximación por redondeo de 0.29388 es 0.294, y escribimos 0.29388 ≈ 0.294: hemos utilizado tres cifras decimales pero a la tercera le hemos aumentado 1.
Veamos otro ejemplo. Consideremos ahora la multiplicación 0.124 x 2.38 = 0.29512, y representemos este resultado en un esquema como el anterior:
Si queremos utilizar tres cifras decimales para expresar el número 0.29512, vemos que este número está entre 0.295 y 0.296, pero que está mucho más cerca de 0.295 que de 0.296. Ahora la aproximación por redondeo de 0.29512 es 0.295 y
escribimos 0.29512 ≈ 0.295: hemos utilizado tres cifras decimales y a la tercera no le hemos aumentado nada.
Vemos entonces que con el método de aproximación por redondeo se "eliminan" cifras, pero a veces hay modificaciones en las cifras originales y a veces no. El método se puede resumir de acuerdo con las siguientes reglas:
• Se cuentan las cifras que interesa dejar y se observa la primera cifra que se va a eliminar. • Si la primera cifra que se va a eliminar es menor
que 5 no hay modificaciones en las cifras que se dejan. • Si la primera cifra que se va a eliminar es igual o
mayor que 5, la última cifra no eliminada aumenta en 1.
Al hacer la suma 12.5465 + 0.8129 + 6.7353 + 42.235
encontramos como resultado 62.3297. Si queremos redondear este resultado a dos cifras decimales, nos fijamos en la
tercera, que es 9; como 9 es mayor que 5, entonces la última cifra no eliminada, que es 2, aumenta en 1. Escribimos entonces:
12.5465 + 0.8129 + 6.7353 + 42. 235 ≈ 62.33
Observe que este resultado difiere del que habíamos obtenido cuando hicimos la aproximación por truncamiento.
Al hacer la división 1.971 ÷ 8 tenemos como resultado 0.246375. Si queremos redondear este número a tres cifras decimales, nos fijamos en la cuarta, que es 3; como 3 es menor que 5, entonces la última cifra no eliminada, que es 6, permanece como está. Escribimos entonces 1.971 ÷ 8 ≈ 0.246. Observe que en este caso el resultado es el mismo del que habíamos obtenido cuando hicimos la aproximación por truncamiento.
Redondeemos ahora el número 15.3129635401 a seis cifras decimales. Nos fijamos en la séptima cifra, que es 5; como 5 es igual o mayor que 5, entonces le aumentamos 1 a la última cifra no eliminada, que es 3. Tenemos entonces que 15.3129635401 ≈
15.312964.
Por último, redondeemos el número 7.4296085 a tres cifras decimales. Nos fijamos en la cuarta, que es 6; como es mayor que 5 le aumentamos 1 a la última
7.429 + 0.001 7.430
cifra no eliminada, que es 9. Pero como 9 + 1 = 10, ahora tenemos que aumentar 1 a la penúltima cifra no eliminada, que es 2. Tenemos entonces que 7.4296085 ≈ 7.430.
Trunque los siguientes números a tres cifras decimales:
a) 0.356783258 c) 897.46789 e) 7.00006 g) 10009.9001 b) 11.1111111 d) 3.145578 f) 235.654 h) 0.189675872
En una calculadora calcule las raíces de 5, 7, 2 y 3; escriba cada uno de los resultados observados en la pantalla (que son aproximaciones para los números irracionales
√
5,√
7,√
2 y√
3), truncando a 5 cifras decimales.Redondee a tres cifras decimales los números de los incisos del ejercicio 2. Compare los resultados con los que obtuvo en el ejercicio 2.
Redondee a cinco cifras decimales las raíces del ejercicio 3 y compare los resultados con los obtenidos ahí.
Ejercicio 2
Ejercicio 5
Ejercicio 3
Lección 2:
Notación exponencial
En la lección anterior hemos visto cómo trabajar con números reales y cómo para facilitar el trabajo con ellos es conveniente utilizar aproximaciones, usando el redondeo o el truncamiento.
En esta lección estudiaremos otra manera de trabajar con números reales. Para ello utilizaremos lo que se conoce como notación exponencial. Esta notación permite escribir abreviadamente números muy grandes o muy pequeños, o sus aproximaciones. Para ello se escribe el número como un número con una cifra entera, multiplicado por una potencia de 10.
Abordaremos este tema, dividiendo la discusión en dos casos:
Números grandes
Consideremos la velocidad de la luz: 300 000 Km/seg. (es decir, la luz viaja 300 000 kilómetros cada segundo). Este número es grande, tiene muchos ceros a la derecha. Exactamente tiene 5 ceros, de hecho es igual a 3 x 100 000 y como 100 000 = 105,
La regla general es que un número que termina en ceros puede expresarse como el producto del número sin ceros multiplicado por 10 elevado a una potencia que es igual a la cantidad de ceros del número original.
Veamos otros ejemplos:
23 000 000 = 23 x 106 (seis ceros en el número original)
1 870 000 000 000 = 187 x 1010 (diez ceros en el número original)
Algunas calculadoras dan sus resultados en forma
exponencial, sólo que por lo general usan una sola cifra entera. En los ejemplos anteriores nosotros hemos usado enteros con más de una cifra; sin embargo, con potencias de 10 también podemos expresarlos usando una sola cifra entera y las demás en decimal. Así:
23 000 000 = 23 x 106 = 2.3 x 10 x 106 = 2.3 x 107
expresar un número grande en notación exponencial: • Se cuenta cuántas cifras tiene el número.
• Al resultado se le resta uno y se usa como el exponente de 10.
• Entonces el número que va a multiplicar a la potencia de 10 es un número que se forma quitando los ceros del número original y poniendo el punto decimal de modo que quede una cifra a la izquierda del punto. Por ejemplo, 23 000 000 tiene ocho cifras. Como 8 – 1 = 7, éste es el exponente que debe llevar el 10 y quitando los ceros queda 23, a 23 le dejamos una cifra entera y da 2.3. De modo que 23 000 000 = 2.3 x 107. Observe que con esta notación
estamos expresando que hemos recorrido el punto decimal 7 lugares a la izquierda:
Análogamente, 1 870 000 000 000 tiene trece cifras. Como 13 – 1 = 12, ése es el exponente que llevará el 10. El número original sin ceros es 187, con una cifra entera queda 1.87. Así, se tiene que 1 870 000 000 000 = 1.87 x 1012.
23 000 000 = 2.3 x 10
77 lugares
1 870 000 000 000 = 1.87 x 10
12Cuando los números no aparecen en notación exponencial, decimos que están en forma desarrollada. En el último ejemplo 1 870 000 000 000 es la forma desarrollada de 1.87 x 1012.
También podemos pasar de la notación exponencial a la forma desarrollada:
Utilice notación exponencial con una sola cifra entera para escribir los siguientes números:
a) 12567.8 b) 325.61902 c) 23.1452308 d) 1102400 e) 31.164 f) 3648912 g) 7 324 561 987 h) 1999
Escriba en forma desarrollada los siguientes números reales: a) 1.001 x 103 c) 5.421023 x 103 b) 7.9 x 107 d) 3.00005 x 102 e) 6.3 x 104 g) 5.8 x 102 f) 1.010101 x 108 h) 2.33 x 101
1.87 x 10
12= 1 870 000 000 000
12 lugares
Ejercicio 1
Ejercicio 2
Números pequeños
Cuando decimos aquí números pequeños nos referimos a números menores a 1. Consideremos para empezar 0.1: este número se lee un décimo, pero ya sabemos que un décimo se escribe como fracción, así: ; también sabemos que 0.01 se lee un centésimo y la fracción que lo representa es y así sucesivamente.
Si ahora tenemos 0.0120, este número se lee ciento veinte diezmilésimos, lo que se escribe ,
mientras que a 0.00023 le corresponde la fracción . En todos estos ejemplos tenemos fracciones cuyos
denominadores son potencias de 10, así que pueden escribirse así:
0.1 = 0.01 = =
0.0120 = = 0.00023 = =
Estas fracciones se pueden escribir también como divisiones: 0.1 = = 1 ÷ 10 0.01 = = = 1 ÷ 102 0.012= = =120 ÷ 104 0.00023 = = = 23 ÷ 105 120 10000 23 100 000 1 10 1 10 120 10000 120 104 1 100 1 102 23 100 000 23 105 1 10 120 10000 120 104 1 100 1 102 23 100 000 23 105 1 100
Para seguir con el modelo de notación exponencial de los números grandes, escribiremos las divisiones como productos. Esto se hace usando exponentes negativos.
Los exponentes negativos sirven para expresar como producto potencias que están dividiendo. Por ejemplo puede escribirse como 1 x 10–2. Esto es, un divisor con
exponente positivo se puede escribir como factor con exponente negativo. Así, los ejemplos con los que hemos venido trabajando quedan:
0.1 = = 1 x 10–1 0.01 = = =1 x 10–2
0.012 = = = 120 x 10–4
0.0023 = = = 23 x 10–5
Los dos últimos ejemplos tienen la parte entera con
dos cifras, pero también podemos escribirlos con una cifra entera. Notemos que 120 es igual a 1.2 x 102.
Entonces 0.0120 = = 120 x 10-4 = 1.2 x 102 x 10–4.
Pero por otra parte, tenemos que 102 x 10-4 = = =10–2.
Entonces, podemos escribir 0.0120 como 1.2 x 10–2.
En el otro ejemplo, tenemos que 0.00023 = = 23 x 10–5 = 2.3
x 10 x 10–5.
Pero como 10 x 10–5 = = =10–4, entonces
0.00023 = 2.3 x 10–4. 120 10000 120 104 1 100 1 102 23 100 000 23 105 1 102 120 104 100 10000 1 100 23 105 10 100000 1 10000 1 10
seguimos esta regla:
• Recorremos el punto decimal a la derecha para que quede después de la primera cifra que sea distinta de 0. • Contamos cuántos lugares recorrimos el punto y esa
cantidad será el exponente negativo de 10.
Por ejemplo, para escribir con notación exponencial los números 0.000034 y 0.00176, hacemos lo siguiente:
Como en el caso de los números grandes, también se puede pasar de notación exponencial a forma desarrollada. Por ejemplo:
Utilice notación exponencial con una sola cifra entera para escribir los siguientes números:
a) 0.124 c) 0.005 e) 0.0564 g) 0.875 b) 0.000675 d) 0.000011 f) 0.009742 h) 0.0491 1.583 x 10–6 = 0.000001583 6 lugares 4.02587 x 10–2 = 0.0402587 2 lugares
Ejercicio 3
0.000034 = 3.4 x 10–5 5 lugares 0.00176 = 1.76 x 10–3 3 lugaresEscriba en forma desarrollada los siguientes números reales: a) 6.3 x 10–4 c) 1.82 x 10–10
b) 3.12 x 10–6 d) 3 x 10–15
e) 52.210 x 10–7 g) 4.001 x 10–2
f) 0.03 x 10–4 h) 6687 x 10–2
Operaciones con números
en notación exponencial
Una de las ventajas de usar la notación exponencial es que facilita la realización de algunos cálculos con números reales, especialmente el producto y la división. Esto es lo que veremos enseguida.
Para multiplicar dos números con notación exponencial, por ejemplo 12.07 x 107 y 1.02 x 104, escribimos el producto:
(12.07 x 107) x (1.02 x 104)
Por la propiedad conmutativa del producto de números reales, que se puede expresar como "el orden de los factores no altera el producto", escribimos:
(12.07 x 1.02) x (107 x 104)
aprendido y nos da 12.07 x 1.02 = 12.3114. El producto de la derecha indica que multipliquemos 10 elevado a la 7, o sea 10 multiplicado 7 veces por sí mismo, por 10 multiplicado 4 veces por sí mismo, en total tenemos 10 multiplicado 11 veces por sí mismo. Es decir, 107 x 104 = 1011. El resultado de la operación
es entonces:
(12.07 x 1.02) x (107 x 104) = 12.3114 x 1011
En general lo que se hace es que se multiplican los números
dados sin contar la potencia de 10 y el resultado se multiplica por 10 elevado a la suma de los exponentes de los números iniciales. En el ejemplo 12.07 x 1.02 = 12.3114 y al sumar los
exponentes tenemos 7 + 4 = 11 que es el exponente de 10 en el resultado final. Es decir:
Esta forma de realizar las multiplicaciones se aplica también cuando los exponentes son negativos, o cuando hay una mezcla de exponentes positivos y negativos. Por ejemplo:
Vale la pena hacer un par de comentarios acerca de los últimos dos ejemplos. En el primero de los dos aparece 101.
Como hemos visto: 101 = 10 (1.45 x 10–6) x (1.12 x 10–2) = (1.45 x 1.12) x 10–6+(–2) = 1.624 x 10–8 (2.7 x 10–4) x (3.1 x 107) = (2.7 x 3.1) x 10–4 +7 = 8.37 x 103 (6.6 x 104) x (2.2 x 10–3) = (6.6 x 2.2) x 104+(–3) = 14.52 x 101 (12.4 x 103) x (1.3 x 10–3) = (12.4 x 1.3) x 103+ (–3) = 16.12 x 100 (12.07 x 107) x (1.02 x 104) = (12.07 x 1.02) x 107+4 = 12.3114 x 1011
Y en el último ejemplo aparece 100. Este número es igual a 1:
100 = 1
Por lo tanto, los resultados de los últimos dos ejemplos se pueden expresar como:
En el caso de la división se procede de manera parecida, sólo que ahora en lugar de sumar los exponentes, se restan. Es decir, se dividen los números sin considerar la potencia de 10,
y el resultado se multiplica por 10 elevado a la diferencia del exponente del dividendo menos el exponente del divisor.
Veamos algunos ejemplos:
En el caso de la suma y la resta de números reales
expresados en notación exponencial no se pueden aplicar estas reglas. La única manera de realizar estas operaciones es expresar
ambos números con el mismo exponente, sumarlos o restarlos sin considerar la potencia de 10 y al resultado multiplicarlo por 10 elevado al exponente común.
(6.6 x 104) x (2.2 x 10–3) = (6.6 x 2.2) x 104+(–3) =14.52 x 101 = 14.52 x 10 (12.4 x 103) x (1.3 x 10–3) = (12.4 x 1.3) x 103+(–3) = 16.12 x 100 = 16.12 (12.5 x 104) ÷ (2 x 102) = (12.5 ÷ 2) x (104 ÷ 102) = 6.25 x 104 – 2 = 6.25 x 102 (18.6 x 104) ÷ (3 x 105) = (18.6 ÷ 3) x 104 –5 = 3.2 x 10–1 (15.3 x 10–2) ÷ (3 x 10–5) = (15.3 ÷ 3) x 10–2 –(–5) = 5.1 x 103 (10.92 x 10–3) ÷ (2.1 x 107) = (10.92 ÷ 2.1) x 10–3 – 7= 5.2 x 10–10 (–12.4 x 107) ÷ (4 x 107) = (–12.4 ÷ 4) x 107 – 7 = –3.1 x 100 = –3.1
empezar expresando el primer sumando de la siguiente manera: 12.07 x 103 = 120.7 x 102. Después sumamos 120.7 + 3.19 =
123.89, y a ese resultado lo multiplicamos por 102. Entonces
tenemos que:
(12.07 x 103) + (3.19 x 102) = 123.89 x 102
Otra manera de realizar esta misma operación es expresando el segundo sumando multiplicado por 103, así: 3.19 x 102 = 0.319 x
103. Entonces se puede sumar 12.07 + 0.319 = 12.389, y a ese
resultado se le multiplica por 103. Entonces el resultado es:
(12.07 x 103) + (3.19 x 102) = 12.389 x 103
Una tercera forma de hacer la operación es transformando los dos números a su forma desarrollada. Así, hacemos 12.07 x 103 = 12070, y 3.19 x 102 = 319, y luego sumamos 12070 + 319 =
12389. Tenemos entonces que:
(12.07 x 103) + (3.19 x 102) = 12389
Los tres resultados son equivalentes, puesto que: 123.89 x 102 = 12.389 x 103 = 12389
Realice las siguientes operaciones: a) (1.85 x 10–6) x (3.12 x 105) b) (8.5 x 10–2) x (5.7 x 104) c) (8.06 x 10–3) x (1.3 x 10–2) d) (4.33 x 107) x (6.1 x 106) e) (2.4 x 10–5) ÷ (4 x 10–7) f) (3.64 x 106) ÷ (1.4 x 104) g) (3.25 x 10–1) ÷ (1.3 x 107) h) (13.02 x 104) ÷ (4.2 x 104)
Realice las siguientes operaciones y exprese los resultados en forma desarrollada:
a) (2.5674 x 103) + (13.17 x 102) b) (5.47 x 102) + (1.2 x 10–1) c) (5.47 x 102) + (–1.2 x 10–1) d) (6.52103 x 104) – (652.103 x 102) e) (–523.106 x 10–4) – (4.17x 10–1) f) (1.1 x 10–3) – (–1.1 x 103)
Ejercicio 5
Ejercicio 6
Lección 3:
Orden e intervalos
La recta real
En la lección anterior presentamos los números reales y vimos que éstos están constituidos por los números racionales y los irracionales. En grados anteriores vimos que a veces es conveniente representar números usando una recta. Así, una manera de representar números naturales era la siguiente:
Al estudiar los enteros también se utilizó esta representación y la recta se veía ahora así:
Posteriormente estudiamos los racionales y también los agregamos a la recta: 0 1 2 3 4 5 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 –5 –4 -3.5 –3 –2 –1 - 0 1 1.5 2 3 3.8 4 5 5.13 4 1 2
Ahora, si en la recta pudiéramos representar todos los números racionales y los números irracionales, tendríamos un modelo de los números reales, que se llama recta real. Cada punto de la recta representa un número real y a cada número real le corresponde un punto de la recta.
Una utilidad de esta recta es ayudarnos cuando requerimos comparar números reales. Como sucedía con los naturales,
enteros y racionales, tenemos que de dos números, el mayor es el que aparece más a la derecha en la recta real. Así, de nuevo se tiene que cualquier número positivo y el cero, son mayores que cualquier negativo. Observando la recta vemos por ejemplo que –1 < - porque - aparece, en la recta real, más a la derecha que –1.
Esto nos recuerda la regla que habíamos utilizado para comparar enteros y racionales. De dos números negativos el mayor es el que tiene menor valor absoluto, esto es, el menor cuando comparamos sus correspondientes positivos. Usando este mismo ejemplo se tiene que es menor que 1, entonces - es
mayor que –1.
Para comparar dos reales positivos hacemos lo mismo que con los racionales. Primero comparamos la parte entera: el que tiene mayor parte entera es el mayor, por ejemplo 123.65 es mayor que 99.874 porque 123 es mayor que 99; π es mayor que
√
2 porque la parte entera de πes 3 y es mayor que la de√
2 que es 1.Cuando los números tienen partes enteras iguales, se compara la primera cifra decimal a la derecha del punto: es mayor el número que tiene la mayor cifra decimal en el primer lugar a la derecha del punto. Por ejemplo 25.6 es mayor que
3 4 3 4 3 4 3 4
es mayor que la primera cifra decimal del segundo, que es 0. Si las partes enteras y las primeras cifras decimales de ambos números son iguales, entonces se procede a comparar entre sí las segundas cifras decimales en ambos números. Y así, sucesivamente.
Como ya se ha dicho, los números irracionales se trabajan en general mediante una aproximación ya que no es posible escribir todas sus cifras decimales. Una vez establecida la aproximación con la que queremos trabajar podemos compararla con otros números como ya se ha explicado aquí.
Escriba los símbolos < , = , > según corresponda:
Ejercicio 1
a) 2.098 1.567 b) –π –1.9 c) –3.467 3.45 d) 12.97 12.098 e) π 1.9 f) 0.098 –1.001 g) 2√
2 h) –1.4 -√
2Intervalos de números reales
Una manera de utilizar los números reales, que se usará en otras lecciones de este libro, es mediante intervalos. Un intervalo de números reales es un conjunto de números reales, también puede verse como un "pedacito" de la recta real, es decir como un
segmento de la recta. Por ejemplo, el que dibujamos aquí:
Para referirnos a este segmento de recta usamos lo que se llama intervalo. En este caso se trata del intervalo "de dos a tres punto cinco" y podemos representarlo encerrando los extremos con un paréntesis y separados por una coma, así (2, 3.5). Como podemos observar, identificamos el intervalo mencionando sus extremos, primero el izquierdo, que corresponde al menor de los extremos y luego el derecho.
El intervalo "de dos a tres punto cinco" que hemos indicado es el conjunto de todos los números que están entre 2 y 3.5, es decir, todos los números más grandes que 2 y más chicos que 3.5. Decimos que (2, 3.5) es un intervalo abierto. Por ejemplo 3.6 no está en este intervalo porque es mayor que 3.5. Tampoco el 0 está en este intervalo porque es más chico que dos. Podemos preguntarnos si 3.490 estará en el intervalo y la respuesta es sí, porque es mayor que 2 y menor que 3.5. Los extremos de un intervalo abierto no están en él: 2 no está en el intervalo porque no es mayor que 3, y 3.5 tampoco porque no es menor que 3.5.
necesitamos comprobar dos condiciones:
• Que sea mayor que el extremo izquierdo • Que sea menor que el extremo derecho
Si no se cumple cualquiera de las dos condiciones, el número dado no estará en el intervalo. Por ejemplo. Pensemos en el
intervalo "de cero a nueve décimos":
¿Cuáles de los siguientes números están en este intervalo? 1, 0.91, 1000, 0.899, –5, –0.4, 3, –115.
Debemos decidir cuáles de estos números cumplen las dos condiciones:
Ser mayor que 0 Ser menor que 0.9
Rápidamente podemos descartar a 1000, por ser mayor que 0.9. Por la misma razón descartamos a 3 y al 1. Como cualquier negativo es menor que 0 y queremos números mayores que 0, salen todos los negativos. Quedan por decidir:
0.91 y 0.899.
Ambos cumplen la primera propiedad, son mayores que 0. Pero es necesario que también cumplan la segunda. Ahora 0.91
y 0.9 tienen iguales sus primeras cifras decimales, debemos comparar las segundas. Aunque 0.9 no tiene segunda cifra
decimal, podemos agregarle un 0 ya que 0.9 = 0.90. Comparando 0.91 con 0.90 vemos que 0.91 > 0.90. Así que 0.91 no cumple la segunda condición, se "sale" del intervalo. Analicemos ahora el segundo número: vemos que 0.899 < 0.9, porque la primera cifra decimal del primero es 8 que es menor que la primera cifra decimal del segundo, que es 9. Entonces 0.899 está en el intervalo.
Cuando un número está en un intervalo decimos que
"pertenece" al intervalo, de otra manera decimos que "no pertenece" al intervalo.
Para trabajar con intervalos son útiles los símbolos > y <. Así, si queremos saber si un número x está en el intervalo (–1.3, 1.1) necesitamos comprobar dos cosas:
Si x > –1.3 y Si x < 1.1.
Por ejemplo, nos preguntamos cuáles de los siguientes números pertenecen al intervalo (-1.3, 1.1):
2.8, 0.98, –0.5, 0.5, –4, 1.2, 1.09, 1.10.
2.8 >–1.3 pero no es menor que 1.1, así que 2.8 no pertenece a (–1.3, 1.1).
0.98 > –1.3, y también 0.98 < 1.1, así que 0.98 sí pertenece al intervalo (–1.3, 1.1).
Los intervalos que hemos considerado hasta ahora en nuestros ejemplos son intervalos abiertos: en ellos no están incluidos los extremos. Algunas veces queremos que el intervalo sí incluya a sus extremos. Por ejemplo, si queremos referirnos al conjunto de números formado por el 2, el 5 y todos los números que están entre los dos, escribimos [2, 5] y decimos que [2, 5] es un
intervalo cerrado. Observe que la diferencia en la notación está
dada por la forma de los paréntesis: aquí usamos paréntesis cuadrados, también llamados corchetes. Podemos representar un intervalo cerrado así:
Para comprobar si un número x está en un intervalo cerrado, digamos el intervalo [-2.3, -1.4], necesitamos comprobar dos cosas:
–0.5 pertenece a (–1.3, 1.1) porque –0.5 > –1.3 y –0.5 < 1.1 0.5 pertenece a (–1.3, 1.1) porque 0.5 > –1.3 y 0.5 < 1.1 –4 no pertenece a (–1.3, 1.1) porque –4 < –1.3 1.2 no pertenece a (–1.3, 1.1) porque 1.2 > 1.1 1.09 pertenece a (–1.3, 1.1) porque 1.09 > –1.3 y 1.09 < 1.1 1.10 no pertenece a (–1.3, 1.1) porque 1.10 = 1.1
Que x sea mayor o igual que el extremo inferior. Esto lo escribimos así: a ≥ –2.3
Que x sea menor o igual que el extremo inferior. Esto lo escribimos así: a ≤ –1.4
Por ejemplo, veamos si los siguientes números pertenecen al intervalo [–2.3, –1.4]:
–1.8, 0, 1.2, –1.2, –2.3, –2.6, –1.4, –1.5
Al analizar cada uno observamos que:
Combinando las notaciones anteriores podemos escribir intervalos semi-abiertos, es decir intervalos que contienen sólo un extremo. Por ejemplo, el intervalo
• [3, 7) contiene al número 3, y a todos los números mayores que 3 y menores que 7. Es decir, x pertenece al intervalo [3, 7) si x ≥ 3 y si x < 7. Decimos que [3, 7) es un intervalo abierto por
la derecha.
• (3, 7] contiene a todos los números mayores que 3 y menores que 7 y también al número 7. Es decir,
x pertenece al intervalo (3, 7] si x > 3 y si x ≤ 7.
Decimos que (3, 7] es un intervalo abierto por
la izquierda. –1.8 pertenece a [–2.3, –1.4] porque –1.8 ≥ –2.3 y –1.8 ≤ –1.4 0 no pertenece a [–2.3, –1.4] porque 0 > –1.4 1.2 no pertenece a [–2.3, –1.4] porque 1.2 > –1.4 –1.2 no pertenece a [–2.3, –1.4] porque –1.2 > –1.4 –2.3 pertenece a [–2.3, –1.4] porque –2.3 ≥ –2.3 y –2.3 ≤ –1.4 –2.6 no pertenece a [–2.3, –1.4] porque –2.6 < –2.3 –1.4 pertenece a [–2.3, –1.4] porque –1.4 ≥ –2.3 y –1.4 ≤ –1.4 –1.5 pertenece a [–2.3, –1.4] porque –1.5 ≥ –2.3 y –1.5 ≤ –1.4
En cada inciso, indique si el número de la izquierda pertenece al intervalo de la derecha: a) 0.9 (1.7, 2.3) b) –1.56 (–1.5, 1.5) c) 1.31 (1.3, 2) d) 2.08 (2.079, 2.081) < b, tenemos: Contiene x pertenece al intervalo si: x > a x < b x≥a x≤b x≥a x < b x > a x≤ b A todos los números mayores que a y menores que b. Los extremos a y b no pertenecen al intervalo. A los números a, b y a todos
los que son mayores que a y menores que b. Los extremos a y b pertenecen al intervalo. Al número a, y a todos los que son mayores que a y menores que b. El extremo a pertenece al intervalo, b no pertenece a él. A todos los números mayores que a y menores que b y al número b. El extremo a no pertenece al intervalo, b sí pertenece a él. Representación en símbolos Representación gráfica
(a, b) [a, b] [a, b) (a, b]
Intervalo abierto Intervalo cerrado Intervalo abierto por la derecha Intervalo abierto por la izquierda a b a b a b a b
Ejercicio 2
e) –3.5 (–5, 5) f) –0.00001 (0, 0.5) g) 9.0001 (–15, 9.01) h) π (3.1, 3.2) i) –π (–4, 2) j) π (–π, π) k)
√
2 (0, π) l) –2.38 (–2.3, –1.8) m) 5 (5, 10] n) 8 [8, 24] o) –6 [–6, 0) p) 0 [–6, 0) q) –3.28 (–3, 3) r) 1/2 [0, 1] s) -5/2 (–1, 0) t) 3.5 [3, 3.5) u) –2.7 (–3, –2) v) 1.799 (1, 1.8) w) 3.0001 (3, 4) x) –128.16 (–345.12, –128.17]Lección 4:
Proporcionalidad
La proporcionalidad es un tema que hemos venido estudiando desde el primer grado de secundaria, sobre todo en la lección 7 del segundo curso. La idea de proporcionalidad se sitúa dentro de una relación entre dos clases de cantidades o medidas. Una vez que se establece la relación es posible decir si en ella existe proporcionalidad o no. Veamos algunos ejemplos.
Mayra y Lety fueron a comprar dulces, Mayra compró 6 caramelos y pagó $0.15. Lety se llevó 12 caramelos y pagó $0.30.
Como vemos, en este ejemplo hay una relación
entre la cantidad de dulces y la cantidad de dinero que se paga por ellos. Además esta relación cumple una propiedad que la caracteriza de manera especial. Observemos que Lety compró el doble de caramelos que Mayra, ya que 12 es el doble de 6, pero también Lety pagó 30 centavos, que es el doble de lo que pagó
Mayra. En esta relación vemos que a más caramelos, más es lo que hay que pagar y no sólo esto, sino que el aumento es
proporcional.
Otros ejemplos de este tipo de relaciones son las tablas de precios que tienen algunas taquerías o tortillerías, o los negocios de fotocopiadoras. A las relaciones de este tipo se les llama relaciones directamente proporcionales.
Nacho y Manuel tienen cada uno un tanque para almacenar agua, y ambos tanques son idénticos. Para llenarlos tienen que caminar al pozo, llenar sus cubetas y regresar a su casa para vaciarlas en su tanque. Nacho tiene una cubeta de 10 litros, Manuel tiene una cubeta de 20 litros. Por esta razón, cuando el tanque está vacío, para llenarlo Nacho da 10 vueltas mientras que Manuel sólo da 5 vueltas.
Al analizar este ejemplo observamos que hay una relación entre la capacidad de las cubetas y el número de vueltas que hay que dar para llenar tanques iguales. Cuando las cubetas son más grandes se requiere dar menos vueltas. En esta relación, a diferencia de la del primer ejemplo, a más capacidad de las cubetas menos vueltas hay que dar. Por esto decimos que es una relación inversa, pero además el aumento en la capacidad se relaciona con la disminución en el número de vueltas
proporcionalmente, ya que cuando la capacidad de las cubetas es el doble, el número de vueltas se reduce a la mitad. En cada viaje Nacho acarrea 10 litros, mientras que Manuel lleva 20 litros, el doble. Así mismo Nacho da 10 vueltas mientras que Manuel da 5 vueltas, la mitad.
vehículos recorren una misma distancia a diferentes velocidades. El que viaja a mayor velocidad se llevará menos tiempo en hacer el recorrido, el que viaja a menor velocidad tardará más en llegar. A este tipo de relaciones se les llama inversamente
proporcionales.
En las siguientes secciones estudiaremos algunas propiedades de relaciones tanto directa como inversamente proporcionales. Presentaremos ejemplos y situaciones cuyo conocimiento nos puede facilitar la resolución de problemas. Conviene aclarar que no cualquier relación es directa o inversamente proporcional: hay relaciones que no son proporcionales. El siguiente es un ejemplo de relación que no es proporcional:
El área de un círculo está dada por la fórmula A = πr2.
Entonces si tenemos un círculo de radio 3 cm y usando para
πla aproximación 3.1416, el área es igual a 28.2744 cm2.
Si tomamos una circunferencia del doble de radio, esto es de radio 6 cm, al sustituir en la fórmula y hacer los cálculos resulta que el área es 113.0976 cm2, que no es el doble de
28.2722. Si bien es cierto que a mayor radio, mayor área, el aumento no es proporcional al aumento del radio.
Proporcionalidad directa
El primer ejemplo de la sección anterior es un ejemplo de proporcionalidad directa. Para estudiar las propiedades de este tipo de relación vamos a ver el caso de la venta de caramelos y completaremos los datos que faltan en esta tabla.
Observemos que hay tres columnas completas: las que relacionan 6 caramelos con 15 centavos, 12 caramelos con 30 centavos y 60 caramelos con 150 centavos (o, lo que es lo mismo, con $1.50).
Si consideramos el cociente de cantidad a pagar entre el número de caramelos comprados, tenemos
Como podemos observar, todos estos números
son el mismo: están expresados como fracciones distintas pero equivalentes. De hecho todas corresponden al decimal 2.5.
En cualquier relación directamente proporcional se cumple este hecho: que el cociente de dos cantidades relacionadas es siempre el mismo, en este caso 2.5. A este cociente se le llama
valor unitario o constante de proporcionalidad. En este ejemplo
la constante de proporcionalidad representa el precio en centavos de cada caramelo. Como ya se sabe que cada caramelo cuesta 2.5 centavos, para encontrar cuánto se debe pagar por 18 caramelos sólo se requiere multiplicar el valor 2.5 por 18. Al hacer la multiplicación encontramos que 18 x 2.5 = 45. Hay que pagar 45 centavos.
Otra manera de razonar es la siguiente: 18 es el triple de 6, entonces hay que pagar el triple de lo que se pagó por 6 caramelos, esto es, 3 x 15 = 45.
Con cualquiera de estos procedimientos podemos completar la tabla para 90 y 120 caramelos. Como 90 x 2.5 = 225.0, por 90
Caramelos A pagar en centavos 6 15 30 0 60 90 12 18 60 90 120 150 ($1.50) 270 ($2.70) 15 6 30 12 150 60 = = .
por 120 caramelos se pagan 120 x 2.5 = 300 centavos (es decir, $3.00).
Existe otra relación importante que cumplen las relaciones directamente proporcionales. Al dividir dos cantidades en una misma clase, el cociente obtenido es el mismo que al dividir sus correspondientes en la otra clase. Por ejemplo, si nos fijamos en la clase de los caramelos y dividimos 12 ÷ 6 = 2, también sus correspondientes precios, que son 30 y 15, dan 2 al dividirse. Lo que estamos comprobando aritméticamente es algo que ya sabíamos: como 12 es el doble de 6, 30 es el doble de 15.
Veamos otro caso, tomemos dos cantidades en el renglón de los caramelos y dividamos una entre otra: 120 ÷ 90 = 1.333…, ahora consideremos los correspondientes precios: 300 y 225, al tomar su cociente resulta 300 ÷ 225 = 1.333… Lo que se tiene aquí es que como 120 es 1.333… veces 90, lo que se paga por 120 es 1.333 veces lo que se paga por 225.
Para completar los datos que faltan en la tabla, que son la cantidad de caramelos que se pueden comprar con 60, 90 y 270 centavos, podemos utilizar el valor unitario. Si cada
caramelo cuesta 2.5 centavos, con 60 centavos se pueden com-prar 60 ÷ 2.5 = 24 caramelos.
Para resumir lo que se ha discutido aquí observemos que: • El número de caramelos multiplicado por 2.5 nos da
la cantidad que se pagará.
• La cantidad pagada entre 2.5 nos da la cantidad de caramelos comprados.
• Cualquier cantidad pagada entre el número de caramelos comprados con ella da 2.5.
Termine de completar la tabla de los caramelos del primer ejemplo.
La siguiente tabla se refiere a la cantidad de sacos de abono que se requieren para abonar diferentes áreas de cultivo de acuerdo con su medida en metros cuadrados. Complete la tabla y obtenga la constante de proporcionalidad.
Ejercicio 1
Ejercicio 2
Cantidad de tierra en m2 Cantidad de abono en sacos 1 3 5 2 10 15 50 25 75 13.5 42Regla de tres
En esta sección veremos una manera corta de resolver algunos problemas de proporcionalidad directa, llamada la regla de tres. Cuando se sabe que una relación entre dos clases de objetos es de proporcionalidad directa y se conocen tres datos, es fácil encontrar el cuarto. Veamos algunos ejemplos.
Cuatro camisas cuestan $300. ¿Cuánto cuestan cinco camisas?
Podemos acomodar la información de la siguiente manera:
Camisas: 4 5 Costo: 300 ?
Llamemos x al costo de las 5 camisas. Entonces tenemos:
Camisas: 4 5 Costo: 300 x
A este acomodo lo podemos leer de la siguiente manera: "cuatro es a trescientos como cinco es a x". Podemos encontrar
x buscando primero la constante de proporcionalidad, que es
el precio de una camisa, así: 300 ÷ 4 = 75, y luego multiplicando ese resultado por 5, así: 75 x 5 = 375. Entonces, cinco camisas
cuestan $375. Observe que el resultado de 375 se obtuvo de hacer las operaciones x 5 y que otra manera de expresar las
operaciones es así: .
Dicho de otra manera, si consideramos nuestro acomodo inicial, Camisas: 4 5
Costo: 300 x
podemos encontrar el valor de x multiplicando los dos datos existentes en la diagonal en la que no está la x y dividiendo entre el tercero:
x = = = 1500 ÷ 4 = 375 Veamos otro ejemplo.
¿Cuánto recorre un automóvil en 90 minutos si viaja a 80 kilómetros por hora?
Si ahora llamamos x a lo que el automóvil recorre en 90 minutos, podemos acomodar la información así:
300 x 5 4 300 4 300 x 5 4 1500 4
Distancia: x 80 Tiempo: 90 60
Entonces encontramos el valor de x multiplicando los dos datos existentes en la diagonal en la que no está la x
y dividiendo entre el tercero:
x = = = 7200 ÷ 60 = 120
El automóvil recorre 120 kilómetros en 90 minutos.
Observe que con esta regla no importa cuál es el cuarto dato faltante. Por ejemplo, podemos preguntarnos cuánto tiempo tarda el mismo automóvil del ejemplo anterior en recorrer 50 kilómetros. Entonces tenemos:
Distancia: 50 80 Tiempo: x 60
Y ahora la regla de tres se resuelve así:
x= = = 37.5
El automóvil tarda 37 minutos y medio en recorrer los 50 kilómetros.
También podemos preguntarnos a qué velocidad viaja un automóvil que recorre 125 Km en una hora y cuarto. Podemos resolver este problema de dos maneras. O bien traducimos todo a minutos, entonces tenemos que una hora y cuarto son 60 + 15 = 75 minutos, y la regla de tres queda así:
50 x 60 80 3000 80 90 x 80 60 7200 60
Distancia: 125 x
Tiempo: 75 60 y la solución es:
x= = =100,
o bien expresamos todo en horas y la regla de tres queda así: Distancia: 125 x
Tiempo: 1 1 y la solución es:
x = = = ÷ = x = = = 100.
De cualquier modo, encontramos que la velocidad del automóvil era de 100 kilómetros por hora. Observe que para realizar la regla de tres, necesitamos que las unidades de los elementos de la misma clase fueran siempre las mismas: todas las distancias en kilómetros y todos los tiempos o bien en minutos o bien en horas.
Encuentre, por regla de tres, el valor de x en los siguientes arreglos: a) 15.6 x b) 91 3.9 c) x 1700 d) 548 153 7.2 8.4 x 2.4 25 510 8.1 x 125 x 60 75 7500 75 125 x 1 1 4 1 125 5 4 125 1 125 x 4 1x5 125 1 5 4 4 5 500 5
Ejercicio 3
1 4Resuelva, por regla de tres, los siguientes problemas de proporcionalidad directa:
a) Si dos tacos cuestan $3.00, ¿cuántos tacos podrán comprarse con $36.00?
b) Si una llave de agua llena tres cuartas partes de un tanque en 24 minutos, ¿cuánto tardará el tanque en llenarse?
c) Si un mantel mide 1.20 m de ancho por 1.80 m de largo, ¿qué ancho tendrá un mantel de la misma proporción si de largo mide 1.50 m?
d) Si 46 personas caben en dos autobuses, ¿cuántos autobuses se necesitan para transportar a 115 personas?
Proporcionalidad inversa
En esta sección profundizaremos en algunos aspectos de las relaciones de proporcionalidad inversa. Para ello volveremos al segundo ejemplo de la primera parte de esta lección, el de las cubetas. Mostraremos la información conocida en una tabla y dejaremos algunos datos sin revelar para irlos obteniendo de acuerdo con las propiedades que encontremos.
Capacidad de cada cubeta No. de vueltas 1 12.5 10 5 2 10 20 40 50 4
Ejercicio 4
En esta relación ya no se cumple lo que pasaba con los caramelos de la sección anterior. Por ejemplo tomamos en el renglón de capacidad de las cubetas y dividimos 20 ÷ 10 = 2, las correspondientes vueltas son 5 y 10, respectivamente, pero 5 ÷ 10 = , que no es igual a 2. Esto sucede porque la relación es proporcional pero no directa, sino inversa, y podemos decir que los cocientes o razones obtenidos son inversos: 2 y .
Otra relación que se puede encontrar es que al multiplicar la capacidad de las cubetas por el número de vueltas es el mismo, por ejemplo aquí tenemos 10 x 10 = 20 x 5 = 100. Este dato nos da información acerca de lo que acarrea cada cubeta en total, esto es 100 litros por cubeta. Con este dato ya es fácil completar la tabla, por ejemplo con la cubeta de 1 litro, se necesitan
100 ÷ 1 = 100 vueltas. Para la de 2 litros se requieren 100 ÷ 2 = 50 vueltas.
También podemos saber la capacidad de las cubetas de acuerdo al número de vueltas, si se usaron 4 vueltas para llevar
1 2
1 2
La capacidad de la cubeta es 25 litros. En resumen tenemos:
• El cociente de 100 entre el número de vueltas nos da la capacidad de cada cubeta.
• El cociente de 100 entre la capacidad de una cubeta nos da el número de vueltas.
• Al multiplicar la capacidad de una cubeta por su
correspondiente número de vueltas, se obtiene siempre 100. Cabe señalar que en las relaciones de proporcionalidad
inversa no se puede aplicar la regla de tres como fue expuesta en la sección precedente.
Complete la tabla de las cubetas y las vueltas.
La siguiente tabla muestra las velocidades de distintos vehículos y el tiempo que tardan en viajar de Cuitzeotlán a Mirabampo. Complete la tabla y encuentre la distancia entre Cuitzeotlán y Mirabampo. Velocidad del vehículo Tiempo que tarda 24 8 4 20 45 75 80 100 120 3.2 2.4
Ejercicio 5
Ejercicio 6
Variaciones proporcionales
y no proporcionales
Consideraremos ahora otros ejemplos.
En la tienda de abarrotes de don Hilario aparece un letrero que dice "Ventas al mayoreo y menudeo, pregunte por
nuestros precios". Un cliente que quiere comprar arroz pide a don Hilario que le dé 9 kilos de arroz. Don Hilario le dice que son $45, pero que por esta misma cantidad de dinero se
don Hilario que le explique. Para ello don Hilario le muestra una tabla como ésta:
Don Hilario explica a su cliente que a partir de 10 kilos él considera que es compra al mayoreo y baja el precio por kilo. Si observamos bien, al dividir el precio entre la cantidad en las primeras 9 columnas, siempre obtenemos el mismo resultado, 5, por ejemplo 30 ÷ 6 = 40 ÷ 8 = 5, etc. Éste es el precio por kilo si se compran de 1 a 9 kilos. Para estas cantidades existe proporcionalidad.
En cambio, a partir de 10 tenemos otras relaciones: 45 ÷ 10 = 4.5, 132 ÷ 30 = 4.40, 200 ÷ 50 = 4, 88 ÷ 20 = 4.40, 160 ÷ 40 = 4, 400 ÷ 100 = 4.
Esto es, el precio del kilo de arroz varía según se compre más o menos.
Esta relación no es directamente proporcional por lo que acabamos de ver. También podemos notar que no es directamente proporcional si observamos que por 10 kilos se pagan $45, mientras que por 20 kilos, que es el doble de 10, no se paga el doble, que sería 90, sino $88.
Otro ejemplo de una proporción que no es directamente proporcional es el siguiente. 1 5 10 15 20 25 30 35 40 45 45 88 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 132 30 160 40 200 50 400 100
El volumen de un tanque cilíndrico se calcula sacando el área de la base por la altura. De hecho, si r es el radio del círculo que es la base del tanque y h es la altura, el volumen está dado por la fórmula
V = πx h x r2
Con esta fórmula vamos a obtener algunos volúmenes de cilindros de 50 cm de altura y de diferentes radios, y vamos a mostrar esta información en una tabla. Para πusaremos la aproximación 3.14 y redondearemos los
resultados a una cifra decimal.
Para ver que no se trata de una relación directamente
proporcional, observaremos un solo caso. Por ejemplo para 25 cm de radio el volumen del cilindro es 98125 cm3; mientras que para
un radio del doble de tamaño, esto es, de 50 cm, el volumen es 392500, que no es el doble de 98125. Con esto basta para saber que la relación no es directamente proporcional.
Las siguientes tablas muestran distintas relaciones entre
cantidades de dos clases, algunas son proporcionales y otras no. Entre las proporcionales, algunas son directas y otras son inversas.
r en cm 10 20 25 30 141300 35 192325 40 251200 48 361730 50 392500 75 883125 V en cm3 15700 62800 98125
Ejercicio 7
Cuando la relación sea directamente proporcional, indique cuál es la constante de proporcionalidad.
a) Se sabe que la reproducción de cierta célula es por bipartición y que el proceso se repite cada 24 horas. La siguiente tabla muestra la cantidad de células después de diferentes
cantidades de días.
b) La cantidad de harina que se requiere para hacer 20 galletas es una taza. La siguiente tabla muestra la cantidad de harina necesaria para que, con la misma receta, se hagan diferentes cantidades de galletas.
c) El perímetro de un cuadrado varía de acuerdo al lado y la fórmula para calcular el perímetro es P = 4l . La tabla siguiente muestra el perímetro de algunos cuadrados de acuerdo al lado en metros.
Días Cantidad de células 1 2 2 4 3 8 4 16 5 32 6 64 7 128 8 256 9 512 Harina en tazas Cantidad de galletas 10 1 20 30 2 40 50 3 60 70 4 80 5 100 1 2 1 2 1 2 12 3 12 l P 0.10 0.40 0.20 0.80 0.30 1.20 0.40 1.60 0.50 2.00 1.00 4.00 1.20 4.80 1.40 5.60 1.50 6.00
d) La cantidad de gasolina que gasta un automóvil varía de acuerdo con la velocidad a la que viaja el automóvil. La siguiente tabla muestra cuántos kilómetros por litro de gasolina rinde cierto automóvil, según la velocidad a la que viaja (en kilómetros por hora).
e) Para almacenar las cajas en las que se vende cierto producto, se pueden acomodar los lotes sobre rectángulos que tienen diverso ancho y largo. La siguiente tabla muestra las
dimensiones (en metros) que ocupan distintos lotes.
f) El uso del polvo de hornear varía según la altitud sobre el nivel del mar a la que se utiliza. La siguiente tabla muestra la cantidad de polvo de hornear (en cucharaditas) que se debe utilizar para hornear cierto pastel, de acuerdo con la altitud sobre el nivel del mar (en metros).
Velocidad Rendimiento 40 9.8 60 10.7 80 17.5 100 16.8 120 12.3 140 11.1 Largo Ancho 4 3 5 2.4 6 2 8 1.5 10 1.2 12 1 Altitud Polvo de hornear 0 2 500 1000 1500 1000 2500 3000 3500 4000 1 7 8 1 1 34 1 58 1 21 1 38 1 14 1 18
Lección 5:
Porcentajes
En las lecciones anteriores estudiamos relaciones de proporcionalidad directa e inversa. En esta lección estudiaremos una relación de proporcionalidad directa especial: los porcentajes.
Encontramos los porcentajes en muchas facetas de nuestra vida, como los descuentos, los impuestos, los intereses del banco, las estadísticas en general y otras muchas situaciones. En esta lección estudiaremos cómo usar y resolver problemas en los que intervienen porcentajes. Para ello, veremos algunos ejemplos.
Muchas veces, en los productos que se venden en
las tiendas podemos leer sus contenidos en porcentajes. Por ejemplo algunas mermeladas tienen leyendas como 30% de fruta natural, o 25% de fruta. ¿Qué significa esto? El porcentaje es una proporción. El número 25%, que se lee "veinticinco por ciento", significa 25 de cada 100. Pero, ¿de cuáles 100? En general, en los productos alimenticios, el 100 se refiere a 100 gramos: si una mermelada tiene 25% de fruta eso significa que de cada 100 gramos de mermelada, 25 gramos son de fruta y lo demás son agua, azúcar y otros ingredientes. En lugar de 25%
de fruta, el envase podría decir 25 gramos de fruta por cada 100 gramos de mermelada. Si otra mermelada tiene el 30% de nuevo significa que de cada 100 gramos, 30 corresponden a fruta.
Pero, ¿por qué no poner simplemente 30 gramos de fruta, en lugar de decir 30% de fruta? En parte esto se debe a que en casos como éste, los porcentajes son usados como una medida de la calidad: la mermelada que más fruta contiene proporcionalmente, será de mayor calidad y al hablar en porcentajes, no importa el tamaño del envase y es más fácil comparar calidades.
Supongamos que queremos decidir entre una mermelada que tiene 30% de fruta, como la del ejemplo anterior, y una mermelada en envase de 200 gramos que dice tener 40 gramos de fruta. En un primer momento podríamos pensar que ésta es de mejor calidad que la primera que vimos porque tiene más fruta, sin embargo también tiene más agua y azúcar, porque son 200 gramos. Para hacer la comparación necesitamos considerar cantidades iguales, por ejemplo 100 gramos de mermelada. Tomaremos entonces sólo la mitad del envase de la segunda mermelada, es decir 100 gramos, por lo tanto tenemos la mitad de fruta, es decir 20 gramos de fruta. En realidad esta mermelada tiene
20% de fruta, o sea que es de menor calidad que la que contiene 30% de fruta.
Una tienda departamental anuncia que todos sus productos lácteos están con un 40% de descuento. Esto significa que de cada 100 pesos de compra de estos productos,
se van a descontar $40. Como sabemos que el porcentaje es una relación directamente proporcional, si gastamos el doble, la
cantidad de dinero descontada es el doble, si gastamos $200, el monto del descuento se duplica: $80. Si se compra sólo $50, la mitad de
100, el monto del descuento será de la mitad, es decir, $20. Vamos a presentar estos resultados en una tabla:
Podemos observar que 50 x 0.40 = 20; 100 x 0.40 = 40; 200 x 0.40 = 80. Lo que vemos es que para obtener el 40% de
descuentos de una cantidad, debemos multiplicar ésta por 0.40
o, lo que es lo mismo, por . El valor 0.40 también puede obtenerse al dividir cada descuento entre la cantidad original correspondiente: 20 ÷ 50 = 40 ÷ 100 = 80 ÷ 200 = 0.40. Ya habíamos visto en la lección de proporcionalidad directa, que este resultado, que siempre es el mismo, es el valor unitario o constante de proporcionalidad. Así, para obtener el 40% de 10, podemos realizar la multiplicación 0.40 x 10 = 4. Esto es, el 40% de 10 es 4.
Otra manera de resolver este tipo de problemas es mediante una regla de tres, puesto que tenemos una proporcionalidad directa. Así, por ejemplo, para obtener el 40% de 10, podemos decir "40 es a 100 como x es a 10": 40 100 Precio 40% de descuento 10 6 28 50 20 100 40 48 140 64 200 80
Descuento: 40 x
Precio: 100 10 y entonces tenemos que:
x = = = 4
Lo que acabamos de ver es que hay dos maneras de calcular el "tanto por ciento" de un número: o bien se multiplica ese número por el tanto por ciento dividido entre cien, o bien se razona mediante una regla de tres. Veamos con las dos maneras cómo calcular el 40% de 28, cantidad a la que llamaremos t:
t = 0.40 x 28 Descuento: 40 t t = 11.20 Precio 100 28
t = = 11.20
También se puede utilizar cualquiera de las dos maneras para encontrar que el 40% de 140 es 56.
Otra clase de problemas que se presentan cuando se trabaja con porcentajes, es cuando se conoce el resultado de aplicar el porcentaje pero no la cantidad inicial. Tenemos esa situación cuando conocemos la cantidad descontada correspondiente al 40% de una cantidad original pero esa cantidad original es desconocida. Por ejemplo en la tabla vemos que 6 es el 40% de descuento pero no sabemos de qué cantidad. Veamos dos maneras distintas de resolver este problema.
28 x 40 100 40 x 10 100 400 100
anteriores. Si llamamos x a la cantidad desconocida, lo que tenemos es que el 40% de x es 6, es decir:
0.40 x x = 6
Para resolver la ecuación necesitamos despejar la incógnita,
x. Para ello hay que dejarla "sola" de un lado de la ecuación, lo que se logra "deshaciendo" el efecto de las operaciones que la están afectando. Aquí aparece multiplicada por 0.40, así que para "deshacer" este efecto dividimos entre 0.40, y aplicamos esta operación en ambos lados de la igualdad para que no se altere:
=
y de ahí obtenemos x = 15.
La otra manera de resolver el problema es nuevamente usando una regla de tres: ahora el razonamiento es "40 es a 100 como 6 es a x":
Descuento: 40 6 Precio: 100 x
Y entonces podemos resolver la regla de tres:
x = = = 15
Hemos entonces resuelto de dos maneras distintas que 6 es el 40% de 15. Veamos en paralelo cómo se resuelve con las dos maneras el siguiente problema: ¿de cuánto es 40% la cantidad de 36? Llamemos y a esa cantidad.
0.40 x x 0.40 6 0.40 100 x 6 40 600 40
0.40 x y = 36 Descuento: 40 36 Precio 100 y
=
y = 90 y = =90
También se puede utilizar cualquiera de las dos maneras para encontrar que 48 es el 40% de 120.
Aquí tenemos la tabla del 40% de descuento completa:
Como hemos visto en el ejemplo, para obtener el 40% podemos multiplicar por 0.40, o lo que es lo mismo, , esto es 40 centésimos. Para obtener el 50% debemos
multiplicar por 0.50 ó , para obtener el 24% por 24 centésimos, 0.24, para obtener el 4% se debe multiplicar por 4 centésimos, esto es por 0.04. Así, por ejemplo,
El 65% de 35 es igual a 0.65 x 35 = 22.75 El 3% de 284 es igual a 0.03 x 284 = 8.82
Veamos por último otra clase de problemas que se presentan con frecuencia con respecto a los porcentajes. En este caso nos interesa saber qué porcentaje es una cantidad de otra.
Consideremos un ejemplo: 40 100 50 100 0.40 x y 0.40 36 0.40 36 x 100 40 Precio 40% de descuento 10 4 15 6 28 11.20 50 20 100 40 120 48 140 56 160 64 200 80
son de bosque y 150 de pastizal. ¿Qué porcentaje del terreno ocupa el bosque? ¿Qué porcentaje del terreno ocupa el pastizal?
Como en los casos anteriores, resolveremos el problema del bosque de dos maneras. De acuerdo con la primera, plantearemos una ecuación: supongamos que w es el porcentaje del terreno que ocupa el bosque. Entonces, tenemos que 60 es el w % de 400, lo que se puede expresar de la manera siguiente:
x 400 = 60
Para despejar esta ecuación debemos "deshacer" las operaciones que afectan a w, que son una multiplicación por
w
