CUERPOS GEOMÉTRICOS. VOLÚMENES. 3º E.S.O. ( ) SUPERFICIE DE UN PRISMA SUPERFICIE DE UN ORTOEDRO SUPERFICIE DE UN PRISMA

CUERPOS

GEOMÉTRICOS.

ÁREAS Y

ÁREAS Y

VOLÚMENES.

3º E.S.O.

SUPERFICIE DE UN PRISMA

ÁREA LATERAL = Perímetro de la base · altura

ÁREA TOTAL = ÁREA LATERAL + 2 · ÁREA DE LA BASE

Hallar el área total de una celda con forma de prisma de base hexagonal de un panal de abejas, según el dibujo:

SUPERFICIE DE UN PRISMA

2 LATERAL

A =p h 4 6 8 192 mm⋅ = ⋅ ⋅ =

2 TOTAL LATERAL BASE

A =A +A =192 41'52 233'52 mm+ = 2 2 2 2 2 2 p p p 4 =a +2 →a =4 −2 =12→a = 12 3'46= p 2 BASE p a 24 3'46 A 41'52 mm 2 2 ⋅ _⋅ = = =

SUPERFICIE DE UN ORTOEDRO

c

(

)

TOTAL

A

=

2

ab bc

+

+

ac

a

b

Hallar el área total de este ortoedro:

SUPERFICIE DE UN ORTOEDRO

(

)

2

TOTAL

A =2 6 3 6 2 2 3⋅ + ⋅ + ⋅ =72 cm

SUPERFICIE DE UNA PIRÁMIDE

(

)

LAT 1 1 Perímetro de la base A 2 2 2 ⋅ =n⋅ l a⋅ = n l⋅ ⋅a= a

TOTAL LAT BASE

Perímetro de la base Perímetro de la base

A A A

2 2

⋅ ⋅

= + = a+ a'

Hallar la superficie de la pirámide de Keops que se detalla a continuación:

h =160 m

l= 240 m a’= 120 m

SUPERFICIE DE UNA PIRÁMIDE

( )

2 2 2 2 h 160 120 40000 200 m = + = + = = a a'

(

)

2 LAT 4 240 200 Perímetro de la base 96000 m 2 2 ⋅ ⋅ ⋅ = a = = A

SUPERFICIE DE UN TRONCO DE PIRÁMIDE

(

)

(

)

LAT

Lado base 1 + Lado base 2 H A nº de lados

2

⋅

= ⋅

TOTAL LAT BASES

TRONCO DE PIRÁMIDE

Hallar el área lateral y total del siguiente tronco de pirámide cuandrangular regular: 2 2 3 1 2'83 m = − = a

(

)

2 LATERAL 4 2 2'83 A 4 33'96 m 2 + ⋅ = ⋅ = 2 2 2

TOTAL LATERAL BASES

A =A +A =33'96 2+ +4 =53'96 m

SUPERFICIE DE UN CILINDRO

LATERAL

A

= π ⋅

2

r

h

2 TOTAL LATERAL BASE

A

=

A

+ ⋅

2 A

= π

2 h 2

r

+ π

r

Hallar el área total de la figura (en centímetros):

SUPERFICIE DE UN CILINDRO

2 LAT 1 A = ⋅ π ⋅ ⋅ =2 1 3 18'85 cm 2 LAT 3 A = ⋅ π ⋅ ⋅ =2 2 5 62 '83 cm 1 2 3 2 TOTAL FIGURA A =18'85 150'8 62'83 232'48 cm+ + = 2 2 TOTAL2 A = ⋅ π ⋅ ⋅ + ⋅ π ⋅2 3 5 2 3 =94'25 56'55 150'8cm+ =

SUPERFICIE DE UN CONO

LATERAL A = π ⋅ ⋅r g 2 TOTAL LATERAL BASE

Hallar el área lateral y total del cono de la figura: 2 2 g = 12 +5 =13 cm

SUPERFICIE DE UN CONO

2 A = π ⋅ ⋅r g =π ⋅ ⋅5 13 204'20 cm= 2 TOTAL LATERAL BASE

A =A +A =204 '20 78'54 282 '74 cm+ = 2 LATERAL A = π ⋅ ⋅r g =π ⋅ ⋅5 13 204'20 cm= 2 2 2 BASE A = π ⋅r =π ⋅5 =78'54 cm

SUPERFICIE DE UN TRONCO DE CONO

(

)

LATERAL

A = π ⋅ r + r' ⋅g

(

)

2 2

TOTAL LATERAL BASE

A =A +A = π ⋅ r + r' ⋅g+ π ⋅r + π ⋅r'

Hallar el área lateral y total del tronco de cono de la figura:

SUPERFICIE DE UN TRONCO DE CONO

(

)

(

)

2 LATERAL A = π ⋅ r + r' ⋅g =π ⋅ 15 10 13 325+ ⋅ = π =1020,5 cm

(

)

2 2 2 2 2 TOTAL A = π ⋅ r + r' ⋅g+ π ⋅r + π ⋅r' =1020,5+ π ⋅15 + π ⋅10 =2041 cm

SUPERFICIE DE LA ESFERA

La superficie de la esfera se llama superficie esférica. Coincide con la superficie lateral del cilindro que la envuelve.

2

2 2 4

= π ⋅ = π

A_{LATERAL DEL CILINDRO} = π ⋅2 R 2R= π4 R2

A R R R

2 ESFERA = π4

SUPERFICIE DE LA ESFERA

La relación entre la superficie de la esfera y la del cilindro que la envuelve también se cumple para porciones de esfera.

SUPERFICIE DE LA ESFERA

La cúpula de un edificio tiene una altura de 4m y corresponde a una esfera de 9m de radio. Calular su superficie.

2

2 9 4 226 m

= π ⋅ ⋅ =

S

SUPERFICIE DE LA ESFERA

La cúpula de un edificio tiene una altura de 4m y corresponde a una esfera de 9m de radio. Calular su superficie.

2

2 9 4 226 m

= π ⋅ ⋅ =

S

VOLUMEN DEL PRISMA Y DEL CILINDRO

Los prismas y los cilindros son figuras prismáticas.

Hallar el volumen de un prisma hexagonal regular de lado de la base 30 cm y 1 m de altura.

2 2

apotema= 30 −15 ≈26 cm

VOLUMEN DEL PRISMA Y DEL CILINDRO

2 BASE Perímetro apotema 30 6 26 A 2340 cm 2 2 ⋅ ⋅ ⋅ = = = 2 3 PRISMA BASE V =A ⋅Altura 2340 cm 10 cm 234000 cm= ⋅ = =234 litros

Hallar el volumen de un cilindro de 30 cm de radio y 1 m de altura.

30 cm

1 m

VOLUMEN DEL PRISMA Y DEL CILINDRO

2 2 3 CILINDRO BASE V =A ⋅Altura= πr ⋅a= π ⋅30 100 282600 cm⋅ = =282,6 litros

VOLUMEN DE LA PIRÁMIDE

Pirámide 1

V Área de la base Altura 3

= ⋅

Hallar el volumen de una pirámide de altura 20 cm. La base es un triángulo rectángulo de 10 cm de hipotenusa y 6 cm un cateto.

2 2 10 6 8 cm = − = c

VOLUMEN DE LA PIRÁMIDE

2 BASE 6 8 A 24 cm 2 ⋅ = = 3 PRISMA 1 V 24 20 160 cm 3 = ⋅ ⋅ = 20 cm

VOLUMEN DEL TRONCO DE PIRÁMIDE

Tronco de Pirámide Pirámide grande Pirámide pequeña

V =V −V

3 1

Pirámide pequeña Pirámide grande 2 V =  ⋅V   a a

VOLUMEN DE LA PIRÁMIDE

Hallar el volumen del siguiente tronco de pirámide:

2 3 PIRÁMIDE GRANDE 1 V 8 12 256 cm 3 = ⋅ ⋅ = 3 6  3 _{3 3} PIRÁMIDE PEQUEÑA 6 V 256 cm 32 cm 12   =_{ } ⋅ =   3 TRONCO DE PIRÁMIDE V =256 32 224 cm− =

VOLUMEN DEL CONO Y TRONCO DE CONO

2 Cono

1 1

V Área de la base Altura

3 3

= ⋅ = πr a

Tronco de Cono Cono grande Cono pequeño

V =V −V

VOLUMEN DEL TRONCO DE CONO

Hallar el volumen de un tronco de cono de 10 cm de altura cuyas bases tienen radios de 6 cm y 2 cm. x 10 x 2x 20 6x 4x 20 x 5 cm 6 2 + = → + = → = → =

Altura cono grande = 15 cm

Tronco de Cono Cono grande Cono pequeño

2 2 3 V V V 1 1 6 15 2 5 544 cm 3 3 = − = = π ⋅ ⋅ − π ⋅ ⋅ =

VOLUMEN DE LA ESFERA

3 Esfera

2 4

V Volumen del cilindro que la contiene

3 3 = = πR

VOLUMEN DE LA ESFERA

3 3 3 Esfera 4 4 V 9 972 3053, 63 cm 3 3 = πR = ⋅ π ⋅ = ⋅ π ≈

Hallar el volumen de un sector esférico de 60º correspondiente a una esfera de 9 cm de radio. 3 3 360º 3053,63 cm 60º 3053,63 x 509 cm 360º 60º x  → ⋅ → = ≈  → _ 3 SECOR ESFÉRICO V ≈509 cm

VOLUMEN DE LA ESFERA

3 3 BALÓN 4 V 25 65417 cm 3 = ⋅ π ⋅ ≈

El radio de un balón es 25 cm, y sabemos que el grosor de la goma es 3 mm. ¿Cuántos litros de goma son necesarios para fabricar un balón?

4 3 3 ESFERA INTERIOR 4 V 24, 7 63090 cm 3 = ⋅ π ⋅ ≈ 3 GOMA V =65417 63090 2327 cm− = =2,327 litros Solución_{: Se necesitarán 2,33 litros de goma aproximadamente.}

LA TIERRA. MERIDIANOS Y PARALELOS

Los meridianos son semicircunferencias cuyos extremos coinciden con los polos.

LA TIERRA. MERIDIANOS Y PARALELOS

Los paralelos son circunferencias sobre la superficie terrestre tales que el plano que las contiene es perpendicular al eje terrestre.

LA TIERRA. MERIDIANOS Y PARALELOS

LA TIERRA. MERIDIANOS Y PARALELOS

La longitud de un lugar M es la medida en grados del arco, medido sobre el Ecuador, formado por el meridiano del lugar y el meridiano de Greenwich.

Latitud

Latitud

Longitud

LA TIERRA. MERIDIANOS Y PARALELOS

La latituddel lugar M es la medida en grados del arco, medido sobre el meridiano que pasa por M, formado por el Ecuador y el paralelo de M.

Latitud

Latitud