Análisis de Capabilidad (Defectos Por Unidad)
Este procedimiento esta diseñado para estimar la media del número de defectos por unidad sobre una población basándose en muestras de artículos de esa población. Para cada artículo, se cuenta el número de defectos.
Los datos para este análisis consisten de m muestras de una población detallando: = número de artículos en la muestra i
i n
= número de defectos sumados sobre todos los artículos en la muestra i i
d
Ejemplo StatFolio: attcap2.sgp
Datos del Ejemplo:
El archivo boards.sf3 contiene la información sobre m = 26 muestras, cada una consiste de n = 100 tarjeta de circuitos integrados. Los datos fueron tomados de Montgomery (2005). Cada tarjeta fue inspeccionada y el número de defectos sobre la tarjeta fue tabulado. La tabla de abajo muestra una lista parcial de los datos en el archivo:
sample (muestra) n defects (defectos) 1 100 21 2 100 24 3 100 16 4 100 12 5 100 15 6 100 5 7 100 28 8 100 20 9 100 31 10 100 25 11 100 20 12 100 24 13 100 16 14 100 19 15 100 10 Entrada de Datos
• Número de Defectos: Una columna numérica conteniendo el número total de defectos di
encontrado sobre los artículos de la muestra i, una fila para cada muestra.
• Tamaño de Muestra: El tamaño de muestra ni. Ingrese cualquiera de las dos; el nombre de
una columna numérica o un solo número si todos los tamaños de muestra son iguales.
• Objetivo de Defectos por Unidad: El valor objetivo del proceso es dado por un porcentaje medio de defectos por artículo. Si es ingresado, este valor se puede indicar sobre los gráficos.
• Selección: Selección de un subconjunto de los datos.
Resumen del Análisis
El Resumen del Análisis resume la entrada de los datos y despliega la estimación de la capacidad del proceso.
Análisis Capacidad de Procesos (Defectos por Unidad) - defects
Datos/Variable: defects Meta: 0.2
Distribución: Poisson número de muestras = 26
tamaño promedio de muestra = 100.0 defectos por unidad promedio = 0.198462
Estimado Límite Inferior 95% Límite Superior 95% Defectos por unidad promedio 0.198462 0.181705 0.216348
Límites de tolerancia (tamaño de muestra promedio) 12 29
Importantes cálculos en la salida incluyen:
• Distribución: La distribución asumida para los datos. Por defecto es Poisson, la cual es apropiada si la varianza es aproximadamente igual a la media. Si la varianza es mayor que la
media, entonces la distribución binomial negativa puede seleccionarse usando Opciones del Análisis.
• Numero de Muestras: El número de muestras m.
• Tamaño de Muestra Promedio: El tamaño promedio de las m muestras:
m n n m i i / 1
∑
= = (1)• Media de Defectos por Unidad: El número promedio de defectos por artículos, calculados de
∑
∑
= = = m i i m i i n d u 1 1 (2)Un intervalo de confianza para la población media de defectos por artículo también será desplegado.
• Límites de Tolerancia para el Tamaño de Muestra Promedio: Un intervalo de tolerancia 100(1-α)% para el número total de defectos en la muestra de tamaño n. Este intervalo se calcula encontrando el rango de X para la distribución estimada que no deja más que α/2 en cada cola.
Para el ejemplo actual, la estimación de la media de defectos por unidad es u= 0.1985. Dado el tamaño de muestra, el margen del error es tal que los intervalos de confianza al 95% para la verdadera media de defectos por unidad están en un rango de 0.1817 a 0.2163.
El intervalo de tolerancia indica que al 95% de todas las muestras sobre 100 artículos tomados de la población se puede esperar que estén contenidos entre 12 y 29 defectos.
Opciones del Análisis
• Distribución: Seleccione la distribución Poisson si la varianza de la población es aproximadamente igual a la media. Si la varianza es mayor que la media, entonces seleccione la distribución Binomial Negativa.
• K: Si la distribución Binomial Negativa es seleccionado, puede especificar el valor para el parámetro k ingresando un número mayor que 0 dejando el campo en blanco si desea que el programa estima k de los datos.
• Límites de Confianza: Seleccione Intervalos de Dos-Colas para limites inferior y superior alrededor de la media de defectos por unidad o un Limite de Confianza Superior si solamente se desea un limite superior.
• Nivel de Confianza: Especifica el porcentaje para los intervalos de confianza y los limites de tolerancia, generalmente 90, 95, o 99.
Gráfico de Capacidad
El Gráfico de Capacidad muestra un histograma de los datos juntos con la distribución estimada (mostrada por los puntos símbolos).
0.2 DPU
Media: 19.8462 Capacidad de Proceso para defects
0 10 20 30 40 50 defects 0 3 6 9 12 15 fr ec ue nc ia
La línea vertical larga corresponde al valor objetivo. Las líneas verticales cortas corresponden a los límites de tolerancia mostrados en el Resumen del Análisis.
Al margen derecho del gráfico se despliega el número promedio de defectos en una muestra de tamaño promedio.
Prueba de Bondad-del-Ajuste
El panel Prueba de Bondad-del-Ajuste desarrolla una prueba Chi-Cuadrada para determinar cuando los datos muéstrales pueden tener razonablemente un comportamiento de la distribución asumida.
Pruebas de Bondad-de-Ajuste para defects
Prueba Chi-Cuadrada
Inferior Superior Observada Esperada
Límite Límite Frecuencia Frecuencia Chi-Cuadrada menor o igual 13.5 4 2.89 0.43 14.5 15.5 5 3.13 1.12 16.5 16.5 2 2.02 0.00 17.5 17.5 1 2.23 0.68 18.5 18.5 2 2.33 0.05 19.5 19.5 2 2.31 0.04 20.5 20.5 1 2.18 0.64 21.5 22.5 1 3.67 1.94 23.5 24.5 4 2.52 0.87 en ó por encima de 25.5 4 2.74 0.58 Chi-Cuadrada = 6.34581 con 8 g.l. Valor-P = 0.608556
El rango de los datos es dividido en intervalos, cada uno representando un rango de posibles números de defectos en una muestra. Las clases son estructuradas de tal manera que el número de valores esperados sobre los datos por cada clase sea menor que 2.
El estadístico de interés primario es el Valor-P. El Valor-P debajo de α indica significancia en la salida de la distribución asumida a un nivel de significancia del 100α%. Por ejemplo, puesto que
el Valor-P en la tabla anterior esta bien debajo de 0.05, no hay una significancia de salida de la distribución Poisson asumida en un nivel de significación del 5%.
La prueba es exacta si los tamaños de muestra son iguales para todos. Será una aproximación si los tamaños de muestra son diferentes.
Gráfico de Probabilidad
El Gráfico de Probabilidad es utilizado para determinar cualquier discrepancia entre los datos y la distribución asumida. Media=19.8462 Gráfica de Probabilidad 0 10 20 30 40 Poisson Distribución 0 10 20 30 40 defe c ts
El eje vertical muestra los datos, ordenados de mayor a menor, mostrando el numero de defecto en la muestra. Cada punto es graficado contra un perceptil equivalente a la distribución estimada. Permitiéndose para los datos discretos, que los puntos pueden fallar aproximadamente a través de la línea diagonal.
En el gráfico anterior, los datos muestran que parece tener una salida significativa para la distribución Poisson, con los datos extendiéndose sobre ambas direcciones que pueden esperarse para una distribución Poisson.
Gráfico de Corrida
Este Gráfico muestra los datos en orden secuencial con una línea horizontal que se dibuja sobre el valor objetivo.
Carta de Secuencias para defects
0 5 10 15 20 25 30 muestra 0 0.1 0.2 0.3 0.4 defec tos por u ni d ad 0.20
Idealmente, los puntos pueden variar aleatoriamente alrededor de la línea objetivo.
Gráfico de Control
Este panel muestra un gráfico u para los datos muéstrales.
Gráfico u para defects
0 5 10 15 20 25 30 muestra 0 0.1 0.2 0.3 0.4 de fe c tos po r u n id ad 0.20 0.33 0.06
Cada valor de los datos se grafica junto con la línea central y los límites de control. En este caso, 2 puntos que están fuera de los límites de control son señales de que el proceso no esta en un estado de control estadístico, lo cual probablemente se debe a las aparentes colas prolongadas.
Comparación de Distribuciones Alternativas
Este panel despliega los resultados de la prueba de bondad-del-ajuste para la distribución Poisson y la distribución binomial negativa.
Comparación de Distribuciones Alternas
Distribución K Log Verosimilitud Chi-Cuadrada P Poisson -94.6698 0.608556 Binomial Negativa 12.5081 -87.2331 0.610756
Las mejores estimaciones de las distribuciones deben tener:
• Valores grandes de la función de la log verosimilitud.
• Valores grandes del Valor-P en la Chi-Cuadrada.
En la tabla anterior, las estadísticas más grandes son para la distribución binomial negativa, sugiriendo que se cambie para ver si es posible encontrar un mejor ajuste. La distribución binomial negativa estimada se muestra abajo:
Prob. Evento=0.386598 Aciertos=12.5081 Gráfica de Probabilidad
0 10 20 30 40
Binomial Negativa Distribución 0 10 20 30 40 defe c ts
Los límites de control son más amplios que para la distribución Poisson, puesto que la varianza de la distribución estimada es mayor:
Gráfico u para defects 0 5 10 15 20 25 30 muestra 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 de fe c tos po r u n id ad 0.20 0.41 0.00
El gran impacto usando la distribución binomial negativa en lugar de la distribución Poisson es sobre un intervalo de tolerancia al 95%, la cual ahora se extiende de 8 a 36 en lugar del 12 al 29. Cuando la distribución de verdad es una binomial negativa o la mejor estimación es una manifestación de un fuera-de-control del proceso que puede requerir una investigación a detalle.
Cálculos
Intervalo de Confianza para la Media de Defectos por Unidad
Para la distribución Poisson
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ Χ Χ
∑
∑
= + = − m i i x m i i x n n 1 2 ) 1 ( 2 , 2 / 1 2 2 , 2 / 1 2 , 2 α α (3) donde∑
= = m i i d x 1 (4)Si los datos son asumidos con una distribución binomial negativa, entonces el intervalo de confianza esta calculado usando una aproximación normal.
2 2 / ˆ ˆ 1 ˆ p p n m k z u ± α a − (5)
Si el campo de k sobre la caja de dialogo Opciones del Análisis es dejado en blanco, entonces ambos parámetros serán estimados de los datos
2 ˆ d s n u p= donde 2
es el mismo ejemplo de varianzas de las d d s i’s (6) p n u p k ˆ 1 ˆ ˆ − = (7)
Un mensaje de error será presentado si es mayor que 1, lo cual ocurrirá si la variación de los datos es menor que la media.
pˆ
Si un valor para k es proporcionado sobre la caja de dialogo de Opciones del Análisis, entonces solamente p será estimado de acuerdo a los datos por
k d k p + = ˆ (8)
Gráfico de Control Línea Central:
