Triángulos Rectángulos y Ángulos Agudos

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Triángulos Rectángulos y Ángulos Agudos

Un ángulo agudo es un ángulo con una medida mayor que 0º y menor que 90º.

Se utilizan letras griegas  (alpha),  (beta),  (gamma), 

(theta), and  (phi) para nombrar ángulos, o letras mayúsculas A, B, C, etc.

Lado opuesto 

Lado adyacente a  Hypotenusa

Nombramos los lados conforme a su relación con los ángulos. La hypotenusa es el lado opuesto al ángulo recto. Se

nombramos el ángulo de la base , uno de los lados es el lado opuesto a  y otro es el lado adyacente a .

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Razones Trigonométricas

La longitud de los lados del triángulo recto se usan para definir seis razones trigonométricas.

seno (sin) coseno (cos) tangente (tan) cosecante (csc) secante (sec) cotangente (cot) Lado opuesto  Lado adyacente a  Hypotenusa

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Valores de las funciones trigonométricas

de un ángulo agudo

Sea  un ángulo agudo de un triángulo recto. Las 6 funciones trigonométricas de  se definen:

sin

 side opposite

hypotenuse

cos

 side adjacent to

hypotenuse

tan

 side opposite

side adjacent to

csc

 hypotenuse

side opposite

sec

 hypotenuse

side adjacent to

cot

 side adjacent to

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Ejemplo

En el triángulo que se muestra, hallar los valores de las 6 funciones trigonométricas de  y .

Solución: a) sin

 opp hyp  5 13

13 5 12 cos

 adj hyp  12 13 tan

 opp adj  5 12 csc

 hyp opp  13 5 sec

 hyp adj  13 12 cot

 adj opp  12 5

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Funciones Recíprocas

Note que existe una relación recíproca entre parejas de funciones trigonométricas. csc

 1 sin

1 sec cos

 cot

 1 tan

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Ejemplo

Dado un triángulo recto, en el que

sin

 4 5 , cos

 3 5 , and tan

 4 3, Solución: csc

1 sin

 1 4 5  5 4 sec

1 cos

 1 3 5

hallar csc , sec , y cot .

 5 3 cot

 1 tan

 1 4 3  3 4

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Ejemplo

Si sin

 6

7

Solución:

5 valores trigonométricos de .

y  es un ángulo agudo, determinar los

6

7 

opp hyp

Use la definición de la función del seno como una razón y dibuje el triángulo recto.

7

a 6

Use la ecuación de Pitágora para hallar a. a2  b2  c2

a2  62  72

a2  36  49

a2  49  36  13

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Ejemplo

Use las longitudes de los 3 lados para determinar las cinco razones restantes.

sin

 6 7 continuación: cos

 13 7 tan

 6 13  6 13 13 csc

 7 6 sec

 7 13  7 13 13 cot

 13 6

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Ejemplos

Hallar el valor de las 6 funciones trigonométricas para cada ángulo utilizando la calculadora. Redondee a 4 lugares decimales:

 0.5703899297

Solución:

Asegúrate de que la calculadora esté en modo de grado. a) tan29.7º a) tan29.7º 0.5704 b) sec 48º  1 cos 48º b) sec 48º 1.49447655 1.49445  0.9948409474  0.9948

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Resolver el triángulo

Resolver el triángulo rectángulo implica determinar las longitudes de todos los lados y las medidas de todos

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Ejemplo

En el triángulo rectángulo

ABC, determinar a, b, y B si el triángulo se ha nombrado de forma estándar como se

muestra en el diagrama. B b 106.2 C A a 61.7º

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Ejemplo (cont.)

Solución:

Como la suma de los ángulos

internos de un triángulo es 180o, la suma de A y B debe ser 90o.

Por lo tanto, las medidas de los ángulos son: B  90º A  90º 61.7º  28.3º B b 106.2 C A a 61.7º A  61.7º B  28.3º C  90º

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Ejemplo (cont.)

Solución (cont.): sin 61.7º  hyp opp  a 106.2 a  106.2sin61.7º a  93.5 B b 106.2 C A a 61.7º cos61.7º  adj hyp  b 106.2 b  106.2cos61.7º b  50.3 a  93.5 b  50.3 c  106.2

Las longitudes de los lados son:

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Aplicaciones: Ejemplo1

A la misma vez que un globo de aire se calienta y comienza a subir, el personal de tierra viaja 1.2 mi hacia una estación de observación. La observación inicial estimó que el ángulo entre la tierra y el globo era 30º. Aproxime la altura al cual se encuentra el globo en ese momento.

Solución:

Debe comenzar haciendo un esquema de la situación, nombrando las partes y anotando la información que se tiene.

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Solución (cont.): tan 30º  opp adj  h 1.2 1.2 tan 30º h 1.2 3 3 h        0.7  h

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Aplicaciones: Ejemplo 2

El supervisor de pintura ha comprado escaleras nuevas que extienden hasta 30 pies. El manufacturero dice

que, para mayor seguridad, se debe extender la escalera 25 pies y colocarla de tal forma que la base se este a

6.5 pies de la pared. ¿Qué ángulo debe hacer la base de la escalera con el suelo?

Solución:

Debe comenzar haciendo un esquema de la situación, nombrando las partes y anotando la información que se tiene.

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Solución (cont) cos

 adj hyp  6.5 ft 25 ft  0.26

 74.92993786º

Por lo tanto, la escalera está en su posición más seguara. con un ángulo de 75º con el suelo.

Use la calculadora para hallar el ángulo que tiene coseno igual a 0.26:

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Aplicaciones: Ejemplo 3

 Una palma de 50 m de alto proyecta una

sombra de 60 m de larga. Encontrar el ángulo de elevación del sol en ese momento.

adyacente

opuesto

)

tan(

60

50

)

tan(

6

5

)

tan(

40

6

5

tan

1

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Aplicaciones: Ejemplo 3

 El extremo superior de una escalera esta

apoyada en una pared de forma que alcanza una altura de 5 pies sobre el suelo. Si la

escalera forma un ángulo 38º con el suelo, ¿Cuál es el largo de la escalera?

hipotenusa

opuesto

)

38

sin(

x

5

)

38

sin(

pies

8

)

38

sin(

5

x

(21)

Aplicaciones: Ejemplo 3

 Un edificio tiene una altura de 75m. ¿Qué medida tiene la sombra que proyecta cuando el sol tiene un ángulo de elevación de 50º?. Haz un dibujo del

problema

hipotenusa

adyacente

)

50

cos(

75

)

50

cos(

x

m

x

75

cos(

50

)

48

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