CONCEPTO DE TRABAJO. 2. Trabajo de las fuerzas aplicadas sobre un sistema de partículas Generalización del concepto de función de fuerzas...

Índice

1. Trabajo de una fuerza sobre una partícula 2

1.1. Definición de trabajo elemental . . . 2

1.1.1. Nomenclatura . . . 2

1.1.2. Propiedades . . . 2

1.1.3. Definición de Potencia . . . 3

1.2. Definición de trabajo . . . 3

1.3. Calculo del trabajo: casos de interés . . . 3

1.3.1. Caso general . . . 3

1.3.2. Caso de fuerza solo función de la posición . . . 3

1.3.3. Caso de fuerza potencial solo función de la posición . . . 3

1.4. Superficies de nivel de un campo escalar . . . 5

1.4.1. Derivada direccional . . . 5

1.5. Cálculo de la función de fuerzas . . . 5

1.6. Campos no estacionarios . . . 6

2. Trabajo de las fuerzas aplicadas sobre un sistema de partículas 7 2.1. Generalización del concepto de función de fuerzas . . . 7

3. Trabajo de las fuerzas aplicadas sobre un sólido 9 3.1. Propiedades . . . 10

4. Relatividad del trabajo 11

5. Trabajo de las acciones de contacto 12

1.

Trabajo de una fuerza sobre una partícula

Sea un sistema de referencia cartesiano rectangular O1x1y1z1 y sea una partícula M que estando sometida a una fuerza _F¯ _{se mueve respecto al sistema anterior describiendo una}

tra-yectoria C. O x y z ¯ F ¯ r θ_dr¯ C M M0 M1 Si se considera un sistema de referencia cartesiano

rectangular, el vector de posición de la partícula en un instante genérico lo podemos representar por:

¯

r=P x~ı+y~+z~k (1)

y la fuerza que actúa sobre la misma por:

¯

F =P X~ı+Y ~+Z~k (2)

1.1.

Definición de trabajo elemental

Se define el trabajo elemental como:

dW = ¯F ·d¯r (3)

y se comprueba fácilmente que resulta:

dW = ¯F ·d¯r=|F¯||d¯r|cosθ =P Xdx+Y dy+Zdz (4)

1.1.1. Nomenclatura

Signo del trabajo Ángulo θ Tipo de trabajo

+ agudo motor

- obtuso resistente

Si el trabajo elemental es nulo se tiene:

dW = 0⇔F¯·dr¯= 0⇔    ¯ F = ¯0 d¯r= ¯0 ang( ¯F , dr¯) =±π 2 1.1.2. Propiedades

Como el producto escalar es una forma bilineal, es lineal respecto a sus dos factores: 1. Si la fuerza es la resultante de un sistema de fuerzas:

¯ Fi (i= 1, . . . , n) | F¯ = n X i=1 ¯ Fi

El trabajo realizado por la fuerza resultante es igual a la suma de los trabajos de las fuerzas componentes. dW = ¯F ·dr¯= ( n X i=1 ¯ Fi)·d¯r= n X i=1 ( ¯Fi·dr¯) = n X i=1 dWi

2. Si el desplazamiento es el resultante de un sistema de desplazamientos:

dr¯j (j = 1, . . . , m) | d¯r= m

X

j=1

El trabajo realizado en el desplazamiento resultante es igual a la suma de trabajos en los desplazamientos componentes. dW = ¯F ·dr¯= ¯F · m X j=1 dr¯j = m X j=1 ( ¯F ·dr¯j) = m X j=1 dWi 1.1.3. Definición de Potencia

Si el desplazamiento elemental se ha realizado en un tiempo dt se define la potencia como:

P = dW

dt = ¯F · dr¯

dt = ¯F ·v¯

1.2.

Definición de trabajo

Se define el trabajo de una fuerza sobre la partícula como la circulación de la fuerza sobre el arco de trayectoria recorrido.

W = Z C Z M1 M0 ¯ F ·dr¯

1.3.

Calculo del trabajo: casos de interés

Este caso se presenta cuando la dependencia de la fuerza es del tipo:

¯

F = ¯F(¯r,v, t¯ )

Para el cálculo del trabajo en este caso se necesita conocer el movimiento completo de la par-tícula r¯ = ¯r(t), por derivación podemos obtener la velocidad (v¯ = ¯v(t)) y el desplazamiento elemental (d¯r= ¯v(t)dt), con lo que el trabajo resulta:

W = Z C Z M1 M0 ¯ F ·dr¯= Z t1 t0 ¯ F(¯r(t),v¯(t), t)·v¯(t) | {z } P(t) dt= Z t1 t0 P(t)dt (5)

1.3.2. Caso de fuerza solo función de la posición

Este caso se presenta cuando la dependencia de la fuerza es del tipo:

¯

F = ¯F(¯r)

Para el cálculo del trabajo en este caso se necesita conocer únicamente la trayectoria de la partícula r¯= ¯r(u), se puede obtener el desplazamiento elemental (dr¯= dr¯_du(u)du), con lo que el trabajo resulta: W = Z C Z M1 M0 ¯ F ·dr¯= Z u1 u0 ¯ F(¯r(u))·d¯r(u) du | {z } Ψ(u) du= Z u1 u0 Ψ(u)du (6)

1.3.3. Caso de fuerza potencial solo función de la posición

Este caso se presenta cuando la fuerza deriva de una función de fuerzas U de la siguiente

forma: ∃U(¯r) | F¯(¯r) =∇U(¯r) (el gradiente se define mediante:dφ=∇φ·dr¯). El operador nabla del gradiente se expresa en cartesianas como ∇=p ∂

∂x~ı+ ∂ ∂y~+

∂ ∂z~k.

Propiedades

• El trabajo es independiente del camino recorrido y solo depende de las posiciones inicial y final: dW = F¯·d¯r=∇U(¯r)·dr¯=dU (=P ∂U ∂xdx+ ∂U ∂ydy+ ∂U ∂zdz) W = Z C Z M1 M0 ¯ F ·dr¯= Z C Z M1 M0 ∇U(¯r)·dr¯= Z M1 M0 dU =U1−U0

• Si la función F¯ ∈C(R3,R3)y el trabajo es independiente del camino recorrido, entonces existe función de fuerzas.

dU =dW ⇒U(x, y, z) = Z M M0 ¯ F ·d¯r= Z M M0 (Xdx+Y dy+Zdz) O x y z h M0(x, y, z) M1(x+h, y, z) derivando parcialmente con respecto a x se tiene:

∂U ∂x = l´ımh→0 U(x+h, y, z)−U(x, y, z) h = = l´ım h→0 R(x+h,y,z) (x,y,z) (Xdx+Y dy+Zdz) h (∗) = = l´ım h→0 R(x+h,y,z) (x,y,z) X(x, y, z)dx h (∗∗) = = l´ım h→0 ∃γ∈[0,1] _{hX(x+γh, y, z)} h =X(x, y, z)

(∗)Por la independencia del camino (y=cte, z =cte) (∗∗)Teorema de la media del calculo integral

y análogamente se demostraría que:

∂U

∂y = Y(x, y, z) ∂U

∂z = Z(x, y, z)

con lo que resulta:

¯ F =X~ı+Y ~+Z~k = ∂U ∂x~ı+ ∂U ∂y~+ ∂U ∂x~k =∇U

Teorema La condición necesaria y suficiente para que exista función de fuerzas es que el

rotacional del campo de fuerzas sea nulo.

∃U(x, y, z)∈C2_(R3_,R) ∃F¯(x, y, z)∈C1(R3,_R3) } | F¯=∇U ⇔ ∇ ∧F¯ = ¯0 Demostración de ⇒ ¯ F =∇U ∇ ∧F¯ = ~ı ~ ~k ∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z X Y Z = (∂Z ∂y − ∂Y ∂z )~ı+ ( ∂X ∂z − ∂Z ∂x)~+ ( ∂Y ∂x − ∂X ∂y)~k

Ω Σ C C1 C2 M1 M2 La primera componente resulta:

∂Z ∂y − ∂Y ∂z = ∂2U ∂z∂y − ∂2U ∂y∂z (∗) = 0 (∗) Teorema de Schwarz

y análogamente se anulan las otras dos componentes, con lo que se demuestra la primera parte.

Demostración de ⇐ Elegimos una curva cerra-da arbitraria C contenida en la región Ω en la que se anula el rotacional del campo. Aplicando el teorema de Stokes para una superficie arbitraria Σ ⊂Ω que se apoya en la curva C: Z C O _F¯_·dr¯(Stokes₌ )Z Z Σ (∇ ∧F¯)·dS¯= Z Z Σ (∇ ∧F¯)·~ndσ = 0

Si elegimos dos puntos distintos y arbitrarios M1 y M2 de la curva C, la curva queda dividida en dos tramos: C1 y C2. De la igualdad anterior se sigue:

0 = Z C O _F¯_·d¯r=Z C1 Z M2 M1 ¯ F ·dr¯+ Z C2 Z M1 M2 ¯ F ·dr¯ ⇒ Z C1 Z M2 M1 ¯ F ·dr¯= Z C2 Z M2 M1 ¯ F ·d¯r

tanto C comoM1 y M2 son completamente arbitrarios demostramos que el trabajo es indepen-diente del camino y, por el teorema anterior, el campo deriva de una función de fuerzas.

1.4.

Superficies de nivel de un campo escalar

Se define superficie de nivel o equipotencial del campo escalar U asociada al valor constante

K como:

SK ={¯r∈R3 | U(¯r) =K}

1.4.1. Derivada direccional dU

d~u =∇U ·~u (= ¯F ·~u=F~u)

El valor máximo de la derivada direccional se logra para θ(~u) = arc cos(~u· _|∇∇U_U|) = 0, es decir, para ~u en la dirección y sentido del gradiente.

Ejemplos: Atracción/repulsión central, axial o planar.

1.5.

Cálculo de la función de fuerzas

O x y z (a, b, c) (x, y, z) (x, b, c) (x, y, c) 1 2 3 Para este desarrollo usaremos coordenadas generalizadas,

aunque luego veremos que no es obligatorio. Sea el campo de fuerzas potencial:

¯

F(x, y, z) = X(x, y, z)~ı+Y(x, y, z)~+Z(x, y, z)~k

Considerando la independencia del camino para el calculo del trabajo usamos una línea quebrada formada por tres segmentos rectilíneos que se eligen paralelos a los ejes coordenados, para conseguir que en cada uno de ellos únicamente varíe una

coorde-nada:

1 : y=b, z =c, ξ ∈(a, x) 2 : x=x, z =c, η∈(b, y) 3 : x=x, y =y, ζ∈(c, z)

Por ejemplo, si consideramos el trabajo desde un puntoM0(a, b, c)el origen a un punto genérico

M(x, y, z) se tiene: U(x, y, z) = Z x a X(ξ, b, c)dξ+ Z y b Y(x, η, c)dη+ Z z c Z(x, y, ζ)dζ

Si eligiéramos otro sistema de coordenadas generalizadas el procedimiento sería completa-mente análogo, usando caminos donde sólo varíe una coordenada generalizada.

El punto inicial de la integración es un Punto en el que el valor de la función de fuerzas (o del potencial) es nulo, por eso se denomina origen o nivel nulo de función de fuerzas (o de potenciales). Ahora pasamos a describir cómo cambia la función de fuerzas, si se cambia el origen de potenciales: U0(x, y, z) = Z M(x,y,z) M0 ¯ F ·dr¯ U1(x, y, z) = Z M(x,y,z) M1 ¯ F ·dr¯= Z M0 M1 ¯ F ·dr¯ | {z } CT E + Z M(x,y,z) M0 ¯ F ·d¯r=CT E+U0(x, y, z) ∇U1 = ∇U0

La función de fuerzas queda definida salvo una constante aditiva. El origen de potenciales puede fijarse arbitrariamente a conveniencia dentro de unas ciertas limitaciones (solo en un punto con valor finito de la función).

1.6.

Campos no estacionarios

En algunas ocasiones se da la siguiente condición en campos no estacionarios:

∃U,F¯ | F¯(x, y, z, t) =∇U(x, y, z, t)

En estas circunstancias se tiene:

dW = ¯F ·d¯r= ∂U ∂xdx+ ∂U ∂ydy+ ∂U ∂zdz 6=dU = ∂U ∂xdx+ ∂U ∂ydy+ ∂U ∂z dz+ ∂U ∂t dt

2.

Trabajo de las fuerzas aplicadas sobre un sistema de

partículas

Se define el trabajo como una magnitud aditiva:

dW (1)= N X i=1 ¯ Fi·dr¯i (2)= Z S ¯ F ·dr¯

donde la igualdad (1) se usa en el modelo de masas puntuales y la (2) en el de masas distribuidas.

2.1.

Generalización del concepto de función de fuerzas

Se dice que existe función de fuerzas asociada a un sistema de partículas cuando

∃U(¯ri) =U(¯r1, ...,r¯N)| dW =dU

Cuando ocurre esto, se satisfacen la siguientes relaciones:

¯ Fi =∇iU (i= 1, . . . , N) →P Xi = ∂U ∂xi, Y i ₌ ∂U ∂yi, Z i ₌ ∂U ∂zi

y el trabajo entre los estados A y B se calcula como: W = Z B A N X i=1 ¯ Fi·dr¯i = Z B A N X i=1 ∇iU ·dr¯i = Z B A N X i=1 dUi = Z B A dU =UB−UA = ∆U Ejemplos: O x y z i j ¯ ri ¯ rj ¯ rij ~ uij ¯ Fij ¯ Fji

• Dos partículas (i, j) con la ley de acción-reacción en su formulación fuerte:

Geometría: ¯rij = ¯rj−r¯i =rij~uij

Modelo de fuerzas: ¯Fij =Fij~uij =−F¯ji

concepto primer índice segundo índice

Vector de posición origen extremo

Fuerza causa efecto

dW = F¯ij·dr¯j+ ¯Fji·dr¯i = ¯Fij ·(d¯rj−d¯ri) = = F¯ij·dr¯ij =Fij~uij ·(drij~uij +rijd~uij) = = Fijdrij

SiFij =F(rij)(fuerza función de la distancia) entonces:

dW =F(rij)drij =dU ⇒U = Z F(rij)drij +C O x y G s ξ η φ δm ¯ Fδm • Varilla homogénea de masa m y longitud l en un

plano sometida a una repulsión de un eje del mismo proporcional a la masa y a la distancia:

ξ, η, φ coords. generalizadas de la varilla en el plano s longitud de arco (para discretizar la masa)

δm=λds= m

l ds yδm =η+ssinφ

Si la repulsión es del eje Ox, se modeliza mediante: ¯ Fδm =kyδmδm ~ dUδm = ¯Fδm·dr¯=k yδmdyδmδm ⇒ Uδm = k 2(y δm₎2_δm U = Z S Uδm = k 2 Z (yδm)2δm= km 2l Z l/2 −l/2 (η+ssinφ)2ds= km 2 [η 2 ₊ l2 12sin 2_φ]

TeoremaLa condición necesaria y suficiente para que exista función de fuerzas para un sistema

de partículas es que el trabajo elemental de las fuerzas aplicadas al sistema

dU =dW = N X i=1 ¯ Fi·dr¯i = n X j=1 Gj(q1, . . . , qn)dqj

sea una forma diferencial exacta en las coordenadas generalizadasqj (j = 1, . . . , n), es decir, se

cumpla la igualdad de derivadas parciales cruzadas:

∂Gj

∂qk

= ∂Gk

∂qj

(j, k= 1, . . . , n;j < k)

Aplicación al ejemplo de la varilla:

dUδm = F¯δm·dr¯=k yδmdyδmδm=k(η+ssinφ)(dη+scosφdφ)m l ds dU = Z S dUδm = km l Z l/2 −l/2 (η+ssinφ)(dη+scosφdφ)ds = = km[ηdη+ l 2 12sinφcosφ dφ]

Existe función de fuerzas, ya que:

∂Gξ ∂η = ∂Gη ∂ξ = ∂Gξ ∂φ = ∂Gφ ∂ξ = 0; ∂Gη ∂φ = ∂(kml₁₂2 sinφcosφ) ∂η = 0 = ∂Gφ ∂η = ∂(kmη) ∂φ y vale U(η, φ) = km 2 [η 2₊ l2 12sin 2_φ]

3.

Trabajo de las fuerzas aplicadas sobre un sólido

Sean i y j los índices asociados a dos partículas de

un sólido. Las fuerzas sobre las partículas se dividen en fuerzas interiores y exteriores:

¯

Fi = ¯F_Ei + ¯F_Ii

Si las fuerzas interiores responden al modelo de acción-reacción en su formulación fuerte se tiene:

¯

F_Iij =−F¯_Ij i =Fij~uij

y además el trabajo de las fuerzas internas sobre el par de partículas i, j se calcula como:

dWij =Fijdrij

La resultante de las fuerzas interiores sobre una par-tícula es: ¯ F_Ii = N X j=1 j6=i ¯ Fj i = N X j=1 ¯

Fj iδ_ij∗, δ_ij∗ = 1−δij :complemento a uno de los deltas de Kronecker

Y las fuerzas interiores constituyen un sistema nulo de vectores:

¯ RI = N X i=1 ¯ F_Ii = N X i=1 N X j=1 j6=i ¯ Fj i (∗)= N X i,j=1 i<j (F¯i j + ¯Fj i) = ¯0 ( ¯MO)I = N X i=1 OMi_∧F¯i I = N X i=1 N X j=1 j6=i OMi_∧F¯j i (∗)₌ N X i,j=1 i<j (OMj_∧F¯i j_+OMi _∧F¯j i_{) =} = N X i,j=1 i<j (OMi_∧F¯i j _+r¯i j _∧F¯i j _+OMi_∧F¯j i_{) =} N X i,j=1 i<j OMi_∧(F¯i j _{+ ¯F}j i_{) = ¯0}

El trabajo total sobre un sistema se calcula por aditividad:

dW = N X i=1 ( ¯F_Ei ·d¯ri+ ¯F_Ii·d¯ri) = N X i=1 ¯ F_Ei ·d¯ri+ N X i=1 ¯ F_Ii·d¯ri =dWE +dWI

Para el trabajo de las fuerzas interiores resulta que:

dWI = N X i=1 ¯ F_Ii·dr¯i = N X i=1 ( N X j=1 j6=i ¯ Fji·dr¯i)(∗)= N X i,j=1 i<j ( ¯Fji·dr¯i+ ¯Fij ·dr¯j) = N X i,j=1 i<j Fijdrij

(*) agrupando por parejas y contabilizando cada pareja una sola vez

Como en los sólidos drij = 0, se tiene que las fuerzas interiores no realizan trabajo.

Para calcular el trabajo de las fuerzas exteriores empezamos por utilizar el campo de velo-cidades de un sólido:

¯

por lo tanto, se tiene: dW =dWE = N X i=1 ¯ F_Ei ·dr¯i = N X i=1 ¯ F_Ei ·¯vidt P = N X i=1 ¯ F_Ei ·(¯vO+ ¯ω∧OMi_{) =} = N X i=1 ( ¯F_Ei ·v¯O) + N X i=1 ¯ F_Ei ·(¯ω∧OMi_{) =} = ( N X i=1 ¯ F_Ei)·v¯O+ N X i=1 ¯ ω·(OMi_∧F¯i E) = = ( N X i=1 ¯ F_Ei) | {z } ¯ R ·v¯O+ ¯ω·( N X i=1 OMi_∧F¯i E) | {z } ¯ MO = = ( ¯R·v¯O+ ¯MO·ω¯) P = ¯R·v¯O+ ¯MO·ω¯

3.1.

Propiedades

Para un sólido se satisface que:

Sistemas nulos producen trabajos|potencias nulos (tendrá aplicación teórica en la relati-vidad del trabajo)

Sistemas equivalentes producen trabajos|potencias equivalentes (tendrá aplicación prác-tica para calcular el trabajo sobre un sólido)

4.

Relatividad del trabajo

El movimiento es esencialmente relativo y, por tan-to, los desplazamientos dependen del referente del mo-vimiento. Comodr¯i _{= ¯v}i_{dtlos desplazamientos se}

com-ponen como las velocidades:

¯

v_Xi ₁ = ¯v_Xi ₀+ ¯vi₀₁

dW_Xi₁ = ¯Fi·d¯ri = ¯Fi·¯v_Xi ₁dt= ¯Fi·(¯vi_X0+ ¯v₀₁i )dt= = ¯Fi·¯v_Xi ₀dt+ ¯Fi·¯v₀₁i dt=dW_Xi₀+dW₀₁i

El movimiento de arrastre es el movimiento de un sóli-do, luego el trabajo de arrastre goza de las propiedades del trabajo sobre un sólido.

Por ejemplo, si el sistema de fuerzas que actúan sobre un sistema material es nulo, el trabajo de arrastre es nulo: dW01= N X i=1 dW₀₁i = 0

y, por lo tanto, se tiene:

dWX1 = N X i=1 dW_Xi₁ = N X i=1 dW_Xi₀ =dWX0

lo que significa que el trabajo de un sistema de fuerzas nulo sobre un sistema material es inde-pendiente del sistema de referencia donde se contabilicen los desplazamientos (tendrá aplicación teórica en el trabajo de las acciones de contacto entre sólidos).

5.

Trabajo de las acciones de contacto

Las acciones de contacto entre sólidos, reducidas al punto de contacto M y proyectadas sobre el plano

tan-gente común en M y la normal, son:

Acciones de S0 sobre S2 (azul): F¯R,N ,¯ M¯Mr ,M¯ p M

Acciones deS2 sobreS0 (rojo):−F¯R,−N ,¯ −M¯Mr ,−M¯ p M

Se pretende responder a dos cuestiones: 1. ¿Cuanto vale el trabajo total?

2. ¿Cuanto vale el trabajo sobre uno de los sólidos? 1) El sistema de fuerzas total es un sistema nulo, luego el trabajo que realiza es independiente del sistema de referencia donde se calcule. Vamos a usar el sistema S0 para referir los vectores. En dicho sistema de referencia las acciones sobre S0 no realizan trabajo. La potencia que desarrolla el resto es:

dW dt = ( ¯FR+ ¯N)·v¯ M 20 + ( ¯MMr + ¯M p M)·ω¯20 Teniendo en cuenta que:

¯ v₂₀M ⊥N ,~ ω¯20= ¯ω20r + ¯ω p 20, ω¯20r ⊥M¯ p M, ω¯ p 20 ⊥M¯Mr resulta: dW dt = ¯FR·v¯ M 20+ ¯MMr ·ω¯20r + ¯M p M ·ω¯ p 20

En los modelos de contacto en un punto que normalmente se usan se tiene:

¯ M_Mr = ¯M_Mp = ¯0, F¯R=−f|N¯| ¯ v₂₀M |v¯M 20| y de esto resulta: dW dt =−f|N¯| ¯ v₂₀M |¯vM 20| ·¯v₂₀M =−f|N¯||v¯₂₀M| Conclusiones:

Trabajo/potencia total no positivo/a (nulo/a o negativo/a). Si no hay rozamiento (f = 0), trabajo/potencia nulo/a Si no hay deslizamiento (¯v₂₀M = ¯0), trabajo/potencia nulo/a

Esto es fácilmente generalizable si los momentos de contacto no son nulos:

¯ M_Mr =−δ|N¯| ω¯ r 20 |ω¯r 20| ¯ M_Mp =−ǫ|N¯| ω¯ p 20 |ω¯₂₀p |

con lo que resulta:

dW dt =−|N¯|(f|¯v M 20|+δ|ω¯20r |+ǫ|ω¯ p 20|) que igualmente es una potencia no positiva.

2) No puede decirse nada con carácter general. Hay que aplicar la fórmula para cada sólido.