E c u a c i ó n d e l a c i r c u n f er en c i a
E c u a c i ó n r e d u c i d a
E x c e n t r i c i d a d E c u a c i ó n r e d u c i d a E l i p s e d e e j e v e r t i c a l E l i p s e d e e j e h o r i z o n t a l y c e n t r o d i s t i n t o a l o r i g e n E l i p s e d e e j e v e r t i c a l y c e n t r o d i s t i n t o a l o r i g e n E c u a c i ó n d e l a h i p é r b o l a
E x c e n t r i c i d a d A s í n t o t a s E c u a c i ó n r e d u c i d a F ' ( - c , 0 ) y F ( c , 0 ) H i p é r b o l a d e e j e v e r t i c a l F ' ( 0 , - c ) y F ( 0 , c )
H i p é r b o l a d e e j e h o r i z o n t a l y c e n t r o d i s t i n t o a l o r i g e n D o n d e A y B t i e n e n s i g n o s o p u e s t o s . H i p é r b o l a d e e j e v e r t i c a l y c e n t r o d i s t i n t o a l o r i g e n H i p é r b o l a e q u i l á t e r a A s í n t o t a s , E x c e n t r i c i d a d H i p é r b o l a e q u i l á t e r a r e f e r i d a a s u s a s í n t o t a s E c u a c i ó n d e l a p a r á b o l a
E c u a c i ó n r e d u c i d a d e l a p a r á b o l a
D e e j e s e l d e a b s c i s a s y d e v é r t i c e e l o r i g e n d e c o o r d e n a d a s
D e e j e s e l d e o r d e n a d a s y d e v é r t i c e e l o r i g e n d e c o o r d e n a d a s
P a r á b o l a c o n e j e p a r a l e l o a O X y v é r t i c e d i s t i n t o a l o r i g e n P a r á b o l a c o n e j e p a r a l e l o a O Y , y v é r t i c e d i s t i n t o a l o r i g e n E c u a c i ó n d e l a h i p é r b o l a c o n e j e p a r a l e l o a O Y , y c e n t r o d i s t i n t o a l o r i g e n
S i e l c e n t r o d e l a h i p é r b o l a C ( x0, y0) y e l e j e p r i n c i p a l e s p a r a l e l o a O Y , l o s f o c o s t i e n e n d e c o o r d e n a d a s F ( x0, y0+ c ) y F ' ( x0, y0 − c ) . Y l a e c u a c i ó n d e l a h i p é r b o l a s e r á : A l q u i t a r d e n o m i n a d o r e s y d e s a r r o l l a r l a s e c u a c i o n e s s e o b t i e n e , e n g e n e r a l , u n a e c u a c i ó n d e l a f o r m a : D o n d e A y B t i e n e n s i g n o s o p u e s t o s . E j e m p l o : H a l l a r l a e c u a c i ó n d e l a h i p é r b o l a d e f o c o F ( − 2 , 5 ) , d e v é r t i c e A ( − 2 , 3 ) y d e c e n t r o C ( − 2 , − 5 ) .
La elipse es una línea curva, cerrada y plana cuya definición más usual es:
La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano, tales que la suma de las distancias a otros dos puntos fijos llamados
focos es constante.
Una elipse es la curva simétrica cerrada que resulta al cortar la superficie de un cono por un plano oblicuo al eje de simetría –con ángulo mayor que el de la generatriz respecto del eje
de revolución.1 Una elipse que gira alrededor de su eje menor genera un mientras que una elipse que gira alrededor de su eje principal genera un esf
Elementos de una elipse
La elipse y algunas de sus propiedades geométricas.
La elipse es una curva plana y cerrada, simétrica respecto a dos ejes perpendiculares entre sí:
El semieje mayor (el segmento
el semieje menor (el segmento
Miden la mitad del eje mayor y menor respectivamente.
Puntos de una elipse
Los focos de la elipse son dos puntos equidistantes del centro, suma de las distancias desde cualquier punto
igual a la longitud del diámetro mayor (d(
Por comodidad denotaremos por PQ la la distancia entre dos puntos P y Q. Si F1 y F2 son dos puntos de un plano, y
un punto P pertenecerá a la elipse si se cumple la relación:
donde es la medida del semieje mayor de la elipse.
Una elipse que gira alrededor de su eje menor genera un esferoide
mientras que una elipse que gira alrededor de su eje principal genera un esferoide alargado.
Elementos de una elipse
La elipse y algunas de sus propiedades geométricas.
La elipse es una curva plana y cerrada, simétrica respecto a dos ejes perpendiculares entre
(el segmento C-a de la figura), y (el segmento C-b de la figura).
mitad del eje mayor y menor respectivamente.
de la elipse son dos puntos equidistantes del centro, F1 y F2 en el eje mayor. La distancias desde cualquier punto P de la elipse a los dos focos es constante, e igual a la longitud del diámetro mayor (d(P,F1)+d(P,F2)=2a).
Por comodidad denotaremos por PQ la la distancia entre dos puntos P y Q.
son dos puntos de un plano, y 2a es una constante mayor que la distancia pertenecerá a la elipse si se cumple la relación:
es la medida del semieje mayor de la elipse.
esferoide achatado, eroide alargado.
La elipse es una curva plana y cerrada, simétrica respecto a dos ejes perpendiculares entre
en el eje mayor. La de la elipse a los dos focos es constante, e
Ejes de una elipse
El eje mayor, 2a, es la mayor distancia entre dos puntos opuestos de la
de la suma de las distancias de cualquier punto a los focos es constante y equivale al eje mayor. El eje menor 2b, es la menor distancia entre dos puntos opuestos de la elipse. Los ejes de la elipse son perpendiculares
Excentricidad de una elipse
La excentricidad ε (épsilon) de una elipse es la razón entre su semidistancia focal (longitud del segmento que parte del centro de la elipse y acaba en uno de sus focos), denominada por la letra c, y su semieje mayor. Su valor se e
, con
Dado que , también vale la relación:
o el sistema:
La excentricidad indica la forma de una elipse; una elipse será más redondeada cuanto más se aproxime su excentricidad al valor cero.
es la letra griega ε llamada épsilon
, es la mayor distancia entre dos puntos opuestos de la elipse. El resultado de la suma de las distancias de cualquier punto a los focos es constante y equivale al eje
, es la menor distancia entre dos puntos opuestos de la elipse. Los
perpendiculares entre sí.
Excentricidad de una elipse
) de una elipse es la razón entre su semidistancia focal (longitud del segmento que parte del centro de la elipse y acaba en uno de sus focos), denominada
, y su semieje mayor. Su valor se encuentra entre cero y uno.
, también vale la relación:
La excentricidad indica la forma de una elipse; una elipse será más redondeada cuanto más se aproxime su excentricidad al valor cero.3 La designación tradicional de la excentricidad
épsilon.
elipse. El resultado de la suma de las distancias de cualquier punto a los focos es constante y equivale al eje
, es la menor distancia entre dos puntos opuestos de la elipse. Los
) de una elipse es la razón entre su semidistancia focal (longitud del segmento que parte del centro de la elipse y acaba en uno de sus focos), denominada
La excentricidad indica la forma de una elipse; una elipse será más redondeada cuanto más La designación tradicional de la excentricidad
(No se debe usar la letra e para naturales o neperianos. Véase:
Excentricidad angular de una elipse
La excentricidad angular es el ángulo para el cual el valor de la función trigonométrica seno concuerda con la excentricidad
Constante de la elipse[
editar
En la figura de la derecha se muestran los dos
P de una elipse, los vectores que van de los focos
segmentos correspondientes a cada uno son
animación se ilustra como varían para diversos puntos
Como establece la definición inicial de la elipse como lugar geométrico, para todos los puntos P de la elipse la suma de las longitudes de sus dos radio vectores e
constante igual a la longitud 2 PF1 + PF2 = 2a
En la elipse de la imagen 2a vale 10 y se ilustra, para un conjunto selecto de puntos, cómo se cumple la definición.
Directrices de la elipse[
para designarla, porque se reserva para la base de los logaritmos naturales o neperianos. Véase: número e).
Excentricidad angular de una elipse[
editar
·
editar código
]
es el ángulo para el cual el valor de la función trigonométrica concuerda con la excentricidad , esto es:
editar
·
editar código
]
En la figura de la derecha se muestran los dos radio vectores correspondientes a cada punto que van de los focos F1 y F2 a P. Las longitudes de los
segmentos correspondientes a cada uno son PF1 (color azul) y PF2 (color rojo), y en la animación se ilustra como varían para diversos puntos P de la elipse.
Como establece la definición inicial de la elipse como lugar geométrico, para todos los de la elipse la suma de las longitudes de sus dos radio vectores es una cantidad constante igual a la longitud 2a del eje mayor:
vale 10 y se ilustra, para un conjunto selecto de puntos, cómo
[
editar
·
editar código
]
designarla, porque se reserva para la base de los logaritmos
es el ángulo para el cual el valor de la función trigonométrica
correspondientes a cada punto . Las longitudes de los
(color rojo), y en la
Como establece la definición inicial de la elipse como lugar geométrico, para todos los s una cantidad
La recta dD es una de las 2 directrices de la elipse.
Cada foco F de la elipse está asociado con una recta paralela al semieje menor llamada
directriz (ver ilustración de la derecha)
el foco F es una fracción constante de la distancia perpendicular de ese punto directriz que resulta en la igualdad:
La relación entre estas dos distancias es la excentricidad puede ser probada con la herramienta
definición alternativa de la elipse.
Una elipse es el lugar geo
para los cuales se cumple que el cociente entre sus distancias a un punto fijo –que se denomina foco
directriz– permanece constante y es igual a la excentricidad de la misma.
Además de la bien conocida relación
útil la fórmula .
Aunque en la figura solo se dibujó la directriz del foco derecho, existe otra directriz para el foco izquierdo cuya distancia del centro
anterior. Ver más adelante cómo se dibuja la directriz.
es una de las 2 directrices de la elipse.
de la elipse está asociado con una recta paralela al semieje menor llamada (ver ilustración de la derecha). La distancia de cualquier punto P de la elipse hasta
es una fracción constante de la distancia perpendicular de ese punto directriz que resulta en la igualdad:
La relación entre estas dos distancias es la excentricidad de la elipse. Esta propiedad (que puede ser probada con la herramienta esferas de Dandelin) puede ser tomada como otra definición alternativa de la elipse.
es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano para los cuales se cumple que el cociente entre sus distancias a un
que se denomina foco– y a una recta dada –llamada permanece constante y es igual a la excentricidad de la
Además de la bien conocida relación , también es cierto que , también es
Aunque en la figura solo se dibujó la directriz del foco derecho, existe otra directriz para el foco izquierdo cuya distancia del centro O es -d, la cual además es paralela a la directriz
cómo se dibuja la directriz.
de la elipse está asociado con una recta paralela al semieje menor llamada de la elipse hasta es una fracción constante de la distancia perpendicular de ese punto P a la
Esta propiedad (que ) puede ser tomada como otra
métrico de todos los puntos de un plano para los cuales se cumple que el cociente entre sus distancias a un
llamada permanece constante y es igual a la excentricidad de la
, también es
Aunque en la figura solo se dibujó la directriz del foco derecho, existe otra directriz para el s paralela a la directriz
Elementos gráficos de la elipse
NomenclaturaLa descripción corresponde a las imágenes de Los diámetros principales o
elipse, perpendiculares entre sí y que pasan por el centro. Tradicionalmente son nombrados A-B el mayor y B-C el menor, aunque también se utilizan otras
el mayor y B-B' el menor.
El centro de la elipse se suele nombrar con el centro.
Los focos se suelen nombrar con la letra F1 - F2, o F' - F" .
El diámetro mayor de la elipse se suele designar 2 menor se denomina b y el diámetro menor
denomina c.
Los segmentos que van de cada
la suma de los radios vectores de cada punto es una constante igual a 2
Elementos gráficos de la elipse
La descripción corresponde a las imágenes de la derecha.
o ejes principales son los diámetros máximo y mínimo de la elipse, perpendiculares entre sí y que pasan por el centro. Tradicionalmente son nombrados
el menor, aunque también se utilizan otras nomenclaturas
El centro de la elipse se suele nombrar O (origen). En la circunferencia los focos coinciden
con la letra F acompañada de algún medio de diferenciarlos,
de la elipse se suele designar 2a, siendo a el semieje mayor. El semieje diámetro menor 2b. La distancia de cada foco al centro se
Los segmentos que van de cada foco a un punto de la elipse se denominan radios vectores
la suma de los radios vectores de cada punto es una constante igual a 2a.
son los diámetros máximo y mínimo de la elipse, perpendiculares entre sí y que pasan por el centro. Tradicionalmente son nombrados
nomenclaturas, como A-A'
(origen). En la circunferencia los focos coinciden
acompañada de algún medio de diferenciarlos,
el semieje mayor. El semieje . La distancia de cada foco al centro se
En la imagen de la derecha vemos algunas otras líneas y puntos importantes de la elipse. La circunferencia principal (c. p., en verde) tiene como centro el de la elipse, y como radio a. Se puede definir como
elipse (como se ve en el ejemplo).
Las circunferencias focales (c. f., en verde también) son las que tienen como centro cada foco y como radio 2a. Las circunferencias focales y
razón = 2 y centro en cada foco (el de la circunferencia focal contraria). La recta t en color cian es una
lo suele nombrar T, T1, T2, etc. Los segmentos perpendiculares a las tangentes que pasan
por los focos, aquí en rojo, se suelen nombrar circunferencia focal del foco opuesto.
Los puntos donde se cruzan las normales con sus tangentes son los
punto pertenece siempre a la circunferencia principal. Al doble de la distancia de F al pie se encuentra el corte de la normal con
Diámetros conjugados[editar
Se denominan diámetros conjugados
uno de ellos pasa por el centro de todas las cuerdas paralelas al otro (ver debaj la derecha).
Otra definición es que son conjugados los diámetros cuyos afines en una circunferencia afín a la elipse son perpendiculares (dibujo de la izquierda).
derecha vemos algunas otras líneas y puntos importantes de la elipse. (c. p., en verde) tiene como centro el de la elipse, y como . Se puede definir como el lugar geométrico de todos los pies de las tangentes a la (como se ve en el ejemplo).
(c. f., en verde también) son las que tienen como centro cada . Las circunferencias focales y la principal cumplen una
= 2 y centro en cada foco (el de la circunferencia focal contraria).
es una tangente por un punto cualquiera. Al punto de tangencia
, etc. Los segmentos perpendiculares a las tangentes que pasan por los focos, aquí en rojo, se suelen nombrar n (normales). Se suelen prolongar hasta la
del foco opuesto.
Los puntos donde se cruzan las normales con sus tangentes son los pies de la tangente. Ese punto pertenece siempre a la circunferencia principal. Al doble de la distancia de F al pie se encuentra el corte de la normal con la circunferencia focal del foco opuesto.
editar · editar código]
diámetros conjugados a cada par de diámetros de la elipse que cumple que uno de ellos pasa por el centro de todas las cuerdas paralelas al otro (ver debaj
Otra definición es que son conjugados los diámetros cuyos afines en una circunferencia afín a la elipse son perpendiculares (dibujo de la izquierda).
derecha vemos algunas otras líneas y puntos importantes de la elipse. (c. p., en verde) tiene como centro el de la elipse, y como
de todos los pies de las tangentes a la
(c. f., en verde también) son las que tienen como centro cada la principal cumplen una homotecia de
punto de tangencia se , etc. Los segmentos perpendiculares a las tangentes que pasan
). Se suelen prolongar hasta la
de la tangente. Ese punto pertenece siempre a la circunferencia principal. Al doble de la distancia de F al pie se
a cada par de diámetros de la elipse que cumple que uno de ellos pasa por el centro de todas las cuerdas paralelas al otro (ver debajo el dibujo de
Los diámetros principales serían también diámetros conjugados. Existen vario para hallar los diámetros principales a partir de los conjugados.
Rectas directrices
La definición de las rectas directrices
definición de la elipse a partir de ellas. Es una expresión de la El modo de hallarlas gráficamente se muestra en la siguiente imagen. Trazamos una perpendicular al
principal, dibujamos por el punto de corte una
donde esa tangente encuentra la prolongación del diámetro mayor está la directriz, que es perpendicular al diámetro mayor.
Método de radios vectores
Los diámetros principales serían también diámetros conjugados. Existen vario para hallar los diámetros principales a partir de los conjugados.
rectas directrices está en una sección anterior (véase), y también la definición de la elipse a partir de ellas. Es una expresión de la excentricidad de la elipse. El modo de hallarlas gráficamente se muestra en la siguiente imagen.
Trazamos una perpendicular al diámetro mayor por un foco hasta la circunferencia , dibujamos por el punto de corte una tangente a dicha circunferencia; en el lugar donde esa tangente encuentra la prolongación del diámetro mayor está la directriz, que es perpendicular al diámetro mayor.
Método de radios vectores
Los diámetros principales serían también diámetros conjugados. Existen varios métodos
), y también la de la elipse.
circunferencia a dicha circunferencia; en el lugar donde esa tangente encuentra la prolongación del diámetro mayor está la directriz, que es
También denominado "por puntos"; con este método dibujamos un número suficiente de puntos mediante el compás. Como en el método tradicional visto antes usamos los
vectores y la propiedad de que la suma de los radios vectores de un punto es igual a la medida del eje mayor.
Dados dos ejes principales y determinados los focos, se toman puntos al azar sobre el eje mayor entre el centro O y uno de los focos. Generalmente tres o cuatro, y preferiblemente cerca del foco por comodidad del dibujo.
Tomamos con el compás la distancia de un extremo del eje mayor (A) a cada uno de los puntos del eje (1). Haciendo centro en cada foco
continuación tomamos el resto de la medida del eje mayor, desde el punto (1) al otro extremo (B), y con esa medida, haciendo centro de nuevo en los focos, cruzamos los arcos trazados antes. Las cruces nos dan puntos que pe
Repitiendo la operación tantas veces como sea necesario obtenemos puntos de la elipse. Se completa el dibujo a mano o mediante
También denominado "por puntos"; con este método dibujamos un número suficiente de puntos mediante el compás. Como en el método tradicional visto antes usamos los
y la propiedad de que la suma de los radios vectores de un punto es igual a la
Dados dos ejes principales y determinados los focos, se toman puntos al azar sobre el eje tre el centro O y uno de los focos. Generalmente tres o cuatro, y preferiblemente cerca del foco por comodidad del dibujo.
Tomamos con el compás la distancia de un extremo del eje mayor (A) a cada uno de los puntos del eje (1). Haciendo centro en cada foco trazamos arcos con esa medida. A continuación tomamos el resto de la medida del eje mayor, desde el punto (1) al otro extremo (B), y con esa medida, haciendo centro de nuevo en los focos, cruzamos los arcos trazados antes. Las cruces nos dan puntos que pertenecen a la elipse.
Repitiendo la operación tantas veces como sea necesario obtenemos puntos de la elipse. Se completa el dibujo a mano o mediante plantillas de curvas.
También denominado "por puntos"; con este método dibujamos un número suficiente de
puntos mediante el compás. Como en el método tradicional visto antes usamos los radios
y la propiedad de que la suma de los radios vectores de un punto es igual a la
Dados dos ejes principales y determinados los focos, se toman puntos al azar sobre el eje tre el centro O y uno de los focos. Generalmente tres o cuatro, y preferiblemente
Tomamos con el compás la distancia de un extremo del eje mayor (A) a cada uno de los trazamos arcos con esa medida. A continuación tomamos el resto de la medida del eje mayor, desde el punto (1) al otro extremo (B), y con esa medida, haciendo centro de nuevo en los focos, cruzamos los arcos
