Probabilidades y Estadística
Práctica 6
Ejercicio Nº 1
Sea X = la proporción de tiempo en la que se encuentra sin niebla, en funcionamiento, el aeropuerto de Ezeiza, y sea Y = la misma proporción para Aeroparque. El conjunto de posibles valores de (X,Y) es el rectángulo D={(x,y): 0<=x<=1, 0<=y<=1}.Suponer que la función de densidad conjunta de (X,Y) está dada por:
⌠6/5(x+y2) 0<=x<=1, 0<=y<=1
f(x,y)= ⎨ 0 afuera del intervalo ⎩
a) Verificar que es una función de densidad.
b) Calcular la probabilidad de que ninguno de los dos aeropuertos se encuentren funcionando más de ¼ del tiempo.
c) Calcular las funciones de densidad marginales de X e Y.
d) Calcular la probabilidad de que Aeroparque se encuentre funcionando entre ¼ y ¾ del tiempo.
e) Analizar la independencia de ambas variables.
Ejercicio Nº 2
Calcular la Covarianza (x,y) como Cov(x,y) = E(x,y)-E(x).E(y), dada la siguiente función de densidad conjunta para las variables x e y definida para las siguientes condiciones:
x+y=1, 0<=x<=1, 0<=y<=1.
⌠ 24xy en la región descripta f(x,y)= ⎨ 0 afuera.
de donde se dedujo que la función de densidad marginal de x es
⌠ 12x(1-x)2 0<= x <=1
fx (x) = ⎨ 0 afuera.
⎩
donde fy(y) es idéntica a fx(x) reemplazando y por x.
Ejercicio Nº 3
Suponer la siguiente tabla de probabilidades p(x,y), para los valores de x e y indicados: y
p(x,y) 0 100 200 x 100 .20 .10 .20
250 .05 .15 .30
a) Verificar que sea una función de probabilidades b) Calcular las probabilidades marginales
c) Evaluar la independencia de las variables x e y d) Calcular la Covarianza(x,y)= E(x,y)-E(x).E(y)
Ejercicio Nº 4
Dadas las siguientes muestras, calcular los coeficientes de correlación rAB, rAC, rCD, rDB y
discutir su valor. Graficar los diagramas de dispersión correspondientes.
A 10.1 11.1 15.1 9.2 10.3 12.4 13.1 11.1 11.0 9.0 B 11.1 12.1 16.1 10.2 11.3 13.4 14.1 12.1 12.0 10.0 C 10.1 9.1 5.1 11.0 9.9 7.8 7.1 9.1 9.2 11.2 D 9.1 8.1 4.1 10.0 8.9 8.8 13.1 10.1 8.2 12.2
Dadas las siguientes muestras, construir el diagrama de dispersión, calcular el coeficiente de correlación y discutir su valor:
X 8 9 2 3 6 7 10 11 6 13 14 4 Y 7 6 3 2 6 5 5 5 3 4 3 4 Ejercicio N º 6 H Haallllaarr eell ccooeeffiicciieennttee ddee ccoorrrreellaacciióónn lliinneeaall ppaarraa llooss ssiigguuiieenntteess ccoonnjjuunnttooss ddee ddaattooss:: a a)) XX:: 66 88 1100 1122 1144 66 1100 1100 88 1122 1166 1188 1166 1144 1122 1166 1144 YY:: 44 88 66 44 66 1100 88 1100 1122 88 66 66 1100 88 1122 1100 1144 b b)) AAggrreeggaarr aa llaa ppaarrttee aa)) llooss ssiigguuiieenntteess ddaattooss:: XX:: 1188 2200 2200 2222 2244 2244 YY:: 1166 1144 1188 1188 1144 1166 c c)) AAggrreeggaarr aa llaa ppaarrttee bb)) llooss ssiigguuiieenntteess ddaattooss:: XX:: 2288 2288 3300 3300 YY:: 2222 2244 2222 2244 d d)) GrGraaffiiccaarr llooss ddaattooss eenn ccaaddaa ccaassoo e e)) CCóómmoo hhaa vvaarriiaaddoo eell ccooeeffiicciieennttee ddee ccoorrrreellaacciióónn eenn llooss ddiissttiinnttooss ccaassooss?? DDiiffiieerreenn ssiiggnniiffiiccaattiivvaammeennttee ddee cceerroo?? DDiiffiieerreenn eennttrree ssii?? SSaaccaarr ccoonncclluussiioonneess.. Ejercicio Nº 7
Dados los datos de temperatura y precipitación mensual correspondiente a distintas estaciones de la Argentina, para el período 1961-1970:
a) Tomando la misma variable en Paraná Aero (Paraná_Aero.xls) y Santa Rosa Aero (Sta Rosa_Aero.xls), realizar el diagrama de dispersión, calcular la recta de regresión y el coeficiente de correlación. Repetir para ambas variables.
b) Discutir la validez de las regresiones.
c) ¿Qué porcentaje de la varianza total de la regresión explica la recta? d) Repetir a) a c) para la misma estación en las dos variables.
Tomando la precipitación de Santa Rosa Aero y las anomalías de temperaturas de la superficie del Mar (SST) para las 4 regiones que figuran en el archivo datos_sst_tp.xls para el período 1960-1993:
a) Realizar el diagrama de dispersión. b) La recta de regresión.
c) El coeficiente de correlación.
d)¿Qué porcentaje de la varianza total de la regresión explica la recta?
Ejercicio Nº 9
a) Evaluar los intervalos de confianza para un ρ = 0.75 al 95%.
b) Evaluar la significancia de la correlación entre la temperatura y la precipitación de las estaciones analizadas en el Ejercicio 7. ¿En qué casos puede decir que existe una correlación lineal?
c) Evaluar si la relación lineal entre temperatura y precipitación de la estación Paraná es significativamente diferente de la estación Sta Rosa.
Ejercicio Nº 10 a a)) SuSuppoonniieennddoo ququee sese rereaalliizzaa ununaa rereggrreessiióónn enenttrree dodoss mumueessttrraass ddee 5500 ddaattooss ccaaddaa ununaa,, yy r reessuullttaa unun ccooeeffiicciieennttee ddee cocorrrreellaacciióónn igiguuaall a a -0-0..4400.. IInnddiiqquuee elel memejjoorr ninivveell ddee s siiggnniiffiiccaanncciiaa ppaarraa eell ccuuaall eess ssiiggnniiffiiccaattiivvaa eessttaa rreellaacciióónn.. b b)) ¿¿CCóómmoo eess llaa ddiissttrriibbuucciióónn ddee rr ppaarraa ρ=ρ= 00 yy ppaarraa ρρ ≠ ≠ 00?? c c)) QuQuéé sisiggnniiffiiccaa ququee elel ccooeeffiicciieennttee ddee cocorrrreellaacciióónn enenttrree dodoss mumueessttrraass sseeaa igiguuaall a a cecerroo??,, ¿ ¿QQuuéé ococuurrrree ccoonn elel vavalloorr dedell cocoeeffiicciieennttee dede cocorrrreellaacciióónn ccuuaannddoo dodoss mumueessttrraass ssoonn i innddeeppeennddiieenntteess?? d d)) CaCallccuullaarr elel inintteerrvvaalloo ddee ccoonnffiiaannzzaa dedell cocoeeffiicciieennttee dede cocorrrreellaacciióónn dede lala ppoobbllaacciióónn ddee llaa c cuuaall ssee eexxttrraajjoo uunn rr ddee 00..55,, eenn uunnaa mmuueessttrraa ddee 7700 ddaattooss.. Ejercicio Nº 11 S
See cocorrrreellaacciioonnaarroonn lalass sseerriieess dede prpreecciippiittaacciióónn memennssuuaall dede 3 3añañooss dede didissttiinnttaass esesttaacciioonneess e ennttrree ssíí.. SSee ddeesseeaa eessttaabblleecceerr qquuee ggrruuppooss ddee eessttaacciioonneess ttiieenneenn iigguuaall vvaarriiaabbiilliiddaadd eenn ssuu rrééggiimmeenn d dee pprreecciippiittaacciióónn a a ttrraavvééss dede eessttooss cocoeeffiicciieenntteess ddee cocorrrreellaacciióónn.. SeSe prpreesseennttaann eenn lala tatabbllaa llooss c cooeeffiicciieenntteess ddee ccoorrrreellaacciióónn eennttrree eessttaacciioonneess..
E
Essttaacciióónn AA EsEsttaacciióónn BB EsEsttaacciióónn CC EsEsttaacciióónn DD E Essttaacciióónn AA 11 0.0.4400 0.0.3322 0.0.2299 E Essttaacciióónn BB 1 1 0.0.1188 0.0.2211 E Essttaacciióónn CC 1 1 0.0.4455 E Essttaacciióónn DD 11 a a)) DeDecciiddaa ququéé cocorrrreellaacciioonneess sese ppuueeddeenn ccoonnssiiddeerraarr sisiggnniiffiiccaattiivvaammeennttee didissttiinnttaass dede cecerroo,, c coonn uunn nniivveell ddee ssiiggnniiffiiccaanncciiaa ddeell 55%%.. b
b)) EnEn elel cacassoo dede coconnssiiddeerraarr rrAB, contestar verdadero o falso en las siguientes
afirmaciones, justificando todas sus respuestas:
ABB, contestar verdadero o falso en las siguientes
afirmaciones, justificando todas sus respuestas: i i)) LaLa rreeccttaa eexxpplliiccaa eell 4400%% ddee llaa vvaarriiaannzzaa ddee llaa rreeggrreessiióónn lliinneeaall.. i iii)) ElEl 4400%% ddee llooss ddaattooss eessttáánn ssoobbrree llaa rreeccttaa ddee rreeggrreessiióónn.. i iiiii)) LaLa rreeccttaa eexxpplliiccaa eell 1166 %% ddee llaa vvaarriiaannzzaa ddee llaa rreeggrreessiióónn.. i ivv)) SiSi rr ffuueerraa cceerroo nnoo eexxiissttee nniinnggúúnn ttiippoo ddee rreeggrreessiióónn.. v v)) SiSi rr ffuueerraa --11 ttooddooss llooss ppuunnttooss eessttáánn ssoobbrree llaa rreeccttaa ddee rreeggrreessiióónn.. Ejercicio Nº 12 E Ell ssiigguuiieennttee ggrrááffiiccoo eess uunn ddiiaaggrraammaa ddee ddiissppeerrssiióónn ppaarraa llooss ccaauuddaalleess mmeeddiiooss mmeennssuuaalleess e enn lala rerepprreessaa SSaallttoo GGrraannddee yy llaass prpreecciippiittaacciioonneess totottaalleess mmeennssuuaalleess obobsseerrvvaaddaass eenn PPaassoo dede llooss L Liibbrreess dduurraannttee llooss mmeesseess ddee eenneerroo ddeell ppeerrííooddoo 11995522--11999999.. T Toommaannddoo llaa PPrreecciippiittaacciióónn ccoommoo X Xy y llooss ccaauuddaalleess ccoommoo YY oobbtteenneemmooss:: ∑ ∑ xxiiyyii 2626669911112233..6688 ∑ ∑ yyii 113333779966..8877 ∑ ∑ xxii 66777755..22 ∑ ∑ ((xxii))22 11445511662277..2266 N N 4848 ∑
∑ ((xxi i– – xxmediomedio))((yyii –– yymediomedio) ) 77880055669955..3344
y ymediomedio 22778877..4433 x xmediomedio 114411..1155 σ σyy 22554466..2233 σ σxx 110011..5588 a a)) ¿P¿Pooddrrííaa asaseevveerraarr qquuee exexiissttee uunnaa rerellaacciióónn dede titippoo lilinneeaall coconn unun ninivveell dede sisiggnniiffiiccaanncciiaa d deell 55%%?? ¿¿QQuuéé ppoorrcceennttaajjee ddee llaa vvaarriiaannzzaa eessttaa eexxpplliiccaaddaa ppoorr eessttaa rreellaacciióónn?? JJuussttiiffiiqquuee ssuu r reessppuueessttaa.. b b)) EsEsttaass vvaarriiaabblleess rreessppoonnddeenn aa llaa ssiigguuiieennttee ffuunncciióónn ddee ddeennssiiddaadd ccoonnjjuunnttaa::
i i)) ¿C¿Cuuááll eess llaa pprroobbaabbiilliiddaadd ddee qquuee eenn uunn mmeess ddee eenneerroo llaa pprreecciippiittaacciióónn eenn PPaassoo ddee llooss L Liibbrreess aallccaannccee ccoommoo mmááxxiimmoo llooss 330000mmmm?? i iii)) ¿C¿Cóómmoo ssee mmooddiiffiiccaa eessttaa pprroobbaabbiilliiddaadd ssii ssee ssaabbee qquuee ppaarraa eessee mmeess eell ccaauuddaall mmeeddiioo e enn SSaallttoo GGrraannddee aa lloo ssuummoo ffuuee ddee 440000 mm33//sseegg?? E Ejjeerrcciicciioo NNºº 1133 D Dooss vvaarriiaabblleess rreessppoonnddeenn aa llaa ssiigguuiieennttee ffuunncciióónn ddee ddeennssiiddaadd ccoonnjjuunnttaa:: i iiiii)) ¿¿CCuuááll eess llaa ccoovvaarriiaannzzaa ddee eessttaass ddooss vvaarriiaabblleess?? i ivv)) ¿S¿Soonn iinnddeeppeennddiieenntteess ddiicchhaass vvaarriiaabblleess?? E Ejjeerrcciicciioo NNºº 1144 T
Trraass mmuucchhooss añañooss ddee eessttuuddiioo vvaarriiooss ininvveessttiiggaaddoorreess lllleeggaarroonn a a llaa ccoonncclluussiióónn ddee ququee llaa p
prreecciippiittaacciióónn enen elel NNEE dede BrBraassiill eessttaa alalttaammeennttee ininfflluueenncciiaaddaa ppoorr elel fefennóómmeennoo dede ElEl NiNiññoo.. E Ennccoonnttrraarroonn qquuee llaa ccoorrrreellaacciióónn eess ddee rr == 00..5588 uussaannddoo sseerriieess ddee 7700 ddaattooss.. ¿¿EEss ccoorrrreeccttoo aaffiirrmmaarr q quuee eessttaa sseerriiee ppeerrtteenneeccee aa uunnaa ppoobbllaacciióónn ddee ρρ == 00..77?? f f((xx,,yy)) == f f((xx,,yy)) == ( (557766 110066))-1-1XX ++ ((11553366 110066))-1-1YY 00≤≤XX≤≤660000 0 0≤≤YY≤≤11660000 0 0 aaffuueerraa 4 4YY-2-2 -- XXYY 00≤≤XX≤≤22 1 1≤≤YY≤≤22 0 0 aaffuueerraa
