Matemáticas
La matemática es una de las ciencias más antiguas. Su desarrollo se remonta a los tiempos prehistóricos. Para los hombres de la edad de piedra ya era posible, con un sistema parecido al de la teoría de conjuntos, diferenciar entre mucho y poco. Sin este poder de la imaginación no habría sido posible el trueque, habitual en ese entonces.
Alrededor del año 500 a.C. comenzó en Grecia un desarrollo que condujo a una precisión del concepto de los números. Se in-trodujeron los números naturales. En la escuela pitagórica se de-mostró entonces la existencia de los números irracionales. Este hecho, que no se dejó sentir totalmente en las matemáticas a tra-vés de los números naturales y sus proporciones, condujo con el tiempo a que la geometría desarrollada por Euclides adquiriera cada vez más un significado. Aquí fue posible representar geométricamente segmentos irracionales, sin lo cual se requería el concepto de los números naturales. Hasta la Edad Moderna la obra de Euclides era la obra estándar de las matemáticas.
Junto con la geometría de Euclides también se han desarro-llado otras ramas de las matemáticas. Con Arquímedes comien-zan las matemáticas aplicadas, que se desarrollaron con Leibniz y Newton como un método que se emplea hasta nuestros días.
Las matemáticas actuales se han organizado en varias ramas que no pueden separarse marcadamente entre sí. La aritmética es la ciencia de los números. La geometría es la disciplina cen-tral según Euclides. Originalmente proviene de los problemas concretos de la agrimensura. En el siglo XVII Descartes fundó la geometría analítica. Hacia 1800 se desarrolló la geometría dife-rencial, con la cual se investigaron curvas y superficies con la ayuda del cálculo diferencial e integral. El álgebra es la ciencia de la solución de ecuaciones, las cuales fueron impulsadas es-pecialmente en la matemática árabe. El álgebra lineal maneja los espacios vectoriales y la solución de ecuaciones lineales con n
variables. El álgebra superior se ocupa de las relaciones de las magnitudes abstractas. Dado que en la actualidad el conoci-miento acumulado de las matemáticas es inmanejable para una sola persona, se ha venido buscando cada vez con mayor fre-cuencia estructuras superordenadas, las cuales tienen una tarea resumida y ajustada.
I. Símbolos, operaciones aritméticas, leyes
1. Símbolos generales
= igualdad ø diámetro
desigual, no igual ⱔ ángulo
⬃ proporcional, similar [AB] intervalo de A a B
艐 aproximado, casi igual AB longitud del intervalo [AB]
艑 congruente AB arco de A a B
Ⳏ correspondiente sgn a signo de a
→ límite, aproximación, convergente |a| valor absoluto de a < menor que π número pi
> mayor que ! factorial ≤ menor o igual Σ suma ≥ mayor o igual n
√ raíz enésima de % porcentaje ( ) matriz
‰ por mil | | determinante || paralelo ∫ integral
⬜ ángulo recto, perpendicular ∞ infinito
2. Símbolos de la teoría de conjuntos
IN Conjunto de los números naturales 傺 Está contenido en, es un subconjunto de IN0 IN con cero 僔 Unión
Conjunto de los números enteros 僕 Intersección
Conjunto de los números racionales x Símbolo del producto de conjuntos
Conjunto de los números complejos → Mapeo IL Conjunto de soluciones ∈ Elemento de
ø A = {ak; k ∈|N} el conjunto A { }
}
Conjunto vacío está integrado por loselementos a1; a2; a3; … ak
3. Símbolos de lógica
A1⇒A2 De A1 sigue A2 ,∩ o (disyunción) (implicación) ,∪ y (conjunción) A1⇔A2 A1 y A2 son equivalentes x negación lógica
(equivalencia) (negación) A1:⇔A2 A1es por definición AB tanto A como B
equivalente a A2 A B A o B o ambos Existe cuando menos un … –A negación de A (cuantificador de existencia) (no A)
1 Existe exactamente un … E
២
E4. Operaciones aritméticas
Suma
a (1. sumando) + b (2. sumando) = c (valor de la suma)
En la suma los sumandos se sujetan a la regla de los signos en el valor de la suma resultante.
Ejemplos: (+8) + (+6) = (+14); (– 8) + ( – 6) = (– 14); (+8) + (– 6) = (+2); (– 8) + (+6) = (– 2)
Resta
a (minuendo) – b (sustraendo) = c (valor de la diferencia)
En la resta el minuendo y la magnitud del sustraendo se reducen y constituyen con ello el valor de la diferencia. Debe obedecerse la regla de los signos.
Ejemplos: (+8) – (+6) = (+2); (– 8) – ( – 6) = (– 2); (+8) – (– 6) = (+14); (– 8) – (+6) = (– 14)
Multiplicación
a (1. factor) · b (2. factor) = c (valor del producto)
Se obtiene el valor del producto, para el cual se multiplican los factores individuales bajo el principio de la regla de los signos.
Ejemplos: (+8) · (+6) = (+48); (– 8) · ( – 6) = (+48); (+8) · (– 6) = (– 48); (– 8) · (+6) = (– 48)
División
a (dividendo) : b (divisor) = c (valor del cociente)
Al dividir el dividendo entre el divisor se obtiene el valor del co-ciente. En los quebrados el numerador del quebrado es el divi-dendo y el denominador del quebrado es el divisor. Debe se-guirse la regla de los signos al hacer la división. No se define la división por cero.
Ejemplos: (+8) : (+4) = (+2); (– 8) : ( – 4) = (+2); (+8) : (– 4) = (– 2); (– 8) : (+4) = (– 2)
Exponenciación (Potenciación)
Exponente o potencia
ab= c Potenciación ab= a · a · a · … ·a
Base o número básico IR b veces del conjunto de números reales
Para la potencia ab debe emplearse el número básico a b veces
como el factor de una multiplicación para obtener la potenciación. Ejemplos: 35 = 3·3·3·3·3 = 243 (– 2)4= (– 2) · (– 2)· (– 2)· (– 2) = (+16) (– 2)5= (– 2) · (– 2)· (– 2)· (– 2)· (– 2) = (– 32) Extracción de raíces exponente de la raíz b
√⎯
a = c valor de la raíz; léase: la raíz b-enésima de a es c radicandoLa radicación se llama extracción de raíces. El exponente de la raíz b indica el número de veces que el factor a debe aparecer bajo el símbolo de la raíz, por lo cual se escribe una sola vez fren-te al símbolo de raíz. Para la raíz b-enésima el factor b debe su-cederse como producto b veces bajo el símbolo de la raíz, para que una sola vez éste pueda escribirse frente al símbolo de raíz. Ejemplos:
2
√⎯
a también puede presentarse sin el exponente de la raíz: raíz cuadrada.Para exponentes de la raíz que sean números pares, el radican-do en el conjunto IR de números reales no puede ser negativo.
√⎯
–4 no se define;√⎯
8 –2 no se define.No existe ningún número real con el cual pueda obtenerse un valor de producto negativo al multiplicarlo por sí mismo. Esto significa que bajo una raíz con un exponente de raíz que sea nú-mero par, sólo pueden aparecer valores positivos (excepto los números complejos).
Obtención de logaritmos antilogaritmo
logba = c léase: el logaritmo de a de base b es c
base logaritmo
La función inversa de la exponenciación es la función logaritmo, a través de la cual para la exponenciación dada y para la base dada se busca el exponente.
bx= a ⇔x = log
ba; blogba= a
léase: el logaritmo de a con base b es aquel número al cual se debe elevar b para obtener a.
Para determinar el logaritmo primero debe emplearse una tabla de logaritmos. Desde la introducción de las calculadoras de bol-sillo esta tabla ya no es necesaria.
Para logba debe tenerse b > 0; b 1; a > 0
5. Regla de los signos
Suma y resta
Diferenciamos entre el signo antepuesto a un número y el signo de operación para los números:
(+2) – (– 4) = +6
↑ ↑ ↑ ↑
Signo Signo de Signo Signo de
antepuesto operación antepuesto operación
Al combinarse los signos antepuestos a los números con los sig-nos de operación se obtiene: + y + → +; – y – →+; + y – →–; – y + → –.
+ (+a) = +a; – (–a) = +a; + (–a) = –a; – (+a) = –a
Un signo positivo frente a un paréntesis no cambia al signo del paréntesis.
a + (b – c) = a + b – c
Un signo negativo frente a un paréntesis invierte a todos los sig-nos en el paréntesis.
a – (b – c) = a – b + c
Ejemplos: 3 + (4 – 6) = 3 + 4 – 6 = 1 3 – (4 – 6) = 3 – 4 + 6 = 5 Multiplicación y división
Cuando dos factores tienen el mismo signo, entonces el pro-ducto siempre es positivo. Si dos factores tienen signos diferen-tes, entonces el producto siempre es negativo.
(+a) · (+b) = +ab; (– a) · (– b) = +ab (+a) · (– b) = – ab; (– a) · (+b) = – ab
Ejemplos: (+4) · (+5) = +20; (– 4) · (– 5) = +20; (+4) · (– 5) = – 20; (– 4) · (+5) = – 20
Si en una división el dividendo y el divisor tienen el mismo signo, entonces el cociente siempre es positivo. Si los signos del dividen-do y del divisor son diferentes, el cociente siempre es negativo.
(+a) : (+b) = + –a b; (– a) : (– b) = + a – b (+a) : (– b) = – a– b; (– a) : (+b) = – a – b Ejemplos: (+6) : (+3) = + –6 3= +2; (– 6) : (– 3) = + 6 – 3 = +2; (+6) : (– 3) = – –6 3 = – 2; (– 6) : (+3) = – 6 – 3 = – 2
6. Operaciones con quebrados
Expansión
Los quebrados se expanden si el numerador y el denominador se multiplican por el mismo factor.
a – b= a · k b · k ; factor de expansión k Ejemplo: 4– 3= 4 · 2 3 · 2= 8 – 6= 8 · 3 6 · 3 = 24 18 Reducción
Los quebrados pueden reducirse cuando en el numerador y en el denominador se presentan los mismos
a · b b · c = a – c ; factor común b Ejemplos:4 · 7 5 · 7= 4 – 5; 3 · 8 2 · 5= 3· 4 · 2 2 · 5 = 12 5
En diferencias y en sumas no se pueden reducir.
Racionalización de denominadores
Al expandir un quebrado el denominador puede racionalizarse. El factor de expansión, ya sea el factor común o un término, es aquel que permita obtener en el denominador una tercera forma binomial.
Ejemplos:
racional
Adición y sustracción
Los quebrados que tengan el mismo denominador pueden al conservar el denominador restarse y sumarse entre sí. Si los de-nominadores son diferentes, entonces deben igualarse de la mejor manera posible con el mínimo común múltiplo.
a – b+ c – b– d – b= a + c –d b a – b+ c – d= a · d + c · b b · d a – b– c – d= a · d – c · b b · d
b · d – significa denominador principal
Ejemplos: 4– 5+ 2 – 3= 4 · 3 + 2 · 5 5 · 3 = 12 + 10 15 =15 22 ← Denominador principal 5 – 6– 1 – 4= 5 · 2 – 1 · 3 6 · 2 = 7 – 12← Denominador principal Multiplicación y división
Los quebrados pueden multiplicarse al multiplicar numerador por numerador y denominador por denominador. Los factores iguales pueden reducirse. Los quebrados pueden dividirse si se multiplican por el inverso del divisor. Para ello debe seguirse la regla de los signos.
Números reales Números imaginarios
Números racionales
Números irracionales (quebrados decimales no periódicos infinitos)
Números enteros Números
algebraicos Números
enteros positivos
Conjunto de los números naturales Símbolo ⺞
(números enteros positivos)
Conjunto de los números reales Símbolo ⺙⺢
números irracionales Conjunto de los números racionales
Símbolo ⺡
(números enteros y números quebra-dos)
(números racionales y números reales no racionales)
Conjunto de los números complejos números imaginarios Símbolo ⺓
Conjunto de los números enteros Símbolo ⺪
(números enteros negativos y posi-tivos con cero)
Números enteros negativos Números quebrados Números trascendentes
7. Clasificación de los números
II. Aritmética y álgebra
La aritmética (la ciencia de los números) es el cálculo con núme-ros y el empleo de reglas de operación con númenúme-ros. De mane-ra abreviada el álgebmane-ra es originalmente la ciencia de las ecua-ciones y sus métodos de solución. En la teoría moderna del álgebra se investigan las estructuras de los conjuntos matemáti-cos y las propiedades de relación de sus elementos. Se buscará conforme a reglas formales, a aquellos elementos que subyacen a estos conjuntos matemáticos.
1. Operaciones con el conjunto
de los números reales
(Para un concepto de los números reales, véase la página 19)
El valor absoluto de los números reales
El valor absoluto de un número real es siempre mayor que o igual a cero.
a para a > 0 IaI =
{
0 para a = 0 – a para a < 0a y –a están situados a la misma distancia del origen 0 en la recta numérica. El valor absoluto de a también da la distancia de a desde el origen.
Ejemplos: I+4I = 4
I– 4I = – (– 4) = +4 = 4
El valor absoluto de la diferencia de dos números siempre es mayor que o igual a cero.
El valor absoluto de la suma de dos números es asimismo siem-pre mayor que o igual a cero.
para a > b para a = b para a < b a – b Ia–bI =