x R, y R Según estas coordenadas dividiremos al plano en cuatro cuadrantes a saber:

(1)

Ap´endice A

Coordenadas

A.1 Coordenadas en el Plano R

2

A.1.1 Cartesianas

(

x

,

y

)

Dotar al plano bidimensional R2de coordenadas cartesianas 2D es establecer una biyecci´on entre el conjunto de puntos del plano y el conjunto de parejas(x,y), donde

x∈R, y∈R

Seg´un estas coordenadas dividiremos al plano en cuatro cuadrantes a saber:

Cuadrantes

Notaci´on Nombre Primera coordenada Segunda coordenada

I Primer cuadrante x>0 y>0

II Segundo cuadrante x<0 y>0

III Tercer cuadrante x<0 y<0

IV Cuarto cuadrante x>0 y<0

(2)

I

II

III

IV

K2 K1 0 1 2 K2 K1 1 2

Figura A.1 Coordenadas cartesianas 2D

A.1.2 Polares

(

r

,

θ

)

Dotar al plano bidimensional R2de coordenadas polares es establecer una biyec-ci´on entre el conjunto de puntos del plano y el conjunto de parejas(r,θ), donde

r∈R, tal que r>0

θ∈R, tal que 0≤θ<2π

Por definici´on establecemos como coordenadas polares del origen del sistema de coordenadas, la pareja(0,0).

Seg´un estas coordenadas los cuadrantes definidos anteriormente se definen como: Notaci´on Nombre Primera coordenada Segunda coordenada

I Primer cuadrante r>0 0<θ<π

2

II Segundo cuadrante r>0 π

2 <θ<π III Tercer cuadrante r>0 π<θ< 3π

2

IV Cuarto cuadrante r>0 3π

2 <θ<2π

Nota A.1. Para representar un punto en el plano 2D dotado de coordenadas polares

tendremos en cuenta las siguientes observaciones:

1. Primero establecemos un sistema de coordenadas cartesianas.

2. El origen del sistema en coordenadas cartesianas le daremos coordenadas polares

(0,0)y le llamaremos polo.

(3)

A.2 Coordenadas en el Espacio R3 ₇

4. Para representar un punto P(r,θ)en coordenadas polares cuyas coordenadas sa-tisfagan nuestra definición (A.1), trazaremos un rayo que parta del polo y que forme un ánguloθcon el eje polar. Luego a partir del polo mediremos sobre este rayo la cantidad r y haremos la señal del punto sobre este rayo.

5. Si nos dan un punto P en el plano y nos dicen que sus coordenadas polares son

P(r,θ, donde r es negativo, yθ es un n´umero real en el intervalo(0,π), lo que haremos es representar el punto(−r,θ+π). Por ejemplo, el punto P

−2,π

6

lo representaremos con el punto

2,7π

6

.

Figura A.2 Coordenadas polares

P(r,θ, donde r es negativo, yθes un n´umero real en el intervalo(π,2π), lo que haremos es representar el punto(−r,θ−π). Por ejemplo, el punto P

−3,5π

4 lo representaremos con el punto

3,π

4

.

P(r,θ, donde r es positivo, peroθ es un número real definido en un intervalo diferente de(0,2π), lo que haremos es sumar o restar múltiplos deπ de has-ta obtener un ángulo en el intervalo(0,2π). Representaremos entonces(r),θ), donde ambos tanto r comoθsatisfagan nuestra definición (A.1)

A.2 Coordenadas en el Espacio R

3

A.2.1 Cartesianas

(

x

,

y

,

z

)

Dotar al espacio tridimensional R3 de coordenadas cartesianas es establecer una biyecci´on entre el conjunto de puntos de espacio tridimensional y el conjunto de ternas(x,y,z), donde

(4)

x∈R, y∈R, z∈R

Octantes

Notaci´on Nombre Primera coordenada Segunda coordenada Tercera coordenada

I Primer octante x>0 y>0 z>0

II Segundo octante x<0 y>0 z>0

III Tercer octante x<0 y<0 z>0

IV Cuarto octante x>0 y<0 z>0

V Quinto octante x>0 y>0 z<0

VI Sexto octante x<0 y>0 z<0

VII S´eptimo octante x<0 y<0 z<0

VIII Octavo octante x>0 y<0 z<0

Superficies elementales

Si a,b,c∈R constantes diferentes de cero, entonces Ecuaci´on Descripci´on cartesiana

x=0 Plano coordenado yz

y=0 Plano coordenado xz

z=0 Plano coordenado xy

x=a Plano paralelo al plano yz

y=b Plano paralelo al plano xz

z=c Plano paralelo al plano xy

A.2.2 Cil´ındricas

(

r

,

θ

,

z

)

Dotar al espacio tridimensional R3 de coordenadas cil´ındricas es establecer una biyecci´on entre el conjunto de puntos de espacio tridimensional y el conjunto de ternas(r,θ,z), donde

r∈R, tal que r>0

θ∈R, tal que 0≤θ<2π

z∈R

En otras palabras la terna que representa un punto P en el espacio 3D con coorde-nadas cil´ındricas est´a formada por las coordecoorde-nadas polares del punto Q, que es la proyecci´on de P sobre el plano xy, y una tercera coordenada que es la misma tercera coordenada del punto en coordenadas cartesianas.

(5)

A.2 Coordenadas en el Espacio R3 ₉

1. Al origen del sistema de coordenadas, la terna(0,0,0), 2. A cualquier punto sobre el eje z, la terna 0,0,z, donde z∈R.

Las COORDENADAS CIL´INDRICASest´an rela-cionadas con las coordenadas cartesianas por las ecuaciones:      x=r cosθ y=r sinθ z=z

Figura A.3 Coordenadas cil´ındricas

Octantes

Notaci´on Nombre Primera coordenada Segunda coordenada Tercera coordenada I Primer octante r>0 0<θ<π

2 z>0

II Segundo octante r>0 π

2 <θ<π z>0 III Tercer octante r>0 π<θ< 3π

2 z>0 IV Cuarto octante r>0 3π 2 <θ<2π z>0 V Quinto octante r>0 0<θ<π 2 z<0 VI Sexto octante r>0 π 2 <θ<π z<0 VII S´eptimo octante r>0 π<θ< 3π

2 z<0

VIII Octavo octante r>0 3π

(6)

Si a,b,c∈R constantes diferentes de cero, entonces Ecuaci´on Descripci´on cartesiana

r=0 Origen de coordenadas

θ=0 Semiplano xz, con x>0

θ=π Semiplano xz, con x<0

z=0 Plano coordenado xy

r=a Cilindro x2₊_y2₌_a2

θ=b Semiplano perpendicular al plano xy y lo intercepta en el rayoθ=b z=c Plano paralelo al plano xy

-2 -2 -2 _-1 -1 -1 ₀ 0 0 x 1 y ₁ 1 2 2 2

Figura A.4 Coordenadas cil´ındricas 3D(r,θ,z): r=const. (Cilindro),θ=const. (Semiplano vertical), z=const. (Plano horizontal)

A.2.3 Esf´ericas

(ρ

,

θ

,

φ

)

Dotar al espacio tridimensional R3_{de coordenadas esf ´ericas es establecer una} bi-yecci´on entre el conjunto de puntos de espacio tridimensional y el conjunto de ternas

(ρ,θ,φ), donde

ρ∈R, tal que ρ>0

θ∈R, tal que 0≤θ<2π φ∈R, tal que 0≤φ≤π

(7)

A.2 Coordenadas en el Espacio R3 ₁₁

Las COORDENADAS ESFERICAS´ est´an relacio-nadas con las coorderelacio-nadas cartesianas por las ecuaciones:      x=ρsinφcosθ y=ρsinφsinθ z=ρcosφ

Figura A.5 Coordenadas esf´ericas

Octantes

Notaci´on Nombre Primera coordenada Segunda coordenada Tercera coordenada I Primer octante ρ>0 0<θ<π 2 0<φ< π 2 II Segundo octante ρ>0 π 2 <θ<π 0<φ< π 2 III Tercer octante ρ>0 π<θ< 3π

2 0<φ< π 2 IV Cuarto octante ρ>0 3π 2 <θ<2π 0<φ< π 2 V Quinto octante ρ>0 0<θ<π 2 π 2 <φ<π VI Sexto octante ρ>0 π 2 <θ<π π 2 <φ<π VII S´eptimo octante ρ>0 π<θ< 3π

2

π

2 <φ<π

VIII Octavo octante ρ>0 3π

2 <θ<2π

π

2 <φ<π

(8)

Ecuaci´on Descripci´on cartesiana ρ=0 Origen de coordenadas θ=0 Semiplano xz, con x>0 θ=π Semiplano xz, con x<0 φ=0 Semieje z siendo z>0 φ=π 2 Plano coordenado xy φ=π Semieje z siendo z<0 ρ=a Esfera x2+y2+z2=a2

θ=b Semiplano perpendicular al plano xy y lo intercepta en el rayoθ=b

φ=c=π

2 Semicono recto de revoluci´on x

2₊_y2₋_d2_z2₌_{0, con d}₌_{tan c} -1.7 -2 -1.7 _-0.7 -1 -0.7 0 0.3 0.3 1 1.3 2 1.3

Figura A.6 Coordenadas esf´ericas 3D(ρ,θ,φ):ρ=const. (Esfera),θ=const. (Semiplano ver-tical),φ=const. (Semicono)

A.3 Ejercicios

A.1. Encontrar las coordenadas polares

(r,θ) del punto P(x,y) del plano dado en coordenadas cartesianas. Use el argu-mento principal y la medida en radianes para el ´anguloθ. (a) P(2,3) (b) P(−1,2) (c) P(3,−4) (d) P(−1,−1) (e) P(2.34,−1.78) (f) P(−4.54,π) (g) P(π/2,−π/2)

A.2. Encontrar las coordenadas carte-sianas(x,y)del punto P(r,θ)del plano dado en coordenadas polares. El ´angulo

(9)

A.3 Ejercicios 13 (a) P(1,π/4) (b) P(−1,π/3) (c) P(3,−π/8) (d) P(−1,−π/3) (e) P(−1,−3) (e) P(2,5.25)

A.3. Encontrar la ecuaci´on de la me-diatriz del segmento que une los puntos

A(1,4)y B(7,−2).

A.4. Encontrar la ecuaci´on en coor-denadas cartesianas de la elipse con centro en el origen y que pasa por

P(1,−10√2/3)y Q(−2,5√5/3). Escri-bir esta ecuaci´on en coordenadas pola-res.

A.5. Encontrar las coordenadas cil´ındricas (r,θ,z) del punto P(x,y,z)

dado en coordenadas cartesianas. Identi-fique el octante en el cual se encuentra. (a) P(1,1,1) (b) P(−1,1,1) (c) P(1,−1,1) (d) P(1,1,−1) (e) P(−1,−1,1) (f) P(1,−1,−1) (g) P(−1,1,−1) (h) P(−1,−1,−1)

A.6. Encontrar las coordenadas esf´ericas (ρ,φ,θ) del punto P(x,y,z)

dado en coordenadas cartesianas. (a) P(1,1,1) (b) P(−1,1,1) (c) P(1,−1,1) (d) P(1,1,−1) (e) P(−1,−1,1) (f) P(1,−1,−1) (g) P(−1,1,−1) (h) P(−1,−1,−1)

A.7. Considere el punto P que en coor-denadas cartesianas tiene coorcoor-denadas

P(3,−5,2). Halle las coordenadas del

punto Q seg´un la condici´on exigida. Identifique los octantes en los cuales se encuentran P y Q.

(a) Simétrico respecto del eje x. (b) Simétrico respecto del eje y. (c) Simétrico respecto del eje z. (a) Simétrico respecto del plano

coor-denado xy.

(a) Sim´etrico respecto del plano coor-denado xz.

(a) Sim´etrico respecto del plano coor-denado yz.

(a) Sim´etrico respecto del origen de coordenadas.

A.8. Escribir en coordenadas cil´ındricas de las siguientes ecuaciones. Exprese su resultado en la forma z=f(r,θ). (a) x2₊_y2₊_z2₌₉ (b) x2₊_y2₋_4z2₌₁₆ (c) −x2₋_y2₊_36z2₌₉ (d) 3z=x2₊_y2 (e) z=xy

A.9. Escribir en coordenadas esf´ericas de las siguientes ecuaciones. Simplifique su resultado. (a) x2₊_y2₊_z2₌₂₅ (b) x2₊_y2₋_4z2₌₁₆ (c) −x2₋_y2₊_36z2₌₉ (d) x+y2₌₁₋_z (e) x+y+z=1

A.10. Escribir en coordenadas carte-sianas las siguientes ecuaciones las cuales se encuentran en coordenadas cil´ındricas. Exprese su resultado en la forma de una ecuaci´on de segundo or-den. (a) z=r2 (b) z=er (c) z=sin r (d) z=2−r2 (e) z=r2cos 2θ

(10)

A.11. Escribir en coordenadas cartesia-nas las siguientes ecuaciones las cuales se encuentran en coordenadas esf´ericas. Exprese su resultado en la forma de una ecuaci´on de segundo orden.

(a) ρ=2 (b) φ=π

3

(c) cosφ=ρsin2φcos 2θ

(d) ρsinφcosθ=3 (e) ρsin2φ=cosφ

A.12. (a) Existen puntos en el plano 2D tales que su representaci´on carte-siana y polar num´ericamente sean la misma?. En caso afirmativo encontrar todos esos puntos.

(b) Existen puntos en el espacio 3D tales que su representaci´on cartesia-na y cil´ındrica num´ericamente sean la misma?. En caso afirmativo encontrar todos esos puntos.

(c) Existen puntos en el espacio 3D ta-les que su representación cartesiana y esférica numéricamente sean la mis-ma?. En caso afirmativo encontrar to-dos esos puntos.

(d) Existen puntos en el espacio 3D ta-les que su representación cil´ındrica y esférica numéricamente sean la mis-ma?. En caso afirmativo encontrar to-dos esos puntos.

(11)

Ap´endice B

Vectores

B.4 Vectores en R

n

(n

=

2 ,

3)

Nos basaremos en el siguiente hecho visto en el curso de ´algebra lineal: El plano de coordenadas R2(o el espacio de coordenadas R3) es un espacio af´ın y el conjunto de todos los vectores asociados a cada punto en R2(o R3en el caso 3D) es un espacio

vectorial de dimensi´on 2 con la base can´onica los vectores i y j (o en el caso 3D los

vectores i, j y k).

Definici´on B.1. Un vector en el espacio cartesiano Rnes un objeto geom´etrico que tiene:

1. Magnitud, la cual es un n´umero real no negativo.

2. Direcci ´on, la cual est´a determinada por una recta que lo contiene.

3. Sentido, el cual est´a determinado por uno de las dos orientaciones que de-termina un punto sobre la recta que lo contiene.

Dos vectores son iguales si tiene igual magnitud, direcci´on y sentido.

Dos puntos A y B en Rndeterminan dos vectores a saber:

1. El vector AB, que tiene origen en el punto A y extremo en el punto B, 2. El vector BA, que tiene origen en el punto B y extremo en el punto A.

3. Si los puntos A y B tienen coordenadas cartesianas A(a1,a2)y B(b1,b2)(o en el caso 3D A(a1,a2,a3)y B(b1,b2,b3)), las componentes del vector AB, el cual denotaremos por u se definen como:

u1=b1−a1 Primera componente

u2=b2−a2 Segunda componente

u3=b3−a3 Tercera componente para el caso 3D

(12)

y el vector u lo denotaremos como u=AB= (b1−a1)i+ (b2−a2)j u=AB= (b1−a1)i+ (b2−a2)j+ (b3−a3)j para el caso 3D o simplemente u=AB= (b1−a1,b2−a2) u=AB= (b1−a1,b2−a2,b3−a3) para el caso 3D A veces decimos que un vector es un segmento de recta dirigido. 4. La magnitud la definiremos como

u= (b1−a1)2+ (b2−a2)2

u= (b1−a1)2+ (b2−a2)2+ (b3−a3)2 para el caso 3D 5. La direcci´on est´a determinada por la recta AB.

6. El sentido del vector u es de A hacia B.

B.5 Producto escalar

Definici´on B.2. Sea V el conjunto de vectores de Rn, donde n=2,3. Si u∈V

y v∈V , entonces el escalar es la aplicaci´on·,·definida as´ı u= (u1,u2), v= (v1,v2) u= (u1,u2,u3), v= (v1,v2,v3) para el caso 3D ·,·: V×V−→R (u,v) → u,v ∈R u,v=u1v1+u2v2 u,v=u1v1+u2v2+u3v3 para el caso 3D

Denotaremos frecuentemente el producto escalaru,vpor u·v y lo llamaremos producto punto.

Nota B.1. Las propiedades fundamentales que satisface el producto escalar y que

fueron demostradas en el curso de ´algebra lineal son: 1. Conmutatividad.

(13)

B.6 Producto vectorial 17

2. Coseno del ´angulo entre los vectores.

u·v=uvcosθ dondeθes el ´angulo entre u y v 3. Proyecci´on.

proyuv= u·v

u2 Esta es la proyecci´on escalar. 4. Ortogonlidad.

Si u⊥v=⇒u·v=0 (B.1)

El rec´ıproco de esta afirmaci´on es v´alida solo si ambos vectores no son el vector nulo O.

B.6 Producto vectorial

Definici´on B.3. Sea V el conjunto de vectores de R3. Si u∈V y v∈V ,

en-tonces el producto vectorial es aplicaci´on· × ·definida as´ı u= (u1,u2,u3), v= (v1,v2,v3) V×V−→V

(u,v) →u×v∈V

u×v=u2v3−u3v2i+u3v1−u1v3j+u1v2−u2v1k

A veces llamaremos al producto vectorial u×v producto cruz.

Nota B.2. Las propiedades fundamentales que satisface el producto vectorial y que

fueron demostradas en el curso de ´algebra lineal son: 1. Anticonmutatividad.

u×v=−v×u 2. Ortogonalidad.

Si u y v no son colineales, entonces

u×v⊥u, u×v⊥v 3. Seno del ´angulo entre los vectores.

(14)

De esta propiedad podemos deducir que si u y v son ambos no nulos y son no colineales, entonces

u=O,v=O,v=λu,(λ ∈R)⇐⇒u×v=O 4. Area.

De la propiedad anterior se deduce que el ´area del paralelogramo formado por los vectores u y v es

Area paralelogramo=u×v

B.7 Producto mixto

Definici´on B.4. Sea V el conjunto de vectores de R3. Si u∈V , v∈V y w∈V ,

entonces el producto mixto es aplicaci´on definida as´ı

u= (u1,u2,u3), v= (v1,v2,v3), w= (w1,w2,w3) V×V×V−→R (u,v,w) →(u×v)·w∈R (u×v)·w= u1 u2 u3 v1 v2 v3 w1w2w3

A veces llamaremos al producto vectorial u×v triple producto mixto.

Una propiedad importante demostrada en el curso de Algebra Lineal es que con el producto mixto podemos calcular el volumen del paralelep´ıpedo formado por los vectores u, v, y w de la siguiente manera:

Volumen paralelep´ıpedo=|u×v×w|

B.8 Ejercicios

B.1. Trazar los vectores v y w . En la misma figura (plano cartesiano) trazar −v, v+w, y v−w.

(a) Para v= (2,1), w= (1,2).

(b) Para v= (2,3,−6), w= (−1,1,1). B.2. Una fuerza constante con represen-taci´on vectorial F=10i+18j−6k, mue-ve un objeto a lo largo de la l´ınea recta

(15)

B.8 Ejercicios 19

desde el punto A(2,3,6)hasta el punto

B(4,9,15). Encontrar el trabajo realiza-do si la distancia est´a medida en metros y la magnitud de la fuerza en newtons.

B.3. El producto a×(b×c)es llamado el triple producto vectorial. Probar que,

a×(b×c) = (a·c)b−(a·b)c B.4. Calcular el volumen del parale-lep´ıpedo con lados: u=2i+j−k, v= 5i−3k, y w=i−2j+k.

B.5. Considere en el plano 2D el triánguloABC cuyos vértices están en A(a1,a2), B(b1,b2)y C(c1,c2), donde

A, B y C no son colineales. Una mediana

de un tri´angulo es el segmento que une un v´ertice con el punto medio del lado opuesto. Sean M1, M2 y M3 los puntos medios de los lados AB, BC y CA res-pectivamente.

(a) Dado que AB y AC forman una base B del plano (porqu´e?) escriba AM2, BM3y CM1en t´erminos de es-ta base.

(b) Sea I=AM2∩BM3. Escriba los vectores AI y BI en t´erminos de la ba-seB.

(c) Use el hecho que AB=AI+IB y tambi´en AB=AC+CB para mostrar que AI AM2 =2 3, BI BM3 =2 3 (d) Use adecuadamente el resultado

anterior para mostrar que las tres me-dianas se interceptan en el mismo punto I.

B.6. Considere el paralelogramo en 3D ABCD cuyos v´ertices est´an en

los puntos A(1,−1,−1), B(−1,−3,1),

C(3,−2,−1)y D(d1,d2,d3).

(a) Hallar las coordenadas de D. Use el hecho que AD=BC. Compruebe que AB=DC.

(b) Hallar el ´area del paralelogramo ABCD.

(c) Hallar el ´area del paralelogramo ABCD el cual es la proyecci´on ortogonal deABCD sobre el plano

(16)

(17)

Ap´endice C

Comandos de Maple

C.9 Gr´aficos

C.9.1 Librer´ıas

En la redacción de este libro se usó Maple, versión 11, pero muchos de los comandos son válidos en versiones anteriores. Las librer´ıas más usadas son: plottools, plots, linalg.

Estas se pueden cargar en la primera l´ınea, antes con el siguiente comando:

> restart: with(plottools): with(plots): with(linalg): interface(plotoptions=color):

C.9.2 Funci´on escalar

La funci´on es: z=x2−y2,

> plot3d(x∧2 - y∧2, x=-4..4, y=-4..4);

C.9.3 Funci´on escalar parametrizada

     x=sin v cos u y=sin v sin u z=cos v (C.2)

> plot3d([sin(v)*cos(u), sin(v)*sin(u), cos(v)], u=0..2*Pi, v=0..Pi/2, grid = [30,30], axes = BOXED, orientation = [45,60], scaling=constrained);

(18)

C.9.4 Curvas de nivel

> contourplot( x∧2 - y∧2, x = -4..4, y=-4..4, grid=[30,30],

coloring = [blue,red]);

C.9.5 Superficie impl´ıcita

La funci´on est´a definida impl´ıcitamente, por ejemplo x2+y2−z2+1=0,

> implicitplot3d( x∧2 + y∧2 - z∧2 + 1 = 0, x=-3..3, y=-3..3,

z=-3..3);

C.9.6 Curva en 2D

La funci´on es una trayectoria en R2, por ejemplo x2−y2=1,

> implicitplot(x∧2 - y∧2 = 1, x=-5..5, y=-5..5):

C.9.7 Curva en 3D

Si la funci´on es una trayectoria en R3, por ejemploω(t) = (cost,sint,t), entonces, > spacecurve([ cos(t), sin(t), t], t=0..4 *Pi);

C.9.8 Campo vectorial

> fieldplot([-y,x], x=-4..4, y=-4..4, grid=[5,5], arrows=SLIM, color=RED);

C.9.9 Campo vectorial

> fieldplot3d([2*x,2*y,1], x = -1..1, y = -1..1, z = -1..1,