Límites y Continuidad de funciones de dos variables

Límites y Continuidad de funciones de dos

variables

1.- Si en un cierto punto

( )

_{a,b ∈R}2 _{existe el}

( ) ( )x,ylim→a,b f

( )

x,y =L∈R, entonces:

a) f es continua en (a, b).

b) Existen los límites reiterados de f en (a, b) y ambos valen L.

c) ∀ε∈R+ ,∃δ∈R+ tal que si un punto (x, y) del dominio de f pertenece al disco abierto de centro (a, b) y radio δ, con (x, y) ≠ (a, b), entonces la distancia de f(x, y) a L es menor que ε. 2.- Si z = f(x, y) es continua en _{R , entonces:} 2 a) Existe y es finito el ( ) ( )x,ylim→a,b f

( )

x,y ,

( )

2 R b a, ∈ ∀ .

b) f admite derivadas parciales en todo punto

( )

_{a,b ∈R}2_.

c) f es diferenciable en todo _{R .} 2

3.- Sea z = f(x,y) una función tal que sus límites radiales en P0(0,0) valen todos L.

Podemos asegurar que:

‰

a) ∃

( ) ( )x y,lím→0,0 f x y

( )

, =L.

‰

b) Los límites reiterados, si existen, también valen L.

‰

c) Si se verifica que f

(

rcosα ,r senα

)

−L ≤g

( )

r y

0 ( ) 0 r lím g r → = , entonces ∃ ( ) ( )x y,lím→0,0 f x y

( )

, =L. 4.- Si ( )f(x,y) L R lím o o,y x ) y , x ( → = ∈ , podemos afirmar:

a) Existen los límites reiterados en

(

xo,yo

)

y ambos valen L.

b) Existen los límites radiales en

(

xo,yo

)

y todos valen L.

c) f es continua en

(

xo,yo

)

. 5.- El ( ) ( )_{, 0,0 x}2 _y2 xy lím y x → + : a) Vale 0. b) No existe. c) Vale 1.

6.- Supongamos que _{( ) ( )}lim f

( )

x,y

0 , 0 y ,

x → es, en principio, una indeterminación y se efectúa el cambio a coordenadas polares, quedando

( ) ( )x,ylim→0,0 f

( )

x,y =limr→0F

( )

r,α y supongamos

también que F

( ) ( ) ( )

r,α =g r ⋅h r,α , entonces: a) Si limg

( )

r 0

0

r→ = , podemos asegurar que ( ) ( )x,ylim→0,0 f

( )

x,y = 0.

b) Si h

( )

r,α depende sólo de α, podemos asegurar que NO existe

( ) ( )x,ylim→0,0 f

( )

x,y .

c) Si limg

( )

r 0

0

r→ = y h

( )

r,α es una función acotada para todo α, podemos asegurar que lim f

( )

x,y = 0.

7.- Estamos calculando ( ) ( )x,y a,b

(

)

L lim f x, y → = y demostramos que:

(

)

5 2r sen

(

2 cos

)

3 sen α + α α − = + α f r cos , r senα

para todos r y α. Entonces podemos asegurar que: a) L existe y vale 5.

b) L existe y vale 0

c) No existe el límite buscado. 8.- Sea 2x y si y x x y f (x, y) si y x + ⎧ _{≠ −} ⎪ + = ⎨ ⎪ α = − ⎩ , se verifica:

a) No existe ningún valor de α para el cual f sea continua en (0,0). b) f es continua en (0,0) independientemente del valor de α. c) Para que f sea continua en (0,0), ha de ser α=0.

9.- ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta para una función z=f(x,y)?

a) Si se verifica que f x, y

( )

− ≤L g

( )

r,α −L < h r

( )

→0 cuando r→0, entonces ∃

( ), ( 0, 0)

( )

, →

x ylímx y f x y

b) Si existen los límites reiterados de f en un punto (x0,y0), entonces existe

( ), ( 0, 0)

( )

, →

x ylímx y f x y

c) Si existen los límites radiales de f, entonces existe

( ), ( 0, 0)

( )

, →

x ylímx y f x y .

10.- Sea z=f(x,y) una función real de dos variables reales. Entonces:

a) Si f es continua en (a,b) y existen fx(a,b) y fy(a,b) ⇒ f es diferenciable en (a,b).

b) Si existen fx(a,b) y fy(a,b) ⇒ f es continua en (a,b) ⇒ f es diferenciable en (a,b).

c) Si f es diferenciable en (a,b) ⇒ f es derivable en cualquier dirección y continua en (a,b). 11.- Supongamos que

(

)

(

)

x 2 y 5 y 5 x 2 lím lím f (x, y) lím lím f (x, y) 3 → → = → → = . a) (x,y) (2,5)lím f (x, y) 3→ = b) No existe (x,y) (2,5)lím f (x, y)→ . c) Si existe el (x,y) (2,5)lím f (x, y)→ vale 3. 12.- Sea 2 2 2 2 x y si (x, y) (0, 0) f (x, y) x y 0 si (x, y) (0, 0) ⎧ + _≠ ⎪ =_⎨ − ⎪ ₌ ⎩ , se verifica: a) ( ) ( )x,ylim f x, y→0,0

(

)

∃/ . b) ( ) ( )x,ylim f x, y→0,0

(

)

∃ , pero, no es continua (0,0).

13.- Si

(

)

(

)

x 0 y 0 y 0 x 0 lím lím f (x, y) lím lím f (x, y) k → → = → → = , entonces se verifica: a) x 0 y mx lím f (x, y) k m R → = = ∀ ∈ b) (x,y) (0,0)lím f (x, y) k→ = . c) Si existe el (x,y) (0,0)lím f (x, y)→ vale k. 14.- Si

(x,y) (0,0)lím f (x, y) k→ = , entonces se verifica que: a) Existen los límites reiterados y ambos valen k. b) f es continua en (0,0).

c) Existen los límites reiterados y ambos valen k, o bien, alguno de ellos no existe. 15.- Si

(x,y) (a,b)lím f (x, y) L→ = , entonces se verifica que:

a) Si existen los límites reiterados y coinciden, han de ser iguales a L. b) L=f(a,b), siempre que f esté definida en dicho punto.

c) Existen los límites reiterados y valen L.

16.- Sea una función z=f(x,y) que en el origen (0,0) verifica que existen sus límites reiterados y valen L, entonces:

a)

( ) ( )x,ylim f x, y→0,0

(

)

L

∃ = .

b) Si existe

( ) ( )x,ylim f x, y→0,0

(

)

vale L.

c) x 0 y mx lím f (x, y) L m R → = = ∀ ∈ 17.- Supongamos que ( ) ( ), 0,0

( )

, = → = ∈ y mx x ylím f x y L R. Entonces:

a) Existen los límites reiterados de f en (0,0). b) f es continua en (0,0).

c) Si f es continua en (0,0), ha de ser f(0,0)=L.

18.- Sea z = f(x, y) una función de R2 en R ¿De cuál de las siguientes situaciones se puede deducir que lím f(x,y)

) 0 , 0 ( ) y , x ( → = 7?: a) lím límf(x,y) 7 0 y 0 x ⎟⎠= ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ → → . b) f(x,y)−7 ≤r2cosα , ∀ r, α ∈ R.

c) Todos los límites radiales en (0,0) existen y valen 7. 19.- Sea 3 2 2 x si (x, y) (0,0) f (x, y) x y 0 si (x, y) (0,0) ⎧ ≠ ⎪ =⎨ + ⎪ ₌ ⎩ , se verifica: a) ( ) ( )x,ylim f x, y→0,0

(

)

=0. b) f no es continua (0,0).

‰

a) ∃

( ) ( )x y,lím→0,0 f x y

( )

, =L.

‰

b) Los límites reiterados, si existen, también valen L.

‰

c) Si se verifica que f

(

rcosα ,r senα

)

−L ≤g

( )

r y

0 ( ) 0 r lím g r → = , entonces ∃ ( ) ( )x y,lím→0,0 f x y

( )

, =L.

21.- El dominio de la función f(x,y) = x y+ es

‰

a) El conjunto de puntos de R2 por encima de la recta y = -x.

‰

b) El conjunto de puntos de R2 por debajo de la recta y = -x.

‰

c) El conjunto de puntos de R2 formado por los puntos situados por encima de la recta y = -x y los puntos de dicha recta.

22.- La curva de nivel de la superficie z = xy correspondiente a z = 1: … a) Es una hipérbola equilátera.

… b) Son un par de rectas. … c) No es una cónica.

23.- Sea z = f(x, y) = _x2 _+3y2_{, con}

( )

_{x,y ∈R}2_{. Se verifica que:}

□ a) f admite curva de nivel ∀z∈R.

□ b) f alcanza en (0, 0) un valor mínimo relativo, pero, no un mínimo absoluto.

□ c) La curva de nivel correspondiente a z = 2 es una elipse de centro (0, 0) y semieje mayor a = 2.

24.-√La curva de nivel de la función

( )

_{2 2} y x 1 y 8 y , x f + + = correspondiente a c = 2 es a) Una circunferencia de centro C(0, 4) y radio 3 .

b) Una elipse de centro C(0, 2).

c) Una circunferencia de centro C(0, 2) y radio 3 .

25.- Sea F(x, y, z) = 0, con z = f(x, y), la ecuación implícita de una superficie S de _{R .} 3

Si f es diferenciable en un punto P de S, entonces: a) ∇f→(P)⊥ S b)

( )

( )

_⎟⎟⊥ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ 1 , P y f , P x f S. c) ∇F→(P)⊥ S.

26.- La curva de nivel de la superficie z = ln(xy ) correspondiente a z = 0: … a) Es una hipérbola equilátera.

… b) Son un par de rectas. … c) No es una cónica.

27.- Consideremos la superficie de ecuación x2 ₊2yz2 ₋xz₌0_{. Puede afirmarse que:} a) Todas sus curvas de nivel son parábolas, excepto una de ellas que es una recta. b) Esta superficie sólo admite curvas de nivel para z≥0.

c) La curva de nivel correspondiente a la cota k = 5 está contenida en el plano z = 5. 28.- Sea la función z=f(x,y) dada implícitamente por la ecuación x2+y2-z-lnz=0. La circunferencia unidad (centro el origen y radio1) es la curva de nivel de f para la cota:

b) z=0.

c) no es una curva de nivel.

29.- Consideremos la superficie de ecuación xy+z3=5. La curva de nivel para el punto (2,2) es:

a) xy=4. b) z=2. b) xy=1.

30.- Consideremos la superficie de ecuación z ₂ 1₂

x y 8

=

+ − . La curva de nivel para z=1 es:

a) La circunferencia de centro (0,0) y radio 9. b) La circunferencia de centro (0,0) y radio 3. c) Ninguna de las dos anteriores.

31.- Sea z=f(x,y) la ecuación de una superficie en R3. Se llama “curva de nivel” de dicha superficie a toda línea en el plano R2 que tenga por ecuación:

a) f (x, y) k, k Im(f).= ∈ b) f(x,y)=0.

c) Ninguna de las anteriores.

32.- Las curvas de nivel de la superficie 1 4 z 9 y 2 x2 2 2 = +

+ correspondientes a una cota k:

a) Se reducen a un punto si k = ± 2.

b) Son elipses de semiejes a = 3, b = 2 si k = ± 1. c) Solo existen para k ≥ 0.

33.- Si ( )f(x,y) L R lím o o,y x ) y , x ( → = ∈ , podemos afirmar:

a) Existen los límites reiterados en

(

xo,yo

)

y ambos valen L.

b) Existen los límites radiales en

(

xo,yo

)

y todos valen L.