CONTRASTE DE HIPÓTESIS EN POBLACIONES NORMALES

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CONTRASTE DE HIPÓTESIS

EN POBLACIONES NORMALES

(2)

CONTRASTE EN POBLACIONES NORMALES

1. Media:

a. Varianza poblacional conocida

b. Varianza poblacional desconocida

2. Diferencia de medias:

a. Varianzas poblacionales conocidas

b. Varianzas poblacionales desconocidas,

pero iguales

c. Muestras apareadas

En este tema, aplicaremos lo visto en el anterior

para el caso de poblaciones normales:

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CONTRASTE EN POBLACIONES NORMALES

1. Varianza:

a. Media poblacional conocida

b. Media poblacional desconocida

2. Igualdad de varianzas:

a. Medias poblacionales conocidas

b. Medias poblacionales desconocidas

3. Proporción

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CONTRASTE DE LA MEDIA

1. VARIANZA POBLACIONAL CONOCIDA (

V

2_): Hipótesis nula: H₀:

P

=

P

₀

Distribución de la población bajo H₀: Estadístico de prueba: Z_obs (Z_D_/2 , Z_1-_D_/2) Z_obs t Z_1-_D Z_obs d Z_D Dos colas Cola derecha Cola izquierda P z P₀ P > P₀ P < P₀ Rechazar H₀ si R. C. O. H₁ ~ ( , ) 0 X N P V 0 ~ ( , ) ~ (0,1) 0 Z _/ x x N _n N n P V P V o

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CONTRASTE DE LA MEDIA

1. 2. VARIANZA POBLACIONAL DESCONOCIDA: Hipótesis nula: H₀: P = P₀

Distribución de la población bajo H0 : Estadístico de prueba: t_obs (t_D_/2 , t_1-_D_/2) t_obs t t_1-_D t_obs d t_D Dos colas Cola derecha Cola izquierda P z P₀ P > P₀ P < P₀ Rechazar H₀ si R. C. O. H₁ ~ ( ₀,?) X N P

0 _{0 ~}

1 /

/

1 t

x

tn

s

n

s n

P

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CONTRASTE DIFERENCIA DE MEDIAS

1. VARIANZAS POBLACIONALES CONOCIDAS (X e Y, ind.): Hipótesis nula: P_x- P_y= G₀ ; con G₀t 0

Distribución de las poblaciones bajo H₀:

Estadístico de prueba: Z_obs (Z_D_/2 , Z_1-_D_/2) Z_obs t Z_1-_D Z_obs d Z_D Dos colas Cola derecha Cola izquierda

P

_x -

P

_y

z G

₀

P

_x _-

P

_y _>

G

₀

P

_x -

P

_y <

G

₀ Rechazar H₀ si R. C. O. H₁ ~ ( , ) ; ~ ( , ) X N Y N x x y y P V P V ( ) ( ) ~ (0,1) 2 2 x y _x _y Z N n n x x y y P P V V

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CONTRASTE DIFERENCIA DE MEDIAS

2. VARIANZAS DESCONOCIDAS, PERO IGUALES : Hipótesis nula: P_x- P_y= G₀ ; con G₀t 0

_{Estimador de la varianza común:}

_{Estadístico de prueba:} t_obs (t_D_/2 , t_1-_D_/2) t_obs t t_1-_D t_obs d t_D Dos colas Cola derecha Cola izquierda

P

_x -

P

_y

z G

₀

P

_x _-

P

_y _>

G

₀

P

_x -

P

_y <

G

₀ Rechazar H₀ si R. C. O. H₁ 2 2 2 2 ˆ ˆ ( 1) ( 1) 2 2 2 n_x s_x n_y s_y n s_{x x} n s_{y y} s p _n _n _n _n x y x y ( ) ( ) ~ 2 1 1 x y x y _t n n s_p n_x n_y _x _y P P

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CONTRASTE DE LA DIFERENCIA DE MEDIAS

4. MUESTRAS APAREADAS:

Objeto: evitar posibles alteraciones, debidas a factores externos, en el momento de la observación de ambas poblaciones

Se toman n pares de observaciones y se trabaja con las diferencias, que se supone son extraídas aleatoriamente de la población de diferencias

d_i = x_i- y_i Æ d_i a N ( P_d , V_d )

V_d , es desconocida (menor que la dispersión de la diferencia de medias)

P_d = E(d_i ) = E(x_i – y_i) = E(x_i) – E(y_i) = _P_x - _P_y= _G₀ _Æ contraste sobre _P_d

Estadístico de prueba bajo H₀:P_d=G₀ :

Reglas de decisión, como en media con V desconocida di d n ¦ ₀ ~ 1 / 1 d t n s_d n G

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CONTRASTE DE LA VARIANZA

1. MEDIA CONOCIDA:

Hipótesis nula:

Estimador de la varianza poblacional:

Estadístico de prueba: 2 2 : 0 0 H V V ₂ ( ) 2 x_i s n

P

¦ ~ 2 2 2 0 ns n P F V Dos colas Cola derecha Cola izquierda Rechazar H₀ si R. C. O. H₁ 2 2 0 V zV 2 2 0 V !V 2 2 0 V V 2 ₍ 2 _, 2 ₎ / 2 1 / 2 obs F F F D D 2 2 1 obs F tF _D 2 2 obs F d_FD

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CONTRASTE DE LA VARIANZA

1. MEDIA DESCONOCIDA:

Hipótesis nula:

Estimador de la varianza poblacional:

Estadístico de prueba: 2 2 : 0 0 H V V Dos colas Cola derecha Cola izquierda Rechazar H₀ si R. C. O. H₁ 2 2 0 V zV 2 2 0 V !V 2 2 0 V V 2 ₍ 2 _, 2 ₎ / 2 1 / 2 obs F F F D D 2 2 1 obs F tF _D 2 2 obs F d_FD

2 (

)

2 x x

i

s

n

¦

2 ₂ ~ 1 2 0 ns n F V

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CONTRASTE DE LA IGUALDAD DE VARIANZAS 1. MEDIAS CONOCIDAS: - Hipótesis nula: - Estadístico de prueba: Dos colas Cola derecha Cola izquierda Rechazar H₀ si R. C. O. H₁ 2 2 x y V zV 2 2 2 : 1 2 0 x H _x _y y V V V V § · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ o ~ ~ 2 2 2 , 2 2 2 n s x x n_x _n n _x x x _{Fn n} n n s_y _n _y x y y y n_y y P F V F P V 2 : ~ 2 0 , Bajo H S x Fn n S _y _{x y} P P 2 2 x y V !V 2 2 x y V V ( , ) / 2 1 / 2 F_obs F_D F _D 1 F_obstF _D F dF

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CONTRASTE DE LA IGUALDAD DE VARIANZAS 1. MEDIAS DESCONOCIDAS: - Hipótesis nula: - Estadístico de prueba: Dos colas Cola derecha Cola izquierda Rechazar H₀ si R. C. O. H₁ 2 2 x y V zV 2 2 2 : 1 2 0 x H _x _y y V V V V § · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ o 1 1 ~ ~ 1 1 2 2 2 ₁ 1, 1 2 2 1 2 n s x x n_x _n n x x x _{Fn n} n n s _n _y _x _y y y n_y y y F V F V 2 ˆ ~ 2 ˆ 1, 1 Sx F_n _n S_y _x _y 2 2 x y V !V 2 2 x y V V ( , ) / 2 1 / 2 F_obs F_D F _D 1 F_obstF _D F_obs d F_D

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CONTRASTE DE LA PROPORCIÓN _{Hipótesis nula:} H₀: p = p₀ Estadístico de prueba: _{Muestras grandes:} _{Muestras pequeñas:} Z_obs (Z_D_/2, Z_1-_D_/2) Z_obs t Z_1-_D Z d Z Dos colas Cola derecha Cola izquierda p z p₀ p > _p₀ p < _p Rechazar H₀ si (_n grande) R. C. O. H₁ ˆ / p x n 0 0 0 0 0 0 ˆ ~ (0,1) ~ (0,1) , , p p Z _{p q} N n x np Z _{np q} N proporción número de éxitos 0 ˆ ~ ( , ) p B n p

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CONTRASTE DE LA DIFERENCIA DE PROPORCIONES

Hipótesis nula: Estadístico:

Para estimar p y q se utilizan las correspondientes a cada muestra Pero, si H₀ : p_x - p_y = 0, se utilizan las dos muestras en común:

Z_obs(Z_D_/2, Z_1-_D_/2) Z_obs t Z_1-_D Z_obs d Z_D Dos colas Cola derecha Cola izquierda p_x- p_yz G₀ p_x- p_y> G₀ p_x- py< G0 Rechazar H₀ si R. C. O. H₁ 0: 0; 0 0 H p_x p_y G G t ˆ ˆ ( ) ( ) ~ (0,1) ; para grande p_x p_y p_x p_y Z _{p q} N n p q_{x x} _{y y} n_x n_y ˆ ˆ ˆ x y n p n px x y y p n n_x _y n n_x _y

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¿QUÉ HEMOS APRENDIDO EN LA LECCIÓN 2ª?

Contraste de hipótesis en poblaciones normales

Fundamental: saber estadístico de prueba (curso anterior)

Definir región crítica, según H₁