Abstract— This paper presents an approach of master-slave synchronization of robot manipulators driven by induction motors supposing that the full state is available. Considering the input torque of each joint of the robot manipulators as the reference torque for induction motor, a feedback control law is used to synchronize position while track a desired trajectory. Based on Lyapunov analysis is shown that the controller yields semiglobal exponential convergence of the synchronization closed-loop errors. Simulations are provided to demonstrate the effectiveness of the proposed approach.
Keywords— synchronization, master slave, induction motor, robot manipulator.
I. INTRODUCCIÓN
A SINCRONIZACIÓN controlada de robots manipuladores se ha convertido en un tema de interés dentro de la comunidad científica durante la última década, debido a los requerimientos de eficiencia y calidad en los procesos de producción, así como de flexibilidad y maniobrabilidad en la ejecución de tareas que un solo robot no puede realizar y para lo cual es necesario hacer que dos o más robots lleven a cabo una misma acción de manera sincronizada. El objetivo de la sincronización de dos sistemas dinámicos que evolucionan en forma separada, uno denominado maestro y otro esclavo, es que se acoplen o coincidan en una trayectoria de evolución común a partir de un cierto instante en adelante [1].
En la literatura se han reportado diversos algoritmos de control de sincronización así como distintas problemáticas relacionadas, como la realimentación de estados con acceso solo a la posición de los robots en [2-4]. A partir del enfoque de contracción, se sigue una trayectoria común mientras mantienen una formación a través de un grafo dirigido de interconexión en [5]. Mediante el análisis de pasividad se atacan los rasgos anteriores aunados con retardos de
F. J. Torres, Tecnológico Nacional de México/Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico (CENIDET), Cuernavaca, Morelos, México, [email protected]
G. V. Guerrero, Tecnológico Nacional de México/Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico (CENIDET), Cuernavaca, Morelos, México, [email protected]
C. D. García, Tecnológico Nacional de México/Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico (CENIDET), Cuernavaca, Morelos, México, [email protected]
J. F. Gómez, Tecnológico Nacional de México/Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico (CENIDET), Cuernavaca, Morelos, México, [email protected]
M. Adam, Tecnológico Nacional de México/Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico (CENIDET), Cuernavaca, Morelos, México, [email protected]
R. F. Escobar, Tecnológico Nacional de México/Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico (CENIDET), Cuernavaca, Morelos, México, [email protected]
comunicación constante en [6-9]. Se hace uso de pasividad tomando en cuenta retardos de tiempo variantes en [10-13]. Así también se considera la interconexión en la sincronización como un grafo no dirigido en [14, 15].
En sincronización se han aplicado técnicas de control como backstepping en [16, 17], cross-coupling en [14, 18], modos deslizantes en [19] y redes neuronales (RN) en [20-22]. En la literatura citada, un denominador común es que consideran actuadores ideales en todos los casos de sincronización. En la práctica, un gran número de manipuladores industriales emplean motores eléctricos como actuadores, siendo los más comunes los servomotores de imán permanente sin escobillas tipo CD. La ventaja de estos motores es la mayor facilidad de controlar la posición y seguimiento de trayectoria deseada, sin embargo como desventaja se encuentra el costo, ocasionado por el empleo de tierras raras como neodimio-hierro-boro o samario-cobalto en la fabricación del imán permanente. Ante esta situación se ha considerado la alternativa de utilizar motores de inducción (MI) como actuadores, por el hecho de ser dispositivos que generan un alto par de salida y bajo costo de fabricación, aunque con la desventaja de la dificultad de control por su alta no linealidad. De esta manera, se ha reportado el acoplamiento de motores de inducción en robots manipuladores únicamente para seguir una trayectoria deseada en [23, 24].
El objetivo de este artículo es desarrollar un esquema de control de sincronización maestro-esclavo de robots manipuladores actuados directamente por motores de inducción con el acceso completo a las variables de estado, tal que las posiciones angulares ∈ ℝ del é robot esclavo
sean sincronizadas con respecto a ∈ ℝ del robot maestro. El artículo es organizado de esta forma: modelo dinámico y control de sincronización del robot manipulador, en la sección II. Después en la sección III se describe el modelo dinámico y control del motor de inducción. En la sección IV se desarrolla el acoplamiento de los motores de inducción y robots manipuladores para lograr sincronización, además se presenta el análisis de estabilidad por Lyapunov del enfoque propuesto. En la sección V se muestran resultados de las simulaciones realizadas y por último, en la sección VI se dan las conclusiones del trabajo presentado.
II. MODELO DE ROBOT MANIPULADOR Y MOTOR DE INDUCCIÓN
A. Modelo del robot manipulador
Se consideran robots manipuladores completamente actuados despreciando las pérdidas por fricción, con =
1,2, … , articulaciones; los vectores de coordenadas de las
F. J. Torres, G. V. Guerrero, C. D. García, J. F. Gómez, M. Adam and R. F. Escobar
Master-Slave Synchronization of Robot
Manipulators Driven by Induction Motors
articulaciones de los robots son ∈ ℝ , = 1, … , . Usando el formulismo de Euler-Lagrange, el modelo dinámico del
é robot es dado por:
( ) + ( , ) + ( ) = (1)
Donde ( ) ∈ ℝ × es la matriz de inercias, ( , ) ∈ ℝ × es la matriz de Coriolis y fuerzas centrífugas, ( ) ∈ ℝ vector de fuerzas gravitacionales, ∈ ℝ es el vector de pares de entrada. Este modelo contempla las siguientes propiedades [2]:
• La matriz de inercias ( ) ∈ ℝ × es simétrica y
definida positiva para todo ∈ ℝ
• Si la matriz ( , ) ∈ ℝ × es definida usando los
símbolos Christoffel, entonces la matriz ( ) −
2 ( , ) es antisimétrica, por lo que para toda
∈ ℝ , ( ) − 2 ( , ) = 0
B. Modelo del motor de inducción trifásico
El modelo dinámico del motor de inducción y su control no lineal fue tomado de [25], donde los vectores de corriente y flujo ( , ), ( , ) del modelo (a, b) fijo al estator, son utilizados para expresar las ecuaciones del modelo en un esquema de campo orientado (d, q). En este modelo se incluye la dinámica mecánica y eléctrica del MI, despreciando los efectos de la fricción viscosa.
= − = − + = − + + + + 1 = − − − − + 1 = + (2) Donde = , = , = , = ,
= , = 1 − , es la velocidad angular del
rotor, , son las corrientes en el eje d y eje q; los enlaces de flujo del rotor en el eje d. , son número de pares de polos y par de carga, respectivamente. es el momento de inercia del motor, definido constante. , y inductancia mutua y auto-inductancia del estator y rotor, obtenidas de ( , , )= ( , , ), en la cual ( , , ) es la
reactancia inductiva mutua, del estator o rotor, según corresponda; f es la frecuencia nominal en Hertz (Hz). y
resistencia del estator y rotor.
y son las entradas de control no lineal de realimentación de estados, descritas por:
=
− − − +
+ + +
(3) Aplicando (3) al modelo (2), se obtiene el siguiente sistema de lazo cerrado: = − = − + = − + = − + = + (4)
y son las nuevas entradas de control obtenidas al aplicar lazos PI:
= − + − (5)
= − + − (6)
= − + − (7)
Donde , , , son los enlaces de flujo del rotor, par y velocidad angular de referencia, respectivamente. , , , , , son ganancias constantes positivas. es el par
electromagnético, definido como =
III. ACOPLAMIENTO MOTOR DE INDUCCIÓN – ROBOT MANIPULADOR
Se considera que la é , = 1, 2, … , , articulación de
cada é , = 1, … , , robot manipulador está siendo
actuada directamente por un motor de inducción. Además se asume que la amplitud de los enlaces de flujo , es regulada
al valor de la referencia constante , a través del lazo de
control (5), por lo cual el sistema de lazo cerrado para cada MI (4) se reduce a: , = , , − , , = − , + , , = − , + , (8) Sea = [ , , ] , = [ , , ] , = [ ], = , , , ,···, , , , = , , , ,···, , , = [ , ,···, ], = [ , ,···, ], = [ , ,···, ] con = , , . Donde , ,, ∈ ℝ ; , ∈ ℝ
El modelo reducido en lazo cerrado que representa los MI para el é robot manipulador, se muestra como:
= − ,
= − + (9)
Donde = ∈ ℝ . Así mismo el vector de posición angular ∈ ℝ de los MI para el é robot manipulador
es definido como = , 1, , 2,···, , . Por simplicidad
de notación no se usará letra en negrita para estas ecuaciones en el siguiente desarrollo del sistema acoplado MI-Robot.
Suposición 1. Existe un acoplamiento mecánico directo entre el MI y la articulación del robot manipulador, por tanto:
=
= Ω = Ω
(10)
Suposición 2. El par de entrada o par requerido para cada articulación del robot manipulador, se considera como el par de carga aplicado a cada motor de inducción
, = = + + ( ) (11)
Sustituyendo (10) y (11) en (9), se tiene que:
= Λ − [ + + ( )]
Λ = + [ + + ( )]
Λ = ( + ) + + ( )
+ + ( ) = Λ (12)
Donde = + . Este sistema acoplado MI-Robot (12) tiene las mismas propiedades enunciadas en la sección II, debido a que = + = , es constante.
IV. CONTROL DE SINCRONIZACIÓN DE MI-ROBOT
A. Errores de sincronización maestro-esclavo
Los errores de sincronización , ∈ ℝ , son definidos como [2]:
= − , = − (13)
Donde las señales de referencia , , se establecen para tomar en cuenta las interacciones entre los robots y garantizar el comportamiento síncrono, como:
= − _ , − , = − _ , − , = − _ , − , (14)
Donde ( ) es la trayectoria deseada común que cada robot será forzado a seguir; _ , , _ , , _ , ∈ ℝ × ,
, = 1, … , , son matrices diagonales semi-definidas
positivas y por simplicidad se asume que satisfacen _ , =
_ , = _ , = ,
Así, de (10) y (14) se obtienen las señales de referencia para el sistema acoplado MI-Robot:
, = ; , = ; , = (15)
B. Diseño del controlador
Suposición 3. Se asume que el par necesario para lograr
sincronización, será el par de referencia para el lazo de
control PI (7).
El esquema de control en base a esta suposición se aprecia en la Fig. 1.
Figura 1. Esquema de control para sincronización maestro-esclavo actuados por MI.
Teorema 1. Los errores de sincronización , ∈ ℝ del
sistema acoplado MI-Robot son globalmente asintóticamente estables si las ganancias de control , son definidas positivas.
Prueba. Sea , ∈ ℝ ; = [ , ,···, ], =
[ , ,···, ]. La conjunción de los controladores usados en
el sistema acoplado MI-Robot es dada por la suposición 3. De acuerdo a (10) y (15), las ecuaciones (13) de la señal del error
, ∈ ℝ , se expresan como:
= , − , ; = , − , (16)
La ecuación dinámica de referencia del sistema acoplado:
+ + ( ) = , (17)
Donde , ∈ ℝ es el par de referencia definido como
, = , , , ,···, ,
Restando la ecuación dinámica de referencia (17) en ambos lados de la ecuación dinámica del sistema acoplado MI-Robot (12) resulta la ecuación del error como:
+ = − , (18)
( , ) = 1
2 +
1
2 (19)
La matriz ( , ) es definida positiva para todo , > 0,
, y ( , ) = 0 si y solo si = 0, = 0
La derivada de ( , ) es:
( , ) = +1
2 +
Por la propiedad de transposición de escalares, =
Sustituyendo = Λ − , − , en ( , ): ( , ) = Λ − , − +1 2 + = 1 2 − + Λ − , +
Por la propiedad de antisimetría de la matriz − 2 , se obtiene que:
( , ) = Λ − , + (20)
Para forzar que ( , ) < 0 se establece la igualdad:
Λ − , + = − (21)
Sustitución de (21) en (20) ( , ):
( , ) = − < 0
De acuerdo a [2], se dice que los errores , son global asintóticamente estables.
Por tanto, de (21) y (17) se desarrolla la ley de control que llevará a sincronización maestro-esclavo de sistemas MI-Robot, como:
Λ = + + ( ) − − (22)
V. RESULTADOS DE SIMULACIONES
Con la intención de probar el enfoque de sincronización presentado, se hace uso de robots manipuladores tipo SCARA con = 4 articulaciones, en un arreglo maestro-esclavo tomando los parámetros de [26] mostrados en la Tabla I. Así mismo, en la Tabla II se pueden observar los datos necesarios para cada uno de los motores de inducción acoplados a cada articulación obtenidos de [27]. Se consideran características ideales de simulación, donde las fuentes de voltaje pueden suministrar los niveles requeridos. La frecuencia nominal de cada MI se puede ajustar individualmente en la simulación, considerándose = [0.8 0.7 0.6 0.5] . A partir de estas frecuencias, las velocidades de rotación nominales son
= [24 21 18 15] .
La trayectoria deseada es la misma para todas las articulaciones del manipulador, la cual es descrita por la expresión periódica:
( ) = + −
2 1 − cos
4
(23) Donde para cada período es el tiempo final de 2 segundos en todos los casos, la posición deseada inicial, la posición deseada final. Los valores de estas referencias son: = − 2 −5 5 4 = − − 4 −2 (24) TABLA I
PARÁMETROS DEL ROBOT SCARA
Pará-metro Valor dades Uni- metro Pará- Valor dades
Uni-0.5 3 0.4 3 0.25 0.02087 ∙ 0.2 0.08 ∙ 15 0.02 ∙ 12 0.05 ∙
Las condiciones iniciales para la posición de cada articulación fueron puestas a:
= −
4 −3 3 (25)
Así mismo, todos los MI tuvieron la misma referencia de los enlaces de flujo = 0.4 .
Las ganancias se establecieron como: =
[20000], = [80000], = [60],
= [140], = [30], = [150]
TABLA II
PARÁMETROS DEL MOTOR DE INDUCCIÓN
Pará-metro Valor dades Uni- metro Pará- Valor dades Uni-
2 - 0.754 220 0.754 0.435 26.13
0.816 0.089 ∙
Se utilizó la plataforma de Simulink®, con la codificación de S-Function level-2. Los resultados son mostrados en las Fig. 2, Fig. 3 y Fig. 4.
Bajo el criterio de disminuir las características ideales que se habían contemplado, se limitó el voltaje en el estator
−240 ≤ , ≤ 240 de cada uno de los motores de
inducción conectado a cada articulación del robot manipulador maestro y esclavo. Los resultados son presentados en las Fig. 5, Fig. 6 y Fig. 7.
Figura 2. Trayectorias real vs deseada del robot maestro.
Figura 3. Trayectorias de los robots maestro vs esclavo.
Figura 4. Errores de sincronización de los robots maestro vs esclavo.
VI. CONCLUSIONES
Haciendo uso del controlador (21) y de los lazos PI del MI (5) y (6), se han conjuntado en un esquema de control de sincronización para el sistema acoplado MI-Robot (12), el cual asumiendo el conocimiento de los parámetros, disponibilidad del espacio completo de estados y fuentes ideales, a través de las simulaciones ha mostrado mantener errores de sincronización asintóticamente estables en su respuesta de lazo cerrado.
Aún más, se limitaron los niveles de voltaje en el estator de cada MI, los resultados muestran sincronización entre los robots maestro-esclavo en un tiempo mayor que la sincronización considerando fuentes ideales de voltaje con un
error de sincronización de ±0.06 . Diversos trabajos en la literatura acerca de sincronización se han enfocado a atacar problemáticas de incertidumbre paramétrica, disponibilidad solo de la posición de los robots, retardos de tiempo, entre otras, sin embargo en este trabajo se ha abordado con resultados satisfactorios la inclusión de la dinámica del actuador dentro del esquema de sincronización.
Figura 5. Trayectorias de sincronización de maestro vs esclavo con saturación en los voltajes de estator de cada MI.
Figura 6. Errores de sincronización de maestro vs esclavo con saturación en los voltajes de estator de cada MI.
Figura 7. Voltajes en el estator , en los MI de cada articulación del robot esclavo, con saturación.
AGRADECIMIENTOS
Al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología (CONACYT-México) por soportar los estudios de doctorado a
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 Tiempo [s] R adi an es
Trayectoria real __ vs deseada _ _ del ROBOT MAESTRO (j)
q1 q2 q3 q4 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 Tiempo [s] R adi an es
Trayectoria real __ vs deseada _ _ del ROBOT MAESTRO (j)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 Tiempo [s] R adi anes
Trayectoria ROBOT MAESTRO (j) __ vs ROBOT ESCLAVO (i) _ _
q1 q2 q3 q4 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 Tiempo [s] R adi anes
Trayectoria ROBOT MAESTRO (j) __ vs ROBOT ESCLAVO (i) _ _
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 Tiempo [s] R adi an es Errores de Sincronización ~sinc q1 ~sinc q2 ~sinc q3 ~sinc q4 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 Tiempo [s] R adi an es Errores de Sincronización 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 Tiempo [s] Rad ian es
Trayectoria ROBOT MAESTRO (j) __ vs ROBOT ESCLAVO (i) _ _
q1 q2 q3 q4 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 Tiempo [s] Rad ian es
Trayectoria ROBOT MAESTRO (j) __ vs ROBOT ESCLAVO (i) _ _
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 Tiempo [s] R adi anes Errores de Sincronización ~sinc q1 ~sinc q2 ~sinc q3 ~sinc q4 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 Tiempo [s] R adi anes Errores de Sincronización 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 -400 -200 0 200 400 Tiempo [s] V ol ta je [V ]
Voltajes en el esquema fijo al estator para q1i
Vai1 Vbi1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 -400 -200 0 200 400 Tiempo [s] V ol ta je [V ]
Voltajes en el esquema fijo al estator para q2i
Vai2 Vbi2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 -400 -200 0 200 400 Tiempo [s] V ol taj e [V ]
Voltajes en el esquema fijo al estator para q3i
Vai3 Vbi3 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 -400 -200 0 200 400 Tiempo [s] V ol taj e [V ]
Voltajes en el esquema fijo al estator para q4i
Vai4
través del cual se han logrado estos resultados de investigación.
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Gerardo Vicente Guerrero Ramírez. Doctor en Ingeniería por la División de Estudios de Posgrado de la Facultad de Ingeniería de la Universidad Nacional Autónoma de México (UNAM). Maestro en Ciencias en Ingeniería Electrónica por el Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico (CENIDET). Ingeniero Industrial Electricista por el Instituto Tecnológico de Morelia
Carlos Daniel García Beltrán. Doctor en control automático y productica por el Polytechnical Insitute of Grenoble, France (2004). Maestro en Ciencias en Ingeniería en Electrónica por el Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico (1991). Licenciado en Electrónica en Instrumentación por la Facultad de Ciencias de la Universidad Autónoma de San Luis Potosí (1992).
José Francisco Gómez Aguilar. Doctor en Física, especialidad: Física Médica y Materiales Biológicos (2009-2012) por la Universidad de Guanajuato (UG). Maestría en Ingeniería Eléctrica, especialidad: Instrumentación y Sistemas Digitales (2006-2007) por la UG. Ingeniero Electricista (2001-2005) por la UG.
Manuel Adam Medina. Doctor en Automatización y Procesamiento Digital de Señales (2004) Universidad Henri Poincaré, Nancy 1. Centro de Investigación en Automatización de Nancy (CRAN). Maestro en Ciencias en Ingeniería Electrónica (1995), CENIDET. Ingeniero Electrónico en Instrumentación (1990), Instituto Tecnológico de Minatitlán
Ricardo Fabricio Escobar Jiménez. Doctor en Ciencias especialidad Control Automático (CENIDET-2012). Maestro en Ciencias por el Centro de Investigación en Ingeniería y Ciencias Aplicadas (2006). Licenciatura en Ingeniería Química por la Universidad Autónoma del Estado de Morelos (1999).