Tema 2. teoría cinética de gases. Problemas (1-9)

Problemas (1-9)

Calcular la densidad de probabilidad para la componente x de la velocidad de una muestra de moléculas de O₂ a 300 K en el intervalo 0< |v_x| <1000 ms-1 Representar la función de distribución resultante

TCG1.-fracción de moléculas con componente x de la velocidad entre v_x y v_x+dv_x

x x x v

dv

v

g

v

dp

N

dN

x

)

(

)

(





dx

x

f

x

dp

(

)



(

)

densidad de probabilidad

_o

probabilidad por unidad de intervalo

)

(

x

f

x

Calcular la densidad de probabilidad para la componente x de la velocidad de una muestra de moléculas de O₂ a 300 K en el intervalo 0< |v_x| <1000 ms-1 Representar la función de distribución resultante

TCG1.-





























kT

2

mv

exp

kT

2

m

)

v

(

g

2 x 2 / 1 x



m

Kg

g

Kg

mol

mol

g

m

1 _{23 1}

10

3

5

.

3137

·

10

26

10

·

022

.

6

1

·

0

.

32

 _ 







Kg

26

10

·

3137

.

5



K

T



300

1 23

10

·

38066

.

1

 



JK

k



3 1

 

6 2 2



2

10

·

4145

.

6

exp

10

·

4289

.

1

)

(

v

_x

m

s

m

s

v

_x

g



 



 

Calcular la densidad de probabilidad para la componente x de la velocidad de una muestra de moléculas de O₂ a 300 K en el intervalo 0< |v_x| <1000 ms-1 Representar la función de distribución resultante

TCG1.-

3 1

 

6 2 2



2

10

·

4145

.

6

exp

10

·

4289

.

1

)

(

v

_x

m

s

m

s

v

_x

g



 



 

Calcular la densidad de probabilidad para la componente x de la velocidad de una muestra de moléculas de O₂ a 300 K en el intervalo 0< |v_x| <1000 ms-1 Representar la función de distribución resultante

TCG1.-

3 1

 

6 2 2



2

10

·

4145

.

6

exp

10

·

4289

.

1

)

(

v

_x

m

s

m

s

v

_x

g



 



  x

v

g

(

v

_x

)

-1000 -900 -800 . . . 0 . . . 800 900 1000 2.34002E-6 7.91623E-6 2.35560E-5 . . . 1.42890E-3 . . . 2.35560E-5 7.91623E-6 2.34002E-6 0,0E+00 0.4E-03 0.8E-03 1,2E-03 1,6E-03 1,8E-03 -1000 -800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800 1000 300 K

)

(

v

_x

g

(m/s)-1 (m/s)

Calcular la probabilidad de que la componente x de la velocidad de un átomo de neon, en una muestra gaseosa de dicho átomo a 300K, tenga valores inferiores a 500 m·s-1_.

Calcular dicha probabilidad para un átomo de argon a 300K TCG2.-1

·

500

500









v

_x

m

s











N

v

N

_{v x} x

0

500



 



 500 500 x x

dv

v

g



 



500 0

2

g

v

_x

dv

_x

















 500 0 2 2 1 ₂

2

2

kT _x mv

dv

e

kT

m

x



Utilizando las tablas de integrales: Erf

 

ax; a 2 dt e 2 1 2 x 0 at  





función error

_erf

 

₀



₀

 





1

erf

 

_

_

z t

dt

e

z

erf

0 2

2



función error

_erf

 

₀



₀

 





1

erf

 

_

_

z t

dt

e

z

erf

0 2

2





 ? ? 2

2

dt

e

t



1.0056 0



1

.

0056



error

f



Calcular la probabilidad de que la componente x de la velocidad de un átomo de neon, en una muestra gaseosa de dicho átomo a 300K, tenga valores inferiores a 500 m·s-1_.

Calcular dicha probabilidad para un átomo de argon a 300K TCG2.-1

·

500

500









v

_x

m

s



1

.

0056





error

f



1

.

00





0

.

842701

error

f

 

1

.

01



0

.

84681

error

f

tablas:

8450

.

0





%

5

.

84

8450

.

0

500

0









N

v

N

_{v x} x

Para una muestra de argon:











N

v

N

_{v x} x

0

500





 4149 . 1 0 2

2

dt

e

t



f

error



1

.

4149





tablas:

%

46

.

95

9546

.

0



Calcular la probabilidad de que la componente x de la velocidad de un átomo de neon, en una muestra gaseosa de dicho átomo a 300K, tenga valores inferiores a 500 m·s-1_.

Calcular dicha probabilidad para un átomo de argon a 300K

TCG2.-









N

v

N

_{v x} x

0

500

9546

.

0

)

4149

.

1

(

erf

500

·

kT

2

m

erf

500

·

kT

2

m

erf

kT

2

m

2

kT

2

m

2

2 1 2 1 2 / 1 2 1





























































































Para el argon:

Calcular la fracción de moléculas de un gas que tienen un valor de v_x2 mayor que la velocidad cuadrática media <v_x2_{>. Demostrar que dicha} fracción es la misma para todos los gases y a cualquier temperatura

TCG3.-

2

v













m

kT

3



2 x

v

2 2 x x

v

v



2 1 2 x x

v

v



2 1 2 x x

v

v





2 1 2 x x

v

v



M

RT

m

kT

m

kT

















3

3



2 1 2 x

v

2 1













m

kT

















N

v

v

dN

_{v x x} x 2 1 2 0,0E+00 1,0E-04 2,0E-04 3,0E-04 4,0E-04 5,0E-04 6,0E-04 -3000 -2000 -1000 0 1000 2000 3000 vy(m/s) g( vx ) (s/ m) 2 1













m

kT

2 1















m

kT

 



 









                2 1 2 1 m kT x x m kT x x

dv

g

v

dv

v

g

Calcular la fracción de moléculas de un gas que tienen un valor de v_x2 mayor que la velocidad cuadrática media <v_x2_{>. Demostrar que dicha} fracción es la misma para todos los gases y a cualquier temperatura

TCG3.-

2

v













m

kT

3



2 x

v

2 2 x x

v

v



2 1 2 x x

v

v



2 1 2 x x

v

v





2 1 2 x x

v

v



M

RT

m

kT

m

kT

















3

3



2 1 2 x

v

2 1













m

kT

















N

v

v

dN

_{v x x} x 2 1 2

 





 





                2 1 2 1 m kT x x m kT x x

dv

g

v

dv

v

g





 



      2 1 0

2

1

m kT x x

dv

v

g





















       2 1 2 0 2 2 1

2

2

1

m kT x v kT m

dv

e

kT

m

x



cambio de variables:

Calcular la fracción de moléculas de un gas que tienen un valor de v_x2 mayor que la velocidad cuadrática media <v_x2_{>. Demostrar que dicha} fracción es la misma para todos los gases y a cualquier temperatura

TCG3.-















N

v

v

dN

_{v x x} x 2 1 2



      

















2 1 2 x m kT 0 x v kT 2 m 2 1

dv

e

kT

2

m

2

1

independiente de T y m !



















2

1

1

fer

1



fer



0

.

7071











































































2 / 1 2 1 2 1 2 / 1 2 1

m

kT

kT

2

m

erf

kT

2

m

2

kT

2

m

2

1

función error



0

.

7071





error

f



0

.

70





0

.

677801

error

f



0

.

71





0

.

684666

error

f



0

.

7071





0

.

6827

error

f

Calcular la fracción de moléculas de un gas que tienen un valor de v_x2 mayor que la velocidad cuadrática media <v_x2_{>. Demostrar que dicha} fracción es la misma para todos los gases y a cualquier temperatura

TCG3.-















N

v

v

N

2 1 2 x x v_x



















       2 1 2 0 2 2 1

2

2

1

m kT x v kT m

dv

e

kT

m

x





















2

1

1

fer

1

0

.

6827

31

.

73

%

N

N

x v









0

.

7071



1



fer

Calcular el número de átomos de argón que, en una muestra gaseosa de 1 mol de átomos de argón a 273.15 K, tienen una componente x de la velocidad entre 450 y 460 m s-1_.

Repetir el cálculo para el intervalo 450 < v_x < 470 m s-1

TCG4.-









N

v

v

v

N

_{v x x x} x 1 2

 





2 1 x x v v x x

dv

v

g

















 460 450 2 2 1 2

2

x v kT m

dv

e

kT

m

x



Debemos transformar esta integral en una que se pueda resolver mediante la función error:

0 Vx(m/s) g( vx ) (s/m )

 





z t



dt

e

z

Erf

0 2

2



v_x2 v_x1

 

_

 







2 1 0 0 x x v x x v x x

dv

g

v

dv

v

g





































450 0 2 2 1 460 0 2 2 1 2 2

2

2

x v kT m x v kT m

dv

e

kT

m

dv

e

kT

m

x x





Calcular el número de átomos de argón que, en una muestra gaseosa de 1 mol de átomos de argón a 273.15 K, tienen una componente x de la velocidad entre 450 y 460 m s-1_.

Repetir el cálculo para el intervalo 450 < v_x < 470 m s-1

TCG4.-









N

v

v

v

N

_{v x x x} x 1 2



































450 0 2 2 1 460 0 2 2 1 2 2

2

2

x v kT m x v kT m

dv

e

kT

m

dv

e

kT

m

x x























erf

1

.

3642

erf

1

.

3346

2

1

0027

.

0



x v

N

N

_Av

0

.

0027



1

.

626

·

10

21

átomos























































































































·

450

kT

2

m

erf

kT

2

m

2

kT

2

m

460

·

kT

2

m

erf

kT

2

m

2

kT

2

m

2 1 2 1 2 / 1 2 1 2 1 2 1 2 / 1 2 1

Calcular el número de átomos de argón que, en una muestra gaseosa de 1 mol de átomos de argón a 273.15 K, tienen una componente x de la velocidad entre 450 y 460 m s-1_.

Repetir el cálculo para el intervalo 450 < v_x < 470 m s-1

TCG4.-para intervalos pequeños se puede hacer una aproximación:

=

 





2 1 x x v v x x

dv

v

g

v_x2 v_x1

 

v

x₁

g

 

v

x₂

g

Dv_x

 

v

_x

v

_x

g

D

   

2

2 1 x x

g

v

v

g







1





450

1

ms

v

g

_x





1





460

2

ms

v

g

_x

s

m

1 4

10

·

6019

.

2

 

s

m

1 4

10

·

8187

.

2

 

 

s

m

v

g

_x



2

.

7103

·

10

4 1











N

v

v

v

N

_{v x x x} x 1 2

2

.

7103

·

10

4

m

1

s

·

10



2

.

7

·

10

3 v_x2 v_x1

Calcular la fracción de moléculas que, en una muestra gaseosa de O₂ a 300 K, tiene una velocidad tal que sus componentes se encuentran en los siguientes intervalos:

a) 500.0 < v_x < 502.0; 370.0 < v_y < 375.0; 420.0 < v_z < 423.0 b) 473.0 < v_x < 478.0; 498.0 < v_y < 500.0; 302.6 < v_z < 305.6 c) 500.0 < v_x < 503.0; -370.0 < v_y < -372.0; -420.0 < v_z < -425.0

TCG5.-)

v

(

g

)

v

(

g

)

v

(

g

)

v

(



_{x y z}





z y x v

dv

dv

dv

)

v

(

v

d

)

v

(

)

v

(

dp

N

dN





























v v v



_{x y z} v v v

dv

dv

dv

v

N

dN

N

N

z y x z y x

)

(







g

(

v

x

)

dv

x



g

(

v

y

)

dv

y



g

(

v

z

)

dv

z

N

N

N

N

N

N

z y x v v v



Calcular la fracción de moléculas que, en una muestra gaseosa de O₂ a 300 K, tiene una velocidad tal que sus componentes se encuentran en los siguientes intervalos:

a) 500.0 < v_x < 502.0; 370.0 < v_y < 375.0; 420.0 < v_z < 423.0

TCG5.-



g

(

v

x

)

dv

x



g

(

v

y

)

dv

y



g

(

v

z

)

dv

z a) 500.0 < v_x < 502.0; 370.0 < v_y < 375.0; 420.0 < v_z < 423.0



























 502 500 375 370 423 420 2 2 2 2 3 _{2 2 2}

·

2

z kT mv y kT mv x kT mv

dv

e

dv

e

dv

e

kT

m

x y z





N

N

z y xv v v intervalos pequeños:

 



g

v

_x

D

v

_x





g

 

v

_y

D

v

_y





g

 

v

_z

D

v

_z







M

32

·

10

3

Kg

·

mol

1

K

T



300

1 1

3145

.

8

 



JK

mol

R































RT

Mv

RT

M

v

g

_x x

2

exp

2

)

(

2 2 / 1



 

2 6 10 · 4145 . 6 3

10

·

4289

.

1

vx

e

  

s

m

g

(

500

)



2

.

8745

·

10

4 1

s

m

g

(

502

)



2

.

8378

·

10

4 1

g

v

x

m

s

1 4

10

·

8562

.

2

)

(



 

Calcular la fracción de moléculas que, en una muestra gaseosa de O₂ a 300 K, tiene una velocidad tal que sus componentes se encuentran en los siguientes intervalos:

a) 500.0 < v_x < 502.0; 370.0 < v_y < 375.0; 420.0 < v_z < 423.0 TCG5.-a) 500.0 < v_x < 502.0; 370.0 < v_y < 375.0; 420.0 < v_z < 423.0 análogamente:

g

v

x

m

s

1 4

10

·

8562

.

2

)

(



 

s

m

v

g

(

_y

)



5

.

8678

·

10

4 1

s

m

v

g

(

_z

)



4

.

57182

·

10

4 1



N

N

z y xv v v













4 1 1 4 1 1 4 1 1

3

·

10

·

5718

.

4

5

·

10

·

8678

.

5

2

·

10

·

8562

.

2

m

s

ms

m

s

ms

m

s

ms

9

10

·

2986

.

2





análogamente: b) c)



N

N

z y xv v v ₉

10

·

2963

.

2





N

N

z y xv v v ₉

10

·

2953

.

2



400 v(m/s) G(v ) (s/ m) 800 1200

Calcular la densidad de probabilidad para la velocidad de una muestra de moléculas de O₂ a 300 K en el intervalo 0 < v < 1000 m s-1_.

Representar la función de distribución resultante

TCG6.-































kT

2

mv

exp

kT

2

m

v

4

)

v

(

G

2 2 / 3 2

 

v

dv

G

N

dN

_v



= fracción de moléculas con módulo de velocidad entre v y v + dv



M

3 1

10

·

32



Kg

mol



K

T



300

1 1

3145

.

8

 



JK

mol

R

3 3 9 2 / 3 2 / 3

10

·

9175

.

2

2

2

RT

m

s

M

kT

m

_

_{ }































2 2 6

10

·

4145

.

6

2

2

RT

m

s

M

kT

m

_

_{ }





























6 2



2 8

10

·

4145

.

6

exp

10

·

6663

.

3

)

(

v

v

v

G









Calcular, para el O₂ a 15 °C y 1 atm, el cociente de la probabilidad de que una molécula tenga su velocidad en un intervalo infinitesimal dv localizado a 500 m s-1 _{y la probabilidad de que esté en un intervalo infinitesimal dv} localizado a 1500 m s-1_.

¿A qué temperatura tendrá el O₂(g) la misma densidad de probabilidad de velocidad para v = 500 m s-1 _{y v = 1500 m s}-1_?

TCG7.- 

v

dv

G

N

dN

_v 1 1



 

v

dv

G

N

dN

_v 2 2



 

 

1₂ 2 1

v

G

v

G

N

dN

N

dN

v v































kT

mv

kT

m

v

v

G

2

exp

2

4

)

(

2 2 / 3 2





 

 

v

₂1



G

v

G



  kT mv kT mv

e

v

e

v

2 2 2 2 2 1 2 2 2 1



2



2 2 1 2 2 2 1 kT v v m

e

v

v

 















M

32

·

10

3

Kg

mol

1

K

T



300

1 1

3145

.

8

 



JK

mol

R

2 2 6

10

·

6783

.

6

2

2

RT

m

s

M

kT

m

_

_{ }



























Calcular, para el O₂ a 15 °C y 1 atm, el cociente de la probabilidad de que una molécula tenga su velocidad en un intervalo infinitesimal dv localizado a 500 m s-1 _{y la probabilidad de que esté en un intervalo infinitesimal dv} localizado a 1500 m s-1_.

¿A qué temperatura tendrá el O₂(g) la misma densidad de probabilidad de velocidad para v = 500 m s-1 _{y v = 1500 m s}-1_?

TCG7.- 



1500





500

G

G



2



2 2 1 2 2 2 1 kT v v m

e

v

v

 













 

 

v

₂1



G

v

G

_





_











 6 2 2 1500 500 10 · 6783 . 6 2

1500

500

e

70219

por una molécula con v entre 1500 m s-1 _{y 1500 + dv ms}-1 hay 70219 moléculas con v entre 500 m s-1 _{y 500 + dv ms}-1

v(m/s) G(v ) (s/ m) 500 1500

Calcular, para el O₂ a 15 °C y 1 atm, el cociente de la probabilidad de que una molécula tenga su velocidad en un intervalo infinitesimal dv localizado a 500 m s-1 _{y la probabilidad de que esté en un intervalo infinitesimal dv} localizado a 1500 m s-1_.

¿A qué temperatura tendrá el O₂(g) la misma densidad de probabilidad de velocidad para v = 500 m s-1 _{y v = 1500 m s}-1_? TCG7.-v(m/s) G(v ) (s/ m) 500 1500 T = 15ºC T = ? ºC

 

 

v

₂1



G

v

G



















  2 2 2 1 2 2 2 1 kT v v m

e

v

v



1





2 2 3 1500 500 · 31451 . 28 10 · 32 2

1500

500

  













_T

e

1

K

1751.6



T

Calcular el porcentaje de moléculas que, en una muestra de O₂ a 300 K, tienen velocidades entre (a) 200 y 400 m s-1_{, (b) 400 y 600 m s}-1_.

Calcular dicho porcentaje en el intervalo 200 < v < 600 m s-1 _{para una} muestra de moléculas de H₂ a 300 y a 500K.

TCG8.- 

v

dv

G

N

dN

_v











_

N

v

v

v

N

_{1 2}



2



1 v v v

N

dN

_{ }



2



1 v v

dv

v

G

dv

kT

mv

v

kT

m

v v





























2 1

2

exp

2

4

2 2 2 / 3

































kT

mv

kT

m

v

v

G

2

exp

2

4

)

(

2 2 / 3 2





Calcular el porcentaje de moléculas que, en una muestra de O₂ a 300 K, tienen velocidades entre (a) 200 y 400 m s-1_{, (b) 400 y 600 m s}-1_.

Calcular dicho porcentaje en el intervalo 200 < v < 600 m s-1 _{para una} muestra de moléculas de H₂ a 300 y a 500K.

TCG8.-







_

N

v

v

v

N

_{1 2}



2



1 v v v

N

dN

_{ }



2



1 v v

dv

v

G

dv

kT

mv

v

kT

m

v v





























2 1

2

exp

2

4

2 2 2 / 3





interesa que el límite inferior sea cero:









_

N

v

v

v

N

_{1 2}

dv

kT

2

mv

exp

v

kT

2

m

4

dv

kT

2

mv

exp

v

kT

2

m

4

1 2 v 0 2 2 2 / 3 v 0 2 2 2 / 3









_





_







_





_



_







_







_

















De acuerdo con las tablas de integrales:

 

2 2 3 2 ax x 0 at 2

e

a

2

x

x

a

Erf

a

4

dt

e

t













Calcular el porcentaje de moléculas que, en una muestra de O₂ a 300 K, tienen velocidades entre (a) 200 y 400 m s-1_{, (b) 400 y 600 m s}-1_.

Calcular dicho porcentaje en el intervalo 200 < v < 600 m s-1 _{para una} muestra de moléculas de H₂ a 300 y a 500K.

TCG8.-



N v v v N ₁   ₂                                                                                                          kT 2 mv 1 1 2 1 2 3 2 / 1 2 1 kT 2 mv 2 2 2 1 2 3 2 / 1 2 1 2 1 2 2 e kT 2 m 2 v v · kT 2 m erf kT 2 m 4 kT 2 m 4 e kT 2 m 2 v v · kT 2 m erf kT 2 m 4 kT 2 m 4                                                                      kT 2 mv 1 2 1 2 / 1 1 2 1 kT 2 mv 2 2 1 2 / 1 2 2 1 2 1 2 2 e v kT 2 m 2 v · kT 2 m erf e v kT 2 m 2 v · kT 2 m erf

Calcular el porcentaje de moléculas que, en una muestra de O₂ a 300 K, tienen velocidades entre (a) 200 y 400 m s-1_{, (b) 400 y 600 m s}-1_.

Calcular dicho porcentaje en el intervalo 200 < v < 600 m s-1 _{para una} muestra de moléculas de H₂ a 300 y a 500K.

TCG8.-







_

N

v

v

v

N

_{1 2}

_

_





2 2 ) 5065 . 0 ( 2 / 1 ) 0131 . 1 ( 2 / 1

e

·

5065

.

0

2

5065

.

0

erf

e

·

0131

.

1

2

0131

.

1

erf

 













0

.

5065



0

.

5262

fer





1

.

0131



0

.

8480

fer







3544

.

0

2 1







N

v

v

v

N

%

44

.

35



a) ¿Cuál es la proporción de moléculas gaseosas con velocidades menores que la raíz de la velocidad cuadrática media?

b) ¿Cuál es la proporción con velocidades menores que la velocidad media?

TCG9.-

2 1 2

v







_

N

v

v

N

₁ 2 1

3













M

RT

2 1

8













M

RT



 



1



0 v

dv

v

G

_

































dv

kT

2

mv

exp

v

kT

2

m

4

1 v 0 2 2 2 / 3

v

kT

m

x

2 1

2















 

2 1 x 1 1

x

e

2

x

fer









a)



v



1

v

2 1

3













M

RT





























2 1 2 1 1

3

2

M

RT

RT

M

x

₁

_.

₂₂₄₇

 

1

.

22



0

.

9155

fer

 

1

.

23



0

.

9181

fer

0

.

6084

2 1 2

















N

v

v

N

%

84

.

60





1

.

2247





0

.

9167

fer

donde (véase el _problema anterior)

a) ¿Cuál es la proporción de moléculas gaseosas con velocidades menores que la raíz de la velocidad cuadrática media?

b) ¿Cuál es la proporción con velocidades menores que la velocidad media?

TCG9.-





_

N

v

v

N

₁

_{ }



1



0 v

dv

v

G

_





























dv

kT

mv

v

kT

m

v1 0 2 2 2 / 3

2

exp

2

4





 









x

x

dx

x₁ 0 2 2

exp

4



v

kT

m

x

2 1

2















 







2 1 1 1

2

_x

e

x

x

fer



b)

v

₁



2 1

8













M

RT





_

























2 1 2 1 1

8

2

M

RT

RT

M

x



1

.

1284





5330

.

0





N

v

v

N

%

30

.

53





1

.

1284





0

.

8895

fer



2 1 2

v

2 1

3













M

RT

2 1

8













M

RT





v