Física 3 ECyT UNSAM Trabajo para mover una carga. Trabajo para mover una carga V = Introducción al electromagnetismo

(1)

1

Física 3 – ECyT – UNSAM

2015

Introducción al electromagnetismo

Docentes:

Diego Rubí

Salvador Gil

www.fisicarecreativa.com/unsam_f3

Clases 4 Potencial Eléctrico 2

Trabajo para mover una carga

∫

=

−

=

2 1 2 1 2 , 1

F

.

d

l

q

E

.

d

l

W

r

∫

−

=

≡

2 1 2 , 1 12

_q

E

.

d

l

W

V

r

Diferencia de Potencial

= Trabajo por unidad de carga

E

q

.

r

E

q

.

r

E

q

.

r

F F F 1 2 3

Trabajo para mover una carga

E

q

.

r

E

q

.

r

E

q

.

r

F F F

l

E

q

W

=

r

∆

r

∆

.

Potencial

= Trabajo por unidad de carga

l

E

q

W

V

=

∆

=

−

r

∆

r

∆

.

x

E

V

=

−

_x

∆

.

_x

V

E

_x

∂

−

=

y

V

E

_y

∂

−

=

z

V

E

_z

∂

−

=

max













∂

−

=

l

V

E

_E

r

₌

₋

_∇

r

_V

(2)

4

Trabajo para mover una carga

Si tomamos el

Potencial en

infinito

como cero

, el potencial

es el trabajo para traer

una carga desde

infinito

y V E_y ∂ ∂ − = z V E_z ∂ ∂ − =

V

E

r

=

−

∇

r

x V E_x ∂ ∂ − =

∫

−

=

≡

2 1 2 , 1 12

_q

E

.

d

l

W

V

r

Si conocemos el

potencial, podemos

calcular el campo y si

sabemos el campo,

podemos calcular el

potencial

5

Carga Puntual

Si tomamos el

Potencial en

infinito

como cero,

el potencial

es el trabajo para traer

una carga desde

infinito

V

E

r

=

−

∇

r

∫

−

=

≡

2 1 2 , 1 12

_q

E

.

d

l

W

V

r

2 0

4

1 r

Q

E

πε

=

= ∆V12

=

−

=

−

=

−

=

∆

∫

2 1 2 1 2 0 2 1 12

4

r r r r

r

dr

Q

dr

E

r

d

E

V

πε

r

      − = − = ∆ 2 1 0 1 2 12 1 1 4 1 r r V V V πε      ∞ − = − = 1 1 4 0 2 1 2 2 r Q V V V πε 6

Potencial

En general:

El trabajo para mover una carga de

1 a

2 no depende del camino.

La fuerza eléctrica (el potencial

electrico) es conservativo

0 .

1 , 1

=

−

=

∆

∫

C

E

d

l

W

r

(3)

7

Carga Puntual

Si tomamos el

Potencial en

infinito

como cero,

el potencial

es el trabajo para traer

una carga desde

infinito

V

E

r

=

−

∇

r

∫

−

=

≡

2 1 2 , 1 12

_q

E

.

d

l

W

V

r

2 0

1

4

1 r

E

πε

=

No se puede mostrar la imagen en este momento.

r Q r V 0 4 1 ) ( πε =

∫∫∫

= v _r dq r V 0 4 1 ) ( πε

Por el teorema de

superposición

r

dq

k

r

q

k

E

e i i i i e

r

∫

∑

=

⋅

=

→

3 )

(

3 SUMA VECTORIAL SUMA Escalar 8

Trabajo y Energía

_{Campo eléctrico no uniforme y}

trayectoria no rectilínea

Debemos dividir la trayectoria en pequeños desplazamientos infinitesimales, de forma que

∫

⋅

=

−

⋅

=

B A o B A ext ext AB

F

d

r

q

E

d

r

W

r

∫

⋅

−

=

−

B A o ext AB A B

_q

E

d

r

W

V

r

El potencial en este caso será B A E r F r r dr E qo r qo 9

Dipolo en campo Uniforme

-+ d

q

F=q.E

_τ

₌

_F

_.

_d

_.

_sen

_θ

₌

_q

_.

_d

_.

_E

_.

_sen

_θ

_p

_E

r

×

=

τ

θ

d

q

d

E

sen

d

sen

d

F

dW

=

.

⋅

=

.

⋅

E

p

U

(

θ

)

=

r

.

r

)

(cos

.

E

d

θ

p

dW

=

−

E

r

F

r

F

r

θ

U 0 180º

E

r

(4)

10

DÍPOLO ELÉCTRICO

Es un sistema de dos cargas iguales y de signo contrario que se encuentran a pequeña distancia

Momento dipolar

Energía de un dipolo eléctrico

Trabajo necesario para girarlo en contra de un campo eléctrico Dipolo en un campo eléctrico uniforme

E

p

r

×

=

τ

E

p

U

=

−

r

⋅

r

11

Polarización Eléctrica

Cuando se coloca una

carga positiva, los átomos se polarizan o alinean con el campo

Se rompe la simetría

original, y los átomos se polarizarán, quedando la nube electrónica con carga negativa orientada hacia la localización de la carga positiva introducida.

p

E

r

⋅

=

α

α= Polarizabilidad 12

Dipolos

Esta orientación se conoce como polarización en donde un polo

de los átomos está más positivamente cargado y el otro más negativamente cargado.

Cada átomo polarizado de esta forma se convierte en un dipolo. Los dipolos de los átomos tienden a contrarrestar el efecto del

campo eléctrico producido por la carga positiva introducida.

Por lo tanto, el campo eléctrico en cualquier punto del material

será distinto al campo eléctrico que mediríamos cuando colocamos la misma carga eléctrica positiva en el espacio libre, sin la presencia del material y sus átomos formando dipolos.

(5)

13

POTENCIAL DE UN SISTEMA DE CARGAS PUNTUALES

Para una distribución discreta de cargas

∑

=

∑

= n n n n n r q V V 0 4 1

πε

Para una distribución continua de cargas

⇔

Ley de Gauss

∫

=

∫

=

r

dq

dV

V

o

πε

4

1

neta S

E

⋅

d

S

=

Q

∫

r

0

ε

En un dado problema,

_{¿qué ley uso o qué}

calculo primero, el campo

E

o el potencial

V(r)?

V

E

r

=

−

∇

r

∫

∞ − = r l d E r V() r.r 14

Cascarón Esférico hueco











=

0 )

(

_r

2

Q

k

r

E

e R Q

r

≥

R

r

≤

R

E(r)

Hay simetría

Ley de Gauss

Primero el campo E

15 Potencial eléctrico en el interior y el exterior de un cascarón esférica de carga.

Cascarón Esférico hueco











=

R

Q

k

r

Q

k

r

V

e e

)

(

r

≥

R

∫

∞

−

=

r

E

r

dr

r

V

(

)

(

'

).

'











=

0 )

(

2

r

Q

k

r

E

e

r

≤

R

Después el potencial

(6)

16

Recordando la definición de

momento dipolar eléctrico p=2a⋅q

2 2

ˆ

.

4

1 cos

4

1 r

r

p

r

p

V

o o

r

πε

θ

πε

=

⋅

=

V = 0 para α= 90º

No se requiere trabajo para llevar una carga de prueba desde el infinito hasta el dipolo a lo largo de la línea perpendicular al punto medio entre las dos cargas.

Dipolo

- + 2a P=2a.q -q q - + r θ r₁ r1 r a r v r r + = 1 2 cosθ 2 2 2 1=a +r − a⋅r⋅ r ) cos ) / ( 1 ( 1≈r −ar⋅ θ r ) cos ) / ( 1 ( 2≈r +ar⋅ θ r

No hay simetría – Primero

V(r)

17

Campo creado por un dipolo

Dipolo = carga positiva y carga negativa de igual valor (q) situadas a una distancia muy pequeña ( d= 2a ). Aproximación r>> l - + -a _a r r-a r+a ) ( ) ( ₃ 3 r a a r q k a r a r q k E r r r r r r r r r + + − + − − = d q p r r = Momento dipolar - +     − ⋅ =       ⋅ ∇ − = ∇ − = p r r r r p r k r p k V E r r r r r r r ₍ ₎ 3 cos 3 2

θ

X Z Y

d

r

18 CONDUCTOR EN EQULIBRIO ELECTROSTÁTICO

Conductor:

Material que se caracteriza por tener cargas libres que pueden moverse en su interior.

Si sometemos un conductor a un campo eléctrico externo, su carga libre se redistribuye hasta anular el campo eléctrico en su interior. En estas condiciones se dice que el conductor está enEquilibrio Electrostático (E’ = Eo). + + + + + + + + + + + + + E_o r ' E r

Cualquier exceso de carga se colocará en la superficie del conductor, ya que el campo eléctrico externo no es lo suficientemente intenso como para vencer las fuerzas de ligadura.

(7)

19

Condiciones que se deben cumplir en todo conductor

I

Toda la carga libre de un conductor se coloca en su superficie.

Dado un conductor, supongamos una superficie gaussiana justo en el interior de la superficie del conductor. Como E =0 dentro del conductor, también será nulo en todos los puntos de la superficie gaussiana. Por lo tanto el flujo a través de la superficie del conductor es cero.

Por el Teorema de Gauss

o q ε = Φ int Como Φ=0 qint=0

Por lo tanto si existe carga debe estar en la superficie del conductor

Conductor

20

El campo eléctrico en la superficie del conductor es perpendicular a dicha superficie y vale

o ε

σ

Para hallar el campo eléctrico en la superficie del conductor consideremos un elemento infinitesimal plano, con

densidad superficial de cargaσ. Como

superficie gaussiana tomamos un

cilindro con una cara en el exterior y otra en el interior del conductor Si el conductor está en equilibrio electrostático, el E en la superficie debe ser perpendicular a dicha superficie. Así, sólo hay flujo a través de la cara superior. o int q s ε = = ⋅ = Φ

∫

Erdsr E s qint=σ o

E

ε

σ

=

E r 21

Distribución esférica,

r

≥

R

Distribución uniforme,

r

≤

R

2 0

4

1 r

Q

E

πε

=

3 0

4

1 R

r

Q

E

=

⋅

πε

Esfera cargada

R E(r)

(8)

22

Distribución esférica,

r

≥

R

Carga uniforme, campo

r

≤

R

2 0 4 1 r Q E πε = 3 0 4 1 R r Q E = ⋅ πε

Esfera cargada

r Q r V 0 4 1 ) ( πε = ) ( 2 1 4 1 ) ( ₃ 2 0 R V R r Q r V =− ⋅ + πε         − = 2 2 0 2 2 3 4 1 ) ( R r R Q r V

πε

R 23

Ejercicio:

Ley de Gauss:

Cascarón Esférico

Calcular Campo y Potencial en todo el espacio R₁ R₂ r 24 2 0

4

1 r

q

E

πε

=

Cascaron esférica

Usando la ley de Gauss y las propiedades de simetría:

Para

r

＜

R

₂

0 =

E

Entre a

r

＜

R

₂

Para

r >R

₁

r

E

0 3 2 0

3

4

1 ε

ρ

π

ρ

πε

=

) ( 4 3 23 3 1 R R q − = π ρ

(9)

25

Electrostática

Campo electrostático y potencial

26 SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES

Vamos a suponer una región del espacio en la que existe un campo eléctrico, representado por sus líneas de campo. El trabajo necesario para desplazar una carga de prueba,qo,

una distancia infinitesimal a la largo de una de estas líneas será En términos de incrementos

r

E

V

=

−

r

⋅

∆

r

∆

E a lar perpendicu r r r ∆ ∆V=0 _{V constante} E a paralelo r r r ∆ Variación máxima de potencial 27

Superficies equipotenciales

Es el lugar geométrico de todos los puntos que se

encuentran al mismo potencial. Cumplen la condición de

encontrarse en un plano perpendicular al campo eléctrico

El trabajo desarrollado para mover una partícula de un punto A a otro punto B a lo largo de una superficie equipotencial es nulo, ya que

o AB A B q W V V − = A lo largo de una superficie equipotencial

V

A

=

V

B

0 =

AB

W

(10)

28

Ejemplos de superficies equipotenciales

29

Conductor en un campo eléctrico

El campo interior siempre

es nulo.

Deforma las líneas de

campo exterior.

Se produce una

redistribución de carga en la superficie debido a la fuerza eléctrica.

Sobre la superficie del

conductor el campo es siempre perpendicular a al superficie

30

Potencial eléctrico

La fuerza eléctrica se puede expresar en función

del campo eléctrico.

Por ser conservativa

Potencial eléctrico

Campo eléctrico = gradiente del potencial

eléctrico

Unidades : el Voltio

) ( ) (r qEr Fr = r

F

U

(

r

)

r

∇

−

=

q

U

V

=

Energía potencial Carga

)

(

r

V

E

r

∇

−

=

[ ] [

V

J

C

]

V

=

/

Se puede elegir el origen de potencial

(11)

31

Superficies equipotenciales

El potencial es constante en todos sus puntos.

El vector gradiente

es ortogonal a S.

El gradiente va de

menores a mayores

valores de V.

1 U

cte

z

y

x

V

(

,

)

=

V0 V1 V2 VN 0 || ||=−∇ ⋅∆ = − = ∆ ⋅ r V r Vi Vi Er r r r i j i j V V V V r V r E > < − − = ∆ ⋅ ∇ − = ∆ ⋅ ⊥ ⊥ ( ) 0 r r r r

Vectores campo eléctrico

32

Superficies equipotenciales

Campo producido por un dipolo Campo producido por una carga puntual Campo uniforme Superficie

equipotencial _{Campo eléctrico}

33

Referencias

Física para estudiantes de ciencias e ingeniería - R. Halliday, D. Resnick y M. Krane, 4ª ed., vol. II (México, 1992).

Física II - SERWAY R. FISICA ELECTRICIDAD Y MAGNETISMOEd. CENGAGE LEARNING- Mexico 2003

Física Universitaria: Volumen IISears, F. et al., (Addison Wesley Longman, México D.F., 1999).

G. Wilson, Física,Prentice Hall, México, 1997.

Física: Principios y aplicaciones, D. Giancoli, Prentice Hall, México, 1997.

Física Clásica y ModernaGettys, Keller, Skove -Mc Graw-Hill México, 1996

http://www.anselm.edu/internet/physics/cbphysics/downloadsII.html

(12)

34

Problema 1

Calcular Campo y Potencial para:

Ley de Gauss (Calculamos E, por la simetría del

problema) +Q a b r a b r E V(r) a b Dentro del conductor E=0 + + + + + + + + + + -35

Problema 2

[

]

      − ≈ + = − 2 2 2 / 1 2 2 4 2 1 1 1 ) 2 / ( 1 x d x d x r -2Q +Q +Q d/2 d/2 r x E     − = + − = x r kQ r Q k x Q k x V( ) 2 2 2 1 1 2 2 2

)

2 /

(

d

x

r

=

+

2 2 2 2 8 1 4 2 1 1 1 1 1 x d x x d x x r − =−     − =≈ − 3 2 8 2 ) ( x Qd k x V =− ₄ 2 4 3 ) ( x Qd k x E =− 36