Módulo Teórico Estadística Básica Prof. Dr. Juan Ignacio Pastore. Unidad N

Unidad N°

Variables aleatorias. Definición de variable aleatoria. Variable aleatoria discreta: función de probabilidad y de distribución acumulada. Variable aleatoria continua. Función de densidad de probabilidad. Función de distribución acumulada. Valor esperado. Varianza. Momentos. Mediana. Modo. Variables aleatorias independientes.

Variable aleatoria.

Al describir el espacio muestral de un experimento no especificamos que un resultado individual necesariamente tiene que ser un valor numérico.

En numerosas situaciones experimentales deseamos asignar un número real x a cada

uno de los elementos s del espacio muestral S.

Ejemplo: Consideremos el experimento: de una urna que contiene todos los nombres de los empleados de una empresa se extrae un nombre al azar.

S={nombre de los empleados de la empresa} X: número de hijos del empleado.

: _X

X SR _, X s( )x

Y: antigüedad en el cargo del empleado.

: _Y

Y SR _, Y s( )y

X e y son variables aleatorias.

Definición: Sea  un experimento y S el espacio muestral asociado al experimento, Una

función X que asigna a cada uno de los elementos del espacio muestral S un número

real, se llama variable aleatoria.

Gráficamente:

S: espacio muestral asociado a un experimento. R_X : valores posibles de X (recorrido de

la v.a).

Observación: Si X s( )s, es decir la función identidad, entonces R_X S. En este caso el resultado del experimento es ya la característica numérica que queremos estudiar.

Ejemplo: Consideremos el experimento.

5



: Se arroja una moneda tres veces y se observa la sucesión de resultados (cara (c),

cruz (X)) .





5

,ccx,cxc, xcc, xxc, xcx,cxx, xxx

S



ccc

Consideremos la variable aleatoria X: número de caras que se obtienen en los tres lanzamientos.



0,1, 2, 3



X

R  ,

La v.a. X S: ₅R_X queda definida de la siguiente manera:

 

3

X ccc



 

 

 

2

X ccx



X xcc



X cxc



 

 

 

1

X xxc



X xcx



X cxx



 

0

X xxx



Ejemplo: Se lanzan dos dados normales y se anotan los resultados



x x

₁

,

₂



donde

x

_i es

el resultado observado en el i-ésimo dado i1, 2.





   



1

,

2

1,6

1,6



S



x x





Sobre este experimento podemos estar interesados en ciertas características numéricas. Por ejemplo:

a) X: suma de los valores observados.



2, 3, ,12



X

R  

La v.a. X S: RXqueda definida de la siguiente manera:

 

1 2

X s  x x

b) Y: valor máximo de los valores observados



1, 2, 3, , 6



Y

R  

La v.a. Y S: R_Y queda definida de la siguiente manera:

 

max



1, 2



Y s  x x

c) Z: promedio de los valores observados

 

1, 6

Z

R 

La v.a. Z :SR_z queda definida de la siguiente manera:

 

1 2 2

x x Z s  

¿Cómo podemos calcular la probabilidad de eventos asociados a R_X? Para esto

daremos la definición de eventos equivalentes.

Definición: Sea



un experimento y S el espacio muestral asociado al experimento. Sea

X _{una variable aleatoria definida en S y sea}

X

R su recorrido.

AS y BR_X son eventos equivalentes si A 



s S X s:

 

B



A y B son eventos equivalentes siempre que ocurren juntos, esto es, siempre que A

ocurre B ocurre y viceversa. Si A ocurrió, entonces se obtuvo un resultado s para el cual

 

X s B y, por lo tanto, ocurrió B. Recíprocamente, si B ocurrió, se observó un valor

 

X s para el cual sA y por lo tanto A ocurrió.

Definición: Sea B un evento en el recorrido R_X, entonces definimos P B

 

como sigue.

 

 

P B P A , donde y AS es un evento equivalente a B, A 



s S X s:

 

B



Ejemplo: Consideremos el experimento.

5



: Se arroja una moneda tres veces y se observa la sucesión de resultados (cara (c),

cruz (X)) . Supongamos que la moneda no está cargada. Por lo tanto

 

 

1

2

P C P X 





5

,ccx,cxc, xcc, xxc, xcx,cxx, xxx

S



ccc

Consideremos la variable aleatoria X: número de caras que se obtienen en los tres lanzamientos.



0,1, 2, 3



X

Puesto que

X ccx

 



X xcc

 



X cxc

 



2



ccx,cxc, xcc



A



es equivalente al evento B . Por lo tanto:





 

 

 

 

1

3

1

3

1

3

3

2

2

2

2

8

P X





P A



P ccx



P xcc



P cxc



 

_{ }



 

_{ }



 

_{ }



 

 

 

Ejercicio: Calcular P X



0



, P X



1



, P X



3



Ejemplo: Se lanzan dos dados normales y se anotan los resultados



x x

₁

,

₂



donde

x

_i es

el resultado observado en el i-ésimo dado i1, 2.





   



1

,

2

1,6

1,6



S



x x





a) X: suma de los valores observados.



2, 3, ,12



X

R  

La v.a. X S: RX queda definida de la siguiente manera:

X s

 

 x1 x2

Determinar P X



k



para kR_X

Veamos el caso particular de k8









 









         





5

8 : 8 2, 6 , 6, 2 , 4, 4 , 5, 3 , 3, 5

36

P X  P sS X s  P  . Dado que

los 36 elemento del espacio muestral son igualmente posibles o probables.

De la misma manera podemos realizar el cálculo para todo k 2,,12

k 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12





P X k

b) Y: máximo de los valores observados.



1, 2, , 6



Y

R  

La v.a. Y S: R_Y queda definida de la siguiente manera:

Y s

 

max



x x1, 2



Determinar P X



k



para kR_X

Veamos el caso particular de k2









 









     





3

2 : 2 1, 2 , 2,1 , 2, 2

36

P X  P sS X s  P  . Dado que los 36 elemento del espacio muestral son igualmente posibles o probables.

De la misma manera podemos realizar el cálculo para todo k 1,, 6

k 1 2 3 4 5 6





P X k

Variables aleatorias discretas

Definición: Sea X una variable aleatoria, si su rango o recorrido R_X es finito o infinito

numerable diremos que X es una variable aleatoria discreta. Es decir podemos escribir



1, 2, 3,



X

R  x x x  .

Definición: Sea X una variable aleatoria discreta con recorrido R_X.  x_i R_X

asociamos un número P X



x_i



llamado probabilidad de x_i tal que:

 

_i



_i





:

 

_i



P x P X x  s S X s x a) P x

 

_i 0  x_i R_X b)

 

1 1 i i P x   



La función así definida se llama función de probabilidad de la v. a. X. El conjunto de

pares ordenados



x P xi,

 

i



se llama distribución de probabilidades de la v. a. X.

Ejemplo: Un lote de 8 calculadoras contiene 3 defectuosas. Consideremos el siguiente experimento: Se selecciona una calculadora al azar y se la prueba, repitiéndose la operación hasta obtener una calculadora no defectuosa. Hallar la distribución de probabilidades de la v.a. X: número de extracciones que se realizan hasta obtener una claculadora no defectuosa.



, , ,



_X



1, 2, 3, 4



S D DD DDD DDDD R  i x P X



x_i



1 ₅ 8 2 _{3 5 35} 8 7 56 3 _{3 2 5 5} 8 7 6 56 4 _{3 2 1 1 1} 8 7 6  56



_i



1 i P X x 



2) Sea X una v. a. discreta cuyo recorrido es R_X 



1, 2, 3.



y además





1

2

j j

P X x  a) Probar que es una legítima función de probabilidades.

 

i 0

P x  se cumple por definición





? 1 j i P X x 







1 1 serie geométrica de razón

2 1 1 1 1 1 1 ₂ 1 1 2 2 4 8 16 1 1 2 j j i i a P X x q            





  b) Calculas P X



es par







1 2 1 1 1 _{4 1} es par 3 1 2 4 1 1 4 j j i i i a P X q       







Experimento Bernoulli: es dicotómico, sólo son posibles dos resultados: éxito o fracaso.

Su espacio muestral asociado puede definirse como: S



éxito fracaso,



. Podemos

definir una v.a. X S: 

 

0,1 tal que X éxito





1 y X fracaso





0.

Si la probabilidad de éxito es p (0 p 1) y la probabilidad de fracaso es



1p



podemos construir la siguiente “distribución de probabilidades”:

i x p x

 

_i 0



₁_p



1 p



1p



 p 1

La anterior distribución de probabilidades se denomina distribución de Bernoulli.

Ejemplos:

a) El lanzamiento de una moneda con probabilidad p de cara y probabilidad



1p



de cruz.

b) Que un artículo extraído al azar de una línea de producción sea defectuoso o no defectuoso.

c) Obtener un número par o impar al arrojar un dado.

Función de distribución acumulada (FDA)

  



0 0 1 0 1 1 1 si x F x p si x si x    _     _ 

Distribución Binomial

Una variable aleatoria Binomial puede considerarse como una suma de n variables

aleatorias Bernoulli independientes, esto es, “una v. a. Binomial aparece cuando estamos

interesados en el número de veces que un suceso A acurre (éxito) en n pruebas

independientes de un experimento de tipo Bernoulli”



.

Consideremos un experimento



y sea A un evento o suceso asociado a



.

Consideremos también que la probabilidad de que A ocurra en un intento es p

(probabilidad de éxito), entonces la probabilidad de que A no ocurra es



1p



.

Definimos la v. a. X_i cómo: 1 0 i si A ocurre X si A no ocurre    

X_i tiene una distribución Bernoulli con “distribución de probabilidades” dada por:

i

x p x

 

_i

0



₁_p



1 p

Consideremos n repeticiones independientes del experimento . Por lo tanto el espacio

muestral queda definido por



 



1: A, o

n

i _i i i

S a _ a  a A (el cardinal de este conjunto es

2n ).

Definimos la v. a. X: “números de veces que ocurre el evento A en las n repeticiones

independientes”



0,1, 2, ,



X R   n , 1 n i i X X  



Consideremos un elemento particular del espacio muestral del experimento  que

Tal resultado aparecería, por ejemplo, si las primeras k repeticiones del experimento 

resultan en la ocurrencia de A, mientras que las últimas nk repeticiones resultan A .

k n k

AA A AA A



 

 

Puesto que todas las repeticiones son independientes la probabilidad de esta secuencia particular es:



1



n k

k

p p 

¿De cuantas maneras puedo elegir k posiciones para A en n? ¿Cuántos resultados

están asociados con P X



k



?

Número combinatorio, nos permite determinar el número de formas de escoger k

elementos a partir de un conjunto de n elementos.

! !(n )! n n k k k      _  





n k



1



n k 0,1, , P X k p p k n k     _{ }      Formalmente:

Definición: X es una variable aleatoria con distribución Binomial, X B n p



,



si su distribución de probabilidades está dada por:





n k



1



n k 0,1, , P X k p p k n k     _{ }     

donde 0 p 1 (p constante) y n es un número entero positivo.

Características:

 Mide el número de éxitos en una secuencia de n ensayos independientes de

Bernoulli con una probabilidad fija p de ocurrencia del éxito entre los ensayos.

Para usar el modelo se requiere que haya:

a) N repeticiones independientes.

b) el resultado de cada prueba es dicotómica.

Veamos que P así definida es una legítima distribución de probabilidades. a) P X



k



0 k1, 2,n por definición. b)





0 1 n k P X k   



, se prueba fácilmente a partir del teorema del binomio de Newton





1 n n k n k i n x y x y k       _{ }  



.





_













0 0 1 1 1 1 n n n n k k n k k _x y n P X k p p p p k        _{ }        





_

Ejemplo: Se sabe por experiencias anteriores que la probabilidad de que una máquina produzca un artículo defectuoso es 0.01. En una hora una máquina produce 20 artículos. a) ¿Cuál es la probabilidad de que una máquina produzca algún artículo defectuoso en una hora de producción?

Solución/

Sea X: número de artículos defectuosos producidos por una máquina durante una hora de

producción. X B



20, 0.01



Al menos un artículo defectuoso, debemos calcular





20 0





20 0 ( 1) 1 ( 0) 1 ( 0) 1 0.01 1 0.01 0.182 0 P X  P X   P X  __ _   _    

b) Si la fábrica posee 12 máquinas, ¿cuál es la probabilidad de que a lo sumo 2 de ellas produzcan algún artículo defectuoso durante una hora de producción?

Solución/

Sea Y: número de máquinas que producen al menos un artículos defectuosos durante una

hora de producción. Y B



12, 0.182



A lo sumo dos produzcan al menos un artículo defectuoso, debemos calcular





12 0





12 1





12 2 0 1 2 ( 2) ( 0) ( 1) ( 2) 12 12 12 0.182 1 0.182 0.182 1 0.182 0.182 1 0.182 0.6226 0 1 2 P Y P X P X P X                   _{ }  _{ }  _{ }  _        

Análisis de la gráfica de la distribución binomial a partir del n y p

Simétrica: Si p0.5 la distribución binomial será simétrica independientemente del tamaño de la muestra.

Sesgada a derecha: Si p0 la distribución binomial tendrá sesgo hacia la derecha.

Distribución Hipergeométrica:

Cuando estudiamos la distribución Binomial la probabilidad p de éxito permanecía

constante para cada una de las pruebas independientes. Consideremos el siguiente caso:

De una caja que contiene N bolas de las cuales a son rojas (a N) se escoge al azar

una bola sin reemplazo o sustitución y definimos la variable aleatoria:

X: número de bolas rojas extraídas en las n repeticiones, R_X 



1, 2,,a



¿Cuál será la probabilidad de obtener k bolas rojas? 0 k a





n de casos favorables P X k n de casos posibles    

Número de casos posibles N

n    

  diferentes formas de tomar n bolas de las N.

Para calcular el número de casos favorables observemos que N a



Na



. De las a

bolas rojas queremos k y de las N a bolas no rojas queremos nk

a k    

  diferentes formas de tomar k bolas rojas de a.

N a n k



 

 _ 

  diferentes formas de tomar nk bolas no rojas de las N a.

Por lo tanto los casos favorables son a N a

k n k       _     Por lo tanto:





, 0,1, , a N a k n k P X k k a N n       _              

Formalmente:

Definición: Se dice que X es una variable aleatoria con distribución hipergeométrica,

con parámetros N n a, , si su distribución de probabilidades está dada por:





0,1, , a N a k n k P X k k a N n       _               Donde: n: Tamaño de la muestra. N: Tamaño de la población

a: número de éxitos en la población. N-a: número de fracasos en la población. k: número de éxitos en la muestra.

Observaciones:

Una variable Hipergeométrica es generada según las siguientes condiciones

1) N pruebas no independientes.

2) El resultado de cada prueba es dicotómico.

3) P A

 

no se mantiene constante, es decir, varía con cada prueba.

Ejemplo: La producción diaria de 850 partes contiene 50 que no cumplen con los requerimientos del cliente. Se toman 4 partes al azar, sin sustitución, de la producción del día, cuál es la probabilidad de que ninguna de las partes cumpla con los requerimientos del cliente?

X: “número de partes que no cumplen con los requerimientos del cliente.”

800 50 0 4 ( 4) 0.00001066 0 850 4 P X                   

Variable aleatoria de Poisson.

Muchos hechos no ocurren como resultado de n pruebas de un experimento, sino en

puntos de tiempo, espacio o volumen, es decir, estamos interesados en el número de ocurrencias (defectos) por unidad de medida.

Sea X una variable aleatoria que toma los valores posibles k0,1, 2, . Si su función de

probabilidades está dada por:





0,1, ! k e P X k k k 

_

    

decimos que X tiene una distribución de Poisson con parámetro 0, y se nota Po

 



.

Interpretación: La distribución de Poisson expresa, a partir de una frecuencia de

ocurrencia media , la probabilidad de que ocurra un determinado número de eventos

durante cierta unidad de medida.

Veamos que P así definida es una legítima distribución de probabilidades.

a) P X



k



0 k1, 2 por definición. b)





? 0 1 k P X k    



,





 0 0 0 . 1 ! ! k k k k k e por Taylor e es cte e P X k e e e k k      





              







 Observaciones:

Una variable de Poisson es generada según las siguientes condiciones:

1) El número de ocurrencias es independiente de una unidad a otra, es decir los sucesos ocurren independientemente.

2) La frecuencia de ocurrencia media , es proporcional al tamaño de la unidad.

3) La probabilidad de más de una ocurrencia en una unidad cada vez más pequeña tiende a cero, es decir es despreciable.

Ejemplo: El sistema de estacionamiento medido impulsado por la municipalidad de Gral. Pueyrredon está 100% informatizado. Esto permitió modelar el número de infracciones mediante un modelo de Poisson con una tasa de cinco infracciones por hora. a) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente cuatro infracciones se expidan durante una hora en particular?

Solución:

X: número de infracciones en 1 hora. X P

 



,



5





5.54 4 0.175467 4! e P X    

b) ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos cuatro infracciones se expidan durante una hora en particular?

Solución:

X : número de infracciones en 1 hora. X P

 



,



5

























0 0 1 1 2 2 3 3 4 1 0 1 2 3 .5 .5 .5 .5 4 1 0.734974 0! 1! 2! 3! P X P X P X P X P X e e e e P X                     

c) ¿Cuántas infracciones se espera expedir durante un período de 45 minutos?

Solución:

Y: número de infracciones en 45 minutos. Y P

 



, debemos ajustar el



al

nuevo intervalo.



3.75 E Y

 

3.75

La distribución de Poisson como aproximación a la Binomial.

Cuando en una distribución binomial el número de intentos (n) es grande y la probabilidad

de éxito (p) es pequeña, la distribución binomial converge a la distribución de Poisson

con parámetro np.

¿Qué sucede con las probabilidades Binomiales P X



k



n pk



1 p



n k

k

  

 _{ } 

  cuando

Consideremos la expresión general para una v. a. con distribución Binomial con parámetros n y p, es decir, X B n p



,



.









_

_









 

 



! 1 1 ! ! 1 1 1 ! n k n k k k n n P X k p p p p k k n k n n n n k n k      _{ }              





! ! k n k  

_

_





 



 

_

_

1 1 1 1 1 ! n k k n k k p p n n n n k p p k           Lamemos np , entonces p n   y



1 p



1 n     _  _

  . Sustituyendo todos los términos que

contienen a p por su expresión equivalente en función de , obtenemos:









 







 



1 1 1 1 ! 1 1 1 1 ! 1 2 1 1 1 1 1 1 1 ! n k k k n k k k k n k k n n n n k P X k k n n n n n n k k n nn n n k k n n n n n















       _{ }   _  _        _{   }    _{ }  _{ }         _{        }        _{       }                   Si hacemos tender n 









 







 



1 1 1 1 1 1 ! 1 1 1 1 ! 1 2 1 1 1 1 1 1 1 ! n k k k n k k k k n k k k e n n n n k P X k k n n n n n n k k n nn n n k e k n n n n n k  

















    _     _{ }   _  _        _{   }    _{ }  _{ }           _{        }    _  _  _{ }  _  _{ }  _                        !

Es decir en el límite obtenemos la distribución de Poisson con parámetro np . En la

práctica podemos aproximar la distribución Binomial por la distribución de Poisson si se verifica que n50 y np5.

Variables aleatorias continuas

Definición: Se dice que una v.a. X es una variable aleatoria continua, si existe una

función f :, llamada función de densidad de probabilidades (fdp) de X que

satisface las siguientes condiciones.

a) f x

 

0  x  b) f x dx

 

1   



c) a b, tal que     a b





 

b a P aX b 



f x dx Interpretación gráfica: Algunas consideraciones a)





 

0 0 0 0 x x P X x 



f x dx

La probabilidad cero no significa que el suceso sea imposible, es decir si A es el conjunto vacío entonces P(A)=0, pero el recíproco no es cierto.

Por lo tanto P a



 X b



P a



X b



P a



X b



P a



X b



b) Si f*

 

x 0 x y f*

 

x dx k     



 entonces no es una legitima fdp. Pero

podemos convertirla de la siguiente manera:

 

f*

 

x

f x x

k

 

c) Si X toma valores en el intervalo

 

a b, podemos definir f x

 

0  x

 

a b, .

d) f x

 

no representa ninguna probabilidad. Sólo cuando se la integra entre los

Ejemplo: Sea f x

 

definida por

 



1



si

 

_{ }

0,1 0 si 0,1 kx x x f x x       _ 

Halla un valor de k de manera tal que f x

 

sea una legítima f.d.p

 

0 1 f x dx 1 0dx    

_

 

_

1





0 1 1 0 kx x dx dx  

_

 

_

1 2 0 1 k x x dx 

_

  1 1 2 2 3 0 0 1 1 1 1 1 1 6 2 3 2 3 6 k x x dx k x x  k  k  k     _  _ _  _  _{ }   



  

Ejemplo: con la f.d.p anterior hallar: a) 1₂ 1 2 2 2 3 1 1 ₄ 4 1 1 1 1 11 6 6 4 2 2 3 32 P x x x dx x x      _{ } _{      }   _{ }   _



_ _ _ b) 





 

1 1 13 208 1 1 1 3 2 ₅₄ 11 1 1 3 4 2 297 32 4 2 A B P x P A B P x x P B P x     _{ }   _  _{  } _{ }  _{ }   _{ }   _{   }   _{ }

Función de distribución acumulada (FDA)

Sea X _{una variable aleatoria discreta o continua. La función de distribución acumulada} F

se define como:

 





F x P Xx x

1) Si X es una v.a.d entonces

 

 

j

j x x

F x P x







. La suma se toma sobre todos los índices

j que satisfacen xjx .

2) Si X es una v.a.c entonces

 

 

x

F x f s ds





_

siendo f s

 

la f.d.p. asociada a la v. a.

Propiedades de la FDA

1- F es no decreciente, es decir si x₁x₂  F x

 

₁ F x

 

₂

2- lim

 

1

xF x  y xlimF x

 

0

3- Si f es la fdp de X entonces _{f x}

 

_F'

 

_{x x donde F es diferenciable.}

4- P a



X b



F b

 

F a

 

Regla de Barrow.

Ejemplo: Sea X una v.a discreta con la siguiente distribución de probabilidades

i x 1 2 3 4

 

i p x 14 13 16 14

 

0 1 1 _{1 2} 4 1 1 _{2 3} 4 3 1 1 1 _{3 4} 4 3 6 1 4 si x si x si x F x si x si x        _{  }            Ejemplo: Sea

 

6



1



si

 

_{ }

0,1 0 si 0,1 x x x f x x       _  Hallar la FDA. 1- Si 0

 

 

0 0 x x x F x f s ds ds     

_



_

 2- Si 0 1

 

 

0 x x x F x f s ds ds      

_



_





0 2 3 2 3 0 0 1 1 6 1 6 3 2 2 3 x x s s dx  s s  x x           



3- Si 1

 

 

0 x x x F x f s ds ds     

_



_





0 1 0 1 1 6 1s s dx 0ds   

_

 

_

 0 2 3 0 1 1 6 1 2 3 x s s          

 

2 3 0 si 0 3 2 si 0 1 1 si 1 x F x x x x x         _ 

Características numéricas de las variables aleatorias:

Con cada distribución de probabilidades podemos asociar ciertos parámetros que dan información valiosa acerca de la distribución.

Momentos: El momento k-ésimo para una variable aleatoria discreta respecto al origen se define como:

 

 

1 k k i i i E X x p x   



Definición: Sea X una variable aleatoria discreta con función de probabilidades

 



x P x_i, _i



para i1, 2,. Se llama valor esperado de X o esperanza matemática de X a:

 

 

1 i i i E X x p x   



 

E X existe si la serie

 

1 i i i x p x  



converge en valor absoluto, es decir,

 

1 i i i x p x    



. A este número también se lo llama valor promedio de X.

Observaciones:

1) Si X toma un número finito de valores i1, 2,, n

 

 

1 n i i i E X x p x  



Podemos interpretar la esperanza matemática como un promedio ponderado de los valores posibles de la v.a.

2) Si todos los valores posibles de la variable son igualmente probables, es decir,

 

1

i

p x n

 , la esperanza matemática queda definida como:

 

1 1 n i i E X x n  



(Promedio de los x_i)

Ejemplo: Un lote de 8 calculadoras contiene 3 defectuosas. Se selecciona una al azar y se la prueba, repitiendo la operación hasta que aparezca una calculadora no defectuosa. La distribución de probabilidades de la variable aleatoria X: número de extracciones que se hacen está dada por



, , ,



X



1, 2, 3, 4



S D DD DDD DDDD R 

La distribución de probabilidades queda definida por:

i x 1 2 3 4

 

i p x 5 8 1556 556 156

 

4

 

1 5 15 5 1 1 2 3 4 1, 5 8 56 56 56 i i i E x x p x  



        

Interpretación: se espera que la calculadora no defectuosa aparezca entre la primera y segunda extracción.

Observación: si el valor esperado de una v.a. discreta no es exacto, la interpretación debe hacerse entre los extremos comprendidos, ya que la variable es discreta.

Ejemplo: Consideremos el experimento de lanzar dos dados y sea X la variable “aleatoria suma de los valores observados”.





 



1, 2 : 1, 2 1, 6



X



2, 3, ,12



S x x x x  R  

La distribución de probabilidades queda definida por:

i x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

 

i p x 1 36 236 336 436 536 636 536 436 336 236 136

 

12

 

2 1 2 3 4 1 2 3 4 5 12 7 36 36 36 36 36 i i i E x x p x  



           

Interpretación: se espera que la suma de los puntos obtenidos al arrojar dos dados sea 7 o que la esperanza de la suma sea 7.

Definición: Sea X una v. a. continua con f.d.p, f , definida para todo x. Se

llama valor esperado de la v. a. continua X o esperanza matemática de X a:

 

.

 

E x x f x dx   

_

 

E X existe si existe x f x.

 

dx    



.

Ejemplo: Hallar la esperanza matemática de la v. a. continua con f.d.p dada por:

 

2 si

 

_{ }

0,1 0 si 0,1 x x f x x      _ 

 

.

 

0 .0 E x x f x dx x dx    







1 1 0 0 .2 .0 x x dx x dx 







1 2 0 2 2 3 x dx 





Ejemplo: Hallar la esperanza matemática de la v. a. continua con f.d.p dada por:

 

6



1



si

 

_{ }

0,1 0 si 0,1 x x x f x x       _ 

 

.

 

0 .0 E x x f x dx x dx    











1 1 0 0 .6 1 .0 x x x dx x dx 



 



1 2 3 0 1 6 2 x x dx 



 

La esperanza matemática coincide, en este ejemplo, con el punto medio del intervalo. Esto se da porque la función entre 0 y 1 es simétrica.

Ejemplo: la duración en horas de cierto dispositivo electrónico es una v. a. con función densidad de probabilidades dada por:

 

si 0 0 si 0 x e x f x x       

Suponiendo que el costo de fabricación de tal dispositivo es de $20 y que el fabricante vende el artículo en $50, pero garantiza un reembolso total del dinero si la duración en horas es menor a 0.2 y devuelve la mitad si la duración en horas es mayor o igual a 0.2 y menor o igual a 0.4. ¿cuál es la utilidad neta esperada por artículo?

X: duración en horas del dispositivo. U: utilidad



20, 5, 30



U

R  

El suceso x0.2 es equivalente a U=-20

El suceso 0.2 x 0.4 es equivalente a U=5

El suceso x0.4 es equivalente a U=30

i u -20 5 30

 

i p u 0.18 0.15 0.67









0.2

 

0.2 0.2 _0.2 0 0 20 0.2 x x 1 0.18 P U P x f x dx e dx e e      

_



_

     









0.4

 

0.4 0.4 _{0.4 0.2} 0.2 0.2 0.2 5 0.2 0.4 x x 0.15 P U  P  x 



f x dx



e dx  e  e e 









 

1 1 _{1 0.4} 0.4 0.4 0.4 1 30 0.4 x 0 x 0.67 P U P x f x dx e dx dx e e e          











      Luego,

 

20 0.18 5 0.15 30 0.67 17, 25 E U        

Interpretación: Si se produce un gran número de dispositivos electrónicos, el fabricante espera ganar 17,25 por dispositivo, ya que perderá $20 el 18% de las veces, ganará $5 alrededor del 15% de las veces y ganará $30 el 67% de las veces.

Propiedades del valor esperado:

1) Si X cte entonces E X

 

c

2) E cX

 

cE X

 

para toda constante c.

3) E X



Y



E X

 

E Y

 

, (X e Y v.a.)

4) E X



Y



E X

 

E Y

 

5) E XY

 

E X E Y

   

si X e Y son v.a. independientes.

6) Considerando las propiedades 1,2 y 3 tenemos que E aX



b



aE X

 

b

Demostración:

1) Si X cte entonces E X

 

c

Por definición de E X

 

tenemos que:

 

 

 

 

1por fdp E X x f x dx c f x dx c f x dx c        

_



_



_

 

2) E cX

 

cE X

 

para toda constante c.

Por definición de E X

 

tenemos que:

 

 

 

 

 

 

E x E cX cx f x dx c x f x dx c x f x dx cE X        











  3) E X



Y



E X

 

E Y

 

, (X e Y v.a.) 4) E X



Y



E X

 

E Y

 







( )



 

 

 

 

E X Y E X Y E X E Y E X E Y

Medidas de Variabilidad:

Definición: Llamaremos desviación respecto de la media a la v. a.

 

DX E X Propiedad de la desviación:

 



 



0 E D E X E X  Demostración:

 



 



 

_

 

 

 

0 cte E D E X E X E X E E X E X E X               

Definición: La varianza de una v. a. X se define como:

 

₂

_

 

_

2

V X 



E_ X E X _

 

En palabras, la varianza de una v. a. X es la esperanza matemática del cuadrado de la desviación de X respecto de su esperanza.

a) Si X es una v.a.d

 



 



2

 

1 i i i V X x E X p x   



 b) Si X es una v.a.c

 



 



2

 

V X x E X f x dx   





Definición: La dispersión o desviación estandar de una v.a. X se define como

 

X V X

 



 .

Ambos valores miden la “dispersión de los datos”. Observar que la dispersión lo hace con las mismas unidades de los datos.

Otra forma de expresar la varianza es la siguiente:

 

 

₂

 

2 V X E X  E X _ Dem/

 



 



 



 



 

 

_

 



 



 

 

 

 

 

2 ₂ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cte _cte V X E X E X E X XE X E X E X E X E E X E E X E X E X E X E X E X      _  _ _   _                        _{ } _{ }  _{ }        Propiedades de la Varianza: 1) Si X cte entonces V X

 

0

2) V X



c



V X

 

para toda constante c.

3) V cX

 

c V X2

 

para toda constante c.

4) V X



Y



V X

 

V Y

 

, (X e Y v.a. independientes) 5) V X



Y



V X

 

V Y

 

Demostración/ 1) Si X cte entonces V X

 

0

 

 

₂

 

2

 

₂

 

2 _{2 2} 0 V X E X _E X _ E c _E c _ c c 

2) V X



c



V X

 

para toda constante c.





















 

 

 

 

 

 

 

 

2 2 2 _{2 2} 2 2 2 2 2 2 2 2 2 V X c E X c E X c E X cX c E X c E X cE X c E X cE X c E X E X V X        _  _    _  _  _{ }  _{ }   _{ }   _ _{ } 

Ejemplo: consideremos el ejemplo de las calculadoras: Un lote de 8 calculadoras contiene 3 defectuosas. Se selecciona una al azar y se la prueba, repitiendo la operación hasta que aparezca una calculadora no defectuosa. La distribución de probabilidades de la variable aleatoria X: número de extracciones que se hacen está obtener una calculadora no defectuosa está dada por:



, , ,



X



1, 2, 3, 4



S D DD DDD DDDD R 

La distribución de probabilidades queda definida por:

  



2 5





2 15





2 5





2 1 1 1, 5 2 1, 5 3 1, 5 4 1, 5 0, 5357 8 56 56 56 V x             

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 2 2 2 2 2 2 2 5 15 5 1 1 2 3 4 1, 5 0, 5357 8 56 56 56 E X V x E X _E X _ _        _     Luego 

 

X  0, 53570, 7319 .

Ejemplo: Calcular la varianza y la dispersión de la v.a. X cuya f.d.p está dada por:

 

2 si

 

_{ }

0,1 0 si 0,1 x x f x x      _ 

 

 

₂

 

2 1 2 2 1 2 3 18 V X E X _E X _   _{ }   

 

2 2

 

0 2 . .0 E x x f x dx x dx    

_



_

1 2 2 0 1 .2 .0 x x dx x dx  

_



_

1 1 3 4 0 0 1 1 2 2 2 x dx x 

_

 

Ejercicio: calcular la varianza utilizando la otra definición

 

2 2 .2 3 V x x x dx      _  _   



i x 1 2 3 4

 

i p x 5 8 1556 556 156

Características numéricas de algunas distribuciones teóricas Distribución de Bernoulli. i x p x

 

_i 0



₁_p



1 p



1p



 p 1 Esperanza matemática:

 

2

 





1 0 1 1 i i i E X x p x p p p  



      Varianza:

 

 

₂

 

2 V X E X  E X _

 

2 2

 

2





2 1 0 1 1 i i i E X x p x p p p  



     

 

 

₂

 

2 ₂





1 V X E X _E X _  p p  p p

Esperanza y varianza de matemática de la distribución binomial

 

























0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 ! 1 ! ! n n n n k n n k k k k k k n n k k k n n n E X kP X k k p p p p k p p k k n k p p k k n k                   _{ }   _{ }   _{ }           













1 !



n n k 



 



 1





1 1 1 ! ! n n k k k pp p k n k      



Llamemos y k 1 y0,1,,n1  k y 1 tenemos:

 

E X  k n n



1 !



k 



 



 

















  1 1 1 1 0 1 1 ! 1 1 1 ! ! ! 1 ! n n n k n y k y k y n pp p np p p np k n k y n y                      _   _







Otra forma: consideremos a X como una suma de n variables aleatorias

Bernoulli independientes cada una con E X

 

_i  p y varianza V X

 

_i  p



1p



1 2 3 1 n i n i X X X X X X  



    

 



1 2 3



 

1

 

1 n i n n i E X E X E X X X X E X E X np     _{ }         



  

 



1 2 3



 

1

 





1 n i n n i V X V X V X X X X V X V X np n p     _{ }          



  

Esperanza y varianza de matemática de la distribución hipergeométrica

 

 p a E X n N 

 

1 1 a a N n V X n N N N      _  _{ }    

Esperanza y varianza de matemática de la distribución hipergeométrica

Sea X una v. a. tal que X P

 



 

 

E X V X 



 





0 0 1 0 ! ! k k n k k k e e E X kP X k k k k k k _ _        



 



 



 e k k _ 









_  1 1 1 0 1 1 ! 1 ! ! k k t n n k t e por Taylor k e e e e k t  _  _   _{ }               







De forma análoga se prueba que V X

 





Cuantiles de una v. a. continua:

En estadística descriptiva dijimos, por ejemplo, que el percentil 10 deja aproximadamente el 10% de los datos a la izquierda. O equivalentemente el 10% de los datos son menores que el percentil 10.

Si X es una variable aleatoria continua, su percentil 10 es el valor que deja un área de 0,1 a la izquierda en la fdp de la variable.

En general se llama cuantil  al valor x_ tal que:





x

 

P X x f x dx  



  





Ejemplo: la demanda semanal de una determinada marca de gaseosas, medida en miles de litros, es una v.a. continua con fdp dada por:

 

2



1



si

 

_{ }

1, 2 0 si 1, 2 x x f x x       _ 

a) Determinar la demanda esperada semanal e interpretar.

 

.

 

1 .0 E x x f x dx x dx    

_



_

2





2 1 2 .2 1 .0 x x dx x dx  

_

 

_

1 1 3 4 0 0 1 1 2 2 2 x dx x 

_

 

Rta: se espera que la demanda semanal sea del 1, 6 miles de litros.

b) ¿Cuántos litros corresponden al menos al 75% de la demanda semanal?





1

 

1 0, 25 q P X q f x dx   





Ejemplo: La siguiente fdp representa el tiempo de llenado de cierto recipiente, expresado en horas:

 

2 32 0 1, 5 45 8 1, 5 2 35 0 en otro caso x x f x x x  _{ }         

a) Determinar en forma analítica el percentil 85.





85

 

85 0,85 P P X P f x dx   

_



Veamos en que tramo se encuentra.

1.5 2 0 32 0,8 45x dx



Por lo tanto el P85 está en el otro tramo.

85 85 85 2 1.5 1,5 1,5 8 8 8 0.8 0,85 0.05 0.05 35 35 70 P P P x dx x dx x 



 



  

Buscando las raíces de la ecuación cuadrática tenemos que P₈₅1.639

(descartamos el valor -1.639 por no pertenecer al intervalo)

Mediana de una v.a. continua:

La mediana de una v.a continua es el valor m_e tal que





 

0, 5 e m e P X m f x dx   

_

 o





 

0, 5 e e m P X m f x dx   





Ejemplo: Una v.a. continua X tiene la siguiente fdp

 













2 1 3 1 1,1 4 0 1,1 x x f x x  _{  }     _{ } 

a) Determinar analíticamente la mediana.





 

1 1 0 2 e m e P X m f x dx dx      























2 3 1 1 3 3 3 1 1 3 1 4 4 1 1 1 1 1 1 1 4 0 0, 1 4 2 2 e e m m e e e e e e e x dx x x m m m m m m m m                        



Moda de una v.a continua: es el valor de X para el cual f x

 

toma su valor

máximo (si la fdp tiene un solo máximo)

Si f y f' son derivables en a, a es un máximo relativo o local si cumple

1) f'

 

a 0 2) f''

 

a 0

Ejercicio: determinar la moda de la v.a. continua cuya función densidad de probabilidades está dada por:

 

6



1



si

 

_{ }

0,1 0 si 0,1 x x x f x x       _  1 2 o m 