3.1. MODALIDADES DE PROPAGACIÓN CAPÍTULO 3: PROPAGACIÓN DE ONDAS RADIOELÉCTRICAS

3.1. MODALIDADES DE PROPAGACIÓN

En este capítulo se va a introducir al lector en los principales modelos de propagación de las ondas electromagnéticas en los distintos entornos y bandas de frecuencias en las que tiene lugar habitualmente la comunicación por ondas de radio, así como en los factores que afectan a la propagación, haciendo énfasis en aquellos que en los que se centra este Proyecto Fin de Carrera.

Se ha tomado como base para la elaboración de esta documentación el Capítulo 3, “Radiopropagación” del libro “Transmisión por Radio” de José María Hernándo Rábanos [1], aunque también se nutre básicamente de otros capítulos de este mismo libro, así como de las

Recomendaciones de la UIT-R Serie P: Propagación de ondas radioeléctricas [4] y otras publicaciones, como “The mobile radio propagation channel” de J. D. Parsons [2], “Radio system design for telecomunications” de Roger L. Freeman [3], las transparencias del profesor de la asignatura de radiación y radiocomunicación, J. J. Murillo, de la titulación de Ingeniero de Telecomunicación de la Universidad de Sevilla [5] y el tema de propagación del Open Source Ware del profesor Rafael Herradón Díez de la Universidad Politécnica de Madrid [6]. El resto de referencias necesarias irán siendo nombradas en el desarrollo de este capítulo.

Parece claro que la propagación de ondas electromagnéticas y, en concreto, las ondas radioeléctricas en las que se centra este estudio, estará condicionada por las características del medio de propagación, en este caso la Tierra y la atmósfera.

En la Figura 3.1.1, Referencia [9], se muestra un esquema de las capas de la atmósfera junto con algunas de sus características que hacen que puedan ser usadas o no para establecer radioenlaces.

Figura 3.3.1. Capas de la atmósfera.

Las modalidades de propagación de una onda radioeléctrica dependen de su frecuencia y del tipo y características eléctricas del terreno subyacente. Según la frecuencia, pueden clasificarse los modos de propagación como:

♦ Onda de superficie (OS), para frecuencias inferiores a 30 MHz, con largos alcances y gran estabilidad de las señales. El tipo de terreno influye de forma notable en la propagación.

♦ Onda ionosférica (OI), para frecuencias comprendidas entre 3 y 30 MHz. La propagación tiene lugar por reflexión de las ondas en las capas ionizadas que circundan la Tierra a gran altura (ionosfera). Se consiguen grandes alcances, pero hay cierto grado de inestabilidad en las señales.

♦ Onda espacial (OE), para frecuencias superiores a 30 MHz. La propagación se realiza a través de las capas bajas de la atmósfera terrestre (troposfera). Eventualmente, puede tomar parte el suelo. Se distingue entre tres sub-modos:

• Onda Reflejada (OR), que conecta el transmisor y el receptor a través de una reflexión en el terreno subyacente.

• Ondas multitrayecto (ORM), que son ondas que alcanzan el receptor tras sufrir reflexiones en capas frontera de estratos troposféricos.

La onda espacial es, en general, estable, aunque está limitada, aproximadamente, al alcance de la visión óptica entre el transmisor y el receptor. Puede, no obstante, ser perturbada por las componentes de reflexión especular en el suelo (OR) y reflexión difusa multitrayecto (ORM), produciéndose, en tales casos, una disminución de la potencia recibida, como consecuencia de la interferencia destructiva entre todas estas componentes de ondas, fenómeno que se denomina desvanecimiento.

♦ Onda de dispersión troposférica (ODT). La propagación ODT se basa en reflexiones difusas ocasionadas por discontinuidades debidas a variaciones turbulentas de las constantes físicas de la troposfera. Se producen variaciones en el índice de refracción que provocan una reflexión dispersiva, llegando las ondas a tierra a una distancia más allá del horizonte. Este mecanismo de propagación tiene asociadas unas pérdidas muy elevadas y además está sujeto a desvanecimientos profundos.

3.1.1. MODALIDADES DE PROPAGACIÓN EN LAS DISTINTAS BANDAS DE FRECUENCIAS

La Tabla 3.1.1.1 da una visión general de la propagación para diferentes bandas de frecuencias, donde se recogen también los servicios típicos a los que está atribuida cada banda. No existen límites abruptos para la propagación entre una banda y otra, por lo que en cada caso, debe hablarse de un modo de propagación dominante.

Banda Designación métrica

Modo de propagación

Alcance típico Tiempo de disponibilidad Utilización típica VLF (3-30 kHz) Ondas

miriamétricas Guía-ondas Tierra-Ionosfera

Todas horas Radionavegación Servicio móvil marítimo LF (30-300 kHz) Ondas kilométricas Onda de superficie <1000 km (sobre agua)

Todas horas Frecuencias patrón

Onda de

superficie Distancias cortas (<100 km) Todas horas Radiodifusión MF (300-3000 kHz) Ondas hectométricas Onda ionosférica Distancias largas (<500 km, sujeta a desvanecimiento) Noche Radiodifusión

Onda ionosférica (3-8 MHz) (3-12 MHz) (6-25 MHz) <300 km >500 km >500 km Día Noche Día Servicios fijos Servicios móviles Radiodifusión HF (3-30 MHz) Ondas decamétricas Onda de superficie Distancias cortas (<100 km)

Todas horas Radiodifusión

Onda espacial

Visión directa (50 km)

Todas horas Servicios móviles Radiodifusión sonora y TV Radionavegación VHF (30-300 MHz) Ondas métricas Dispersión ionosférica (f<50 MHz)

2000 km Todas horas Servicio fijo

Onda

espacial Visión directa (40 km) Servicio (radioenlaces) fijo Servicios móviles Radiodifusión UHF (300-3000 MHz) Ondas decimétricas Dispersión troposférica (f<500 MHz) 600 km Servicio fijo SHF (3-30 GHz) Ondas

centimétricas espacial Onda Visión directa (40 km) Servicio (radioenlaces fijo terrenales)

Telecomunicación y radiodifusión

por satélite Radionavegación

Tabla 3.1.1.1. Modalidades de propagación para las diferentes bandas de frecuencias.

3.1.1.1. Modalidades de propagación en VLF

En la banda de muy bajas frecuencias VLF (3-30 kHz) tanto el suelo como la ionosfera se comportan como buenos conductores. La distancia que separa al suelo de la ionosfera (entre 60 y 100 km) es comparable con la longitud de onda en dicha banda (entre 100 km a 3 kHz y 10 km a 30 kHz).

La propagación de ondas se puede modelar como una guía esférica con pérdidas. Las aplicaciones para las que se emplea este mecanismo de propagación son comunicaciones a larga distancia (navales y submarinas) o aquellas que deseen cobertura global (telegrafía naval, ayuda a la navegación, etcétera).

dimensiones físicas muy grandes.

La Figura 3.1.1.1.1 muestra un esquema de dicho mecanismo de propagación.

Figura 3.1.1.1.1. Esquema de propagación en VLF.

3.1.1.2. Modalidades de propagación en LF, MF, HF

A las frecuencias de LF (30-300 kHz) y MF (300-3000 kHz) se produce la propagación mediante onda de tierra u onda de superficie. Esta onda se propaga en la discontinuidad tierra-aire debido a las corrientes inducidas en la Tierra. Este modo sólo propaga la polarización vertical, porque la polarización horizontal se atenúa muy rápidamente debido al carácter conductor de la superficie de la tierra en estas frecuencias.

El alcance que se obtiene varía con la frecuencia, la potencia transmitida y el tipo de suelo (tierra seca, húmeda, mar, etcétera) En LF se pueden conseguir alcances de hasta unos 2000 km, en MF de hasta unos 300 km, mientras que ya en frecuencias más altas como HF, apenas se llega a los 50 km. Las aplicaciones más importantes son los sistemas de comunicaciones navales y los sistemas de radiodifusión (LF y onda media en AM).

Las antenas que se utilizan habitualmente son monopolos verticales con alturas entre 50 y 200 m que radian polarización vertical.

La figura 3.1.1.2.1 muestra un esquema de propagación en estas bandas de frecuencias.

Figura 3.1.1.2.1. Esquema de propagación en las bandas LF, MF y HF.

En las bandas de MF (300-3000 kHz) y HF (3-30 MHz) la ionosfera “refleja” las ondas radioeléctricas, haciendo que éstas retornen a la tierra. Este mecanismo se denomina reflexión ionosférica, aunque realmente el mecanismo es de refracción y no de reflexión.

Los enlaces radio transoceánicos sugirieron la existencia de esta capa ionizada en la atmósfera que reflejaba las ondas enviadas al espacio. En dichos enlaces estas ondas llegaban al mar y se reflejaban de nuevo, y de este modo, en varios saltos, se conseguía cruzar el océano. El alcance que se consigue para un solo salto depende de la frecuencia, la hora del día y de la dirección de apuntamiento de la antena. En MF, durante la noche, es de hasta unos 2000 km mientras que en HF se pueden alcanzar hasta 4000 km tanto de día como de noche.

Este mecanismo de propagación lo utilizan los radioaficionados, comunicaciones navales y, antes de existir los satélites, era el medio más utilizado para comunicaciones de voz, punto a punto y a largas distancias.

Se utilizan antenas elevadas con polarizaciones horizontales y verticales.

La Figura 3.1.1.3.1 muestra un esquema de la propagación en MF y HF.

Figura 3.1.1.3.1. Esquema de propagación en MF y HF.

3.1.1.4. Modalidades de propagación en VHF y superiores

Para las frecuencias de VHF (30-300 MHz) y superiores el mecanismo de propagación es el de onda espacial. En estas frecuencias la ionosfera se hace transparente y los mecanismos de propagación se ven afectados por la influencia del suelo (mediante reflexiones o difracciones) y por la troposfera (mediante los procesos de refracción, atenuación y dispersión).

El alcance es muy variable: en VHF y UHF la difracción permite alcances algo más allá del horizonte visible, mientras que a frecuencias superiores los radioenlaces punto a punto necesitan visión directa, por lo que la distancia se reduce a algunas decenas de km (el valor depende de la frecuencia y las alturas de las antenas). En comunicaciones vía satélite se puede llegar hasta 36000 km (satélites geoestacionarios) y en aplicaciones de observación de espacio profundo hasta millones de km.

La propagación por onda espacial es el mecanismo que se utiliza en la mayoría de los sistemas de comunicaciones: radiodifusión de FM y TV, telefonía móvil, radioenlaces fijos, radiocomunicaciones vía satélite, sistemas radar, etcétera El más común es el radioenlace terrenal, donde hay que tener en cuenta los efectos del suelo (reflexión y difracción) y los efectos de la troposfera (atenuación y refracción). En los enlaces vía satélite el nivel de señal

recibido es muy bajo, por lo que es importante escoger frecuencias suficientemente altas para que la ionosfera sea transparente. Además hay que considerar los efectos de la atenuación troposférica.

Las antenas que se emplean son elevadas y directivas, como yagis, bocinas, arrays, reflectores.

Existe también un mecanismo de propagación, en frecuencias superiores a unos 100 MHz, denominado dispersión troposférica, que aprovecha el fenómeno de dispersión de la onda electromagnética debida a las irregularidades dieléctricas de la troposfera asociadas a variaciones de densidad y temperatura de gas. Con este mecanismo se conseguían alcances bastante mayores que la visión directa, pero su poca estabilidad y la necesidad de muy altas potencias transmitidas lo han dejado prácticamente en desuso, aunque sigue siendo utilizado por los radares transhorizonte.

En la Figura 3.1.1.4.1 se presentan varios mecanismos de propagación por onda espacial.

Figura 3.1.1.4.1. Esquema de propagación en VHF y superiores.

3.2. PROPAGACIÓN EN EL ESPACIO LIBRE

La propagación en espacio libre es definida en la Recomendación UIT-R P.310-9 como la propagación de una onda electromagnética en un medio dieléctrico ideal homogéneo que se puede considerar infinito en todas las direcciones.

3.2.1. PÉRDIDA BÁSICA DE PROPAGACIÓN EN ESPACIO LIBRE

Cuando se trata de un enlace punto a punto, se calcula la atenuación en el espacio libre entre antenas isótropas, denominada pérdida básica de propagación en espacio libre, Lbf,

con la expresión: 2

4

log

10

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

λ

π

d

L

bf dB (3.2.1.1)

donde:

Lbf: pérdida básica de propagación en el espacio libre (dB)

d: distancia del enlace

λ: longitud de onda de la señal

d y λ se expresan en las mismas unidades.

La Ecuación (3.2.1.1) puede también escribirse en función de la frecuencia en vez de la longitud de onda:

d

f

L

_bf

=

32

,

4

+

20

log

+

20

log

dB (3.2.1.2) donde: f: frecuencia de la señal (MHz)

d: distancia del enlace (km).

3.3. PROPAGACIÓN EN EL ESPACIO REAL

El suelo, la troposfera y la ionosfera son responsables de que el modelo ideal de propagación en espacio libre no sea correcto en la mayoría de los casos reales. La orografía del suelo y sus características morfológicas, que condicionan sus propiedades eléctricas, afectan a la propagación de las ondas electromagnéticas.

Como se ha descrito en el Apartado 3.1.1, a bajas frecuencias (por debajo de MF), la Tierra se comporta como buen conductor, excitándose una onda de superficie que se adapta a la orografía del terreno y transporta los campos electromagnéticos mucho más allá de la zona de visibilidad directa. Sin embargo, a más alta frecuencia, la atenuación de este mecanismo es muy elevada y es necesario elevar las antenas respecto al suelo. En este caso, la comunicación se establece normalmente como suma de una onda directa y otra reflejada en el suelo, que interfieren entre sí.

La concentración no uniforme de gases en la troposfera, que típicamente es mayor a menor altura, produce una curvatura de los rayos debido al cambio del índice de refracción del medio con la altura. Por otra parte, en las bandas de microondas se produce una atenuación adicional en las moléculas de los gases que constituyen la atmósfera. Además, el agua en forma de vapor de agua, o de hidrometeoros como lluvia, niebla, nieve, etcétera, produce atenuaciones adicionales en la propagación y cierta despolarización.

En estas condiciones, los agentes que más afectan a la propagación en espacio real son la atmósfera y la Tierra, como se introdujo durante el Apartado 3.1, de modo que ya no son válidas las condiciones de propagación en el espacio libre.

3.3.1.

FÓRMULA DE FRIIS PARA EL ENLACE

La caracterización de un enlace básicamente se realiza en términos de balances de potencia. La pérdida básica de transmisión o de propagación a través de un medio cualquiera

se puede expresar en dB como la diferencia entre la potencia transmitida por una antena isótropa y la potencia recibida por otra antena similar, según:

r t

b

P

P

L

=

−

dB (3.3.1.1)

Esta pérdida básica de propagación puede descomponerse en varios factores como son: E bf b

L

A

L

=

+

dB (3.3.1.2) donde:

Lbf: pérdida básica de propagación en espacio libre (dB)

AE: atenuación de campo o pérdida en exceso (dB).

La atenuación de campo recoge pérdidas producidas por las características específicas del medio de propagación como son: la presencia de obstáculos, desvanecimientos, influencia de la lluvia, gases atmosféricos, etcétera. Estos factores serán detallados en los siguientes apartados.

Se denomina pérdida de transmisión entre dos antenas cualesquiera a través de un medio arbitrario a: r t E bf t

L

A

G

G

L

=

+

−

−

dB (3.3.1.3) donde:

Gt: ganancia isótropa de la antena transmisora (dB o dBi)

Gr: ganancia isótropa de la antena receptora (dB o dBi).

En estas condiciones, la fórmula de Friis para el enlace, que relaciona la potencia recibida con la transmitida, viene dada por la expresión:

r E bf t t r

P

G

L

A

G

P

=

+

−

−

+

(3.3.1.4) donde:

Pr: potencia recibida en el receptor

Pt: potencia transmitida

y Pt y Prestán en las mismas unidades logarítmicas.

La ecuación de Friis es válida sólo en campos lejanos, cuando las antenas están suficientemente alejadas con relación a su tamaño.

Se denomina potencia isotrópica radiada equivalente (pire) de una estación transmisora al producto de la potencia suministrada a la antena por la ganancia isótropa de ésta, que en unidades naturales toma la forma:

t t

g

p

pire

=

⋅

(3.3.1.1.1) y en logarítmicas: t t

G

P

PIRE

=

+

dBW (3.3.1.1.2)

Se denomina potencia radiada aparente (pra) de una estación transmisora al producto de la potencia suministrada a la antena por la ganancia de la misma con respecto al dipolo en λ/2: d t

g

p

pra

=

⋅

(3.3.1.1.3) donde:

gd: ganancia de la antena transmisora con respecto al dipolo en λ/2 (dBd).

Como el dipolo tiene una ganancia de 2,15 dB respecto a la antena isótropa, la relación entre la ganancia isótropa G(dB) de una antena y su ganancia respecto al dipolo Gd(dBd) será:

15

,

2

+

=

G

_d

G

dB (3.3.1.1.4) y, en consecuencia:

15

,

2

+

= PRA

PIRE

(3.3.1.1.5)

donde PIRE y PRA están en las mismas unidades logarítmicas.

3.3.2.

MODELO DE TIERRA PLANA

Cuando el transmisor y el receptor están situados sobre la superficie terrestre y existe visibilidad directa entre ambos, se modela la propagación mediante un rayo directo y otro reflejado en el suelo.

Esta representación de la propagación se muestra en la Figura 3.3.2.1.

La expresión general del campo recibido, en estas condiciones viene dada mediante la llamada “ecuación general de la propagación”:

[

1

exp(

)

(

1

)

exp(

)

]

0

+

⋅

−

Δ

+

−

⋅

⋅

−

Δ

=

e

R

j

R

A

j

e

(3.3.2.1)

Figura 3.3.2.1. Esquema de propagación con visibilidad directa.

donde:

e: intensidad de campo en recepción en las condiciones reales. e0: intensidad de campo en condiciones de espacio libre.

El primer término del paréntesis representa la componente de onda directa, el segundo la onda reflejada en el suelo y el tercero la onda de superficie. Δ es el ángulo de desfase entre la componente directa y la reflejada; R, el coeficiente de reflexión en el suelo y A un término de atenuación de la onda de superficie.

El ángulo de desfase es:

λ

π

Δ

l

=

Δ

2

(3.3.2.2)

donde Δl es la diferencia de recorridos entre el rayo reflejado y el rayo directo y λ la longitud de onda.

El coeficiente de reflexión complejo R, se especifica en términos de su módulo y fase:

β

j

e

R

R

=

− (3.3.2.3)

tanto |R| como β son función de la frecuencia, polarización, características eléctricas del terreno y ángulo de incidencia.

A efectos de propagación radioeléctrica, se caracteriza el terreno por los parámetros eléctricos permeabilidad, que se puede considerar normalmente como la del vacío, constante dieléctrica relativa, εr, y conductividad σ (mS/m). La Recomendación UIT-R P.527-3 muestra

una gráfica en la que se dan valores típicos de conductividad y permitividad para diferentes tipo de terrenos en función de la frecuencia y la Tabla 3.3.2.1 muestra tipos de suelo en función de estos parámetros.

Tipo de suelo εr σ (mS/m) Agua de mar 80 4000 Agua dulce 80 5 Tierra húmeda 15-30 5-20 Suelo rocoso 7 1-5 Tierra seca 4 1-10

Tabla 3.3.2.1. Conductividad y permitividad de distintos tipos de suelo.

Pues bien, el modelo de Tierra plana, aplicable a distancias cortas, hace una simplificación de este esquema, despreciando la curvatura terrestre y suponiendo que el terreno es liso. La Figura 3.3.2.2 muestra el esquema de rayos propio de este modelo.

Figura 3.3.2.2. Modelo de propagación de Tierra plana.

Aplicando óptica geométrica se puede deducir que el ángulo de incidencia viene dado por la expresión:

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ +

=

−

d

h

h

tg

1 t r

ψ

(3.3.2.4)

y la diferencia de trayectos se puede aproximar por:

d

h

h

l

≈

2

t r

Δ

(3.3.2.5)

de modo que la diferencia de fase es:

d

h

h

_{t r}

λ

π

4

=

Δ

(3.3.2.6)

Sustituyendo estos valores en la Ecuación (3.3.2.1) podemos obtener la relación entre el campo recibido y el campo en condiciones de espacio libre como:

2 1 2 ) ( 0

)

cos(

2

1

1

+

⋅

β

=

+

+

⋅

Δ

+

β

=

− Δ+

R

R

e

R

e

e

j _(3.3.2.7)

La pérdida básica de propagación toma entonces la forma:

(

)

(

+

+

⋅

Δ

+

β

)

−

=

L

10

log

1

R

2

2

R

cos

L

b bf dB (3.3.2.8)

La zona habitual de trabajo en los modelos de Tierra plana la distancia toma el valor:

λ

t r

h

h

d

=

12

(3.3.2.9)

y la pérdida básica por propagación se puede aproximar a:

( )

20

log

(

)

120

log

40

−

⋅

+

=

t r b

d

h

h

L

dB (3.3.2.10) donde:

d: distancia del enlace (km)

ht: altura de la antena transmisora (m)

hr: altura de la antena receptora (m).

En el desarrollo realizado no se ha tenido en cuenta la onda de superficie. Sin embargo, para frecuencias inferiores a 150 MHZ, alturas de antenas reducidas y polarización vertical, el efecto de la onda de superficie, además de los rayos directo y reflejado. La onda de superficie es dominante para frecuencias inferiores a 10 MHz, polarización vertical y terreno buen conductor, provocando que deje de ser válido el modelo de Tierra plana.

3.3.3.

PROPAGACIÓN POR ONDA DE SUPERFICIE

La onda de superficie es el modo de propagación dominante en frecuencias bajas, entre 10 kHz y 10 MHz. Los modelos creados para este tipo de propagación suponen una tierra lisa y de características eléctricas uniformes, lo que implica una longitud de onda mucho mayor que las posibles discontinuidades. Además, se suponen que tanto la antena transmisora como la antena receptora se encuentran muy próximas a la superficie terrestre de modo que:

♦ Una onda de superficie se propaga en la discontinuidad tierra-aire. La componente vertical se propaga sobre la superficie sin apenas pérdidas, mientras que la componente horizontal se atenúa por el efecto de la conductividad del suelo. La atenuación por absorción es tanto mayor cuanto menor sea la conductividad del suelo. Además de la atenuación por absorción, se produce una atenuación por la dispersión de la energía.

♦ La onda de espacio compuesta por el rayo directo y el rayo reflejado en el suelo se anula a nivel del suelo, ya que el coeficiente de reflexión en el suelo es prácticamente igual a -1 y los caminos de ambos rayos son prácticamente iguales.

La propagación de estas señales depende fundamentalmente de la frecuencia y del tipo del suelo. La caracterización correcta del suelo es fundamental para una correcta predicción de la propagación mediante onda de superficie, como es obvio. El suelo se caracteriza, según se ha venido exponiendo, como un dieléctrico con pérdidas, aunque en

función de su conductividad y su permitividad, se asemeja más a un dieléctrico o a un conductor.

Para el cálculo del alcance mediante este mecanismo de propagación se emplea un modelo aproximado de tierra plana, válido para distancias cortas en la que, a efectos prácticos, se sustituyen las alturas físicas de la antena por otras ficticias, alturas que tienen en cuenta las características eléctricas del terreno y la polarización de la onda, y un modelo de tierra esférica para distancias largas.

En la Recomendación UIT-R P.368-8 se facilitan curvas de propagación por onda de superficie para frecuencias comprendidas entre 10 kHz y 30 MHz. Por ejemplo, un caso de propagación sobre superficie marítima es mostrado en la Figura 3.3.3.1.

Figura 3.3.3.1. Intensidad de la onda de superficie en mar.

3.3.4.

INFLUENCIA DE LA TROPOSFERA EN LA PROPAGACIÓN

Para frecuencias superiores a 30 MHz, dejan de ser utilizables los modos de propagación por onda de superficie y por onda ionosférica. Las radiocomunicaciones se efectúan a través de las capas bajas de la atmósfera terrestre, en la región denominada troposfera, entre antenas elevadas varias longitudes de onda sobre el suelo. El principal mecanismo de propagación es debido a la onda espacial. En la propagación de onda espacial influye tanto la presencia de la superficie terrestre mediante los fenómenos de reflexión y difracción, como la troposfera, mediante fenómenos de refracción y absorción. De ahí que sea necesario conocer la trayectoria de la onda en estos casos y sobre todo su posición relativa respectos de los accidentes del terreno, puesto que éstos pueden interceptar el rayo, produciendo una atenuación importante.

Como se ha citado, puede producirse modos de propagación por trayectos múltiples como consecuencia de la reflexión de las ondas en el suelo o en las fronteras de separación entre capas de una atmósfera estratificada. Este fenómeno puede degenerar en la formación de conductos troposféricos que crean un alcance mayor y pueden producir interferencias.

Las ondas que viajan por la troposfera experimentan una refracción a causa de la no uniformidad de las capas atmosféricas, que se manifiesta como una variación del índice de refracción con la altura. Como consecuencia de la refracción, la trayectoria del rayo es curvilínea, lo cual, en radioenlaces terrenales, puede influir sobre el efecto de los obstáculos del terreno y en los radioenlaces espaciales afecta a la puntería de la antena hacia el satélite.

Los gases y vapores atmosféricos, principalmente el oxígeno y el vapor de agua, producen una absorción de la energía electromagnética, lo que se traduce en una atenuación adicional para las ondas. Este efecto se manifiesta por encima de unos 10 GHz. Lo mismo sucede con las precipitaciones, sobre todo la lluvia. Las absorciones atmosféricas y por lluvia producen, además, la despolarización de la señal.

Por último, también tienen lugar en la troposfera efectos de dispersión, que aumentan el alcance de la comunicación, permitiendo constituir enlaces radio que con visión directa no serían posibles. Un aspecto negativo es que pueden producir también trayectos interferentes.

Las radiocomunicaciones por la troposfera tienen un alcance del orden de la distancia de visión óptica entre las antenas. Más allá, pueden lograrse enlaces, pero con pérdidas adicionales por difracción.

3.3.4.1. Variación del índice de refracción

El índice de refracción radioeléctrica de la atmósfera, n, se puede calcular mediante la siguiente fórmula, facilitada en la Recomendación UIT-R P.453-9:

(3.3.4.1) 6

10

1

+

×

−

=

N

n

donde:

N: coíndice de refracción radioeléctrica expresado por:

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ +

=

T

e

P

T

N

77

,

6

4

810

(unidades N) (3.3.4.2) donde:

P: presión atmosférica (hPa) e: presión del vapor de agua (hPa) T: temperatura absoluta (K).

Esta expresión se puede utilizar para todas las frecuencias; a frecuencias de hasta 100 GHz, el error es inferior a 0,5%.

Se ha determinado que el valor medio a largo plazo del índice de refracción depende de la altura, h, y se expresa adecuadamente mediante la ley exponencial siguiente:

(3.3.4.3)

)

/

exp(

10

1

)

(

h

N

₀ 6

h

h

₀

n

=

+

×

−

×

−

donde:

N0: valor medio del coíndice o refractividad atmosférica considerada a nivel del mar

h0: altura de escala (km).

N0 y h0 pueden determinarse estadísticamente para distintos climas. A título de

referencia, pueden tomarse los siguientes valores medios, como atmósfera de referencia, válidos únicamente para trayectos terrenales:

315

0

=

N

(3.3.4.4) km (3.3.4.5)

35

,

7

0

=

h

En la práctica, para alturas de hasta 1 km se aproxima la atmósfera de referencia mediante una ley lineal:

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ −

⋅

=

0

1

h

h

N

N

_S (3.3.4.6) donde:

Ns: coíndice o refractividad en la superficie terrestre.

Las características de referencia pueden utilizarse para calcular el valor de refractividad en la superficie terrestre, a partir de N0 y según la siguiente fórmula:

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛−

⋅

=

0 0

exp

_h

h

N

N

S S (3.3.4.7) donde:

hS: altura de la superficie terrestre por encima del nivel del mar (km).

La Recomendación UIT-R P.453-9 proporciona mapas mundiales de valores medios mensuales de N0 para ciertos meses del año.

3.3.4.2. Trayectoria de los rayos

Al disminuir el índice de refracción con la altura, el rayo experimenta sucesivas refracciones que le van alejando de la normal, por lo que se trayectoria es curvilínea.

Según la ley de Snell, aplicada a la atmósfera de referencia, tenemos una situación como la de la Figura 3.3.4.2.1, situación recogida en la Referencia [7]:

cte

sen

n

sen

n

sen

n

1

φ

1

=

2

φ

2

=

...

=

i

φ

i

=

(3.3.4.2.1) donde:

ni: índice de refracción de la capa i de la troposfera, que depende de la altura

φi: ángulo del trayecto del rayo.

Figura 3.3.4.2.1. Modelo de troposfera para estudio de la refracción.

El radio de curvatura del rayo definido como:

φ

d

dl

R

=

(3.3.4.2.2)

donde:

dl: diferencial del trayecto del rayo dφ: diferencial del ángulo del trayecto

se obtiene diferenciando la Expresión 3.3.4.2.1. En el caso de radioenlaces terrestres, donde el ángulo φ es prácticamente 90º y el índice de refracción, prácticamente la unidad, se obtiene la aproximación de la Expresión 3.3.4.2.2:

dh

dn

sen

dh

dn

n

dl

d

R

dl

dh

dh

d

n

sen

dh

dn

−

≈

−

=

=

⇒

⎪

⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

=

=

⋅

⋅

+

⋅

φ

φ

φ

φ

φ

φ

1

1

cos

0

cos

(3.3.4.2.3)

o, en función del gradiente del coíndice, ΔN:

R

dh

dN

N

=

=

−

10

6

⋅

1

donde el signo menos indica que el rayo se incurva hacia la Tierra.

De la Ecuación (3.3.4.6), para la atmósfera de referencia, se deduce que:

S

N

N

=

−

0

,

136

Δ

(3.3.4.2.5)

por lo que la curvatura del rayo, inversa del radio de curvatura, en función de la refractividad superficial, es: S

N

R

=

⋅

⋅

−7

10

36

,

1

1

(3.3.4.2.6)

A la hora de diseñar radioenlaces terrestres se hace difícil trabajar con dos radios de curvatura, el de la Tierra y el del rayo. Por ello, se suele trabajar con un modelo de Tierra plana y se modifica el radio de la Tierra de modo que se mantenga la distancia entre ambas curvas. Esta modificación permitirá analizar de una forma más sencilla los efectos de reflexión y difracción que afectan a la propagación de la onda. En la Figura 3.3.4.2.2 se representa el efecto de dicha modificación del radio de la Tierra, crear una Tierra ficticia.

Figura 3.3.4.2.2. Radio de curvatura equivalente de la Tierra

Introduciendo el valor del radio de la Tierra de 6370 km, se obtiene el llamado radio equivalente o ficticio de la Tierra, en función de la derivada del coíndice con la altura:

6 0 0 0

10

157

1

1

1

1

_⎟

_⋅

−

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

₊

=

+

≈

−

=

′

dh

dN

dh

dn

R

R

R

R

(3.3.4.2.7)

Normalmente el radio equivalente de la Tierra se suele expresar como un factor k que multiplica al radio de la Tierra:

0

0

kR

R

′

=

(3.3.4.2.8)

Este factor k se denomina factor de radio efectivo y, para los valores de la atmósfera de referencia recogidos en las ecuaciones (3.3.4.4) y (3.3.4.5) y considerando que R0=6370, n=1 y

En estas condiciones el alcance es mayor que el que se produciría con visión directa, por lo que el fenómeno de propagación troposférica supone, para condiciones de atmósfera de referencia, una mejoría. En la Figura 3.3.4.2.3 se puede observar el efecto del radio equivalente de la Tierra para distintos valores de k.

Es importante tener en cuenta que esta modificación del radio equivalente de la Tierra afecta también al perfil del terreno subyacente al radioenlace, cuyas alturas también serán modificadas por este fenómeno.

Figura 3.3.4.2.3. Alcance y despejamiento para distintos valores de k.

También hay que considerar que la atmósfera es muy variable y la pendiente del coíndice de refracción varía desde valores ligeramente positivos, que producen refracción negativa y curvatura de los rayos contraria a la de la Tierra, hasta valores de superrefracción (dN/dh<-157) que da lugar a propagación por conductos superficiales, con alcances extraordinariamente elevados. Los conductos se forman a través de reflexiones múltiples sucesivas sobre la tierra y el mar. Sin embargo, son de aparición esporádica y no se pueden utilizar para establecer canales de comunicaciones, aunque sí pueden ser los causantes de interferencias en bandas de VHF y superiores.

3.3.4.3. Geometría del trayecto respecto al suelo

La variación del índice de refracción de la atmósfera, como se ha expuesto, provoca una curvatura en la trayectoria del rayo y su propagación puede ser estudiada con un modelo de Tierra plana, si se crea la anteriormente denominada Tierra ficticia modificando el radio de la Tierra.

En la Figura 3.3.4.3.1 se ha presentado el esquema de un posible perfil del terreno, siguiendo el modelo de Tierra ficticia, con sus parámetros más importantes.

Figura 3.3.4.3.1. Representación de un perfil del terreno.

Se denomina “flecha” o protuberancia de la Tierra a la elevación de la superficie terrestre sobre la línea horizontal que une los pies de las antenas de transmisión y recepción, y viene dada, en unidades prácticas, por la expresión:

k

x

d

x

x

f

(

)

=

0

,

07849

⋅

⋅

(

−

)

m (3.3.4.3.1) donde:

x: abscisa del punto genérico P del terreno (km) d: distancia del radioenlace (km).

La altura z(x), sobre la horizontal del punto P a distancia x del transmisor es igual a su cota geográfica c(x) más la protuberancia f(x):

)

(

)

(

)

(

x

c

x

f

x

z

=

+

(3.3.4.3.1)

de modo que si ht y hr son las alturas de los mástiles soporte de las antenas, como en los

extremos la protuberancia es cero, se tiene que:

t

h

c

z

(

0

)

=

(

0

)

+

(3.3.4.3.2) r

h

d

c

d

z

(

)

=

(

)

+

(3.3.4.3.3)

Si yR(x) es la ordenada de la recta TR que representa al rayo directo, el despejamiento,

en un punto arbitrario de la abscisa x, es:

)

(

)

(

)

(

x

z

x

y

x

h

=

−

_R (3.3.4.3.4)

Como la protuberancia es función de k, al variar este parámetros cuando lo haga el gradiente de la refractividad, también variará la protuberancia y, por tanto, en la misma cuantía, el despejamiento. Si estas variaciones son denominadas Δh y Δf, se tiene:

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

−

⋅

⋅

=

Δ

=

Δ

1

1

1

)

(

07849

,

0

)

(

)

(

2

k

k

x

d

x

x

f

x

h

(3.3.4.3.5)

Si k2<k1, Δf es positivo y el despejamiento se reduce en el valor Δh(x).

3.3.5.

MODELO DE TIERRA CURVA

Si las protuberancias debidas a la curvatura terrestre son superiores a unos 5 m, el modelo de Tierra plana deja de ser válido, pasando a regir el modelo de Tierra curva. Esto sucede para longitudes del orden de la distancia de visibilidad radioeléctrica o mayores. En este modelo se considera una trayectoria del rayo rectilínea y una Tierra ficticia de radio R’0=kR0. Se supone una Tierra lisa, como sucede en propagación sobre mar, grandes lagos o

llanuras con terreno muy poco ondulado.

3.3.5.1. Distancia de visibilidad

Se denomina distancia de horizonte de una antena, dh, a la distancia entre el pie de la

antena y el punto S de tangencia con su superficie terrestre de un rayo trazado desde la antena. Se denomina distancia de visibilidad radioeléctrica para dos antenas, dv, a la suma de

sus distancias de horizonte. La Figura 3.3.5.1.1 muestra un esquema que contempla estas distancias.

Para el caso del transmisor, la distancia de horizonte se obtiene mediante la relación:

(

)

( )

2 0 2 2 0

h

d

kR

kR

+

_t

=

_ht

+

(3.3.5.1.1) Desarrollando y simplificando: (3.3.5.1.2) t ht

kR

h

d

2

≈

2

₀

Efectuando un cambio de unidades y sustituyendo el valor del radio terrestre R0:

t

ht

kh

d

=

3

,

57

km (3.3.5.1.3)

donde:

ht: altura absoluta de la antena transmisora sobre el nivel del mar (m).

Análogamente:

r

hr

kh

d

=

3

,

57

km (3.3.5.1.4)

donde:

hr: altura absoluta de la antena receptora sobre el nivel del mar (m).

Luego la distancia de visibilidad es:

(

t r

)

hr ht

v

d

d

kh

kh

d

=

+

=

3

,

57

+

km (3.3.5.1.5) donde se aprecia que crece con √k. Para la atmósfera de referencia, k=4/3 y la distancia de visibilidad toma el valor:

(

t r

)

v

h

h

d

= 1

4

,

+

km (3.3.5.1.6)

3.3.5.2. Modelo de reflexión

En la Figura 3.3.5.2.1 se representa un trayecto de propagación por reflexión sobre Tierra curva.

Figura 3.3.5.2.1. Trayecto de propagación por reflexión sobre Tierra curva.

El método, pues, consiste en hallar el nuevo coeficiente de reflexión de la Tierra, que debe corregirse debido a la divergencia que produce la reflexión del rayo sobre una superficie esférica convexa. Para ello, se calculan el nuevo valor de la diferencia de recorrido de los rayos, a partir de las nuevas alturas h’t y h’r:

3

10

2

₋

⋅

′

′

=

Δ

d

h

h

l

t r _{m (3.3.5.2.1)} donde:

d: distancia del radioenlace (km) y h’t y h’r vienen expresadas en metros.

La diferencia de fases, por tanto, toma el valor:

150

2

l

f

Δ

l

=

Δ

=

Δ

π

λ

π

rad (3.3.5.2.2) donde: f: frecuencia de la señal (MHz) λ: longitud de onda de la señal (m)

y Δ está comprendida entre 0 y 2π radianes.

El coeficiente de reflexión se puede expresar como:

D

R

R

_e

=

⋅

(3.3.5.2.3)

donde D<1 y toma la siguiente expresión:

2 1 2 2 1

16

5

1

−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

′

⋅

⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

=

t

h

d

d

d

k

D

(3.3.5.2.4)

Además, se puede corregir el coeficiente de reflexión introduciendo una atenuación en el rayo reflejado debida a la rugosidad del terreno.

En estas condiciones, el valor del campo en recepción se calcula aplicando la ecuación de propagación. Despreciando el efecto de la onda de superficie, se tiene, en módulo:

[

2

]

12 0

)

cos(

2

1

+

+

⋅

Δ

+

β

=

R

_e

R

_e

e

e

(3.3.5.2.5)

donde Δ se calcula a partir de la Expresión (3.3.5.2.2) y Re se ha actualizado

convenientemente.

(

)

(

)

[

+

⋅

+

⋅

⋅

Δ

+

β

]

−

=

L

10

log

1

D

R

2

2

D

R

cos

L

_{b bf} dB (3.3.5.2.6)

3.3.6.

PROPAGACIÓN POR DIFRACCIÓN

La difracción de las ondas radioeléctricas sobre la superficie de la Tierra se ve afectada por las irregularidades del terreno. En este contexto, antes de abordar en detalle los métodos de predicción utilizados para este mecanismo de propagación en el presente Proyecto Fin de Carrera, se definen algunos conceptos básicos.

3.3.6.1. Elipsoides de Fresnel y zonas de Fresnel

Al estudiar la propagación de las ondas radioeléctricas entro dos puntos T y R, el espacio correspondiente puede subdividirse en una familia de elipsoides, llamados elipsoides de Fresnel, todos con sus focos en los puntos T y R, de manera que cualquier punto Pn de uno

de esos elipsoides satisface la relación:

2

R

P

TP

_n

+

_n

=

TR

+

n

λ

(3.3.6.1.1)

donde n es el número entero que caracteriza el elipsoide correspondiente, n=1 corresponde al primer elipsoide de Fresnel, etcétera, y λ es la longitud de onda.

A efectos prácticos, se considera que la propagación se efectúa con visibilidad directa, es decir, con fenómenos de difracción despreciables, si no existe ningún obstáculo dentro del primer elipsoide de Fresnel. De hecho, debido al carácter oscilatorio del campo eléctrico, es innecesario que el trayecto pase muy por encima de los obstáculos; sino que basta con que quede libre la primera zona de Fresnel.

El radio de un elipsoide, en un punto situado entre el transmisor y el receptor, puede tener un valor aproximado de:

2 / 1 2 1 2 1

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+

λ

=

d

d

d

d

n

R

_n (3.3.6.1.2) o, en unidades prácticas: 2 / 1 2 1 2 1

)

(

550

_⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+

=

f

d

d

d

d

n

R

_n (3.3.6.1.3)

donde f es la frecuencia (MHz) y d1 y d2 son las distancias (km) desde el transmisor y desde el

En la Figura 3.3.6.1.1 quedan representados los parámetros que caracterizan a los elipsoides de Fresnel.

Figura 3.3.6.1.1. Parámetros del elipsoide de Fresnel

Para ciertos problemas hay que tener en cuenta las zonas de Fresnel, que son las zonas obtenidas tomando la intersección de una familia de elipsoides con un plano. La zona de orden n es la parte comprendida entre las curvas obtenidas con los elipsoides n y n-1. Las secciones de los elipsoides normales al trayecto de propagación TR, son círculos concéntricos.

Puede estudiarse la variación del campo eléctrico recibido en R cuando se suprime la contribución al mismo de diversas zonas de Fresnel, por ejemplo mediante un diafragma, desde un punto determinado situado a la distancia d1 del transmisor. Se puede apreciar que el

campo varía en forma oscilatoria alrededor de su valor en espacio libre (atenuación 0 dB). Con una determinada la apertura del diafragma el campo puede ser igual al del espacio libre, e incluso, puede lograrse una ganancia teórica cuando el radio de la apertura es igual al de la primera zona de Fresnel. En algunos casos, aún cuando existe visibilidad, resulta un campo cero (atenuación infinita). Estas últimas propiedades se deben a que, en el primer caso, las componentes de la onda se suman en fase en el receptor y en el segundo, lo hacen en oposición de fase.

En general, al ser la diferencia de camino entre sucesivas zonas de Fresnel igual a λ/2, las zonas impares refuerzan la señal, mientras que las pares tenderán a anularla. Además, las zonas de orden inferior son las que transportan mayor energía y, por tanto, serán las más importantes.

Se aplican estos principios a la propagación troposférica cuando el trayecto de la onda pasa cerca de un obstáculo o, incluso, está obstruido por uno o más obstáculos, como pueden ser la propia curvatura de la tierra, accidentes del terreno, árboles, edificios, etcétera.

Cuando el rayo pasa cerca de un obstáculo o es interceptado por éste, experimenta una pérdida debida a la difracción. Se llama despejamiento a la distancia h entre el rayo y el obstáculo. En la Recomendación UIT-R P. 526-9, se considera, por convenio, h>0 cuando hay interceptación del rayo y h<0 cuando el rayo para por encima del obstáculo. La Figura 3.3.6.1.2 refleja este convenio.

En la práctica se utiliza el despejamiento normalizado, esto es, h/R1, de modo que la

zona correspondiente a la propagación por difracción es la comprendida entre -1≤h/R1≤∞. En

radioenlaces suele trabajarse en la gama -0,6≤h/R1≤0,5.

Para evaluar el despejamiento y la consiguiente atenuación por difracción, debe representarse el perfil del terreno sobre una tierra de radio kR0 y procederse a un análisis del

número, situación e influencia de los obstáculos del perfil.

Figura 3.3.6.1.2. Convenio de signo de h.

3.3.6.2. Representación de perfiles

El desvanecimiento por difracción debida a la obstrucción de obstáculos en condiciones de propagación adversas es uno de los factores que hay que tener en cuenta en la propagación de la señal radioeléctrica en radioenlaces con visibilidad directa. Por ello, es de suma importancia conocer cómo es el perfil de terreno entre el transmisor y el receptor.

En este apartado, se expondrá el método utilizado para calcular el perfil entre dos puntos cualesquiera, siendo conocida la posición de éstos dentro de un sistema de coordenadas.

3.3.6.2.1. Perfil entre dos puntos cualesquiera

La representación de los perfiles del terreno se efectúa llevando las cotas de los puntos sobre una línea de base o “curva de altura cero” parabólica, que representa la curvatura de la Tierra ficticia con radio kR0. La geometría del trayecto del rayo con respecto al suelo fue ya

descrita en el Apartado 3.3.4.3, así como los parámetros necesarios para el cálculo del perfil del terreno.

Tradicionalmente, los perfiles se representan a partir de datos obtenidos manualmente de mapas topográficos. Es muy frecuente la utilización de mapas de escala 1:50.000. Se van obteniendo los pares distancia-cota por intersección entre la línea que une las ubicaciones del transmisor y receptor y las curvas de nivel del terreno, que para la escala anterior, tiene una equidistancia de 20 m.

Aunque esta tarea es sencilla, resulta tediosa y consume mucho tiempo, sobre todo en las primeras fases del proyecto de una red, que requieren el análisis y evaluación de múltiples emplazamientos posibles para ubicar estaciones, hasta llegar a la topología de red más conveniente. La automatización del trazado de perfiles requiere, en consecuencia, disponer de una amplia base de datos topográficos obtenidos mediante muestreo de los mapas.

Los mapas digitales del terreno se presentan, en general, en forma de una retícula tridimensional con coordenadas UTM: X, Y y la cota Z, que en el plano adopta la forma de rejilla cuadrada. Cada vértice V de la rejilla representa la atura media o representativa del cuadro centrado en ese punto, que puede corresponder a un vértice o depresión dominante o un promedio de alturas de los puntos del interior. Cabe la posibilidad de que en el interior de cada cuadrado de rejilla se incluyan uno o más puntos notables PN, como pueden ser cimas de montañas, vértices geodésicos, depresiones, etcétera. La Figura 3.3.6.2.1.2 representa una disposición típica de una base de datos reticular.

Para el estudio de perfiles y aplicación de métodos de predicción de propagación, resulta fundamental la elección del paso de muestreo Δ, que es la distancia entre vértices consecutivos, y que depende de la orografía del terreno, de la capacidad de almacenamiento de la base de datos, de la resolución y precisión deseadas y del tiempo de cálculo.

Figura 3.3.6.2.1.2. Retícula tridimensional de datos.

Si se quiere estimar el perfil radioeléctrico entre el transmisor y el receptor, el problema se reduce a determinar la celda en la que está cada punto de la recta que une dichos puntos.

Para ello, es necesario caracterizar a la retícula de datos, definiendo los límites de las celdas y el paso de éstas y definir una serie de parámetros como son: las coordenadas del transmisor y receptor, (x0,y0) y (xN,yN), respectivamente; la separación constante entre dos

puntos de la recta que los une, δ, y la pendiente de la misma, θ.

En la Figura 3.3.6.2.1.3 se representa una retícula de datos, en las que cada celda se designa con el par ordenado de números enteros (m,n) y cuyo paso es Δ. Cada celda [m,n] correspondiente al punto genérico (xi,yi) está definida por:

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

Δ

=

_E

x

i

m

(3.3.6.2.1.1)

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

Δ

=

_E

y

i

n

(3.3.6.2.1.2)

donde E[x] designa la parte entera de x, e i=1,...,N-1.

Figura 3.3.6.2.1.3. Retícula de datos.

La estimación de la cota de un punto cualquiera P, del interior de una de las celdas de la rejilla, se realiza en función de las alturas de los vértices de la celda, de las alturas de los puntos notables y de las distancias a todos esos puntos. Estos parámetros son mostrados en la Figura 3.3.6.2.1.4.

Figura 3.3.6.2.1.4. Parámetros necesarios para la estimación de la cota de un punto P.

La cota del punto P se determina según:

∑

∑

= =

=

_N i i N i i i P

d

d

c

c

1 2 1 2

1

(3.3.6.2.1.3)

donde i=1,...,4 representa los vértices de la celda, i=5=N el punto notable, cuando lo hay (en caso contrario, N=4); ci son las cotas geográficas de los puntos y di las distancias de los puntos

Las distancias del punto (xi,yi) a los vértices de su celda son:

[

2 2

]

12 1

=

(

x

−

m

Δ

)

+

(

y

−

n

Δ

)

d

_{i i i} (3.3.6.2.1.4)

[

2 2

]

12 2

=

(

x

−

(

m

+

1

)

Δ

)

+

(

y

−

n

Δ

)

d

_{i i i} (3.3.6.2.1.5)

[

2 2

]

12 3

=

(

x

−

m

Δ

)

+

(

y

−

(

n

+

1

)

Δ

)

d

_{i i i} (3.3.6.2.1.6)

[

2 2

]

12 4

=

(

x

−

(

m

+

1

)

Δ

)

+

(

y

−

(

n

+

1

)

Δ

)

d

_{i i i} (3.3.6.2.1.7)

y, análogamente, la distancia del punto (xi,yi) al punto notable de la celda (nos se considera

más que uno) es:

2 1 2 5 2 5 5

[(

x

x

)

(

y

y

)

]

d

=

_i

−

+

_i

−

(3.3.6.2.1.8)

Llevando estas distancias, junto con las alturas a la expresión X, se obtiene la corta cpi

del punto analizado.

Para obtener la sucesión de puntos (xi,yi) del perfil, es decir, los puntos equidistantes

de la recta que une transmisor y receptor, así como las cotas finales, se procede como sigue:

Paso 1: Se determina el ángulo de la recta que une los extremos:

)

(

)

(

0 0

x

x

y

y

arctg

N N

−

−

=

θ

(3.3.6.2.1.9) A θ se le deberá añadir π si xN-x0<0.

Paso 2: Dado un punto (xi,ci) se obtiene el siguiente de la sucesión (xi+1,ci+1) mediante las

relaciones:

θ

δ

cos

1

=

+

⋅

+ i i

x

x

(3.3.6.2.1.10)

θ

δ

sen

y

y

i+1

=

i

+

⋅

(3.3.6.2.1.11)

Paso 3: A las alturas cpi se les suma la protuberancia correspondiente a la curvatura terrestre,

que viene dada en metros por:

[

] [

]

{

}

k

y

y

x

x

y

y

x

x

f

i i n i n i i 2 1 2 2 2 0 2 0

)

(

)

(

)

(

)

(

07849

,

0

⋅

−

+

−

⋅

−

+

−

=

(3.3.6.2.1.12)

siendo k el factor de corrección del radio terrestre.

3.3.6.3. Difracción en obstáculos

La valoración de la pérdida por difracción en obstáculos requiere que haya una distinción entre obstáculos de tipo agudo o “filo de cuchillo”, que poseen espesor despreciable, y obstáculos de tipo redondeado, con una arista gruesa y redondeada definida por el radio de curvatura en su cima. Así mismo, también es necesario discernir si se está ante un caso en el que existen obstáculos aislados u obstáculos múltiples.

Aunque la difracción se produce únicamente por la superficie del suelo u otros obstáculos, para evaluar los parámetros geométricos situados en el plano vertical del trayecto (ángulo de difracción, radio de curvatura, altura del obstáculo) han de tenerse en cuenta la refracción media de la atmósfera en el trayecto. Para ello, se traza el perfil del trayecto con el radio ficticio de la Tierra que convenga, recogido en el Recomendación UIT-R P. 834-5. En climas templados, suele tomarse como radio ficticio de la Tierra kR0, con k=4/3.

3.3.6.3.1. Obstáculo aislado

Un obstáculo puede considerarse aislado si no existe interacción entre dicho obstáculo y el terreno circundante. Dicho de otra manera, la atenuación del trayecto se debe únicamente al obstáculo y el terreno que lo rodea no contribuye a dicha atenuación.

Numerosos trayectos de propagación comprenden un obstáculo o varios obstáculos separados, e interesa calcular la pérdida que éstos introducen. Para realizar el cálculo hay que idealizar la forma de tales obstáculos, considerándola bien como de arista de grosor despreciable o como de arista en filo de cuchillo gruesa y lisa, cuyo radio de curvatura en la cima está bien definido. Claro está que los obstáculos reales tienen formas más complejas y, por consiguiente, las indicaciones dadas en la Recomendación UIT-R P.526-9 se han de considerar nada más que como una aproximación.

El modelo de obstáculo aislado es válido en los trayectos que, salvo la obstrucción del obstáculo, son de visibilidad directa. Debe observarse que habrá pérdidas por difracción aunque el rayo pase por encima del obstáculo si -0,6R1<h<0 (despejamiento insuficiente).

Los datos que se facilitan a continuación son aplicables cuando la longitud de onda es suficientemente pequeña con relación a las dimensiones del obstáculo, o sea, principalmente en el caso de ondas métricas y más cortas (f>30 MHz).

Este es un caso extremadamente idealizado, en el que todos los parámetros geométricos se agrupan en un solo parámetro adimensional, que normalmente se designa por ν, y cuya definición puede tomar distintas formas equivalentes según los parámetros geométricos elegidos para tal efecto, entre ellas están:

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

λ

=

ν

2 1

1

1

2

d

d

h

(3.3.6.3.1.1.1)

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

λ

θ

=

ν

2 1

1

1

2

d

d

(3.3.6.3.1.1.2) donde:

h: altura (m) de la cima del obstáculo sobre la recta que une los dos extremos del

trayecto, denominada despejamiento. Si la cima queda por debajo de esa línea, h es negativa.

d1, d2: distancias (km) desde los dos extremos del trayecto a la cima del obstáculo. d: longitud del trayecto (km).

θ: ángulo de difracción (rad); tiene el mismo signo que h.

A la vista de estas ecuaciones se puede deducir que:

1

2

R

h

⋅

=

ν

(3.3.6.3.1.1.3)

donde el cociente h/R1 es el denominado despejamiento normalizado.

En la Figura 3.3.6.3.1.1.1 se representan estos parámetros geométricos básicos para el estudio del obstáculo agudo.

La atenuación por difracción en obstáculos agudos, J(ν), viene dada por la ecuación:

[

] [

]

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

₋

_ν

₋

_ν

₊

_ν

₋

_ν

−

=

ν

2

)

(

)

(

)

(

)

(

1

log

20

)

(

2 2

S

C

S

C

J

(3.3.6.3.1.1.4)

donde C(ν) y S(ν) son las partes real e imaginaria, respectivamente, de la integral compleja de Fresnel definida según:

Figura 3.3.6.3.1.1.1. Parámetros geométricos de un obstáculo agudo o de “filo de cuchillo”

∫

ν

ν

+

ν

=

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛ π

=

ν

0 2

)

(

)

(

d

2

exp

)

(

j

s

s

C

jS

F

_c (3.3.6.3.1.1.5)

donde j es el operador complejo que equivale a √-1, y C(ν) y S(ν) corresponden a las integrales del coseno y seno de Fresnel definidas por las ecuaciones:

∫

ν

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛ π

=

ν

0 2

d

2

cos

)

(

s

s

C

(3.3.6.3.1.1.6)

∫

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

ν

π

ν

0 2

d

2

sen

)

(

s

s

S

(3.3.6.3.1.1.7)

Cuando el valor de ν es superior a -0,78 puede obtenerse un valor aproximado mediante la expresión:

(

(

–

0

,

1

)

1

–

0

,

1

)

log

20

9

,

6

)

(

ν

=

+

ν

2

+

+

ν

J

dB (3.3.6.3.1.1.8)

También se puede obtener un valor aproximado de la atenuación por difracción en obstáculos agudos mediante curvas como la de la Figura 3.3.6.3.1.1.2. En esta figura se

presenta la pérdida por difracción en una arista en filo de cuchillo, o lo que es lo mismo, una medida del campo recibido con respecto a la situación de espacio libre. Se puede observar que en cuanto se libera una zona de Fresnel (ν=-√2), el efecto de la difracción es despreciable. De igual modo, en cuando se oculta una zona de Fresnel (ν=√2) la pérdida es superior a 16 dB. En la parte izquierda de la figura, el rizado de las pérdidas se debe a las contribuciones de fase o en oposición de fase de cada una de las zonas de Fresnel.

Figura 3.3.6.3.1.1.2. Pérdidas por difracción en una arista en filo de cuchillo.

3.3.6.3.1.2. Criterio de rugosidad

Si la superficie del obstáculo presenta desniveles que no rebasan los 100 m, el obstáculo debe considerarse redondeado y se aplicarán para el cálculo de la atenuación el método expuesto en el Apartado 3.3.6.3.1.3. Este criterio es experimental y está adecuado a los datos topográficos de la zona de estudio de este Proyecto Fin de Carrera.

3.3.6.3.1.3. Obstáculo redondeado

Cuando los obstáculos son redondeados la atenuación por filo se corrige añadiendo otros factores de pérdidas que tienen en cuenta el ángulo de visión, los radios de redondeo, las distancias del obstáculo a transmisor y receptor, etcétera.

En la Figura 3.3.6.3.1.3.1 se indica la geometría de un obstáculo de forma redondeada de radio R. Se puede observar que las distancias y la altura h por encima de la línea de base, se miden con respecto al vértice formado por la intersección de la proyección de los rayos sobre el obstáculo.

Figura 3.3.6.3.1.3.1. Geometría de un obstáculo redondeado.

La pérdida por difracción de esta geometría puede calcularse así:

dB

)

,

(

)

(

T

m

n

J

A

=

ν

+

(3.3.6.3.1.3.1) donde:

a) J(ν) es la pérdida de Fresnel-Kirchoff debida a una arista en filo de cuchillo equivalente

cuya cresta esté en el vértice. Se puede evaluar el parámetro ν adimensional mediante cualquiera de las ecuaciones (3.3.6.3.1.1.1) o (3.3.6.3.1.1.2). Por ejemplo, la Ecuación (3.3.6.3.1.1.1) puede escribirse en unidades prácticas así:

2 / 1 2 1 2 1

)

(

2

0316

,

0

_⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

λ

+

=

ν

d

d

d

d

h

(3.3.6.3.1.3.1)

donde h y λ se expresan en metros, y d1 y d2, en kilómetros.

J(ν) puede obtenerse de la Figura 3.3.6.3.1.1.2 o de la Ecuación (3.3.6.3.1.1.8).

b) T(m,n) es la atenuación adicional debida a la curvatura del obstáculo:

dB, 2 2 / 3 2 / 1

8

,

0

6

,

3

)

5

,

12

2

(

2

,

7

)

,

(

m

n

m

n

m

m

m

T

=

−

−

+

−

para

mn

≤ 4

(3.3.6.3.1.3.2) dB, 2 2 / 3 2 / 1

8

,

0

6

,

3

)

17

2

(

2

,

7

)

(

log

20

6

)

,

(

m

n

mn

m

n

m

m

m

T

=

−

−

+

−

−

+

−

para

mn

> 4

(3.3.6.3.1.3.3) donde 3 1 3 2

45708

,

0

_⎥

⋅

⋅

−

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⋅

+

=

r

f

d

d

d

d

m

hr ht hr ht _{(3.3.6.3.1.3.4)} 3 1 3 2 3

10

787

,

4

⋅

−

⋅

⋅

⋅

−

=

h

f

r

n

(3.3.6.3.1.3.5)