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LA IDENTIDAD DE LEONHARD EULER
LA IDENTIDAD DE LEONHARD EULER
1.1)
1.1) En matemáticas una de las más famosas identidades se llama identidad de Euler a unaEn matemáticas una de las más famosas identidades se llama identidad de Euler a una identidad que es un caso especial de la fórmula desarrollada por el matemático Leonhard identidad que es un caso especial de la fórmula desarrollada por el matemático Leonhard Euler que por si misma presenta una rara curiosidad de entre todas las demás, y es que ella Euler que por si misma presenta una rara curiosidad de entre todas las demás, y es que ella relaciona los 5 números más importantes en matemáticas como son
relaciona los 5 números más importantes en matemáticas como son ee, , ,, i i , 0, 1 luego, 0, 1 luego
veremos porque. veremos porque.
un
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poco de historia
poco de historia
Leonhard Paul Euler fue un i
Leonhard Paul Euler fue un importante matemático nacido en Basilea - mportante matemático nacido en Basilea - Suiza el 15 de abrilSuiza el 15 de abril del año 1707. Es considerado uno de los matemáticos más influyentes y prestigiosos del del año 1707. Es considerado uno de los matemáticos más influyentes y prestigiosos del siglo XVIII.
siglo XVIII.
Se puede observar en ella como va evolucionando el concepto numérico a través de los Se puede observar en ella como va evolucionando el concepto numérico a través de los años. Desde la concepción más instintiva, como la de los naturales (que ya se conocen años. Desde la concepción más instintiva, como la de los naturales (que ya se conocen desde la época prehistórica) hasta los números negativos (representados por -1) desde la época prehistórica) hasta los números negativos (representados por -1) obteniendo luego los números enteros. Si se agregan las fracciones (no figuran) se obtiene obteniendo luego los números enteros. Si se agregan las fracciones (no figuran) se obtiene como resultado a los números racionales. Después, añadiendo los irracionales (
como resultado a los números racionales. Después, añadiendo los irracionales (e e y y ) ) sese
obtienen los reales. Como punto final si se agregan los imaginarios (se representan por la obtienen los reales. Como punto final si se agregan los imaginarios (se representan por la unidad imaginaria
unidad imaginaria i i ) obtenemos finalmente a los números complejos.) obtenemos finalmente a los números complejos.
También se puede observar en esta identidad la historia de la evolución matemática, en También se puede observar en esta identidad la historia de la evolución matemática, en este caso de las operaciones aritméticas. Podemos ver una suma, un producto y también este caso de las operaciones aritméticas. Podemos ver una suma, un producto y también una potencia. Esta identidad es interesante y sumamente valiosa, ya que relaciona cinco una potencia. Esta identidad es interesante y sumamente valiosa, ya que relaciona cinco números muy utilizados en matemáticas:
números muy utilizados en matemáticas:
e
e
((númnúmero de Eero de Eululer o coer o connstastannte de Napierte de Napier) esencial en análisis. Este es un número) esencial en análisis. Este es un número irracional muy popular y también es uno de los números más trascendentes en irracional muy popular y también es uno de los números más trascendentes en matemáticas. Sus primeras cifras son las siguientes, 2,71828182845904523536028747135 matemáticas. Sus primeras cifras son las siguientes, 2,71828182845904523536028747135
((pipi) es un número esencial en geometría (corresponde a la relación entre la longitud) es un número esencial en geometría (corresponde a la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro, pi = 3,14159265.)
i
i
((llaa ununidad iidad immagiaginnariaaria) es un número de gran importancia algebraica. Un número) es un número de gran importancia algebraica. Un número imaginario es un número que tiene como cuadrado a un negativo,imaginario es un número que tiene como cuadrado a un negativo, i i ==
propiedad fundamental de los números complejos.propiedad fundamental de los números complejos.
0
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y
y
1
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SoSonn llas bases aritas bases aritméméticasticas puesto que son los elementos neutralespuesto que son los elementos neutrales correspondientes a la adición y a lacorrespondientes a la adición y a la multiplicaciónmultiplicación
Estos números no parecían guardar gran relación entre ellos. Pero Euler descubrió su Estos números no parecían guardar gran relación entre ellos. Pero Euler descubrió su relación, hecho que sorprendió al mundo de las
relación, hecho que sorprendió al mundo de las matemáticas.matemáticas.
Esta identidad como indique al inicio es un caso especial de la Formula de Euler la cual Esta identidad como indique al inicio es un caso especial de la Formula de Euler la cual especifica que:
especifica que:
NOTA:
NOTA:(los argumentos de las funciones trigonométricas sin y cos se toman en radianes)(los argumentos de las funciones trigonométricas sin y cos se toman en radianes)
Aquí
Aquí eees la base del logaritmo natural,es la base del logaritmo natural,i i es la unidad imaginaria,es la unidad imaginaria, sin x sin x yycos x cos x son funcionesson funciones trigonométricas.
trigonométricas.
Esta función tiene simetría par e impar razón por la cual son de gran utilidad en fisica Esta función tiene simetría par e impar razón por la cual son de gran utilidad en fisica moderna, y su representación grafica es como sigue:
moderna, y su representación grafica es como sigue:
Geométricamente se interpreta como una circunferencia de radio uno en
Geométricamente se interpreta como una circunferencia de radio uno en el plano complejo,el plano complejo, dibujada por la función
dibujada por la función al variaral variar
sobresobre
. Así . Así
es el ángulo de una recta que conectaes el ángulo de una recta que conectael origen del plano y un punto sobre la circunferencia, con el eje positivo real, medido en el origen del plano y un punto sobre la circunferencia, con el eje positivo real, medido en sentido anti horario y en radianes. La fórmula sólo es válida si las funciones seno y coseno sentido anti horario y en radianes. La fórmula sólo es válida si las funciones seno y coseno tienen sus argumentos en radianes.
tienen sus argumentos en radianes.
La fórmula de Euler fue demostrada por primera vez por Roger Cotes en 1714, y luego La fórmula de Euler fue demostrada por primera vez por Roger Cotes en 1714, y luego redescubierta y popularizada por Euler en 1748. Es interesante saber que ninguno de los redescubierta y popularizada por Euler en 1748. Es interesante saber que ninguno de los
descubridores vio la interpretación geométrica señalada anteriormente: la visión de los descubridores vio la interpretación geométrica señalada anteriormente: la visión de los números complejos como puntos en el plano surgi
números complejos como puntos en el plano surgi ó unos 50 años más ó unos 50 años más tarde.tarde.
1.2)
1.2)PasePasemmos a veros a verlla fóra fórmulmula ya ylla idea idenntidad:tidad:
En la fórmula de Euler: En la fórmula de Euler:
Si hacemos
Si hacemos
tenemos entonces:tenemos entonces:
Y como
Y como
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entonces:entonces:
De donde se sigue que:De donde se sigue que:
La cual es laLa cual es laIDE IDE NT NT IDID A ADD DE DE EULER.EULER.V
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(Nota: ésta demostración proviene de la
(Nota: ésta demostración proviene de la GaussianosGaussianos))
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e en forma de serie vien forma de serie vi ene dado por:ene dado por:
Además sabemos que:Además sabemos que:
;;
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En Si sustituimosSi sustituimos porpor dondedonde es una variable real ees una variable real e es la unidad imaginaria, yes la unidad imaginaria, y
agrupamos las potencias pares de
agrupamos las potencias pares de por un lado y las impares por otro entonces obtenemos que:por un lado y las impares por otro entonces obtenemos que:
Y escribiendo las expresiones deY escribiendo las expresiones de
yy
en forma de serie:en forma de serie:
Obtenemos: Obtenemos:
Y ahora sustituyendoY ahora sustituyendo por :por :
1.3)1.3)La fórmula proporciona una potente conexión entre en análisis matemático y la trigonometría.La fórmula proporciona una potente conexión entre en análisis matemático y la trigonometría. Se utiliza para representar números complejos en coordenadas polares y permite definir el Se utiliza para representar números complejos en coordenadas polares y permite definir el logaritmo para números negativos y números complejos.
logaritmo para números negativos y números complejos. Para el logaritmo de un número negativo:
Para el logaritmo de un número negativo: Basta con evaluar la fórmula de Euler en
Basta con evaluar la fórmula de Euler en
obteniendo:obteniendo:
Luego invirtiendo la exponencial se obtiene el logaritmo natural de -1 Luego invirtiendo la exponencial se obtiene el logaritmo natural de -1
Para un número negativo cualquiera: Para un número negativo cualquiera:
Además puede definirse el logaritmo de un número negativo en cualquier base, a partir del Además puede definirse el logaritmo de un número negativo en cualquier base, a partir del logaritmo natural y la formula de cambio de base.
logaritmo natural y la formula de cambio de base.
1.4)
1.4) Una propiedad importante de la fórmula de Euler es que es la única función matemática queUna propiedad importante de la fórmula de Euler es que es la única función matemática que permanece con la misma forma (excepto por la unidad imaginaria) con las operaciones de permanece con la misma forma (excepto por la unidad imaginaria) con las operaciones de integración y derivación del cálculo integral, lo que permite que se utilice para convertir integración y derivación del cálculo integral, lo que permite que se utilice para convertir ecuaciones diferenciales en ecuaciones con forma algebraica simplificando mucho las operaciones. ecuaciones diferenciales en ecuaciones con forma algebraica simplificando mucho las operaciones.
De las reglas de
De las reglas de potenciación tenemos:potenciación tenemos:
Y Y
válidas para todo par de números complejos
válidas para todo par de números complejos
yy
, , se puedse pueden en derivar derivar varias idenvarias identidadestidades trigonométricas así como la fórmula de De Moivre.trigonométricas así como la fórmula de De Moivre.
La fórmula de Euler también permite interpretar las funciones seno y coseno como variaciones de La fórmula de Euler también permite interpretar las funciones seno y coseno como variaciones de la función exponencial. la función exponencial.
Estas fórmulas sirven así mismo para definir las funciones trigonométricas para argumentos Estas fórmulas sirven así mismo para definir las funciones trigonométricas para argumentos complejos x. Las dos ecuaciones anteriores se
complejos x. Las dos ecuaciones anteriores se obtienen simplemente resolviendo las fórmulas:obtienen simplemente resolviendo las fórmulas:
En ecuaciones diferenciales, la función
En ecuaciones diferenciales, la función se utiliza para simplificar derivadas, incluso si lase utiliza para simplificar derivadas, incluso si la
respuesta final es una función real en la que aparezcan senos o cosenos, la identidad de Euler es respuesta final es una función real en la que aparezcan senos o cosenos, la identidad de Euler es una consecuencia inmediata de la formula de Euler.
