Programación Lineal

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“Programación Lineal”

Docente:

Ing. Calderón Pineda Hermilo

Alumno

Alumno::

Aragón Barriga Damián

Materia:

Optimización de recursos

Semestre:

3

oo

Grupo:

3 G

Periodo escolar:

Agosto

Agosto-Diciemre

-Diciemre

H. Cd. De !uc"itán de

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¿Qué es?

La Programación Lineal (PL) es una técnica matemática de optimización.

Por técnica de optimización se entiende un método que trata de maximizar o minimizar un objetivo; por ejemplo maximizar las utilidades o minimizar los costos. La programación lineal es un subconjunto de un área más extensa de procedimientos de optimización matemática llamada Programación !atemática. La Programación Lineal trata la planeación de las actividades para obtener un resultado óptimo esto es el resultado que mejor alcance la meta especi"icada (seg#n el modelo matemático) entre todas las alternativas de solución.

$s un método el cual consiste en optimizar una "unción por medio de máximos o m%nimos valores a esta la "unción alcanzara un máximo o un m%nimo la cual estará sujeta a ciertas restricciones.

&unción lineal de varias variables'

!áx (!in) "(x ) ax * b * c &unción +bjetivo ax * b , c

dx * e , " gx * - ,  /ujeto a un conjunto de ecuaciones . .

o inecuaciones llamadas restricciones . . . . x,0 ,0

La "unción objetivo.

$n un problema de programación lineal la "unción por maximizar o minimizar se llama "unción objetivo. 1unque por lo regular existe un n#mero in"inito de soluciones para el sistema de restricciones (llamadas soluciones "actibles o puntos "actibles) la meta es encontrar una que sea una solución óptima (esto es una que dé el valor máximo o m%nimo de la "unción objetivo).

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Restricciones estructurales y restricciones de no negatividad. Las restricciones son limitaciones impuestas al grupo de decisiones permisibles. 1lgunos ejemplos espec%"icos de tales restricciones son'

2. 3n administrador de cartera tiene determinada cantidad de capital a su disposición. Las decisiones están limitadas por la cantidad de capital disponible  por las regulaciones gubernamentales.

4. Las decisiones del administrador de una planta están limitadas por la capacidad de dic-a planta  por la disponibilidad de recursos.

5. Los planes de una aerol%nea para llevar a cabo la asignación del personal  los vuelos están restringidos por las necesidades de mantenimiento de los aviones  por la cantidad de empleados disponibles.

$l !odelo de programación lineal se ocupa de maximizar o minimizar una "unción objetivo lineal sujeta a dos tipos de restricciones'

6estricciones estructurales' Las restricciones estructurales re"lejan "actores como la limitación de recursos ( otras situaciones que impone la situación del problema.

6estricciones de no negatividad' Las restricciones de no negatividad garantizan que ninguna variable de decisión sea negativa.

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Aplicaciones

La programación lineal constitue un importante campo de la optimización por varias razones muc-os problemas prácticos de la investigación de operaciones pueden plantearse como problemas de programación lineal. 1lgunos casos especiales de programación lineal tales como los problemas de "lujo de redes  problemas de "lujo de mercanc%as se consideraron en el desarrollo de las matemáticas lo su"icientemente importantes como para generar por si mismos muc-a investigación sobre algoritmos especializados en su solución.

7el mismo modo la programación lineal es mu usada en la microeconom%a  la administración de empresas a sea para aumentar al máximo los ingresos o reducir al m%nimo los costos de un sistema de producción. 1lgunos ejemplos son la mezcla de alimentos la gestión de inventarios la cartera  la gestión de las "inanzas la asignación de recursos -umanos  recursos de máquinas la plani"icación de campa8as de publicidad etc.

1lgunas aplicaciones en obras de ingenier%a civil son'

• +ptimización de la combinación de ci"ras comerciales en una red lineal

de distribución de agua.

• 1provec-amiento óptimo de los recursos de una cuenca -idrográ"ica

para un a8o con a"luencias caracterizadas por corresponder a una determinada "recuencia.

• /oporte para toma de decisión en tiempo real para operación de un

sistema de obras -idráulicas.

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Ejemplo de la aplicación de un problema de programación lineal por método gráfco.

3n "abricante está tratando de decidir sobre las cantidades de producción para dos art%culos x2  x4. /e dispone de 9: unidades de material  4 -oras de mano de obra. <ada producto x2 requiere 24 unidades de materiales  : -oras de obra al máximo. !ientras que el producto x4 usar%a = unidades de material  24 -oras de mano de obra. $l margen de bene"icio es el mismo para ambos art%culos 3/>?. $l "abricante prometió construir por lo menos dos art%culos del producto x2 7eterminar la cantidad a producir  vender de cada art%culo que garanticen maores bene"icios.

&unción objetivo' @  ?x2 * ?x4

6estricciones x2  x4 A 0 (condición de no negatividad) 24x2 * =x4 B 9:

:x2 * 24x4 B 4 x2 A 4

!aximice' @  ?x2 * ?x4

2. <onvertimos las restricciones en ecuaciones. 24x2 * =x4  9:

:x2 * 24x4  4 x2  4

4. 3tilizamos el método del intercepto determinamos los puntos que de las respectivas l%neas rectas interceptan los ejes.

Para 24x2 * =x4  9:

a) /i x4  0 implica 24x2 * =(0)  9: 24x2  9:

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x2  = (=0) b) /i x2 0 implica 24(0) * =x4  9: =x4  9: x4  9:C= x4  24 (024) Para :x2 * 24x4  4 a) /i x4  0 implica :x2 * 24(0)  4 :x2  4 x2  4C: x2  24 (240) b) /i x2 0 implica :(0) * 24x4  4 24x4  4 x4  4C24 x4  : (0:) Para x4  4 (40)

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Graficamos.

/i la restricción tiene el signo , se sombrea a la derec-a  por encima de la l%nea pero si el signo es B se subraa a la izquierda por debajo del grá"ico de la l%nea recta. La región que satis"ace de manera simultánea las restricciones a sombreada se llama área o región "actible donde cada punto en esta región

representa una solución "actible. 1unque existe un n#mero in"inito de soluciones "actibles debemos encontrar una que maximice o minimice la "unción objetivo. Para 24x2 * =x4  9: (=0) (024) Para :x2 * 24x4  4 (240) (0:) Para x4  4 (40)

$sta área "actible tiene los siguientes vértices (=0) (:5) (40)  (4?). $s preciso aclarar que cualquier punto que caiga dentro del área "actible garantiza bene"icios pero son los puntos extremos o vértices de la "igura lo que garantizar%an máximos bene"icios.

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!aximice' @  ?x2 * ?x4

$n el punto (=0) implica @  ?(=) * ?(0)  >D0 $n el punto (:5) implica @  ?(:) * ?(5)  >D? $n el punto (40) implica @  ?(4) * ?(0)  >20 $n el punto (4?) implica @  ?(4) * ?(?)  >5?

$l maor valor es >D? lo que implica que -abrá que vender : unidades del producto x2  5 producto x4. /i pretendemos obtener los maores bene"icios.