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(1)

VECTORES

Las n-uplas de numeros reales se denominan vectores y, generalmente, se sim-bolizan por letras mayúsculas. Así.

A= (1; 3; 2) , B= (1; 1) , C= (x1; x2; x3) son vectores.

Dos vectores A y B se dice que son iguales si y sólo si sus correspondientes vectores son iguales.

1.1 SUMA DE VECTORES

La suma de dos vectores A y B se obtiene sumando las correspondientes com-ponentes de A y B. Así, si A= (a1; a2; :::; an) y B = (b1; b2; :::; bn) entonces A+ B = (a1+ b1; a2+ b2; :::; an+ bn) Example 1 Si A = (1; 3; 2) y B = (3; 2; 1) entonces A+ B = (1 + 3; 3 2; 2 + 1) = (4; 1; 3)

1.2 PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN

ESCALAR

El producto de un vector A por un número c se obtiene multiplicando cada componente de A por el número c. Así, si

A= (a1; a2; :::; an) entonces

cA = (ca1; ca2; :::; can) 5

(6)

Example 2 Si A = (1; 2; 3) entonces 3A = (3; 6; 9).

1.3 PROPIEDADES

Como las anteriores operaciones se realizan sobre las componentes de los vec-tores, estas operaciones tienen propiedades análogas a las que tienen los números reales.

Si A, B, C son vectores y a, b son números, entonces 1. A + B = B + A

2. (A + B) + C = A + (B + C)

3. El vector 0 = (0; 0; :::; 0) es tal que 0 + A = A + 0 = A. 4. Dado cualquier vector A, existe el vector Atal que

A+ ( A) = ( A) + A = 0 5. 1A = A.

6. (ab) A = a (bA) 7. (a + b) A = aA + bA 8. a (A + B) = aA + aB

Las anteriores propiedades se demuestran fácilmente por cálculo directo. La sustracción entre dos vectores A y B se de…ne por:

A B= A + ( B) así,

(1; 3; 5) (1; 4; 3) = (1 1; 3 4; 5 3) = (0; 1; 2)

1.4 PRESENTACION GRAFICA

Si los vectores tienen dos componentes o tres, es muy conveniente representarlos mediante ‡echas o segmentos dirigidos en el plano cartersiano o en el espacio cartesiano, respectivamente.

En general, para hallar la representación grá…ca de un vector A = (x; y) en el plano cartesiano se procede así: Tomamos un punto cualquiera P1 de dicho plano, luego nos desplazamos horizontalmente x unidades (hacia la derecha si x es positivo y hacia la izquierda si x es negativo); y a continuación nos de-splazamos y unidades verticalmente (hacia arriba si y es positivo y hacia abajo si y es negativo). Llamemos P2 al nuevo punto del plano así localizado. En-tonces la ‡echa que va desde P1 hasta P2es la representación grá…ca del vector A(ver …gura 1.1).

(7)

Para representar grá…camente vectores de tres componentes en el espacio se procede de manera similar al de los vectores de dos componentes en el plano.

P1 P2

A

-A

Fig. 1.1 x Fig. 1.2 x y y 1

Debido a que el punto de partida P1 es arbitrario, un mismo vector puede estar representado por distintas ‡echas.

Si como punto de partida se toma el origen de coordenadas, la representación grá…ca del vector A se denomina también radio vector.

Example 3 Todas las ‡echas de la …gura 1.2. representan al vector (0; 1), pero solamente una de ellas es un radio vector.

En general, de todas las ‡echas que representan a un vector se pre…ere tra-bajar con la ‡echa que parte del origen de coordenadas.

Como consecuencia de lo anterior se obtienen las siguientes representaciones grá…cas: A -A A A+B B A cA

Fig. 1.3a Fig. 1.3b Fig. 1.3c

La ‡echa Ase obtiene cambiando el sentido a la ‡echa A. Para obtener la ‡echa A + B se traza un paralelogramo y se unen las aristas opuestas como en la …gura 1.3b. La ‡echa cA es paralela a la ‡echa A y su longitud es jcj veces la longitud de A; si c > 0 las ‡echas tienen el mismo sentido, y si c < 0 las ‡echas tienen sentido opuesto.

(8)

Example 4 Calcular gra…camente A B, si A = (3; 2) y B = (2; 5). Los pasos se muestran en las tres siguientes …guras:

x y Fig. 1.4a x y Fig. 1.4b x y Fig. 1.4c A B B A -B A -B A-B

1.5 PARALELISMO DE VECTORES

Dos vectores son paralelos si uno de ellos es múltiplo del otro. Es decir: Aparalelo a B si A = cB (o B = cA), donde c es un número.

Es claro que según esta de…nición el vector cero es paralelo a cualquier vector (tomar A = 0 y c = 0).

Si c > 0, A y B tienen el mismo sentido, si c < 0 tienen sentidos opuestos. Example 5 a) Los vectores A = (1; 2; 4) y B = (2; 4; 8) son paralelos pues B= 2A. b) Los vectores A = (1; 2; 4) y B = (1; 3; 2) no son paralelos.

1.6 LONGITUD DE UN VECTOR

La longitud o módulo del vector A = (x1; x2; :::; xn), simbolizado por jAj, es el número

jAj = q

x2

1+ x22+ ::: + x2n

Geométricamente, el número jAj da la longitud de la ‡echa que representa grá…camente al vector A. Cuando un vector tiene módulo 1 se llama vector unitario.

Los vectores (1; 0; 0), (0; 1; 0) y (0; 0; 1) son unitarios; para simpli…car en algunos casos los cálculos, y por ser muy utilizados, frecuentemente se simbolizan por ^{ = (1; 0; 0), ^j = (0; 1; 0) y ^k = (0; 0; 1).

Example 6 a) El módulo del vector A = (4; 3) es jAj =p42_{+ 3}2₌p_{25 = 5} b) El vector A jAj = 1 5(4; 3) = 4 3; 3 5 es unitario.

(9)

El módulo jA B_{j da la distancia entre A y B.}

El módulo de un vector es una generalización del valor absoluto de un número y sus propiedades son análogas.

Dados dos vectores A y B, y un número real c, se veri…ca: 1. jAj 0

2. jAj = 0 si A = 0.

3. jcAj = jcj jAj (donde jcj es el valor absoluto de c). 4. jA + Bj jAj + jBj (desigualdad triangular).

1.7 PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES

A= (a1; a2; :::; an) y

B= (b1; b2; :::; bn) simbolizado por A B, es el número de…nido por

A B= a1b1+ a2b2+ ::: + anbn Example 7 Si A = (1; 2; 3) y B = (4; 1; 3) entonces

A B= 1 4 + 2 ( 1) + 3 3 = 11

El producto escalar tiene las siguientes propiedades, que pueden veri…carse fácilmente teniendo en cuenta la de…nición:

1. A B = B A

2. A (B + C) = (A B) + (A C) 3. (cA) B = c (A B) = A (cB) 4. A A = jAj2

El producto escalar es muy útil en el cálculo del ángulo determinado por dos vectores.

1.8 ANGULO ENTRE DOS VECTORES

Dados dos vectores A y B, aplicando el teorema de los cosenos a sus repre-sentaciones grá…cas (ver Ejercicio 12), se demuestra que el ángulo entre ambos vectores está dado por

cos = A B

(10)

A B

Fig. 1.5

1.9 PERPENDICULARIDAD ENTRE VECTORES

Cuando el ángulo entre dos vectores es

2 se dice que los vectores son perpendic-ulares (u ortogonales). De la fórmula que da el ángulo entre dos vectores, con

=

2, se ve que dos vectores A y B son perpendiculares si y sólo si A B = 0. Example 8 a) Dados los vectores A = (3; 6; 9) y B = (1; 3; 4), el ángulo entre los dos vectores se obtiene de

cos = A B jAj jBj = 3 + 18 + 36 3p14p26 = 57 6p91 = 0:99587

de donde = 5 120 medido en grados. b) Con A = (2; 2) y B = ( 1; 1) se tiene A B= 2 ( 1) + 2 1 = 0 luego, A y B son vectores perpendiculares.

1.10 PRODUCTO VECTORIAL

El producto vectorial de dos vectores A = (a1; a2; c3) y B = (b1; b2; b3) de R3, simbolizado por A B, es el vector.

A B= (a2b3 a3b2; a3b1 a1b3; a1b2 a2b1) con la notación A = a1^{ + a2^j + a3^k B = b1^{ + b2^j + b3^k se tiene A B= ^{ ^j k^ a1 a2 a3 b1 b2 b3 = (a2b3 a3b2) ^{ ( a1b3 a3b1) ^j + ( a1b2 a2b1) ^k

(11)

El vector A Bes perpendicular al vector A y al vector B. A B Fig. 1.6 A x B Example 9 Si A = (1; 3; 2) y B = (2; 1; 4) A B= ^{ ^j ^k 1 3 2 2 1 4 = (3:4 1:2) ^{ (1:4 2:2) ^j + (1:1 2:3) ^k simpli…cando A B= 10^{ 5^k

Algunas propiedades del producto vectorial son:

1. A B= (B A) (el producto vectorial es autoconmutativo).

2. (rA) B= r (A B) donde r es un número real.

3. A (B + C) = A B+ A C (propiedad distributiva).

Los vectores unitario ^{ = (1; 0; 0), ^j = (0; 1; 0) y ^k = (0; 0; 1) satisfacen las siguientes relaciones, que pueden veri…carse por cálculo directo:

^{ ^{ = ^j ^j = ^k ^k = 0

(12)

1.10.1 Signi…cado geométrico de A

B

El módulo del vector A Bes el área del paralelogramo de lados A y B (ver Ejercicio 20). A B Fig. 1.7 Area= AxB

Example 10 Del ejemplo anterior, con A = (1; 3; 2) y B = (2; 1; 4) se tiene A B= 10^{ 5^k

Por tanto, el área del paralelogramo de lados A y B es Area = jA B_{j =}p100 + 25 =p125 = 5p5

1.11 EL PRODUCTO MIXTO

El producto mixto de tres vectores A, B y C de R3_{, simbolizado por A B} _C se calcula según

A B C=

a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3 Mediante el cálculo directo se comprueba que

A B C= B C A= C A B

Por supuesto A B C no es una nueva operación, simplemente se trata del producto escalar del vector A por el vector B C. Es decir

A B C= A (B C) Example 11 Si A = (1; 3; 2), B = (3; 5; 1) y C = (2; 1; 4) entonces el producto mixto A B C es A B C= 1 3 2 3 5 1 2 1 4 = (20 + 1) 1 + (12 2) ( 3) + ( 3 10) 2 simpli…cando A B C= 25

(13)

1.11.1 Signi…cado geométrico de A B

C

El volumen del paralelepipedo determinado por los vectores A, B y C está dado por

V = jA B C_j En el ejercicio 23 se establece este hecho.

A

B

Fig. 1.8

C

Example 12 Calcular el volumen del paralelepípedo determinado por los vec-tores A = (1; 3; 2), B = (3; 5; 1) y C = (2; 1; 4). Como A B C = 25 (ejemplo anterior), se sigue que el volumen V del paralelepipedo determinado por los tres vectores es

V = jA B C_{j = 25}

1.12 EJERCICIOS RESUELTOS

VECTORES

Las operaciones básicas con los vectores son esencialmente las que realizamos con los números reales, simplemente cuidando de operar componente a compo-nente. 1. Si A = (4; 1) y B = (2; 3), calcular a) A 3B, b) 1 2A+ 2B. Solución. a) A 3B = (4; 1) 3 (2; 3) = (4; 1) (6; 9) = (4 6; 1 9) = ( 2; 10) b) 1 2A+ 2B = 1 2(4; 1) + 2 (2; 3) = 2; 1 2 + (4; 6) = 2; 13 2 2. Si A = (4; 1) y B = (3; 2), calcular grá…camente a) A + B, b) A 2B.

Solución. Antes de nada trazamos las ‡echas o radios vectores que repre-sentan a los vectores A y B.

a) Uniendo el origen con el vértice opuesto del paralelogramo determinado por A y B, obtenemos el radio vector que representa a A + B.

(14)

b) Primero duplicamos el tamaño de B, 2B; y luego le cambiamos el sen-tido, 2B. Como en la parte a) calculamos grá…camente A + ( 2B) =

A (2B).

B

A+B

A

A-2B

B

A

Fig. 9a Fig. 9b

A+B

Del grá…co leemos A + B = (7; 1) del grá…o leemos A 2B = ( 2; 5). 3. Si A = (1; 4; 2) y B = (2; 6; 0), determinar un vector X que satisfaga la

ecuación

A X= 2 (B X) + A

Solución. Procedemos empleando las propiedades algebráicas de los vec-tores:

A X= 2 (B X) + A (ecuación dada)

A X= 2B 2X + A (propiedad distributiva)

A+ X = 2B + A (sumando 2X a cada miembro)

X= 2B (Sumando Aa cada miembro)

Luego, X = 2B = 2 (2; 6; 0) = (3; 12; 0)

4. Si A = (1; 3; 4) y B = ( 1; 0; 5), calcular la longitud o modulo de a) A+ B, b) 1 2A 2B. Solución. a) Como A + B = (1; 3; 4) + ( 1; 0; 5) = (0; 3; 9), entonces jA + Bj =p02_{+ 3}2_{+ 9}2_{= 3}p₁₀ b) Como 1 2A 2B = 1 2(1; 3; 4) 2 ( 1; 0; 5) = 5 2; 3 2 8 , entonces 1 2A 2B = s 5 2 2 + 3 2 2 + ( 8)2= p 290 2

(15)

5. Calcular la distancia entre los puntos A y B dados. a) A = (1; 2), B= (4; 3) , b) A = (1; 2; 1) y B = (2; 1; 3).

Solución. La longitud o módulo del vector que va desde el punto A hasta el punto B da la distancia d entre estos dos puntos; por tanto

d = _jB A_{j = j(4; 3)} (1; _{2)j = j(3; 5)j} = p32_{+ 5}2₌p₃₄

b) Procediendo como antes

d = _jB A_{j = j(2; 1; ; 3)} _{(1; 2; 1)j = j(1; 3; 2)j} = p1 + 9 + 4 =p14

PARALELISMO

Simplemente tener en cuenta que dos vectores son paralelos si uno es múltiplo del otro.

6. Determinar el valor de a para que el vector (2; a) sea paralelo al vector ( 4; 6).

Solución. Se debe cumplir ( 4; 6) = c (2; a) (condición de paralelismo). Igualando componentes: 4 = 2c 6 = ac de donde c = 2 por tanto a = 3 7. Mostrar que si A 6= 0, entonces el vector A

jAj es un vector unitario, paralelo y del mismo sentido que A.

Solución. Como A jAj = 1 jAjA = 1 jAjjAj = 1 el vector dado es unitario.

Por otra parte, A

jAj es múltiplo de A pues A = jAj 1

jAj ; esto y el hecho de ser jAj > 0 dicen que el vector A

jAj es paralelo y del mismo sentido que A.

(16)

8. Si A = (1; 1; 1), encontrar un vector unitario paralelo a A y a) del mismo sentido, b) de sentido opuesto.

Solución. a) Como jAj =p3, entonces por el anterior ejercicio, el vector A jAj = 1 p 3(1; 1; 1) = 1 p 3; 1 p 3; 1 p 3 es unitario, paralelo a A y del mismo sentido.

b) Multiplicando por -1 al vector A

jAj le cambiamos el sentido, y por tanto obtenemos un vector unitario paralelo y de sentido opuesto a A. Es decir

A jAj = 1 p 3; 1 p 3; 1 p 3 es el vector pedido.

PRODUCTO ESCALAR Y ORTOGONALIDAD

Entre otras cosas, el producto escalar permite proyectar un vector sobre otro y determinar si dos vectores son o no ortogonales.

9. Calcular A B y (2A B) B si a) A = (1; 4), B = (3; 5), b) A = (1; ; 1; 2), B = (2; 0; 3).

Solución. a) Por una parte

A B= (1; 4) (3; 5) = 1 3 + ( 4) 5 = 17: Por otro lado como

2A B= 2 (1; 4) (3; 5) = ( 1; 13) ; se tiene

(2A B) B = ( 1; 13) (3; 5) = 1 3 13 5

= 68

b) Procediendo como antes

A B = (1; 1; 2) (2; 0; 3) = 1 2 + ( 1) 0 + 2 3

= 8

por otro lado

(2A B) B = [2 (1; 1; 2) (2; 0; 3)] (2; 0; 3) = (0; 2; 1) (2; 0; 3) = 3

(17)

10. Encontrar todos los vectores del plano, ortogonales a A = (4; 2). Solución. Si B = (a; b) es ortogonal al vector A = (4; 2), entonces A B = 0, entonces 4a 2b = 0 ordenando b = 2a. Por tanto B = (a; 2a) = a (1; 2) donde a es un número real. Lo que quiere decir que los vectore ortogonales a A son múltiplos (paralelos) del vector (1; 2). 11. Mostrar que A A = jAj2

Solución. Consideremos, en general, un vector A= (x1; x2; ; xn) , entonces por un lado

A A = (x1; x2; ; xn) (x1; x2; ; xn) = x2₁+ x2₂+ + x2_n y por otro jAj = q x2 1+ x22+ + x2n jAj2 = x2₁+ x2₂+ + x2_n por tanto A A= x21+ x22+ + x2n= jAj 2

12. Mostrar que si es el angulo entre los vectores A y B (de R2 _{o R}3_), entonces cos = A B jAj jBj B A Fig. 10 A-B

Solución. Los vectores A, B y A Bforman un triángulo tal como el del diagrama adjunto. Entonces, por el teorema de los cosenos

(18)

(A B) (A B) = A A + B B _{2 jAj jBj cos (porserA A = jAj}2): A A 2A B + B B = A A + B B _{2 jAj jBj cos}

de donde

cos = A B

jAj jBj

13. Mostrar que la componente de un vector A en la direccion de otro vector B esta dado por

CompBA= A B jBj B A Fig. 1.11 d d=CompBA

Solución. Para mayor claridad, sea d la componente de A en la dirección de B.

Del diagrama tenemos

cos = d

jAj =) d = jAj cos como cos = A B jAj jBj =) d = jAj A B jAj jBj de donde d = ComBA= A B jBj

Nota 1. Hay que remarcar que para encontrar la componente de A en la direccion de B debemos multiplicar (producto escalar) el vector A por el vector unitario B

jBj.

Nota 2. El signo de la componente de A en la direccion de B es positiva si el angulo entre A y B es menor que 90 , si el angulo es mayor que 90 dicha componente sera negativa.

(19)

B A Fig. 1.12a B A Fig. 1.12b > 90 ° < 90 ° Signo + Signo

-Nota 3. Si nos interesa el vector proyeccion de A sobre B, entonces simplemente hay que ampliar el vector unitario B

jBj en CompBA veces. Es decir, la proyeccion de A sobre B es

P ro yBA= (CompBA) B jBj= A B jBj B jBj A B c b a y x z k j i Fig. 13 Fig. 14 (ProyBA) de donde P royBA= A B B B B

14. Calcular la componente de A = (1; 3; 1) en la direccion de B = (5; 2; 14). Solución. Primeramente calculamos el vector B

jBj. Como jBj =p25 + 4 + 196 = 15 entonces B jBj= 1 15(5; 2; 14)

(20)

y por tanto CompBA = A B jBj = (1; 3; 1) 1 15(5; 2; 14) = 1 15

15. Dados A = (1; 1; 4) y B = (3; 0; 4) calcular a) la componente de A en la direccion de B, CompBA, b) la componente de B en la direccion de A, CompBB.

Solución. a) Como ComBA= A B jBj, calculamos jBj =p9 + 0 + 16 = 5 entonces CompBA= (1; 1; 4) 1 5(3; 0; 4) = 19 5

b) Para el cálculo de la componente de B en la dirección de A, tenemos jAj =p1 + 1 + 16 = 3p2, CompAB= B A jAj = (3; 0; 4) 1 3p2(1; 1; 4) = 19 3p2

16. Los cosenos de los angulos a; b; c que forma el vector A con los vectores unitarios ^{; ^j; ^k respectivamente, se llaman cosenos directores de A. Hallar los cosenos directores de A = (6; 3; 2).

Solución. Teniendo en cuenta la fórmula que da el ángulo entre dos vec-tores obtenemos cos a = A ^{ jAj j^{j = (6; 3; 2) (1; 0; 0) p 49p1 = 6 7 cos b = A ^j jAj ^j = (6; 3;p2) (0; 1; 0) 49p1 = 3 7 cos c = A ^k jAj ^k = (6; 3;p2) (0; 0; 1) 49p1 = 2 7 Notemos que A

jAj = (cos a; cos b; cos c). Esto dice que los cosenos directores de A son las componentes del vector unitario A

jAj. PRODUCTO VECTORIAL

Este producto permite encontrar un vector ortogonal a dos vectores dados. Tambien se emplea para clacular areas de triangulos, de paralelogramos y volumenes de paralelepipedos, ademas de tener otras aplicaciones.

(21)

17. Con A = (1; 0; 2), B = ( 3; 4; 1) calcular a) A B, b) B A. Solución. a) A B = ^{ ^j ^k 1 0 2 3 4 1 = (0 8) ^{ (1 + 6) ^j + (4; 0) ^k = 8^{ 7^j + 4^k = ( 8; 7; 4) b) Procediendo como antes

B A = ^{ ^j k^ 3 4 1 1 0 2 = (8 0) ^{ ( 6 1) ^j + (0 4) ^k = (8; 7; 4)

El mismo resultado obtenemos a partir de a) recordando que B A =

(A B)

18. Mostrar que el vector A Bes perpendicular a) el vector A, b) al vector B.

Solución. Vamos a mostrar que el producto escalar de A B tanto como Acomo con B es cero. Con A = (a1; a2; a3) y B = (b1; b2; b3) tenemos

A B= ^{ ^j ^k a1 a2 a3 b1 b2 b3 = (a2b3 a3b2; a3b1 a1b3; a1b2 a2b1) a) Como (A B) A = (a2b3 a3b2; a3b1 a1b3; a1b2 a2b1) (a1; a2; a3) = a1a2b3 a1a3b2+ a3a2b1 a1a2b3+ a1a3b2 a2a3b1 = 0 (simpli…cando).

Por tanto, A Bes perpendicular a B. 19. Mostrar que jA B_{j = jAj jBj sin , 0} .

Solucion. Cuando se tiene módulo conviene trabajar con su cuadrado y en terminos del producto escalar. Con A = (a1; a2; a3) y B = (b1; b2; b3) tenemos: Por una parte

jA B_j2 = (a2b3 a3b2; a3b1 a1b3; a1b2 a2b1) (a2b3 a3b2; a3b1 a1b3; a1b2 a2b1) = a2₁b2₂+ a2₁b2₃+ a2₂b2₁+ a2₂b2₃+ a₃2b2₁+ a2₃b2₂ 2a1a2b1b2 2a1a3b1 a1b3

(22)

Por otra parte

jAj2jBj2sin2 = _jAj2_jBj2 1 cos2 = _jAj2_jBj2 _jAj2_jBj2cos2 = _jAj2_jBj2 (A B)2 desarrollando y simpli…cando tenemos

jAj2jBj2 (A B)2 = a₁2+ a2₂+ a2₃ b2₁+ b2₂+ b2₃ (a1b1+ a2b2+ a3b3)2 = a2₁b2₂+ a2₁b2₃+ a2₂b2₁+ a2₂b2₃+ a2₃b2₁+ a2₃b2₂ 2a1a2b1b2

2a1a3b1b3 2a2a3b2b3 Combinando (1), (2) y (3) tenemos …nalmente,

jA B_j2 = _jAj2_jBj2sin2 = _{jAj jBj sin con 0}

El valor de esta restringido entre 0 y porque el segundo miembro debe ser no negativo, como el primer miembro.

20. Mostrar que jA B_{j da el área del paralelogramo de lados A y B.} Solucion. Es sabido que el área del paralelogramo de lados A y B es el producto de la base por la altura. En este caso:

Area = jAj h: h B A z x x R P Q Fig. 15 Fig. 16

Por otra parte, el diagrama se obtiene sin = h

jBj =) h = jBj sin reemplazando,

(23)

21. Calcular el área del paralelogramo de lados a) A = (1; 4; 1) y B = (1; 0; 3), b) A = (2; 5) y B = (5; 1). Solución. a) Como A B= ^{ ^j ^k 1 4 1 1 0 3 = (12; 4; 4) entonces: Area = jA B_{j = j(12; 4; 4)j =}p176 = 4p11

b) Los vectores (2; 5) y (5; 1) están en el plano, pero los podemos considerar como vectores en el espacio escribiendo (2; 5) = (2; 5; 0) ; (5; 1) = (5; 1; 0). Como A B = ^{ ^j ^k 2 5 0 5 1 0 = (0; 0; 23) entonces jA B_{j = 23}

Por tanto el área del paralelogramo es igual a jA B_{j = 23.}

22. Calcular el área del triangulo de vertices P = (1; 1; 1), Q = (3; 2; 1), R= (1; 3; 5).

Solución. Notemos que el área del triángulo dado es igual a la mitad del área del paralelogramo de lado Q Py R P(ver el diagrama). Como

Q P= (3; 2; 1) (1; 1; 1) = (2; 1; 2) R P= (1; 3; 5) (1; 1; 1) = (0; 2; 6) y (Q P) (R P) = ^{ ^j ^k 2 1 2 0 2 6 = (2; 12; 4) entonces área triángulo = 1 2j(Q P) (R P)j = 1 2 p 4 + 144 + 16 =p41

23. Mostrar que A B Cda el volumen del paralelepipedo determinado por los vectores A, B y C.

(24)

Solución. El volumen del paralelepípedo, como es conocido, está dado por h B ×C A B C A C B Fig. 18 Fig. 19

V = área basal altura Por una parte,

área basal = jB C_j (ejercicio 20)

por otro lado, la altura h es la componente del vector A en la dirección del vector A en la dirección del vector B C(perpendicuar a B y C). Es decir

h = CompB CA= A

(B C)

jB C_j luego,

V = área basal _{altura = (jB} C_{j) A} B C

jB C_j = A B C

como siempre consideramos el volumen positivo:

Volumen paralelepíopedo = jA B C_j

24. Calcular el volumen del paralelepipedo determinado por los vectores A = (1; 3; 2), B = (3; 5; 1) y C = (2; 1; 4).

Solución. El volumen pedido es V = jA B C_{j. Calculando,}

A B C= 1 3 2 3 5 1 2 1 4 = 25 Por tanto,

(25)

25. Mostrar que el volumen del tetraedro de aristas A, B y C esta dado por V =1

6jA B Cj

Solución. El procedimiento es analogo al del ejercicio 23. El volumen del tetraedro, como es sabido, es

V = 1

3 área basal altura del diagrama: Area basal = 1 2jB Cj Altura = CompB CA= A B C jB C_j luego, V = 1 3 1 2jB Cj A B C jB C_j V = 1 6jA B Cj

donde se ha tomando el valor absoluto para evitar volúmenes negativos. 26. Calcular el volumen del tetraedro cuyas aritas son los vectores (1; 0; 1),

(1; 2; 0) y (0; 1; 4). Solución. Como A B C= 1 0 1 1 2 0 0 1 4 = 8 + 1 = 9

De acuerdo al ejercicio anterior, el volumen del tetraedro es V = 1 6jA B Cj = 1 6 9 = 3 2 unid. vol. PROBLEMAS VARIOS.

(26)

para que A Bsea perpendicular a A. 45 ° A-B B A A B M N Fig. 20 Fig. 21

Solucion. Como el vector A Bha de ser perpendicular a A, entonces

(A B) A = _{0 ) A A} B A= 0

jAj2 = B A_{) jAj}2_{= jAj jBj cos 45} de donde

jBj = _{cos 45}jAj = 3 1=p2 = 3

p 2

28. Sean A = (1; 5), B = (1; 1) y C = ( 1; 3), expresar el vector A como combinacion lineal de los vectores B y C, es decir en la forma

A= xB + yC

Solucion. Debemos determinar los numeros x; y de modo que se cumpla A= xB + yC reemplazando (1; 5) = x (1; 1) + y ( 1; 3) = (x y; x + 3y) igualando componentes 1 = x y 5 = x + 3y de donde, resolviendo el sistema, obtenemos

x = 2

y = 1

por tanto

(27)

29. Expresar el vector A = (1; 2; 1) como la suma de un vector M paralelo a B= (1; 4; 1) y de otro N perpendicular a B.

Solucion. Antes que nada hagamos un diagrama de la situación (Fig. ##). Como se ve, el vector A es la suma de M y N, M es paralelo a B y N perpendicular a B. Determinemos M y N.

Por una parte,

M = xB (1) (M paralelo a B) N = A M (2) (del diagrama) por otra B N = 0 (3) (B perpendcular a N) reemplazando (1) y (2) en (3) tenemos B (A M) = B (A xB) = 0, de donde x = A B B B como A B = (1; 2; 1) (1; 4; 1) = 8 B B = 12+ 42+ ( 1)2= 18 reemplazando x = 8 18 = 4 9 entonces M= xB = 4 9(1; 4; 1) = 4 9; 16 9 ; 4 9 N= A M= (1; 2; 1) 4 9; 16 9 ; 4 9 = 5 9; 2 9; 13 9

Notemos, …nalmente, que el vector A se ha descompuesto en la suma de un vector M paralelo a B y de otro N perpendicular a B:

A= M + N = 4 9; 16 9 ; 4 9 + 5 9; 2 9; 13 9

(28)

punto medio de su base es perpendicular a la base. B B-A ½A A c b a B C A M Fig. 22 _{Fig. 23}

Solucion. Antes de nada introducimos notacion vectorial a un triangulo isosceles tal como el de la …gura.

Es su…ciente mostrar que el vector M = B 1

2A(que une el punto medio de la base con el vertice opuesto) es perpendicular al vector A.

Por una parte

A M= A B 1

2A = A B

1

2A A (1)

Por otra parte,

jBj = jB A_{j (por ser triángulo isósceles)} jBj2 = _jB Aj2 es decir B B= (B A) (B A) = B B 2A B + A A y simpli…cando A A= 2A B (2) reemplazando (2) en (1) se tiene A M= A B 1 22A B = 0

lo que quiere decir que los vectores A y M son perpendiculares. 31. Mostrar que A B= 0 si y solo si A y B son paralelos.

Solucion. Primeramente mostraremos que si A B= 0 entonces A y B son paralelos.

(29)

obviamente A y B son paralelos. En caso de que A 6= 0 y B 6= 0, entonces como

0 = A B_{) 0 = jA} B_{j = jAj jBj sin} con 0 y por ser

A_{6= 0 y B 6= 0, sin = 0 ) = 0 ó} =

Que el ángulo entre A y B sea 0 ó signi…ca precisamente que A y B son parlelos.

Para acabar mostraremos que si A y B son paralelos entonces A B= 0. Supongamos que A y B son paralelos. Entonces B = cA y

A B= A (cA) = c (A A) = 0 por propiedad de producto vector.

32. Mostrar la ley de los senos, vectorialmente. Solución. Teniendo en cuenta el diagrama,

Area triangulo = 1 2jA Bj = 1 2jA Cj es decir, 1 2jAj jBj sin c = 1 2jAj jCj sin b de donde, jBj sin b = jCj sin c (1) similarmente Area triángulo = 1 2jA Bj = 1 2jB Cj es decir, 1 2jAj jBj sin c = 1 2jBj jCj sin a de donde, jAj sin a = jCj sin c (2) de (1) y (2) obtenemos la ley de los senos:

jAj sin a= jBj sin b = jCj sin c

(30)

33. Mostrar que las diagonales de un cuadrado son perpendiculares. A+B A-B B A D P M _B C F Q E N A C Q P B N R A O

Fig. 24 Fig. 25 Fig. 26

Solución. Consideremos un cuadrado cuyos lados son los vectores A y B (ver …gura ##). Entonces las diagonales del cuadrado son los vectores A By A + B.

Como

(A B) (A + B) = A A B; A + A B; B B B

= _jAj2 _jBj2= 0 (por ser: lado del cuadrado = jAj = jBj). Por tanto, A By A + B son perpendiculares.

34. Dado el paralelogramo de vértices A, B, C, D con P y Q puntos medios de los lados BC y CD respectivamente. Mostrar que AP y AQ trisectan la diagonal BD en los puntos E y F .

Solución. Previamente realizamos un diagrama (…gura), donde para mayor claridad se designa por M al vector AB y por N al vector BC.

Por una parte: AE = xAC (por ser AE y AC paralelos) AE = x (M + N) (pues AC = M + N) (1) Por otra parte:

AE = AP + P E (suma de vectores)

AE = AP + yP D (por ser P E paralelo a P D)

AE = 1 2M+ y N 1 2M (2) por ser AP =1 2M y por ser P D = N 1 2M Igualando (1) y (2) tenemos x (M + N) = 1 2M+ y N 1 2M ) xM + xN = 1 2M+ yN y 2M

(31)

de donde

x 1

2 + y

2 M= (y x) N como M y N son no paralelos

x 1

2 + y

2 = 0

y x = 0

y resolviendo el sistema obtenemos

x = 1

3

y = 1

3

Por tanto AE = xAC = 1₃AC, dice que AE es la tercera parte de AC. Similarmente se muestra que F C es la tercera parte de AC. Lo que …nal-mente dice que DP y DQ trisectan la diagonal AC.

35. Mostrar que las medidas de un triangulo se cortan en un punto a un tercio de cada mediana.

Solución. Siguiendo el diagrama, trazamos las medianas de los lados AC y BC. Por un lado AO = xAQ AO = x M + CQ pero CQ = 1 2(N M) entonces AO = x M +1 2(N M) = x 2(M + N) (1) Por otro lado

AO = AP + P O AO = 1 2M+ y P B pues P O paralelo a P B. AO = 1 2M+ y N 1 2M (2) pues P B = N 1 2M

(32)

Igualando (1) y (2) x 2(M + N) = 1 2M+ y N 1 2M x 2 1 2 + y 2 M = y x 2 N

como M y N son no paralelos, entonces x 2 1 2+ y 2 = 0 y x 2 = 0 resolviendo el sistema x = 2 3 y = 1 3 Entonces AO = 2₃AQ, P O = 1₃P B.

Lo que dice que P O es la tercera parte de la mediana P B; y también que OQ es la tercera parte de la mediana AQ.

Hasta ahora tenemos que: Dos medianas de un triangulo se cortan en un punto (obvio) a un tercio de cada mediana (ya demostrado). De lo que se sigue que la tercera mediana debe pasar por el mismo punto de interseccion de las otras dos medianas ubicado a un tercrio de dicha mediana. Por tanto, las tres medianas del triangulo se cortan a un tercio de cada median.

1.13 EJERCICIOS PROPUESTOS

VECTORES Sean A = (1; 2), B = ( 1; 3) y C = (0; 4); calcular: 1. A + B. 2. A B+ C. 3. 3B. 4. 4A 3B. 5. A + 2B 3C. 6. 4 (A + B) 5C. 7. 1 2(A B) + 1 4C. Sean A = (1; 4; 1), B = (2; 5; 4) y C = (0; 4; 0); calcular:

(33)

8. A + C. 9. 2A B+ 2C. 10. 1 2B+ A C. 11. 3A B. 12. 1 2(A + B) B.

13. Si A = (1; 2), B = ( 1; 3) realizar gra…camente las siguientes operaciones: a) A + B, b) A B, c) 2A 3B y d) 1

2A 5 2B.

Dados los vectores A y B, en cada una de las ecuaciones determinar un vector X que la satisfaga.

14. A = (2; 3), B = (1; 4); 3X 2A + B = 0:

15. A = (0; 1), B = (5; 2); 3 (A X) = 6 (X A+ B) 3X. 16. A = (1; 2; 1), B = (0; 3; 1); X 3A B= 2X

17. A = (1; 3; 2), B = ( 2; 1; 2); 2 (A X) = X 2B 2 (X A)

18. Si A = (3; 0; 4) y B = (2; 1; 3), calcular la longitud o módulo de a) A, b) A + B, c) 3A 1 2By d) A jAj+ B jBj.

19. Calcular la distancia entre los siguientes pares de puntos a) (1; 1) y (2; 2) b) (3; 8) y (8; 3) , c) (1; 1; 8) y (1; 2; 3).

PARALELISMO

20. Indicar cuáles de los siguientes pares de vectores son paralelos y en tal caso, si tienen el mismo sentido. a) (1; 1) y (2; 2); b) (2; 4) y (4; 2); c) (5; 7; 3) y ( 15; 21; 9).

21. Si A = (1; 2; 3) y B = (3; 1; 2), hallar un vector unitario C paralelo al vector a) A + B; b) 2A B; c) A+ 3B.

PRODUCTO ESCALAR Y ORTOGONALIDAD

22. Sean U = (3; 0; 5), V = (2; 1; 3), P0 = (1; 2; 1), P1 = (2; 3; 1), calcular: a) U V; b) U (P1 P0); c) V V; d) (U + V) (P0 P1); e) (U + V) (U V_{); f) jU} V_j2.

23. Si A = (2; 4; 7), B = (2; 6; 3) y C = (3; 4; 5); en cada una de las expre-siones siguientes se pueden introducir los paréntesis de una sola manera para obtener una expresión que tenga sentido. Introducir dichos parénte-sis y efectuar las operaciones. a) A B C; b) A B + C; c) A_B C; d)

A C C B.

24. Determinar todos los pares ortogonales entre los vectores A = (4; 1; 3), B= (1; 2; 2), C = (1; 2; 2), D = (2; 1; 2) y E = (2; 2; 1).

(34)

25. Hallar todos los vectores de R2 _{de la misma longitud de A y que son} ortogonales a A, siendo: a) A = (1; 2); b) A = (2; 1); c) A = ( 2; 8); d) A = (3; 5).

26. Encontrar un vector X, distinto de cero, que sea ortogonal a (1; 5; 1). ¿Es X único?

27. Calcular la componente de A en la dirección de B, siendo: a) A = (3; 8), B= (2; 0); b) A = (5; 8), B = (1; 1); c) A = (1; 2; 3), B = (1; 0; 1); d) A= (1; 1; 1), B = (1; 2; 3).

28. Mostrar que si A 6 =0, entonces la suma de los cuadrados de sus cosenos directores es igual a 1; es decir

cos2a + cos2b + cos2c = 1

29. Mostrar que el ángulo que forman A = (1; 2; 1) y B = (2; 1; 1) es el doble del que forman C = (1; 4; 1) y D = (2; 5; 5).

30. Determinar los cosenos de los ángulos del triángulo cuyos vértices son los puntos (2; 1; 1), (1; 3; 5) y (3; 4; 4).

31. Hallar dos vectores no paralelos, ortogonales a (1; 2; 1).

32. Hallar dos vectores perpendiculares entre sí y perpendiculares, cada uno, al vector (2; 1; 1). PRODUCTO VECTORIAL 33. Sean A = (1; 2; 3), B = (1; 1; 0) y C = ( 1; 2; 1); calcular: a) A B; b) B A, c) A A; d) A (B C); e) A (A B); f) (A + B) (A B); g) (A 2C) 2B. 34. Sean A = (1; 0; 1), B = (2; 1; 1) y C = (1; 2; 1); calcular a) A B C; b) C A B; c) A A C; d) C A C.

35. Tres vértices de un paralelogramo son los puntos A = (1; 0; 1), B = ( 1; 1; 1) y C = (2; 1; 2); hallar todos los puntos que pueden ser el cuarto vértice del paralelogramo.

36. Calcular el área del paralelogramo de lados a) (5; 3) y (3; 7); b) (1; 1) y (2; 4); c) (1; 3; 0) y ( 2; 4; 3); d) ( 3; 2; 4) y (1; 1; 1); e) (a; 0; 0) y (0; b; c).

37. Calcular el área del triángulo de vértices: a) (0; 0), (1; 0) y (3; 8); b) (5; 0), (8; 4) y (1; 1); c) ( 2; 1; 3), (3; 0; 6) y (4; 5; 1) d) (a; 0; 0), (0; b; 0) y (0; 0; c).

38. Determinar el volumen del paralelepípedo determinado por a) (2; 2; 4), (1; 5; 2) y (1; 0; 1); b) (2; 1; 3), ( 3; 0; 6) y (4; 5; 1).

(35)

39. Determinar el volumen del tetrahedro de aristas: a) (5; 0; 16), (1; ; 1; 1) y (8; 2; 3); b) (a; b; 0), (0; b; c) y (a; 0; c).

PROBLEMAS VARIOS

40. Si las diagnonales de un paralelogramo son los vértices ( 1; 1) y (5; 1), hallar los lados del paralelogramo.

41. Si las diagonales de un paralelogramo son los vértices A y B, expresar los lados del paralelogramo en términos de A y B.

42. Si A = (2; 1; 1) y B = (3; 4; 4), hallar un punto C tal que A, B y C sean los vértices de un triángulo rectángulo.

43. Encontrar el ángulo que forman las diagonales de un cubo.

44. Determinar los vértices de un cubo si sus diagonales son los vectores que unen P0= (1; 1; 2) con P1= (3; 1; 4) y P2= (3; 1; 2) con P3= (1; 1; 4) respectivamente.

45. Mostrar que si los vértices A y B en el plano no son paralelos, entonces la igualdad

xA + yB = 0 implica x = y = 0.

46. Mostrar que si los vectores A y B en el plano no son paralelos, entonces la igualdad

x1A+ y1B= x2A+ y2B implica x1= x2, y1= y2.

47. Sean A, B, C y D los vértices de un cuadrilátero y P , Q, R y S los puntos medios de cada lado respectivamente, mostrar que: a) P QRS es un paralelogramo; b) el perímetro de P QRS es igual a la suma de las longitudes de las diagonales de ABCD.

48. Mostrar que las diagonales de un paralelogramo se bisectan.

49. Mostrar que las diagonales de un cuadrado son perpendiculares entre si. 50. Mostrar que las diagonales de un rombo son perpendiculares entre si. 51. Mostrar que el triángulo cuyos vértices están en los extremos de un diámetro

de una circunferencia y sobre la circunferencia es triángulo rectángulo. 52. Mostrar que el vector que une los puntos medios de los lados de un

trián-gulo es paralelo al tercer lado y tiene la mitad de su longitud.

53. Mostrar que el punto medio de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es equidistante a los tres vértices.

(36)

55. Mostrar la ley de los cosenos.

56. Si ABCD es un paralelogramo, mostrar que AB2+ BC2+ CD2+ DA2= AC2+ BD2.

(37)

GEOMETRIA

ANALITICA SOLIDA

2.1 LA RECTA

La recta que pasa por el punto P0y tiene la dirección del vector V es el conjunto de puntos X que se expresan como

X = P0+ tV (2.1)

t número real. El vector V se llama vector direccional de la recta.

P0 V P2 V P1 Fig. 2.1 Fig. 2.2

Considerando X = (x; y; z) y P0 = (x0; y0; z0) y V = (a; b; c) e igualando componentes en (1) se obtiene la ecuación cartesiana de la recta:

x = x0+ at y = y0+ bt z = z0+ ct

(38)

Example 13 Determinar la ecuación de la recta que pasa por los puntos P0= (1; 1; 1) y P1= (3; 2; 2). Un vector direccional de la recta es

V = P1 P0= (3; 2; 2) (1; 1; 1) V = (2; 3; 1)

Como la recta pasa por el punto P0= (1; 1; 1), su ecuación es X = P0+ tV = (1; 1; 1) + t (2; 3; 1) O, considerando X = (x; y; z) e igualando componentes,

x = 1 + 2t y = 1 3t z = 1 + t

(2) (forma cartesiana)

Teniendo en cuenta que la componente de un vector en la dirección de otro se puede calcular mediante el producto escalar, se deduce que la distancia d de un punto P1 a la recta X = P0+ tV está dada por

d = (P1 P0)

(P1 P0) V jVj2 V .

Dadas las rectas X = P0+ tV y X = P1+ tU, el ángulo entre ambas es el ángulo que forman sus respectivos vectores direccionales, es decir:

cos = U V

jUj jVj (2.2)

2.1.1 Distancia entre dos rectas no paralelas

X = P0+ tU y

X = P1+ tV

es, por de…nición, el valor mínimo de las distancias de las distancias entre puntos de cada una de las rectas. Se puede demostrar que la distancia d entre ambas rectas es

d = (P1 P0)

U V

jU V_j (2.3)

Example 14 Dadas las rectas no paralelas

X = P0+ tU = (1; 0; 2) + t (2; 1; 0) X = P1+ tV = (2; 1; 1) + t (0; 2; 2) punto P2= (1; 2; 3); calcular

(39)

b) La distancia entre las dos rectas. c) El ángulo entre las dos rectas. Solución. a) Calculando P2 P0 = (1; 1; 3) (1; 0; 2) = (0; 1; 1) (P2 P0) U = (0; 1; 1) (2; 1; 0) = 1 jUj = U U = (2; 1; 0) (2; 1; 0) = 5 entonces (P2 P0) U jUj2 U= 1 5(2; 1; 0) = 2 5; 1 5 ; 0 Entonces la distancia del punto a la recta es

d = (P2 P0) (P2 P0) U jUj2 U = (0; 1; 1) 2 5; 1 5 ; 0 = 2 5 ; 4 5 ; 1 = 3 p 5 b) Calculando P1 P0= (2; 1; 1) (1; 0; 2) = (1; 1; 1) U V = i j k 2 1 0 0 2 2 = 2i 4j + 4k = ( 2; 4; 4) jU V_{j = j( 2; 4; 4)j =}p4 + 16 + 16 = 6

luego, la distancia entre las dos rectas es d = (P1 P0) U V jU V_j = (1; 1; 1) 1 6( 2; 4; 4) d = 1 6( 2 4 4) = 5 3

c) Los vectores U = (2; 1; 0) y V = (0; 2; 2) son vectores direccionales de las dos rectas dadas, por tanto el ángulo entre ambas se obtiene de

cos = U V jUj jVj= (2; 1; 0) (0; 2; 2) p 4 + 1p4 + 4 = 1 2p10( 2) = 1 p 10 de donde = 108 260

(40)

2.2 EL PLANO

El plano determinado por los vectores no paralelos U , V y que pasa por el punto P0tiene por ecuación

X = P0+ sU + tV (2.4)

con s, t números reales.

U V P0 n X X-P0 P0 Fig. 2.3 Fig. 2.4

Sea N un vector normal al plano, entonces si X es cualquier punto del plano, el vector X P0, se encuentra sobre este plano y debe ser perpendicular a la normal N , es decir, la ecuación del plano es

N (X P0) = 0 (2.5)

De cualquiera de las dos anteriores ecuaciones (3) y (4) del plano, haciendo X = (x; y; z), la ecuación del plano se reduce a la forma general

ax + by + cz + d = 0 (2.6)

se demuestra que el vector (a; b; c) es normal al plano.

El fácil ver que dos planos son paralelos si sus normales lo son.

Example 15 a) Determinar la ecuación del plano que pasa por los puntos P0= (1; 1; 2), P1= (2; 1; 1) y P2= ( 1; 2; 3).

b) Hallar un vector normal N al plano del inciso a).

c) Expresar la ecuación del plano en suf orma cartesiana ax + by + cz + d = 0.

P1

P2

P0

U

(41)

a) Los vectores

U = P1 P0= (2; 1; 1) (1; 1; 2) = (1; 2; 1) V = P2 P0= ( 1; 2; 3) (1; 1; 2) = ( 2; 3; 1)

se encuentran sobre el plano. Como el plano pasa por P0= (1; 1; 2) su ecuación vectorial es

X = P0+ sV + tU

= (1; 1; 2) + s (1; 2; 1) + t ( 2; 3; 1)

b) Puesto que los vectores U y V están sobre el plano, un vector normal al plano es N= U V= ^{ ^j ^k 1 2 1 2 3 1 = 5^{ + ^j + 7^k = (5; 1; 7)

c) Si X = (x; y; z) es un punto cualquiera del plano, el vector X P0 se en-cuentra sobre el plano y debe ser, por tanto, perpendicular al vector normal N . Es decir

N (X P0) = 0

(5; 1; 7) ((x; y; z) (1; 1; 2)) = (5; 1; 7) (x 1; y + 1; z 2) = 0 5x + y + 7z 18 = 0

Si N es un vector normal al plano que pasa por el punto P0, la distancia d del punto P al plano está dado por

d = (P P0) N jNj = ((1; 2; 3) (0; 0; 4)) (3; 2; 1) p 14 = _p1 14(1; 2; 1) (3; 2; 1) = 2 p 14 = r 2 7

2.3 CILINDROS Y SUPERFICIES

CUADRI-CAS

2.3.1 Cilindros

Una ecuación de la forma f (x; y) = 0 determina una super…cie en el espacio xyz. Su grá…ca en el espacio se obtiene deslizando la curva f (x; y) = 0 del plano xy en forma continua y paralelamente al eje z -variable que no …gura en

(42)

la ecuación de la super…cie - (Ver …gura 2.6).

f(x,y) = 0

Fig. 2.6

Similarmente se obtienen las grá…cas de super…cies cilíndricas paralelas a los otros ejes.

Example 16 Gra…car las super…cies cilíndricas a) y = x2 y b) z = y2. Solución. a) La grá…ca de y = x2 _{en el plano xy es una parábola. Deslizando} paralelamente al eje z se obtiene su grá…ca (…gura 2.7a).

b) La grá…ca de z = y2_{es una parábola en el plano yz. La grá…ca de la super…cie} z = y2 _{en el espacio se obtiene deslizando la parábola paralelamente al eje x} (…gura 2.7b).

y = x2

z = y2

Fig. 2.7 _{Fig. 2.8}

2.3.2 Super…cies cuádricas

La grá…ca en el espacio de una ecuación polinomial de segundo grado se llama super…cie cuádrica. Así por ejemplo, las grá…cas de

x2+ y2+ z2= 1 , x2 2xy + y2 z2= 10 , y2 z2= 4 son super…cies cuádricas.

Algunas super…cies cuádricas ya conocidas son la esfera (x2_{+ y}2_{+ z}2_{= R}2₎ y el cilindro (x2_{+ y}2 _{= R}2_{). Existen también otras que son particularmente} importantes.

(43)

Para gra…car una super…cie cuádrica es conveniente seguir ordenadamente los siguientes pasos:

1. Encontrar las intersecciones de la super…cie con los planos coordenados (llamadas trazas).

2. Encontrar las intersecciones de la super…cie con los ejes coordenados. 3. Gra…car algunas secciones planas de la super…cie.

Example 17 Gra…car la super…cie cuádrica x2+ y2 4z2 2x = 0.

Procedemos siguiendo las recomendaciones generales dadas:

1. Trazas. Haciendo z = 0 hallamos la intersección de la super…cie con el plano xy:

x2+ y2 4z2 2x = 0 x2+ y2 2x = 0 )

z = 0 (x 1)2+ y2_{= 1 (circunferencia)} Haciendo y = 0 hallamos la intersección de la super…cie con el plano xz:

x2+ y2 4z2 2x = 0 x2 2x 4z2= 0 )

y = 0 (x 1)2 4z2_{= 1 (hipérbola)} Haciendo x = 0 hallamos la traza en el plano yz:

x2+ y2 4z2 2x = 0 y2 4z2= 0

)

x = 0 (y 2z) (y + 2z) = 0 (dos rectas ) 2. Haciendo x = 0, y = 0 obtenemos la intersección de la super…cie con el eje z:

x2_{+ y}2 _4z2 _{2x = 0}

) 4z2_{= 0 ) z = 0} x = 0; y = 0

con x = 0, z = 0 obtenemos la intersección con el eje y: x2_{+ y}2 _4z2 _{2x = 0}

) y2_{= 0 ) y = 0} x = 0; z = 0

y haciendo y = 0, z = 0 tenemos la intersección con el eje x x2_{+ y}2 _4z2 _{2x = 0}

) x2 _{2x = 0} y = 0; z = 0 x (x 2) = 0

(44)

3. Ahora averiguemos cómo es la super…cie a diversas alturas del espacio, es decir; sobre los planos de la forma z = k (k constante).

x2+y2-4z2-2x=0

Fig. 2.9

x2+ y2 2x = 4k2_{) (x} 1)2+ y2= 4k2+ 1 (circunferencia) Estos nos dice que si se corta la super…cie con el plano z = k se obtiene la circunferencia:

(x 1)2+ y2= 4k2+ 1

Además, observamos que a medida que el corte con el plano z = k se efectúa a mayor altura (k cada vez más grande), el radio de la circunferencia aumenta. Gra…cando cada una de las trazas, y teniendo en cuenta las intersecciones con los ejes coordenados; y considerando que las circunferencias en cada plano de corte son más grandes a mayor altura, hacia arriba o hacia abajo, se obtiene la grá…ca de la …gura 2.8.

2.3.3 Super…cies cuádricas importantes

Procediendo como en el ejemplo ## se obtienen las grá…cas de super…cies cuá-dricas importantes, grá…cas que se muestran en las …guras que siguen:

Fig. 2.10 Fig. 2.11 x2 a2 + y2 b2 + z2 c2 = 1 x2 a2 + y2 b2 = 1

(45)

y x z z y x Fig. 2.12 Fig. 2.13 x2 a2 + y2 b2 z2 c2 = 1 z2 c2 y2 b2 x2 a2 = 1

Hiperboloide de una hoja Hiperboloide de dos hojas

y z x _x y z Fig. 2.14 Fig. 2.15 x2 a2 + y2 b2 = z2 c2 x2 a2 y2 b2 = cz

Cono Paraboloide hiperbólico

Notemos que si intercambiamos los símbolos x, y, z en cualquiera de las anteriores ecuaciones, el tipo de la super…cie no cambia.

2.4 COORDENADAS CILINDRICAS Y

ESFER-ICAS

Muchas super…cies cuyas ecuaciones cartesianas son relativamente complicadas, se describen de manera simple en otro sistema de coordenadas adecuadamente elegido.

(46)

2.4.1 Coordenadas cilíndricas

(x,y,z) y z x y z x (x,y,z) r Fig. 2.16 Fig. 2.17

El punto (x; y; z) del espacio se puede determinar también mediante las coorde-nadas (r; ; z) donde

x = r cos ; 0 r

y = r sin ; 0 2

z = z

(2.7) En el espacio xyz las coordenadas cilíndricas se interpretan así:

r: es la longitud del radio vector proyección de (x; y; z) sobre el plano xy. : es el ángulo que hay entre el eje x positivo y el radio vector r.

z: cntinua siendo la altura del punto.

Las ecuaciones dadas anteriormente permiten pasar del sistema de coorde-nadas cartesianas al de coordecoorde-nadas cilíndricas. Para el proceso inverso se tiene

r =px2_{+ y}2 = arctany_x z = z

(2.8)

Example 18 La grá…ca de x2+y2= z2es un cono. En coordenadas cilíndricas, este mismo cono está representado simplemente por

r = z

2.4.2 Coordenadas Esféricas

El punto (x; y; z) del espacio puede localizarse también por medio de las coor-denadas ( ; ; ). Las ecuaciones que relacionan ambos sistemas son:

x = sin cos y = sin sin z = cos

(2.9)

donde 0, 0 ; , 0 2 .

En el espacio xyz las coordenadas esféricas admiten la siguiente interpretación: : es la longitud del radio vector que va del origen al punto (x; y; z).

(47)

: es el ángulo medio entre el eje z positivo y el radio vector.

: como en coordenadas cilíndricas es el ángulo medio sobre el plano xy entre el eje x positivo y la proyección del radio vector sobre el plano xy.

Por cálculo directo se demuestra que 2_{= x}2_{+ y}2_{+ z}2_.

Example 19 La grá…ca de x2_{+ y}2_{+ z}2 _{= R}2 _{es una esfera de radio R. Su} ecuación en coordenadas esféricas es simplemente

r = R

2.5 EJERCICIO RESUELTOS

2.5.1 La Recta

Dos puntos o un punto y un vector (direccional) determina completamente a una recta.

1. Hallar la ecuación vectorial y cartesiana, dela recta que pasa por el punto P0= (1; 1; 2) con vector direccional V = (2; 1; 1).

Solución. como la recta pasa por P0 = (1; 1; 2) y su vector direccional es V = (2; 1; 1), su ecuación vectorial es

X = P0+ tV = (1; 1; 2) + t (2; 1; 1)

Con X = (x; y; z) e igualando componentes obtenemos la ecuación carte-siana de la recta

(x; y; z) = (1; 1; 2) + t (2; 1; 1) x = 1 + 2t

y = 1 + t

z = 2 + t

2. Hallar la ecuación de la recta que para por los puntos P0 = (1; 2; 3) y P1= ( 2; 1 2). P1 P2 P1-P0 P0 recta d P1 P1-P0 Fig. 2.18 Fig. 2.19

(48)

Solución. El vector P1 P0, que va de P0a P1, se encuentra sobre la recta y es, por tanto, un vector direccional de la recta. Calculando:

V = P1 P0= ( 2; 1; 2) (1; 2; 3) = ( 3; 1; 1)

Como para por P0, la ecuación de la recta pedida es X = P0+ tV = (1; 2; 3) + t ( 3; 1; 1) o también:

x = 1 3t

y = 2 t

z = 3 t

3. Mostrar que la distancia del punto P1 a la recta X = P0+ tV está dada por

d = (P1 P0)

(P1 P0) V jV j2 V

Solución. Para mayor claridad lo haremos detalladamente. Teniendo en cuenta la …gura ###, el vector P1 P0va del punto P0a P1, la proyección de este vector sobre la recta es igual a su proyección sobre el vector direc-cional V , es decir: Proyección sobre la recta (P1 P0) _{jV j}V multiplicando por el vector unitario V se obtiene el vector proyección sobre la recta

(P1 P0) V jV j

V jV j: Por tanto, la distancia del punto a la recta es:

d = (P1 P0)

(P1 P0) V jV j2 V 4. Calcular la distancia del punto (1; 2; 1) a la recta

X = (1; 1; 1) + t (2; 1; 1) :

Solución. Con P0= (1; 2; 1), P1= (1; 1; 1) y V = (2; 1; 1) y de acuerdo al ejercicio anterior tenemos

P1 P0 = (1; 2; 1) (1; 1; 1) = (0; 1; 0)

(P1 P0) V = (0; 1; 0) (2; 1; 1)

(49)

Ademas jV j2= 22_{+ 1}2_{+ ( 1)}2 = 6. Por tanto d = (P1 P0) (P1 P0) V jV j2 V = (0; 1; 0) 1 6(2; 1; 1) = r 5 6 5. Hallar la distancia del punto ( 2; 1; 3) a la recta

x = t ; y = 1 t ; z = 2 + 3t

Solución. Para poder aplicar la fórmula, previamente expresamos la ecuación de la recta en su forma vectorial.

Como x = t ; y = 1 t ; z = 2 + 3t

X = (0; 1; 2) + t (1; 1; 3)

entonces, por P0= (0; 1; 2), V = (1; 1; 3) y P1= ( 2; 1; 3), tenemos P1 P0= ( 2; 1; 3) (0; 1; 2) = ( 2; 0; 1) (P1 P0) V = ( 2; 0; 1) (1; 1; 3) = 1 jV j2= 12+ ( 1)2+ 32= 11. De donde d = (P1 P0) (P1 P0) V jV j2 V = ( 2; 0; 1) 1 11(1; 1; 3) = 1 11 p 594

6. Calcular la distancia del punto P0 = (1; 0; 2) a la recta que pasa por los puntos P1= (1; 2; 1) y P2= (2; 1; 3).

Solución. La recta que pasa por los puntos P1 y P2 tiene como vector direccional a

P2 P1= (2; 1; 3) (1; 2; 1) = (1; 3; 2) .

Como, en particular, la recta pasa por P1, la distancia de P0a la recta es d = (P1 P0) (P1 P0) V jV j2 V = (0; 2; 1) (0; 2; 1) (1; 3; 2) 12_{+ ( 3)}2_{+ 2}2 (1; 3; 2) Simpli…cando d = r 3 7

7. Dadas las rectas X = (2; 1; 3) + t (3; 4; 1), X = (2; 0; 1) + t (5; 2; 0), calcular el ángulo entre las dos rectas.

Solución. De las ecuciones dadas, los vectores U = (3; 4; 1) y V = (5; 2; 0) son vectores direccionales de la primera y segunda recta dada

(50)

respectivamente. Teniendo en cuenta que el ángulo entre dos rectas es el ángulo entre sus vectores direccionales, el ángulo buscando obtenemos de cos = U V jV j jV j = (3; 4; 1) (5; 2; 0) p 26p29 = 7 p 754 = 75 130

8. Mostrar que la distancia entre las rectas no paralelas X = P0+ tU ; X = P1+ tV está dada por

d = (P1 P0)

U V

jU V j

Solución. Por una parte el vector U V es perpendicular a U y V .

U ×V P1-P0 P0 P1 P2 P1 P0 Fig. 2.20 Fig. 2.21

Por otra parte, el vector P1 P0 va del punto P0 (en una de las rectas) a P1 (en la otra recta). Entonces, la distancia entre las dos rectas es la proyección del vector P1 P0 sobre el vector U V . (Fig. ###). Es decir

d = (P1 P0)

U V

jU V j

donde se ha tomando el valor absoluto para evitar distancias negativas. 9. Dadas las rectas

x = 3 t ; y = 2 + 2t ; z = 1 t

x = t ; y = 1 + t ; z = 2t

calcular a) el ángulo que forman y b) la distancia entre ellas.

Solución. Antes que nada, conviene expresar cada recta en su forma vec-torial:

X = (x; y; z) = (3; 2; 1) + t ( 1; 2; 1) = P0+ tU X = (x; y; z) = (0; 1; 0) + t (1; 1; 2) = P1+ tV

(51)

a) El ángulo que forman las rectas se obtiene de cos U V jUj jV j = ( 1; 2; 1) (1; 1; 2) p 1 + 4 + 1p1 + 1 + 4 = 1 6 = 99 350 b) Como P1 P0= (0; 1; 0) (3; 2; 1) = ( 3; 1; 1) U V = i j k 1 2 1 1 1 2 = 5i + j 3k = (5; 1; 3) y, de acuerdo al ejercicio 8, la distancia entre las rectas es

d = (P1 P0) U V jU V j = ( 3; 1; 1) (5; 1; 3) p 25 + 1 + 9 = 16 p 35 EL PLANO

Un plano está completamente determinado por tres puntos del plano, o un punto del plano y dos vectores no paralelos sobre el plano; o también por un punto del plano y un vector normal al plano.

10. Dados los puntos P0= ( 1; 2; 1), P1= (3; 2; 1), P2= (0; 1; 2). Hallar la ecuación del plano que pasa por los tres puntos a) en su forma vectorial, b) en su forma casteriana.

Solución. a) Los vectores

P1 P0 = (3; 2; 1) ( 1; 2; 1) = (4; 0; 2) P2 P0 = (0; 1; 2) ( 1; 2; 1) = (1; 1; 1)

se encuentran sobre el plano. Por tanto, los dos vectores generan el plano pedido y su ecuación vectorial es

X = P0+ sU + tV

X = ( 1; 2; 1) + s (4; 0; 2) + t (1; 1; 1)

b) La ecuación catesiana del plano se obtiene de la ecuación vectorial simplemente igualando componentes y eliminando las variables s y t:

X = (x; y; z) = ( 1; 2; 1) + s (4; 0; 2) + t (1; 1; 1) donde x = 1 + 4s + t y = 2 t z = 1 2s + t x + y = 1 + 4s y + z = 3 2s x + 3y + 2z = 7

(52)

11. Hallar la ecuación cartesiana del plano cuya ecuación vectorial es X = (1; 1; 2) + t (2; 1; 3)

Solución. Igualando componentes y eliminando las variables s y t: X = (1; 1; 2) + s (3; 1; 2) + t (2; 1; 3)

x = 1 + 3s + 2t y = 1 s + t z = 2 + 2s + 3t

=) x_3y 2y = 3 + 5s_{z =} _{5 + 5s} =) x 5y + z = 8 12. Hallar la ecuación vectorial del plano cuya ecuación cartesiana es

x y + 2y = 1

Solución. determinamos tres puntos del plano a partir de los cuales ob-tendremos dos vectores sobre el plano.

Si x = 0 ; y = 0 ) z = 1 2 entonces P0= 0; 0; 1 2 x = 0 ; z = 0 ) y = 1 entonces P1= (0; 1; 0) y = 0 ; z = 0 ) x = 1 entonces P2= (1; 0; 0)

Los vectores U = P1 P0 = 0; 1; 1₂ y V = 1; 0; 1₂ están sobre el plano. Teniendo en cuenta que el plano pasa por (1; 0; 0), su ecuación vectorial es

X = (1; 0; 0) + s 0; 1 1

2 + t 1; 0; 1 2

13. Mostrar que el vector (a; b; c) es perpendicular al plano ax+by+cz +d = 0.

P-P0 P0 P Fig. 2.22 (a,b,c) P0 V Fig. 2.23 P1 U

Solución. Es su…ciente mostrar que el vector (a; b; c) es perpendicular a cualquier vector que esté sobre el plano.

(53)

punto P0 = 0; 0; d_c está en el plano. Si P = (x; y; z) es cualquier otro punto del plano, el vector P P0 = x; y; z +dc se encuentra sobre el plano.

Como (a; b; c) x; y; z +d_c = ac + by + c z +d_c = ax + by + cz + d = 0. Esto dice que el vector (a; b; c) es perpendicular a cualquier vector que está sobre el plano y, por tanto, es perpendicular al plano.

14. Hacer pasar una recta por el punto (1; 4; 2), perpendicular al plano x + 2y + 3z = 10.

Solución. De la ecuación del plano se sigue que el vector (1; 2; 3) es per-pendicular al plano (ejercicio anterior) y, por tanto, sirve como vector direccional de la recta pedida. Como la recta debe pasar por el punto (1; 4; 2), la recta pedida es

X = (1; 4; 2) + t (1; 2; 3) PROBLEMAS VARIOS

15. Encuentre la ecuación del plano que pasa por P1= (2; 1; 2) y contiene a la recta X = (1; 0; 2) + t (3; 2; 1).

Solución. Recordemos que necesitamos dos vectores no paralelos para generar un plano. Como la recta

X = P0+ tV = (1; 0; 2) + t (3; 2; 1)

está contenida en el plano, el vector V = (3; 2; 1) está sobre el plano pedido. Por otra parte, por pasar el plano por los puntos P0 y P1, el vector

U = P1 P0= (2; 1; 2) (1; 0; 2) = (1; ; 1; 0)

está sobre el plano. Por tanto U y V generan el plano pedido. Luego, teniendo en cuenta que debe pasar por P1la ecuación del plano pedid es

X = P1+ sU + tV = (2; 1; 2) + s (1; 1; 0) + t (3; 2; 1)

16. Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos P0 = (3; 1; 2), P1= (1; 2; 1) y es perpendicular al plano x 3y + 2z = 8. P0 P1 x N d P P0 n Fig. 2.24 Fig. 2.25

(54)

Solución. Por una parte, de la ecuación del plano dado se tiene que el vector M = (1; 3; 2) es perpendicular a dicho plano. Por otra parte, si X = (x; y; z) es cualquier punto del plano pedido, los vectores

U = X P0= (x 3; y 1; z + 2) V = X: P1= (x 1; y 2; z 1)

se encuentra sobre el plano. Entonces el vector N = U V es perpendicular al plano pedido. Como los planos deben ser perpendiculares, deben serlo también sus normales M y N ; es decir

M N = M (U V ) =

1 3 2

x 3 y 1 z + 2

x 1 y 2 z 1

= 0

Desarrollando el determinante se obtiene: 11x + 7y + 5z = 25, que es la ecuación del plano pedido.

17. Mostrar que la distancia del punto P al plano que pasa por P0 con vector normal n está dado por:

d = (P P0) n jnj

Solución. El vector P P0 va de P0 a P y la proyección de este vector sobre el vector normal n da la distancia del punto P al plano (…gura. ###). Es decir

d = (P P0) n jnj

18. Calcular la distancia del punto P = ( 1; 3; 4) y el plano X = s (1; 3; 1) + t (2; 1; 2).

Solución. De la ecuación del plano X = s (1; 3; 1) + t (2; 1; 2) se ve que pasa por P0= (0; 0; 0) el (el origen) y, por otra parte; el vector

n = (1; 3; 1) (2; 1; 2) =

i j k

1 3 1

2 1 2

= (7; 4; 5)

es perpendicular o normal al plano. Según el ejercicio 17, la distancia de P = ( 1; 3; 4) al plano es d = (P P0) n jnj = ( 1; 3; 4) (0; 0; 0) (7; 4; 5) p 49 + 16 + 25 = 13 p 10

(55)

19. Mostrar que la distancia entre un plano y una recta (paralelos) está dada por

d = (Pp Pr) n jnj

donde n es unvector normal al plano, Pp y Pr son puntos del plano y la recta respectivamente.

Solución. Como son paralelos, la distancia entre el plano y la recta es igual a la distancia de un punto cualquiera Pr de la recta al plano. Por tanto, según el ejercicio 17, la distancia de la recta al plano es

d = (Pp Pr) n jnj

20. Hacer pasar un plano que contenga a la recta x = 1 t, y = 2 + t, z = 3t y además sea paralelo al plano x + y 2z = 5.

P0 V X-P0 X n P1 X P2 Fig. 2.26 Fig. 2.27

Solución. De X = (x; y; z) = (1; 2; 0) + t ( 1; 1; 3) se ve que la recta pasa por P0 = (1; 2; 0) con vector direccional V = ( 1; 1; 3). Por otra parte, el vector n = (1; 1; 2) es normal al plano x + y 2z = 5 (ejercicio 13) y como el plano perdido debe ser paralelo al dado, n también debe ser normal al plano pedido. Si X = (x; y; z) es un plano cualquiera del plano pedido, el vector X P0 está sobre dicho plano. Por tanto este vector debe ser perpendicular a la norma n, es decir

n (X P0) = 0 (1; 1; 2) (x 1; y 2; z) = 0 de donde

x + y 2z = 3 es la ecuación del plano pedido.

(56)

21. Hallar la ecuación cartesiana del plano que equidista de los puntos P1 = (1; 2; 1) y P2= (3; 0; 2).

V

X

O

P

1

(a,b,c,)

P

0 Fig. 2.28 Fig. 2.29

Solución. Si X = (x; y; z) es un punto cualquiera del plano pedido, la distancia de X a P1 de X a P2 deben ser iguales. Es decir

jX P1j = jX P2j q

(x 1)2+ (y 2)2+ (z + 1)2 = q

(x 3)2+ y2_{+ (z + 2)}2 tomando cuadrados, desarrollando y después de simpli…car obtenemos

4x 2y 2z = 7 ecuación pedida.

22. Hallar la ecuación del plano perpendicular a la recta X = (1; 2; 3) + t ( 1; 0; 2) y que contenga al origen.

Solución. Si X = (x; y; z) es un punto cualquiera del plano, entonces teniendo en cuenta que el plano pasa por el origen 0 = (0; 0; 0), el vector

X 0 = X = (x; y; z)

está sobre el plano pedido. Además, por ser la recta perpendicular al plano, su vector direccional V = ( 1; 0; 2) es perpendicular al plano y por tanto

V (X 0) = ( 1; 0; 2) (x; y; z) = 0 x + 2z = 0

es la ecuación del plano pedido.

23. Mostrar que la distancia del punto P1 = (x1; y1; z1) al plano ax + by + cz + d = 0 es

d =jax1p+ by1+ cz1+ dj a2_{+ b}2_{+ c}2

(57)

Solución. Haciendo x = 0, y = 0 en la ecuación del plano se obtiene el punto P0= 0; 0; dc sobre el plano. Como el vector P1 P0va del punto P0 a P1 y el vector (a; b; c) es normal al plano (ejercicio 13), la proyección del vector P1 P0 sobre este vector normal da la distancia del punto al plano (Fig. ###). Es decir

d = (P1 P0) (a; b; c) j(a; b; c)j d = x1; y1; z1+ d c (a; b; c) j(a; b; c)j d = jax1p+ by1+ cz1+ dj a2_{+ b}2_{+ c}2

donde se ha tomado el valor absoluto para evitar distancias negativas. 24. Hallar la distancia del punto P1= ( 2; 15; 7) al plano 5x 14y + 2z = 0.

Solución. De acuerdo al ejercicio anterior, la distancia d del punto al plano es d = jax1_p+ by1+ cz1+ dj a2_{+ b}2_{+ c}2 = j5 ( 2) 14 (15) + 2 ( 7) + 9j q 52_{+ ( 4)}2_{+ 2}2 d = j 225jp 225 = 15

25. Hallar el punto del plano 5x 14y + 2z + 9 = 0 que está más próximo al punto P = ( 2; 15; 7).

Solución. De la ecuación del plano se tiene que el vector n = (5; 14; 2)

es perpendicular al plano. La recta que pasa por P con vector direccional n intersecta al plano dado precisamente en el punto del plano más próximo a P .

n X

(58)

Entonces, si X = (x; y; z) es el punto pedido,

(x; y; z) = P + tn = ( 2; 15; 7) + t (5; 14; 2) por estar en la recta.

ó

x = 2 + 5t

y = 15 14t

z = 7 + 2t

igualando componentes y reemplazando en la ecuación del plano dado (por estar X en el plano). 5x 14y + 2z + 9 = 5 ( 2 + 5t) 14 (15 14t) + 2 ( 7 + 2t) = 0. De donde se obtiene t = 1 x = 2 + 5 = 3 y = 15 14 = 1 z = 7 + 2 = 5

Por tanto, el punto X = (3; 1; 5) es el punto del plano más próximo a P = ( 2; 15; 7).

26. Hallar la ecuación de la recta que corta perpendicularmente a la recta x = 2t, y = t y z = 3t en el origen y es paralela a plano x + y + z = 1. Solución. Sea X = (x; y; z) un punto cualquiera de la recta pedida. Como las rectas se cortan en el origen, la recta pedida pasa obviamente por el orige 0 y, por tanto, el vector X 0 = X está sobre la recta. Entonces el vector X = (x; y; z) es un vector direccional de la recta pedida.

Además, de la ecuación de la recta dada X = (x; y; z) = t (2; 1; 3) se ve que V = (2; 1; 3) es un vector direccional de esta recta.

Como las rectas son perpendiculares, lo son también sus vectores direc-cionales X y V ; es decir

V X = 0 ó (2; 1; 3) (x; y; z) = 0 (1)

Por otra parte, por ser paralela al plano x + y + z = 1, la recta pedida es perpendicular a la normal n = (1; 1; 1) del plano. En particular, el vector direccional de la recta, X, es perpendicular a la normal del plano n. Es decir

n X = 0 ó (1; 1; 1) (x; y; z) = 0 (2) De las ecuaciones (1) y (2) se tiene

2x + y 3z = 0

(59)

expresando todas las variables en términos de una de ellas, digamos z, tenemos 2x + y 3z = 0 x + y + z = 0 =) x 4z = 0 y 5z = 0 =) x = 4z y = 5z z = z (4)

de donde, cambiando z por t en (4), obtenemos la ecuación cartesiana de la recta pedida:

x = 4t ; y = 5t ; z = t

27. Un punto se desplaza en el espacio de modo que en el instante t su posición viene dada por el vector X (t) = (1 t; 2 3t; 2t 1). a) Mostrar que el punto se mueve a lo largo de una recta (digamos L). b) Hallar un vector paralelo a L. c) En qué instante el punto toca al plano 2x+3y+2z +1 = 0? d) Hallar la ecuación cartesiana del plano paralelo al de la parte c) y que contiene al punto X (2). e) Hallar la ecuación cartesiana del plano per-pendicular a L que contenga a X (2).

Solución. a) Como X (t) = (1 t; 2 3t; 2t 1) = (1; 2; 1)+t ( 1; 3; 2) el punto se mueve a lo largo de la recta L (que pasa por P0 = (1; 2; 1) con vector direccional V = ( 1; 3; 2).

b) Como la dirección de la recta está dada por su vector direccional V , un vector paralelo a L es el mismo V = ( 1; 3; 2).

c) Cuando el punto X (t) = (1 t; 2 3t; 2t 1) esté en el plano 2x + 3y + 2z + 1 = 0 se tendrá

2 (1 t) + 3 (2 3t) + 2 (2t 1) + 1 = 0

de donde resolviendo, se tiene t = 1. Por tanto, el punto está en el plano en el instante t = 1.

d) Primero localizamos el punto X (3) = (1 3; 2 3 (3) ; 2 (3) 1) = ( 2; 7; 5). El vector n = (2; 3; 2) es normal al plano 2x + 3y + 2z + 1 = 0 (ejercicio 13) y debe ser también normal al plano pedido (por ser parale-los parale-los planos dado y pedido). Por tanto, teniendo en cuenta que debe pasar por el punto X (3) = ( 2; 7; 5), obtenemos n (X _{P ) = 0 )} (2; 3; 2) [(x; y; z) ( 2; _{7; 5)] = 0 ) 2x + 3y + 2z + 15 = 0.}

e) Primeramente localizamos X (2) = (1 2; 2 6; 4 1) = ( 1; 4; 3). Si X (x; y; z) es el punto cualquiera del plano y como el punto X (2) tam-bién está sobre el plano pedido.

Por otra parte, como la recta L y el plano son perpendiculares, el vector direccional V es perpendicular a cualquier vector que esté sobre el plano

(60)

(Fig. ###). Es decir. V X(2) X Fig. 2.31 P2 P3 P1 P0 n A Fig. 2.32 V (X X (2)) = 0 ó ( 1; 3; 2) [(x; y; z) ( 1; 4; 3)] = 0 de donde, …nalmente, obtenemos

x + 3y 2z + 19 = 0 la ecuación cartesiana del plano pedido.

28. Dados los puntos P0 = (1; 1; 3) y P1= (2; 2; 0) que se encuentran sobre el plano x + 2y z = 6, determinar los demás vértices del cuadrado sobre el plano cuyos vértices adyacentes son P0 y P1.

Solución. Para determinar los otros vértices del cuadrado P2 y P3 (Fig. ###) necesitamos determinar el vector A = P2 P0= P3 P1. El vector n = (1; 2; 1) es perpendicular al plano (Ejercicio 13). Como A está sobre el plano es perpendicular al vector n; y además, por estar sobre un lado del cuadrado es perpendicular al vector P1 P0.

P1 P0= (1; 1; 3)

De acuerdo al signi…cado del producto vectorial, A es paralelo al vector n (P1 P0) n (P1 P0) = i j k 1 2 1 1 1 3 = (7; 4; 1) Por lo tanto A = k (7; 4; 1) (1) Como jAj y jP1 P0j son lados del cuadrado

jAj = jP1 P0j = j(1; 1; 3)j = p

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Contents

VECTORES

1.1

SUMA DE VECTORES

1.2

PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN

ESCALAR

1.3

PROPIEDADES

1.4

PRESENTACION GRAFICA

A

-A

1.5

PARALELISMO DE VECTORES

1.6

LONGITUD DE UN VECTOR

1.7

PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES

1.8

ANGULO ENTRE DOS VECTORES

1.9

PERPENDICULARIDAD ENTRE VECTORES

1.10

PRODUCTO VECTORIAL

1.10.1

Signi…cado geométrico de A

B

1.11

EL PRODUCTO MIXTO

1.11.1

Signi…cado geométrico de A B

C

1.12

EJERCICIOS RESUELTOS

B

A+B

A

A-2B

B

A

A+B

1.13

EJERCICIOS PROPUESTOS

GEOMETRIA

ANALITICA SOLIDA

2.1

LA RECTA

2.1.1

Distancia entre dos rectas no paralelas

2.2

EL PLANO

2.3

CILINDROS Y SUPERFICIES

CUADRI-CAS

2.3.1

Cilindros

2.3.2

Super…cies cuádricas

2.3.3

Super…cies cuádricas importantes

2.4

COORDENADAS CILINDRICAS Y

ESFER-ICAS

2.4.1

Coordenadas cilíndricas

2.4.2

Coordenadas Esféricas

2.5

EJERCICIO RESUELTOS

2.5.1

La Recta

V

X

O

P

(a,b,c,)

P