190
191
Función Exponencial
Al iniciar el estudio de este tema es de suma importancia que conozcamos algunas de las propiedades de las potencias, puesto que algunas de estas propiedades son utilizadas para resolver algunos tipos de ejercicios.
Propiedades de las potencias
Potencia Cero
Todo número diferente de cero elevado a la cero nos da como resultado 1.
Ejemplos , con
Potencia Uno
Todo número elevado a la uno nos da como resultado el mismo número.
Ejemplos
192
Potencia de Uno
Uno elevado a cualquier número nos da como resultado 1.
Ejemplos
Potencia de una Potencia
Mantengo la base y multiplico los exponentes.
Ejemplos
Potencia de un Producto
En potencia de un producto elevamos cada uno de los factores al exponente.
Ejemplos
193
Potencia de un Cociente
En potencia de un cociente elevamos al dividendo y al divisor al exponente.
Ejemplos
Multiplicación de Potencias de Igual Base
Mantengo la base y sumo los exponentes.
Ejemplos
División de Potencias de Igual Base
194
Ejemplos
Potencia Negativa de una Fracción
Invertimos la base y ponemos el exponente positivo.
Ejemplos
Potencia Fraccionaria
Transformo la potencia en un radical de forma que el denominador pase a ser el índice y el numerador pase a ser el exponente.
195 Ejemplos Notas
Base positiva elevada a cualquier tipo de exponente nos dará siempre un resultado positivo.
Base negativa elevada a un exponente par nos dará como resultado un número positivo, pero si el exponente es impar el resultado será un número negativo.
Función Exponencial.
Una función exponencial es una función de la forma , donde
representa a la base de la función, y cumple el papel de exponente.
Para que una función se considere exponencial se debe cumplir que el valor de la
base sea un número positivo y diferente de uno. Es decir y .
Para la función exponencial se tiene que: Dominio:
El dominio de una función exponencial es el conjunto de los números reales.
Ámbito o Rango:
196 3 2 1 -1 -2 -4 -2 2 4 f x = 2x
Intersecciones con los ejes.
La intersección con el eje de las no está determinada por lo tanto:
Para el eje de las la intersección viene dada por la siguiente expresión:
Esto si y solo si la función dada es de la forma clásica , pues si la función no es de esta forma, si que presenta la siguiente , entonces la intersección con el eje de las tendrá la siguiente forma:
Monotonía
La monotonía de una función exponencial, estará determinada por el valor de la base de la misma, por lo que tenemos que:
197 3 2 1 -1 -2 -4 -2 2 4 f x = 1 2 x
Si , se tiene que la función exponencial es estrictamente decreciente.
Cabe agregar que en una función exponencial de la forma si el valor de
, entonces la monotonía de la función exponencial cambiará.
Es decir que si la base nos indica que la función es creciente y el valor de , es
negativo entonces la gráfica de la función será decreciente y si la base nos indica
que la función es decreciente y el valor de , es negativo entonces la gráfica de la
función será creciente.
Biyectividad
La función exponencial es una función de tipo biyectiva es decir sobreyectiva e inyectiva, al mismo tiempo. Lo que nos indica que la función exponencial posee inversa.
198
Ejemplos
Determine si las siguientes funciones son o no exponenciales y si lo son indique si
son crecientes o decrecientes y además calcule la intersección con el eje de las .
1.
Si es exponencial, pues la base es , que es un número positivo y diferente de
uno.
La función es estrictamente creciente, pues .
Su intersección con el eje de las es: .
2.
No es exponencial, pues la base es
y es un número negativo.
3.
Si es exponencial, pues la base es , que es un número positivo y diferente
de uno.
La función es estrictamente creciente, pues .
Su intersección con el eje de las es:
4.
No es exponencial, pues la base es
.
5.Si es exponencial, pues la base es , que es un número positivo y diferente de uno.
La función es estrictamente creciente, pues .
Su intersección con el eje de las es:
6.
Si es exponencial, pues la base es y es un número positivo y diferente de
uno.
199
Su intersección con el eje de las es:
7.
Si es exponencial, pues la base es , que un número positivo y diferente de uno.
La función es estrictamente creciente, pues .
Su intersección con el eje de las es: .
8.
Si es exponencial, pues la base es
,
que es un número positivo y diferente de uno.La función es estrictamente decreciente, pues
,
pero tenemos aque multiplica a la función por lo que su monotonía cambia.
Su intersección con el eje de las es: .
9.
No es exponencial, pues la base es
y es un número negativo.
Práctica
1. De las siguientes funciones, ¿cuáles son exponenciales?
A. x x f( ) ( 2) B. f(x) x 2 C. x x f( ) 2 D. f(x) x2 2. Si f(x) 3 x,g(x) x 3,h(x) ( 3)x
, entonces son funciones exponenciales A. Todas
B. Solo C. Solo D.
200
3. Si la grafica corresponde a la función exponencial f(x) axentonces con certeza a pertenece al intervalo
A. 0,1 B. 1,0
C. ,0
D. 1,
4. Si la gráfica dada corresponde a la función x
a x
f( ) entonces son características
de
A.
B. +
C.
D.
5. Según los datos de la gráfica ¿cuál es su criterio correspondiente?
A. f(x) 3 x B. f(x) 3x C. x x f 3 1 ) ( D. x x f 3 1 ) ( x y x y (0,1) x y 1 3 1 f
201
6. La gráfica de la función dada por
x x f 5 4 ) ( interseca al eje y en A. 0,1 B. 1,0 C. ,0 5 4 D. 5 4 , 0
7. De las siguientes gráficas ¿cuál representar la gráfica de
x x f 2 3 ) ( ?
I. II. III. IV.
A. I B. II C. III
D. IV
8. Un par ordenado que pertenece al gráfico de la función dada por
x x f 5 1 ) ( A.
,
1
5
1
B. 1,5 C.5
1
,
1
D. 1, 5 x y (0,1) x y (0,1) x y (0,1) x y (0,1)202
9. La función x
a x
f( ) , es una función creciente si se puede afirmar que
A. a 0
B. a 1
C. 0 a 1
D. 1 a 0
10. Una función exponencial decreciente corresponde a
A. x y (1,2) B. y (2,1)x C. x y 2 1 D. x y 2 1
11. Para la función dada por f(x) 5 x analice las siguientes proposiciones: I. f es decreciente.
II. La gráfica de f interseca al eje y en 0, 5
¿Cuáles de ellas son VERDADERAS? A. Ninguna
B. Ambas C. Solo II D. Solo I
12. Para la función dada por x
a x
f( ) si y entonces se cumple que
A. B.
C. 0< <1
203
13. Considere las siguientes funciones con dominio R I.
II. III. ¿Cuáles de ellas son decrecientes?
A. Solo la II B. Solo I y II C. Solo I y III D. Solo II y III
14. Para la función dada por x
x
f( ) 5 , considere las siguientes proposiciones
I. f es estrictamente creciente.
II. La intersección con el eje y es (0,1). ¿Cuáles de ellas son verdaderas?
A. Solo I B. Solo II C. Ambas D. Ninguna 15. El ámbito de la función x x f 2 1 ) ( con dominio es A. ,0 B 10, C. , 1 D.
204
16. Para la función dada por x
x f( ) 3 la preimagen de 3 1 es A. B. C. D.
17. En una función exponencial f de base a si para todo , entonces se
cumple que es un elemento de
A. ,0
B. , 0
C. 0,1 D. 0,1
18. Para la función dada por f(x) ax si y entonces se cumple que
A. B.
C. 0< <1
D. 0 x 1
a
19. Dada la función f definida por f(x) ax con se cumple que
A. la gráfica de f interseca al eje y en (0,1)
B. tiene por dominio máximo ,0
C. es una función creciente D. tiene por ámbito
205 20. Para la función x x f 2 1 ) ( y se cumple que A. y son crecientes. B. y son decrecientes. C. es decreciente y es creciente. D. es creciente y es decreciente. 21. Si , entonces el ámbito de f es A. 0,9 B. 0,9 C. ,0 D. , 0
22. En la función exponencial f con f(x) ax, si f(x1) f (x2) para x1 x2 entonces se cumple que
A.
B. C. D.
23. El ámbito de la función dada por
x x f 2 3 ) ( con dominio ,0 es A. 0,1 B. 2 3 , 0 C. ,1 D. , 2 3
206
24. Para la función dada
x x f 2 1 )
( por si con certeza se cumple que
A. f(x) 0,1 B. 2 1 , 0 ) (x f C. f(x) 1, D. f(x) ,0
25. De los siguientes criterios de funciones
x x x x h x g x f 3 2 ) ( , ) 3 ( ) ( , 2 ) ( ¿Cuáles corresponden a funciones exponenciales?
A. Solo la y . B. Solo la y . C. Solo la y . D. Todas.
26. La gráfica de la función f dada por f(x) 3 2x interseca el eje y en
A. (1,0) B. (0,1) C. (3,0) D. (0,3) 27. El ámbito de 3 2 3 ) (x x f es A. , 3 B. ,3 C. ,0 D.
207 28. La función inversa de ( ) 2x1 3 x f es igual a A. log2(x 3) 1 B. log2(x 1) 3 C. log2(x 3) 1 D. log2(x 1) 3 29. El ámbito de f(x) (2) x 1 es A. B. ,0 C ,1 D. , 1 30. El dominio máximo de ( ) 2x 3 3 x f es A. , 3 B. ,3 C. ,0 D. 31. La función inversa de f(x) 2x 3 1 es f 1(x) A. log2(x 3) 1 B. log2(x 1) 3 C. log2(x 3) 1 D. log2(x 1) 3
208 32. El ámbito de ( ) 5 x 3 x f es A. , 3 B. 3, C. , 3 D. ,3 33. Si ( ) 2x 7 x f entonces el ámbito es A. B. 7, C. ,0 D. ,7
34. Sea f(x) 3 x1, considere las siguientes afirmaciones
I. es estrictamente creciente. II. es estrictamente decreciente. III. corta al eje y en el punto
De las anteriores proposiciones son verdaderas A. solo la I.
B. solo la II. C. solo la II y III. D. solo la I y III.
35. Si x; ; , entonces la gráfica de interseca al eje y en el
punto:
A. B. C. D.
209 36. Si 2 ) 1 , 0 ( ) ( x x
f , considere las siguientes proposiciones
I. f es estrictamente creciente. II. f es estrictamente decreciente. III. f corta al eje y en el punto
100 1 , 0
De las proposiciones anteriores son verdaderas A. solo I.
B. solo II. C. solo II y III. D. solo I y III.
37. Para la función f dada por
x x f 2 4 )
( considere las siguientes proposiciones
I. 32 1 ) 2 ( f II. 1 2 1 f
De ellas son verdaderas A. ambas. B. ninguna. C. solo la I. D. solo la II. 38. Para la función x x f f : 3,1 , ( ) 2 el ámbito es A. B. C. D.
210
39. Para la función f dada por , con , considere las siguientes
proposiciones
I. f( a) 0 II. 1 f(a)
a f
De ellas son verdaderas A. ambas.
B. ninguna. C. solo la I. D. solo la II.
40. Dadas las siguientes graficas.
¿Cuál de ellas representa la función ?
A. I B. II C. III D. IV
41. Para la función dada por , con , analice las siguientes
proposiciones:
I. II. De ellas son verdaderas.
A. Ambas B. Ninguna C. Solo I D. Solo II
211
42. En una función exponencial de base si para todo entonces
se cumple que a es un elemento de: A.
B. C. D.
43. Si f es una función tal que f : 3,5 B y su criterio es f(x) 2x 1, entonces
el ámbito de esa función corresponde a
A. 16,16 B. ,16 16 1 C. 16,16 D. ,16 16 1 44. Si el ámbito de la función 2 1 3 ) ( x x f es 9 ,27 , entonces el dominio corresponde a A. ,1 2 1 B. ,2 2 1 C. 1,2 D. ,2 2 3
212
45. El conjunto al que pertenece k para que la función f(x) 5k 3 x 1 sea
creciente corresponde a A. B. 5 2 , C. , 5 3 D. 46. Sea la función x a x
f( ) , con a 0 y a 1; si se cumple que f(2) f(5)
entonces un posible valor para “a” corresponde a A. 5 B. 2 5 C. 1 10 D. 1 2 1
47. Si y es estrictamente decreciente, entonces con certeza para <0
se cumple que:
A.
B. —
C.
213
48. Para la función f dada por , con , considere las siguientes
proposiciones.
I. II.
De ellas, ¿cuáles con certeza son verdaderas?
A. Ambas
B. Solo la I
C. Ninguna
D. Sola la II
Ecuaciones Exponenciales.
Inicialmente en el curso estudiamos la forma de resolver las ecuaciones cuadráticas, ahora estudiaremos como resolver ecuaciones de tipo exponencial, este tipo de ecuación es de suma importancia, ya que su estudio ha permitido al ser humano resolver y explicar diferentes fenómenos que ocurren en la naturaleza.
Dentro de este apartado encontramos dos tipos de ecuaciones: 1.
2.
Ejemplos.
Resuelva las siguientes ecuaciones exponenciales. 1.
El primer paso que realizaremos es igualar las bases de las potencias planteadas.
214
Podemos utilizar el siguiente resultado
Entonces:
Por lo tanto la solución de es:
2.
Para este caso en particular no se pueden igualar las bases por lo que lo más
conveniente apoyarnos en la siguiente propiedad, . Por lo
cual aplicamos logaritmo a ambos lados de la igualdad.
215
Para finalizar aplicamos la siguiente propiedad
,
entonces:Por lo tanto la solución de es:
Las propiedades antes mencionadas se estudiaran con mayor detenimiento en el siguiente tema.
Práctica
49. La solución de 3 92x 27x1 es A. B. C. D. 50. El conjunto solución de 2x1 16 corresponde a A. B. C. D. 51. La solución de 125 52 X 0 es A. B. C. 3 D. 2216
52. El conjunto solución de la ecuación 23x 4 7
corresponde a A. 3 4 7 log2 B. 0 C. D. 3 3 log2 53. La solución de 32 1 2 2 x es A. B. C. D. 54. La solución de 8 4 2 1 x x es A. B. C. D. 55. La solución de 2 5 1 5 25x x es A. B. C. D.
217 56. La solución de 8 1 4 1 2x x es A. B. C. D. 57. La solución de 2 8 4 1 x1 x es A. B. C. D.
58. El valor de “x” al resolver la ecuación x
x 2 1 2 9 3 3 1 corresponde a A. 3 B. 1 C. 1 D. 3
59. El valor de “x” al resolver la ecuación 3 3 2
2 x corresponde a A. 0 B. 1 C. log32 D. 3log3 2 2
218 60. La solución de la ecuación 2 1 1 9 3 1 x x corresponde a A. B. C. D. 0 61. La solución de x x 5 1 57 5 corresponde a A. B. C. D. 62. La solución a la ecuación x x1 3 2 27 8 2 3 corresponde a A. B. C. D. 10 63. El conjunto de solución de 3x 3 3x 36 es A. B. C. D.
219 64. La solución de x x 6 2 2 4 9 3 2 es A. B. C. D. 65. La solución de 3x 5x 8 64 2 es A. B. C. 3 1 D. 15 2 66. La solución de 8 4 2 1 x x es A. 3 1 B. C. D. 67. La solución de 3 1 9 27 x x es A. 2 1 B. C. 3 4 D.
220 68. La solución de la ecuación 64 4 23 x x es A. 0 B. 6 5 C. 19 6 D. 17 6 69. La solución de 2 3 3 5 25 9 x x es A. 3 4 B. 3 5 C. 3 5 D. 3 4 70. La solución de x x 2 1 2 1 8 es A. B. 5 1 C. 5 3 D.
221 71. El conjunto solución de 4 1 2 9 4 81 16 x es A. 8 1 B. 16 5 C. 16 9 D. 4 7
72. El valor de x para que se cumpla que 5 3
81 1 9 1 3x x es A. 5 6 B. 3 5 C. 3 D. 1 73. El conjunto solución de 3 1 8 4 2 x x es A. 8 3 B. 8 15 C. 8 1 D. 8 3
222 74. La solución de la ecuación 2x1 32x1 es A. 9 log 3 log B. 6 ln 2 9 ln C. ln 6 D. 2 9 ln 6 ln 75. El conjunto solución de 26x 2 23x 8 0 es A. 3 2 B. 3 1 , 3 2 C. 3 ) 2 ( 2 log , 3 4 log D. 76. El conjunto solución de 2x 3x1 es A. 1 2 ln 3 ln B. 2 ln 1 C. 3 ln 2 ln 3 ln D.
223 77. La solución de la ecuación 2(10)x (10)x 1 4 es un número A. x log3 B. x 1 C. x log3 D. 2 1 2 log x 78. La solución de 16 1 8 2 1 2 2 x x es A. B. C. 7 2 D. 7 6 79. La solución de 2x 3 es A. 2 3 log B. 3 log 3 C. 2 log 3 log D. 3 log 2 log
224 80. La solución de 2x 3 6 es A. 2 log23 B. 4 log23 C. 2 log 3 log 4 D. 2 log 6 log 3 81. La solución de 2 1 2 27 81 3 x x es A. 1 B. 5 9 C. -9 D. 5 3
82. El conjunto solución de 2x 2 42x 8 corresponde a A. S B. 3 10 S C. S 6 D. S 2
225
Soluciones.
Pregunta Respuesta Pregunta Respuesta Pregunta Respuesta Pregunta Respuesta
1 C 26 D 51 A 76 C 2 C 27 B 52 A 77 C 3 A 28 A 53 B 78 D 4 A 29 C 54 C 79 C 5 C 30 D 55 A 80 D 6 A 31 B 56 B 81 D 7 A 32 D 57 C 82 C 8 B 33 D 58 B 83 9 B 34 B 59 D 84 10 C 35 D 60 A 85 11 A 36 D 61 C 86 12 A 37 A 62 B 87 13 C 38 C 63 B 88 14 C 39 B 64 A 89 15 A 40 A 65 C 90 16 D 41 A 66 C 91 17 C 42 C 67 C 92 18 A 43 B 68 D 93 19 A 44 A 69 D 94 20 C 45 B 70 C 95 21 A 46 C 71 C 96 22 C 47 A 72 A 97 23 C 48 A 73 D 98 24 A 49 C 74 D 99 25 B 50 A 75 A 100
