índice
TALLER DE MATEMÁTICAS MANIPULATIVAS
Presentación ... 2Descripción y uso de materiales ... 6
Talleres ... 12
Unidad 1
Jerarquía de las operaciones ... 12
Unidad 2
Mínimo común múltiplo y máximo
común divisor ... 14
Unidad 3
Calcular el cuadrado de números de dos cifras .... 16
Unidad 4
Producto de fracciones ... 18 Relaciones entre fracciones ... 20
Unidad 5
Los números decimales por dentro ... 22 Dividir números decimales ... 24
Unidad 6
Cálculo de porcentajes con un gráfico ... 26 Construir a escala el plano de nuestra clase ... 28
Unidad 7
Sumar y restar números enteros ... 30
Unidad 8
Estadística ... 32 Probabilidad ... 34Unidad 9
Medir capacidades ... 36Unidad 10
Medir superficies ... 38Unidad 11
Longitud de la circunferencia ... 40 Área del círculo ... 42Unidad 12
Fabricar un tetris ... 44 Fotocopiables ... 46
1
2
3
El momento de mayor plasticidad del cerebro del niño tiene lugar en los primeros años de vida. Por eso, es importante aprovechar estos primeros años para favorecer la interiorización de conceptos que le ayudarán a comprender mejor en el futuro. Para lograr un aprendizaje significativo de los contenidos matemáticos, se debe res-petar el proceso de asimilación que tienen los niños, partiendo de lo más concreto hasta llegar a lo más abstracto.
Así, hemos de propiciar que el alumno pase por tres fases distintas para asegurarnos de que ha adquirido adecuadamente un contenido:
Fase manipulativa
Se parte de la propia experiencia del alumno para que descubra y establezca relaciones que le permitan extraer conclusiones. A través de la observación directa, se podrá detectar el momento del proceso de aprendizaje en que se halla el niño.
Fase simbólica
En este momento, el alumno está preparado para traducir a lenguaje matemático aquello que ha
Fase icónica
Tras haber comprobado y establecido relaciones partiendo de la manipulación, pasamos a la fase icónica. Durante esta fase, el alumno reconocerá la representación gráfica de los materiales con los que ha trabajado en la fase manipulativa y podrá establecer y extraer conclusiones sin necesidad de recurrir al material. El alumno, a su vez, es capaz de generar la imagen mental de los materiales. Esto cobra especial importancia por la relación que tiene con el cálculo mental -partiendo de la visualización- la estimación de medidas o la orien-tación espacial.
¿Por qué?
El trabajo manipulativo nos brinda la posibilidad de analizar el momento del proceso de aprendizaje en que se halla el niño. Podemos, por tanto, decidir si el alumno está o no pre-parado para construir un nuevo contenido sobre el ante-rior. De la misma manera, esto nos sirve para evaluar el proceso desde la observación directa.
Es un modo de atender distintos niveles en el aula. Así, el alumno va a su ritmo estableciendo relaciones que le permitan extraer conclusiones.
¿Cuándo?
Debemos respetar las fases del aprendizaje del niño. Por tanto, es deseable que todos los contenidos comiencen con una fase manipulativa que permita al alumno descubrir y comprender aquello que luego aplicará.
En ocasiones, es recomendable trabajar, en paralelo, con el material y el libro, de modo que el alumno pueda anticipar o comprobar con sus materiales los contenidos que son pre-sentados. Incluso, si así lo necesita, el alumno puede utilizar sus materiales para resolver las actividades del libro. Por tanto, cada nuevo contenido debe ser primero manipula-do antes de abordarlo directamente desde el libro de texto.
¿Cómo?
Los alumnos deben ser conscientes de la fase manipulativa. Aunque es importante partir del juego a la hora de manipu-lar, es fundamental que el alumno vea su material como un medio para experimentar y descubrir.
El alumno deberá tener localizado, organizado y accesible su material, del mismo modo que hace con sus lápices o sus cuadernos.
La importancia de manipular
¿Hasta cuándo?
Cada niño tiene su ritmo y su momento y debemos respetar-lo. Cuando el maestro perciba que un alumno ha conseguido abstraer un contenido, tiene que proporcionarle nuevos re-tos y tareas a los que se enfrente sin el apoyo del material. Del mismo modo que no es recomendable abordar un conte-nido sin haberlo descubierto manipulando previamente, tampoco es recomendable que el alumno lo prolongue en el tiempo más de lo necesario.
Paralelamente, el alumno que necesita más tiempo con el material, debe tenerlo. No debemos marcar para todos los alumnos el mismo momento de retirada de material.
El material debe ser un medio para alcanzar la comprensión, pero nunca un fin.
“Me lo contaron y lo
olvidé. Lo vi y lo entendí
lo hice y lo aprendí.”
Uno de los objetivos que se persiguen con esta forma de trabajo es que los alumnos lleguen a conclusiones partiendo del diálogo. Por tanto es lógico que, trabajando así, el nivel de ruido en clase sea mayor. Es recomendable, además, tener en cuenta los siguientes aspectos:
Antes de empezar a trabajar
Agrupamientos
Durante la fase de manipulación es importante que los alum-nos se sienten en equipos (preferiblemente de 4) y que dialo-guen entre ellos.
Habrá actividades y momentos en que será más adecuado trabajar por parejas o individualmente, aunque se propone mantener el agrupamiento.
La organización de los equipos no debe dejarse al azar. Se puede recurrir a la guía de trabajo cooperativo para seguir los criterios de agrupamientos.
Establecer las reglas del juego
Es recomendable que entre alumnos y maestro se establez-can normas que permitan que la actividad se desarrolle en armonía para poder así crear en el aula una comunidad de aprendizaje.
• Orden de intervención de grupos.
• Responsable de reparto y recogida de material.
• …
Volumen de intervención
En la mayoría de los casos se trabajará en equipos, por lo que se han de definir los volúmenes de voz en fun-ción del momento:
• Voz de equipo → cuando se debate en equipo, el tono de voz debe ser suficientemente alto para que todos los miembros del equipo se escuchen, pero no tan alto como para que los escuchen los miembros del equipo de al lado.
• Voz de pareja → Bajo determinadas estructu-ras cooperativas, los alumnos tendrán que compartir conclusiones con su compañero de hombro. Por tanto se debe establecer el tono apropiado para esta voz. De modo que el volumen sea tal, que solo los miembros de la pareja se escuchen.
• Voz interior → En los momentos en los que el alumno esté
trabajando de manera individual, con su ma-terial, deberá traba-jarse en silencio.
Una de las principales dificultades que podemos encontrar cuando trabajamos de este modo es la reacción de las familias.
A menudo, la impaciencia de los padres por ver avances en sus hijos propicia que no se respeten las fases manipulativa, icónica y simbólica y que vayan directamente a la fase simbólica. Esta forma de hacer puede ocasionar que en el alumno no se produzca un aprendizaje significativo, sino mecánico.
¿Qué puede ocurrir en casa?
Es frecuente y comprensible que los padres quieran ayudar a sus hijos en el día a día. El modo que un padre o una madre tiene de ayudar a su hijo es reproduciendo el modelo con el que él aprendió. ¿Qué consecuencias tiene esto?
“¡Es que mi profe no me lo explica así!”
¿Qué podemos hacer?
Se debe concienciar a los padres explicándoles que el modo de trabajo que se llevará a cabo durante el curso parte de lo manipulativo y que, por tanto, mientras el alumno se encuentre en esa fase, el acompaña-miento -en caso de que lo haya- se basará en el trabajo con materia-les.
Es importante insistir a las familias que no es beneficioso para el alumno que se adelanten contenidos, ya que se pueden producir in-terferencias en la comprensión de los mismos.
¿Cómo pueden ayudar a sus hijos?
Es preferible que la ayuda, en caso de que ésta sea imprescindible, vaya orientada al procedimiento más que a la realización misma de actividades. Es decir, es preferible que interactuen con ellos pregun-tándoles qué hacen para sumar, más que ayudarles a hacer la suma.
Concienciación familiar
El papel del profesor
En los momentos en los que se está trabajando manipulati-vamente, el maestro ha de mantener el papel de observador y mediador, pero no de corrector. No condicionará la toma de decisiones del alumno y, simplemente, reconducirá la ac-tividad hasta conseguir que los alumnos lleguen por sí mis-mos a los objetivos deseados en cada caso.
El papel del profesor ha cambiado.
Ahora es mediador.
Tiras de fracciones
¿Qué vas a necesitar?
Tiras de fracciones
¿Para qué?
Para trabajar las operaciones con fracciones con igual y
dis-¿Cuándo y cómo?
Se pueden trabajar durante las unidades de múltiplos y
divi-¿Para qué?
Para trabajar la relación entre la unidad y las partes que la forman.
Trabaja la comparación de fracciones, las equivalencias y las operaciones con fracciones de igual o distinto denominador.
¿Cuándo y cómo?
Durante las unidades de fracciones para asentar los conteni-dos de equivalencias de fracciones y las operaciones entre ellas.
¿Qué vas a necesitar?
Sectores de fracciones
Sectores
de fracciones
Pentominós
¿Qué vas a necesitar?
Pentominó
¿Para qué?
Para trabajar orientación espacial, giros, traslaciones,
¿Cuándo y cómo?
En todas las unidades se propone un reto adecuado al
conte-¿Para qué?
Utiliza la pizarra para escribir en ella la respuesta o las opera-ciones que realicen los alumnos durante los juegos de agili-dad mental.
¿Cuándo y cómo?
La necesitarás al inicio de la cada sesión para trabajar la agilidad mental, pero además es un recurso muy útil para las actividades en gran grupo.
¿Qué vas a necesitar?
Pizarra de agilidad Rotulador deleble
Pizarra
de agilidad mental
Metro cuadrado
/tabla 100
¿Qué vas a necesitar?
Mural metro cuadrado (tabla 100 en la trasera)
Cuadrado de 10 x 10 de los polígonos
Cinta métrica
¿Para qué?
Para trabajar las unidades cuadradas y la relación entre el m2
y el dm2 por la parte del metro cuadrado.
¿Cuándo y cómo?
Desde el momento en que se comiencen a trabajar unidades cuadradas.
¿Para qué?
Para trabajar la relación entre la décima y la centésima, la décima y la unidad…
Para redondear a la unidad, décima, centésima…
¿Cuándo y cómo?
Se pueden trabajar con la recta numérica, durante todo el curso, actividades de numeración y de cálculo, además de las propiedades de las operaciones aritméticas.
¿Qué vas a necesitar?
Recta numérica
Recta numérica
Utiliza la recta numérica para ordenar, redondear, calcular
y afianzar las propiedades de las operaciones.
Fichas de números
enteros
¿Qué vas a necesitar?
Fichas rojas y verdes
¿Para qué?
Para trabajar la suma y resta de números enteros.
¿Cuándo y cómo?
Se pueden utilizar para resolver las operaciones con núme-ros entenúme-ros. Las fichas rojas hacen las veces de unidades
¿Para qué?
Para trabajar los movimientos en la recta y las operaciones con números enteros.
¿Cuándo y cómo?
Desde el momento en que se presenten los números enteros. Desplazamientos sobre recta numérica.
¿Qué vas a necesitar?
Recta de números
Recta numérica de
números enteros
Libro de espejos
¿Qué vas a necesitar?
Libros de espejos Polígonos
¿Para qué?
Para trabajar simetrías partiendo de la reflexión con el libro
¿Cuándo y cómo?
Durante las unidades de ángulos, geometría plana y cuerpos
¿Para qué?
Para trabajar geometría plana y geometría sólida.
¿Cuándo y cómo?
En las unidades de cálculo de áreas y volúmenes.
Se pueden trabajar componiendo y descomponiendo figuras planas y sólidas, y calculando el área o el volumen.
¿Qué vas a necesitar?
Polígonos de colores
Polígonos
transparentes
Tarjetones
problemas visuales
¿Qué vas a necesitar?
Problemas visuales
¿Para qué?
Para trabajar la lógica matemática desde el diálogo y la
ob-¿Cuándo y cómo?
Antes de cada sesión en la que vayas a trabajar la
resolu-¿Para qué?
Para trabajar en gran grupo la resolución de problemas y trabajar estrategias de descomposición.
¿Cuándo y cómo?
Durante todo el curso.
¿Qué vas a necesitar?
Murales de aula
1
NOMBRE: FECHA:
Observa cómo con un número distinto de botes, podemos tener un mismo número de lápices.
Consigue el mismo número de lápices. Sigue las instrucciones y completa. a)
b)
1
2
Jerarquía de las operaciones
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Tres botes con 2 lápices 6 lápices Un bote con 6 lápices 6 lápices Hay 3 x 2 + 6 = 12 lápices en total.
Un bote con lápices lápices Seis botes con lápices lápices Hay + × = lápices en total.
Un bote con lápices lápices Tres botes con lápices lápices Hay + × = lápices en total.
Un bote con 6 lápices 6 lápices Dos botes con 3 lápices 6 lápices Hay 2 × 3 + 6 = 12 lápices en total.
bote con 3 lápices lápices Dos botes con lápices lápices Hay + × = lápices en total.
Un bote con lápices lápices
botes con 3 lápices lápices Hay + × = lápices en total.
1
Observa las imágenes. Sin contar el total de rotuladores que hay en cada dibujo ni calcular el resul-tado de las operaciones combinadas, relaciona cada imagen con la operación correspondiente.
Colorea los siguientes rotuladores para representar la operación combinada.
Compara tu dibujo con el de tu compañero. ¿Lo habéis hecho igual? ¿Son correctos? ¿Hay otros mo-dos diferentes de hacerlo? Escribid una frase con la conclusión a la que habéis llegado.
Representa las siguientes operaciones combinadas. Piensa primero cuántos botes te hacen falta y cuántos lápices hay que poner en cada uno. Después coloréalos.
3 4 5 6 (2 + 5) × 4 + 3 (3 + 4) × 2 + 5 (5 + 2) × 3 + 4 3 + 5 × (2 + 4) (5 + 2) × 3 + 4 6 + (5 + 2) × 3
2
NOMBRE: FECHA:
Corta varios trozos de papel higiénico de un tramo, dos tramos, tres tramos, etc. Escribe encima el número de tramos que lo forman.
Observa de qué modo podemos representar un producto con los tramos de papel y completa con la palabra múltiplo o divisor.
Haz una fila con trozos de 2 tramos (múltiplos de 2) y otra con trozos de 3 (múltiplos de 3) y res-ponde.
● En los puntos A, B y C coinciden las longitudes de los tramos. ¿Cuál es el valor de cada punto?
● ¿Cuál será el valor de D, E y F? ¿Dejarán de tener puntos de coincidencia en algún momento?
¿Por qué?
● El punto A es el primer punto en que coinciden los múltiplos de 2 y de 3. Es el mínimo común
múltiplo (m.c.m.) m.c.m. (2, 3) =
Utiliza trozos de papel y resuelve.
1
2
3
4
Mínimo común múltiplo y máximo común divisor
T
a
l
l
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r
3 × 2 = 6
2 × 3 = 6
El número 6 es de 2 porque 6 está en la tabla del 2.
El número 6 es de 3 porque 6 estáestá en la tablas del 3.
m.c.m. (3, 5) = m.c.m. (4, 6) = m.c.m. (1, 4) =
m.c.m. (2, 4, 3) = m.c.m. (7, 2, 1) = m.c.m. (3, 4, 6) =
2
¿Qué tramos de papel son capaces de dividir un número exacto de veces al número 6? Observa el muro de divisores de 6 y responde.
● ¿Por qué sabemos que el número 4 no es divisor de 6?
● ¿Es posible que el divisor de un número sea mayor que el número? ¿Por qué?
● ¿Cuál es el único número que es divisor de todos los demás números?
Haz el muro de divisores de 6 y de 8 y después responde.
● ¿Cuáles son los divisores de 6? ¿Y de 8?
● ¿Cuál es el mayor número que divide a ambos?
● El mayor número que los divide se llama máximo común divisor (m.c.d.) m.c.d. (6, 8) =
Haz muros de divisores y resuelve.
5
6
7
m.c.d. (3, 9) = m.c.d. (2, 5) = m.c.d. (6, 4) =
m.c.d. (3, 2, 6) = m.c.d. (4, 5, 2) = m.c.d. (6, 5, 3) =
Los números 1, 2, 3 y 6 dividen un número exacto de veces al número 6.
3
NOMBRE: FECHA:
Observa cómo podemos calcular 122 dibujando.
Escribe el valor de cada zona, completa y responde.
Dibuja en tu cuaderno y resuelve.
1
2
3
Calcular el cuadrado de números de dos cifras
T
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l
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r
100
20 4
20 1.º Como 12 es 10 + 2 dibujamos un cuadrado
que tenga de lado 10 + 2 cuadraditos.
3.º Sumamos los cuadraditos de cada zona 100 + 20 + 20 + 4 = 144 Por tanto, el cuadrado de 12 cuadraditos de lado es 144 122 = 144
● Este dibujo representa el cuadrado de .
● Por tanto, el cuadrado de es .
● Averigua sin dibujar cuál sería el cuadrado si el lado
tuviera un cuadradito más.
2.º Escribimos el número de cuadraditos que hay en cada zona.
132 =
162 =
182 =
3
Añade lo que falta para que el dibujo represente el cuadrado de 27 y completa.
● La diferencia entre el cuadrado de 27 y el cuadrado de 22 es
Dibuja en tu cuaderno y resuelve.
Imagina un cuadrado que tenga 41 cuadraditos de lado. ¿Cuál es su cuadrado? ¿Y el de 51?
¿Qué dibujarías para calcular el cubo de 11?
4 5 6 7 232 = 252 = 302 = 322 = 242 = 312 = 10 10 10 10 2 2
4
NOMBRE: FECHA:
Observa cómo podemos hallar el producto 2 __
3 × 4 __ 5 utilizando los cuadrados y un rotulador.
Utiliza los cuadrados, multiplica y dibuja el resultado.
1
2
Producto de fracciones
T
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e
r
1.º Divide uno de los cuadrados en tres partes iguales y marca 2 de ellas.
2.º Divide otro de los cuadrados en 5 partes iguales y marca 4 de ellas.
3.º Superpón ambos cuadrados y observa que: - El número de partes iguales en que quedan
divididos es el denominador de la fracción producto: 15
- Las partes que están rayadas con las dos líneas indican el numerador de la fracción producto: 8
3 __
4
Por parejas, resolved los siguientes productos.
● ¿Cómo son las fracciones de la primera multiplicación con respecto a las de la segunda?
● ¿Qué ocurre con los resultados?
Observa cómo calculamos el cuadrado de una fracción. Después resuelve y dibuja el resultado.
3 4 1 __ 2 × 2 __ 3 2 __ 4 × 4 __ 6
(
2 __ 3)
2(
3 __ 5)
2(
1 __ 6)
2 4 __ 94
NOMBRE: FECHA:
Relaciones entre fracciones
T
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Observa cómo dividimos 1 __ 2 : 1 __ 4 .
3.º Como caben exactamente dos tiras, el resultado de dividir 1 __
2 : 1 __ 4 es 2.
● Realiza las siguientes divisiones utilizando las tiras de fracciones.
Para dividir, por ejemplo, 3 __
6 : 1 __ 8 con las tiras de fracciones, hacemos lo siguiente.
3.º Como caben exactamente cuatro tiras, el resultado de dividir 3 __
6 : 1 __ 8 es 4.
● Realiza las siguientes divisiones utilizando las tiras de fracciones.
1 1 __ 3 : 1 __ 6 1 __ 2 : 1 __ 8 1 __ 2 : 1 ___ 10 1 __ 4 : 1 __ 8 1 __ 5 : 1 ___ 10 2 1.º Cogemos 3 tiras de 1 __ 6 para repre-sentar 3 __ 6 . 1 6 61 61
2.º Contamos cuantas tiras de 1 __ 8 caben exactamente en la tira de 3 __ 6 . 1 6 1 8 81 81 81 1 6 61 2 __ 4 : 1 __ 6 3 __ 6 : 1 __ 8 5 ___ 10 : 1 ___ 10 2 __ 8 : 1 __ 4 3 __ 6 : 1 ___ 10 1.º Cogemos la tira que representa 1 __
2 y las tiras de 1 __ 4 . 1 4 1 4 1 2
2.º Contamos cuántas tiras de 1 __ 4 caben exactamente en la tira de 1 __ 2 . 1 4 41 1 2
4
Observa las tres afirmaciones que pueden hacerse a partir de la equivalencia y relaciónalas con las expresiones correspondientes.
Utiliza las tiras de fracciones y completa las siguientes afirmaciones. Después, relaciona cada afir-mación con la operación correspondiente.
● En 1 __
3 caben exactamente tiras de 1 __ 9 .
● Dos tiras de 1 __
6 equivalen a .
● En 1 __
2 caben exactamente 4 tiras de .
● 1 __ 8 es la mitad de . ● tiras de 1 ___ 10 equivalen a 2 __ 5 . 3 4 1 2 1 6 61 61
En 1 __ 2 caben exactamente 3 tiras de 1 __ 6 1 __ 6 es la tercera parte de 1 __ 2 1 __ 2 es el triple de 1 __ 6 2 × 1 __ 6 = 1 __ 3 1 __ 2 : 1 __ 8 = 4 1 __ 3 : 1 __ 9 = 3 4 × 1 ___ 10 = 2 __ 5 1 __ 4 : 2 = 1 __ 8 1 __ 2 : 1 __ 6 = 3 1 __ 2 : 3 = 1 __ 6 3 × 1 __ 6 = 1 __ 2 1 __ 3 de 1 __ 2 = 1 __ 6
5
NOMBRE: FECHA:
¡Cierra la caja!
Para jugar a “¡Cierra la caja!” necesitare-mos cajas de zapatos, bolsas de plástico transparentes, bolas de papel reciclado y un puñado de lentejas.
Objetivo del juego cerrar la caja
Colocaos en equipos de 4. Leed las reglas del juego. Observad el dibujo, debatid y explicad qué tenéis que hacer para poder cerrar la caja.
A la caja cerrada la vamos a llamar unidad. Entonces:
● ¿Qué fracción de la caja representan 2 bolsas llenas?
● ¿Qué fracción de la caja representa 1 bola de papel?
● ¿Qué fracción de la caja representan 8 lentejas?
1
2
Los números decimales por dentro
T
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Observa que: 1 caja = 1 unidad 1 bolsa llena = 1 ___ 10 caja 1 bola llena = 1 ____ 100 caja 1 lenteja = 1 _____ 1.000 caja Puedes cerrar unacaja si tiene dentro 10 bolsas.
Puedes cerrar una bolsa si tiene dentro 10 bolas de papel.
Para poder hacer una bola de papel debes meter dentro de ella 10 lentejas.
5
A la caja cerrada la vamos a llamar unidad (U), a la bolsa cerrada
(
1 ___ 10)
también la podemos llamar décima (d). A la bola de papel(
1 ____100
)
también la podemos llamar centésima (c) y a la lenteja(
1 _____ 1.000)
la podemos llamar milésima (m).Observa el ejemplo y después completa.
¿Cuántas lentejas hay en …? Fíjate en el ejemplo.
6 bolas 60 lentejas 6 c = 60 m
3 bolsas lentejas =
2 cajas lentejas =
1 caja y 3 bolsas lentejas =
2 cajas, 2 bolas y 9 lentejas lentejas =
Completa esta tabla.
3
4
5
cajas bolsas bolas lentejas
U d c m 25 2 1 U + d + c + m U + m 25 d + 2 c + 1 m U + c + m c + m m U d c m 1 4 U d c m U d c m 1 U y 4 d = 1,4
5
NOMBRE: FECHA:
Dividir números decimales
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Recuerda que…
En 1 hay 10 . En 1 hay 10 . En 1 hay 10 . Poneos en equipos de cuatro y debatid sobre cómo repartir 5 cajas a partes iguales entre vosotros. Después responded a estas preguntas.
● ¿Cuántas cajas cerradas repartís a cada uno?
¿Cuán-tas cajas sobran?
● Abrid la caja que sobra y repartid las 10 bolsas que hay
dentro. ¿A cuántas bolsas tocáis cada uno?
● Abrid las dos bolsas que sobran y repartíos las bolas,
¿cuántas bolas os tocan a cada uno? ¿Sobran bolas?
● ¿Ha sido necesario sacar las lentejas de dentro de las bolas? ¿Por qué?
Observa y completa con los datos obtenidos en la actividad anterior.
A cada uno os toca: Por tanto:
cajas bolsas bolas 5 : 4 = ,
Si tomamos a la caja cerrada como unidad, responde, transforma en número y completa.
● ¿Hay representado más o menos de una unidad?
● ¿Más o menos de una décima?
● ¿Más o menos de una centésima?
● ¿Más o menos de una milésima?
La cantidad representada es: , 1
2
3
Hemos tenido que abrir la caja. La coma indica que tenemos que dividir la unidad para poder seguir
repartiendo.
caja
5
Reparte la cantidad de la actividad anterior entre 8 y responde.
● ¿Cuántas unidades completas tienes? ¿Cuántas le tocan a cada uno de los 8? ● ¿Cuántas décimas completas tienes? ¿Cuántas le tocan a cada uno de los 8? ● ¿Cuántas centésimas completas tienes? ¿Cuántas le tocan a cada uno de los 8?
Observa que has dejado 2 centésimas sin repartir. Abre las bolas, saca las lentejas y júntalas con las otras.
● ¿Cuántas lentejas tienes ahora?
● ¿Cuántas milésimas tienes ahora? ¿Cuántas le tocan a cada uno de los 8?
Completa:
Tras hacer una división con cajas, bolsas, bolas y lentejas entre 5 les ha tocado esto a cada uno. ¿Qué división se hizo?
Resuelve estas divisiones. Si lo necesitas utiliza cajas, bolsas, bolas y lentejas.
¿Cuál de las divisiones no es exacta?
4 , = , y sobran milésimas. 5 : = y resto 6 0,04 : 5 = 1,329 : 3 = 6,9 : 12 = 1 : 3 =
6
NOMBRE: FECHA:
Cálculo de porcentajes con un gráfico
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Observa cómo calculamos el 50 % de 70 si construimos un gráfico para calcular porcentajes con el papel milimetrado, que encontrarás en las páginas finales, y una regla.
● Dibuja sobre un papel milimetrado unos
ejes de coordenadas de la misma longitud: 160 mm × 160 mm.
● Dibuja un segmento en el 100 como el que
se ve en la figura. Esta será la línea de los tantos por ciento. Pon marcas en la recta de 10 en 10 hasta llegar al 100 %.
● Con la regla, dibuja una línea que pase por
el punto (0,0) y por la marca 50 de la línea de tantos por ciento.
● Sitúate en el valor 70 del eje horizontal y
dibuja un camino vertical hasta la recta.
● Comprueba con la regla que se
correspon-de con el valor 35 correspon-del eje vertical.
1
6
Utiliza tu gráfico para calcular los siguientes porcentajes.
40 % de 30 60 % de 90 22 % de 50 10 % de 150
20 % de 160 90 % de 120 80 % de 45 10 % de 140
Observa cómo calculamos aumentos y disminuciones porcentuales con nuestro gráfico y un com-pás. Calculamos qué valor tendrá 140 si aumenta o disminuye un 15 %.
● Calculamos con nuestro gráfico cuánto es
el 15 % de 140.
● Colocamos el compás en el 140 del eje
ho-rizontal y dibujamos la circunferencia que pasa por el punto de corte con la recta.
● Miramos en qué puntos corta la
circunfe-rencia con el eje horizontal.
Calcula los siguientes aumentos y disminuciones porcentuales.
2
3
El valor de 140 al aumentar un 15 % es 161. El valor de 140 al disminuir un 15 % es 119.
4
120 aumentado un 30 % 75 aumentado un 20 %
6
NOMBRE: FECHA:
Construir a escala el plano de nuestra clase
T
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r
Por parejas, construid a escala un plano de vuestra clase siguiendo estos pasos.
● Dibujad un croquis del aula con los elementos
de la clase que queráis que aparezcan. Medid con una cinta métrica sus dimensiones. Ano-tadlas en el croquis.
● Calculad la escala que vais a usar para
cons-truir el plano.
Fijaos en la mayor medida del plano y dividi-dla entre la mayor de las medidas reales.
1
Por ejemplo, si la clase midera 9,6 m de largo y el largo del papel de la página siguiente, en el que dibujaréis el plano, midiera 24 cm:
9,6 m ______
24 cm = 960 cm _______ 24 cm = 40 Escala 1:40 Ahora tu:
● Calculad todas las medidas del plano. Multiplicad por la escala todas las medidas tomadas en el
primer paso, completad la tabla y dibujad el plano con los resultados en la página siguiente. Por ejemplo, si el ancho de la pizarra mide 2,4 m, su medida en el plano será:
2,4 × 1 ___
40 = 0,06 m = 6 cm
medidas reales medidas en el plano
aula ancho: largo: ancho: largo:
mesa del profesor ancho: largo: ancho: largo:
mesa del alumno ancho: largo: ancho: largo:
pizarra ancho: ancho:
puerta ancho: ancho:
7
NOMBRE: FECHA:
Observa estas dos fichas de colores. La ficha verde significa (+1) y la ficha roja significa (−1).
● ¿Qué números enteros representan estos grupos de fichas?
● Representa estos números enteros con fichas.
(−2) (+7) (−6)
Representa con fichas los números (+3) y (+5) y expresa con números la suma:
(+3) + (+5) =
● ¿Cuál es el signo de los sumandos? ¿Y del resultado? ● Representa ahora (−3) y (−5) y expresa con números la suma:
(−3) + (−5) =
● ¿Cuál es el signo de los sumandos? ¿Y del resultado? ● Explica qué hacemos para sumar números enteros del mismo signo.
Coge ahora 5 fichas verdes y 3 fichas rojas. Elimina las parejas verde-roja que suman 0.
● ¿Cuál es el resultado final? (+5) + (−3) =
● ¿Cuál es el signo del número entero de mayor valor absoluto? ● ¿Cuál es el signo del resultado?
● Explica qué hacemos para sumar números enteros de distinto signo.
Representa estas sumas con las fichas y escribe el resultado:
(+8) + (−2) = (−5) + (−4) = (−9) + (+3) = 1
+ 1 − 1
2
3
Cuando juntamos una ficha roja y una verde obtenemos el cero:
(+1) + (−1) = 0 + 1 − 1
4
Sumar y restar números enteros
7
Coloca 8 fichas verdes y quita 3.
● ¿Cuántas fichas verdes quedan? (+8) − (+3) = ● ¿Cuál es el signo del resultado?
● Explica qué haces para restar dos números enteros positivos.
Coloca 7 fichas verdes y quita 3 fichas rojas.
Como no tenemos fichas rojas colocamos “tres ceros”.
● ¿Podemos quitar ahora las tres fichas rojas? ¿Cuántas fichas verdes quedan? ● ¿Cuál es el resultado de la operación? (+7) − (−3) =
● Explica qué haces para restar de un número entero positivo otro número entero negativo:
Coloca 3 fichas rojas y quita 2 fichas verdes.
Como no tenemos fichas verdes colocamos “dos ceros”.
● ¿Podemos quitar ahora las dos fichas verdes? ¿Cuántas fichas rojas quedan? ● ¿Cuál es el resultado de la operación? (−3) − (+2) =
● Explica qué haces para restar de un número entero negativo otro número entero positivo:
Representa estas sumas con las fichas y escribe el resultado:
(+5) − (+4) = (−6) − (−3) = (−8) − (+3) = 5
6
7
8
NOMBRE: FECHA:
Colocaos en grupos de 4 y sin consultar a ninguno de los compañeros, completa la frase con una de las expresiones siguientes:
● Creo que mi pie es . que la media de los pies de mis compañeros.
Para comprobarlo, necesitaréis una regla, tijeras y un folio cada uno.
● Medid con una regla la longitud, en cm, de vuestro pie. Desde el talón a la punta del dedo más
largo. Para que sea más fácil apoyad el pie sobre un folio y marcad los extremos con un lápiz.
● Dibujad cada uno de vosotros un rectángulo que mida 5 cm de ancho y la longitud de vuestro pie
de largo y recortadlo.
● Poned los cuatro rectángulos juntos e id recortando trozos de los más largos para añadírselos a
los más cortos hasta conseguir que todos tengan el mismo largo.
● Medid el largo de los rectángulos iguales y anotadlo. Ese valor es la media de las longitudes de
vuestros pies. Miden: . 1 2
Estadística
T
a
l
l
e
r
8
Completa la tabla siguiente con los datos de los componentes del grupo incluyéndote a ti.
● Calcula la media de las longitudes de tu grupo.
● Compara este resultado con el que habéis medido con la regla. ¿Coinciden los resultados?
Observa esta tabla.
● Busca tu talla de calzado y anota a cuántos
centímetros equivale.
● Compara la medida que tomaste de tu pie
con la regla con la que aparece en la tabla. ¿Han coincidido?
● Si no han coincidido, vuelve a medirte el pie.
Rodea la opción correcta y tacha las incorrectas:
● Mi pie es menor igual mayor que la media de los pies de mis compañeros.
¿Coincide el resultado con lo que pensaste en la actividad 1 del taller? 3
4
talla de calzado longitud en cm
33 de 20 a 21 34 de 21 a 21,5 35 de 21,5 a 22 36 de 22 a 23 37 de 23 a 23,5 38 de 23,5 a 24,5 39 de 24,5 a 25,5 40 de 25,5 a 26 5
8
NOMBRE: FECHA:
Probabilidad
T
a
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l
e
r
Vamos a realizar un juego que todos conocéis, pero con algunas variaciones matemáticas: el juego de la oca.
● Formad grupos de cuatro y para cada grupo utilizad el tablero de la oca que tenéis en la página
siguiente.
● Antes de empezar la partida tenéis que fijar las normas que vais a aplicar. Completad la siguiente
tabla de forma que todo el grupo esté de acuerdo.
● En lugar de dados para jugar, cada grupo fabricará 3 barajas de cartulina con cartas numeradas:
− Una de 4 cartas con los números 1, 2, 3 y 4. − Una de 6 cartas numeradas del 1 al 6. − Una de 12 cartas numeradas del 1 al 12.
● En cada turno, se mezclarán las cartas de cada baraja por separado y, antes de sacar una carta,
cada jugador analizará las casillas que tiene por delante y deberá decidir qué baraja va a utilizar para esa ocasión y tendrá que dar un argumento a sus compañeros utilizando alguna de estas expresiones:
Si el grupo está de acuerdo, sacará una carta y realizará la jugada.
1
caer en una casilla con: obliga al jugador a:
una oca y un número primo Ir a la siguiente oca y tirar otra vez
una oca y un número compuesto Ir a la siguiente oca y pasar turno
un puente el laberinto la posada el pozo la cárcel la calavera
más probable que menos probable que
8
Después de haber jugado, al menos dos partidas, completa las siguientes frases para que sean verdaderas. Utiliza los términos de la actividad anterior.
● Si quiero que salga un 6, saco una carta de la baraja de cartas porque es en la que es
que salga.
● Si no quiero que salga un 5, saco una carta de la baraja de cartas porque es la única en
la que es que salga.
● Si quiero que salga un 10, pruebo a sacar una carta de la baraja de cartas porque
aunque no es que salga, es la única en la que es .
9
NOMBRE: FECHA:
En grupos de cuatro, vais a construir botellas graduadas de distinta precisión. Necesitaréis 4 bote-llas transparentes de 1 litro y una colección de 4 vasos de plástico de distintos tamaños.
● Elegid un vaso cada uno que utilizaréis como unidad de medida para graduar la botella. Llenad el
vaso de agua y vertedlo en la botella. Con un rotulador marcad la altura a la que ha llegado el agua. Repetid el proceso hasta que se llene la botella.
● Piensa y responde:
− ¿Quién va a tener que repetir la operación más veces?
− ¿Quién va a graduar la botella con mayor precisión?
● Observa en cada caso, el número de partes iguales en las que se ha dividido la botella de 1 litro y
expresa la capacidad de cada vaso en litros, centilitros y mililitros. Vaso 1:
Vaso 2: Vaso 3: Vaso 4:
Compara tus respuestas con las de tus compañeros y comentad qué habéis hecho cada uno para averiguarlo.
1
Medir capacidades
9
Vamos a utilizar la botella que hemos graduado en la actividad anterior para estimar la capacidad de distintos recipientes.
● Conseguid varios envases vacíos de distintas formas y tamaños. Cada grupo tapa con un papel
blanco y cinta adhesiva la etiqueta que expresa la capacidad del recipiente.
● Intercambiad los envases con los de otro grupo para que nadie conozca la capacidad de los
enva-ses con los que va a trabajar.
● Completad la tabla con la estimación personal. Podéis utilizar la botella graduada, pero no podéis
mirar las etiquetas de los envases.
● Destapad las etiquetas y comprobad cuál es la capacidad real de cada envase.
● Expresad todas las medidas en las mismas unidades y calculad el error cometido en cada caso.
¿Acertasteis? ¿Os quedasteis cortos u os pasasteis de largo?
2 Recipiente Estima su capacidad Averigua su capacidad real Calcula el error cometido ¿Error por exceso
10
NOMBRE: FECHA:
Medir superficies
T
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r
Sin utilizar ninguna regla graduada, solo con la ayuda de los bordes de un libro, un cuaderno o una hoja de papel, dibuja un cuadrado cuya área creas que mide un decímetro cuadrado (dm2).
Utiliza la regla graduada para tomar las medidas necesarias y responde:
● ¿Cuántos centímetros mide el lado del cuadrado que has construido? cm
● ¿Cuántos centímetros pensabas que iba a tener? cm
● ¿Coinciden los resultados? Si no es así, ¿cuántos centímetros hay de diferencia? cm
● Explica si el error fue por exceso o por defecto.
● Completa la siguiente frase con los términos mayor, menor o igual.
La superficie del cuadrado que he construido es que 1 dm2.
● Compara tus respuestas con las de tu compañero y comentad juntos qué ha hecho cada uno.
1
10
Recorta el decímetro cuadrado que encontrarás en las páginas finales y escribe en su interior con letra grande y clara, 1 dm2.
Estima si la superficie de los siguientes objetos es menor, mayor o igual a un decímetro cuadrado y después utiliza el decímetro cuadrado que has recortado para comprobarlo.
El decímetro cuadrado que has recortado está dividido en cuadrados más pequeños que miden 1 centímetro cuadrado.
● ¿Cuántos cuadrados hay en cada lado del decímetro cuadrado?
● ¿Cuánto mide el lado de cada cuadradito?
● ¿Cuántos cuadraditos de 1 cm2 caben en 1 dm2?
Completa la tabla con los objetos de la anterior cuya superficie sea mayor que un decímetro cua-drado.
3
4
Estimo que su superficie es:
¿Es correcto? menor que 1 dm2 1 dm2 mayor que 1 dm2
la mesa una goma de borrar el asiento de tu silla una baldosa del suelo
esta hoja de papel el interruptor de la luz 5 6 Estima: ¿cuántos cm2 crees que mide? Comprueba: ¿cuántos cm2 mide en realidad? Calcula el error cometido ¿Es un error por exceso o por
11
NOMBRE: FECHA:
Longitud de la circunferencia
T
a
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r
Relaciona estas tres columnas para comprobar si recuerdas las fórmulas que se usan para calcular la longitud de la circunferencia y el área del círculo:
Para no depender solo de la memoria, vamos a realizar algunas experiencias que nos permitirán descubrir qué relación hay entre la longitud de una circunferencia y su diámetro.
● Consigue un objeto con forma de circunferencia, un hilo o una cuerda y unas tijeras y sigue los
pasos que se explican a continuación:
1
2
π × r2
2 × π × r2
d × π
Área del círculo
Longitud de la circunferencia
1.º Rodea una circunferencia con hilo y corta con las ti-jeras la medida exacta de su longitud.
2.º Corta un trozo de cuerda que coincida con la medi-da del diámetro de la cir-cunferencia.
3.º Comprueba cuántos tro-zos de cuerda de longi-tud “diámetro” necesitas para cubrir la longitud de la circunferencia.
11
Compara los resultados que has obtenido con los de otros compañeros que hayan utilizado circun-ferencias con tamaños distintos a la tuya. ¿Sucede lo mismo en todos los casos?
● Completa la frase con la relación que has encontrado:
La longitud de una circunferencia contiene a su diámetro veces “y un poquito más”.
Para precisar un poco más esta relación, vamos a utilizar una cinta métrica y una calculadora. Por parejas, completad esta tabla escribiendo el cociente de la última columna con tres cifras decimales.
Redondea a las décimas los resultados de la cuarta columna de la tabla anterior, ¿qué relación ha-béis obtenido?
Pi es un número con infinitas cifras decimales. Si quieres conocer sus primeros 20 dígitos, cuenta el número de letras de las palabras que componen este poema y rellena las casillas.
3
4
¿Qué objeto
has elegido? la circunferenciaLongitud de Diámetro d Relación L : d
L = cm d = cm
L = cm d = cm
L = cm d = cm
5
6
El resultado de dividir la longitud de la circunferencia entre su diámetro se llama número pi (π). Su valor aproximado es 3,14.
Soy y seré a todos definible, mi nombre tengo que daros, cociente diametral siempre inmedible
soy de los redondos aros. Manuel Golmayo
3
11
NOMBRE: FECHA:
Área del círculo
T
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e
r
Elige tres objetos con forma de círculo y toma las medidas necesarias para calcular su superficie. Completa esta tabla con ayuda de una calculadora.
Para que no dependamos solo de la memoria cuando tengamos que calcular el área de un círculo, vamos a intentar comprender de dónde sale la fórmula siguiendo estos pasos.
● Dibuja una circunferencia en una cartulina con ayuda del compás y construye el cuadrado más
pequeño en el que puedas inscribir al círculo.
Traza en el círculo dos diámetros perpendiculares. Recorta el cuadrado.
Se forman 4 cuadrados cuyos lados miden lo mismo que el radio del círculo. − ¿Cuánto mide el radio?
− ¿Cuánto mide el área de cada cuadrado?
1
2
¿Qué objeto
has elegido? Longitud del radio Radio al cuadrado Área del círculo
r = cm r2 = cm2 A = cm2
r = cm r2 = cm2 A = cm2
11
● Rellena la superficie del círculo con arroz deforma que quede cubierto y bien extendido. También puedes usar, sal, arena o cualquier material que permita cubrir la superficie sin dejar huecos.
● Extiende ahora sobre el cuadrado inicial, el
arroz que has utilizado para cubrir el área del círculo y comprueba cuántos cuadrados de lado “radio” consigues completar.
● Escribe con tus palabras la relación que has encontrado. Utiliza las expresiones “área del círculo”
y “tres veces y un poquito más”.
Para precisar un poco más esta relación, vamos a repetir la experiencia anterior con la plantilla que encontrarás en las páginas finales.
3
● Rellena la superficie del círculo con arroz de
forma que quede cubierto y bien extendido.
Extiende el arroz para completar los cua-drados.
● Comprueba que consigues completar tres
cuadrados de lado “radio” y “un poquito más”. Extiende “el poquito más” sobre la cuadrícula. ¿Qué fracción decimal repre-senta?
____ 100
● ¿Qué observas? Trata de relacionarlo con el número pi (π).
12
NOMBRE: FECHA:
Fabricar un tetris
T
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Colocaos en equipos de cuatro y fabricad 4 cubos cada uno del mismo color con la plantilla que aparece en las páginas finales. Cada miembro del equipo construirá una de estas formas pegando los 4 cubos con pegamento. Repartíos la forma que haréis cada uno y respetad los colores que veis:
1
● Responde a estas preguntas:
a) ¿Cuánto mide la arista de cada cubo?
b) Explica cómo puedes hallar el volumen de uno de los cubos.
c) ¿Y el volumen de la pieza que has fabricado?
d) ¿Cuál de las cuatro piezas tiene mayor volumen?
¿Cómo se ven de frente? ¿Y desde arriba? ¿Y desde un lado? Mirad cada uno la pieza que habéis elegido desde los puntos de vista que se indican y dibujad lo que veis. Fíjate en el ejemplo.
2
Podéis utilizar folios de colores o colorear folios blancos… ¡Si vais a colorear, hacedlo
12
Juntad todas las piezas de la clase y jugad con ellas del siguiente modo:
● Por turno, iréis colocando piezas para formar un prisma que cumpla estas condiciones:
¿Qué volumen tiene ese prisma?
3
– Que la base sea un cuadrado de 4 cubos de lado.
– Que la altura sea de 5 cubos.
Fabricad entre todos esta construcción con vuestras piezas y dibujad qué veis desde donde se in-dica. Después calculad su volumen.
4
Volumen:
Notas
AnexosNotas
Los recursos didácticos de Matemáticas para 6.º de Primaria forman parte del Proyecto Editorial de Educación Primaria de SM. En su realización ha participado el siguiente equipo:
Autoría
Javier Bernabeu, Elsa Santaolalla, Luis Berenguer Edición
Oiana García Corrección Lourdes Jiménez Ilustración
Arianeta, Juan Antonio Rocafort, Jesús Gabán (cubierta) Fotografía
Fidel Puerta, María Pía Hidalgo/ARCHIVO SM, THINKSTOCK, SHUTTERSTOCK Edición gráfica
María Pía Hidalgo
Diseño de cubierta e interiores Estudio SM
Responsable del proyecto Javier Bernabeu, Jesús Macías
Coordinación editorial de Matemáticas Josefina Arévalo
Coordinación editorial de Primaria Nuria Vallina, Nuria Corredera Dirección de Arte del proyecto Mario Dequel
Dirección editorial Aída Moya
