SEGÚN LAS INSTRUCCIONES QUE SE IMPARTEN PARA CADA GRUPO DE ÍTEMS DE CARÁCTER OBJETIVO, ESCRIBA LO QUE CORRESPONDA.
A.- En los siguientes enunciados, escriba en el espacio interlineado ubicado a la izquierda de cada uno, la letra (V) si la contestación es verdadera y la letra (F) si es falsa. En las falsas escribir el porque en el espacio indicado, bajo cada ítem.
1. …… x2 3 1 x5
………... 2. …… La conectiva predominante de la siguiente proposición compuesta
[ p ( p q ) ] ( p q ) es la condicional.
………... 3. …… Una proposición es un enunciado que puede ser verdadero y falso.
………... 4. …… Sea A = {x, y}, el conjunto Card(A) = 2
………... 5. …… Si p: “2 + 3 = 8”; V(p) = V
………... 6. …… El valor absoluto de un número es un número negativo.
………... 7. …… Una proposición se dice que es una tautología si su valor de verdad es siempre V independientemente de los valores de las proposiciones que lo componen.……… 8. …… La inecuación x a, para a > 0 es igual a la doble inecuación – a < x < a.
………... 9. …… La disyunción es aquella proposición que es verdadera cuando al menos una
de las dos p o q es verdadera, y falsa en caso contrario. ……….…... 10. …… La inecuación x a, para a > 0 es igual a x < a v x > – a.
………... 11. …… La disyunción de dos proposiciones p, q, se escribe: p v q, y se lee "no p o
q".………...
12. …… El valor absoluto de un número negativo, es igual al valor absoluto del mismo con signo contrario x x ………... 13. …… El cardinal del conjunto A. Se denota por Card(B).
………... 14. …… Dadas las funciones f y g, la función compuesta denotada por f g, se
define como
f g
x g
f
x………... 15. …… Un conjunto es finito si consta de un cierto número de elementos distintos, es decir si al contar los diferentes elementos del conjunto el proceso de contar no se puede acabar.……… 16. …… Simplificación o también denominado reducción, consiste en aplicar las
leyes del álgebra de las proposiciones en enunciados extensos, hasta llegar a una proposición muy simple.………... 17. …… Si f y g son dos funciones tales que f (g(x)) = g( f (x)) = x, entonces f y g son
funciones inversas.………...
18. …… La intersección de A y B se puede definir: A B = { x / x A x B } ………... 19. …… Los conjuntos se describen por extensión, que es la enumeración de cada uno de los elementos que conforman el conjunto. …….………... 20. …… Si dos conjuntos A y B no tienen ningún elemento común entonces A y B
son intersecantes……….. 21. …… La conjunción es verdadera cuando las dos proposiciones son falsas.
………... B.- EN LOS SIGUIENTES ENUNCIADOS, COMPLETE DE MANERA
CORRECTA LOS ESPACIOS INTERLINEADOS INDICADOS EN CADA UNO DE ELLOS.
1. F ~ ( r ~ s ) F, corresponde a la ley de proposiciones denominada...
2. Si tenemos dos proposiciones (variables), cuantas posibilidades existen para formar la tabla de verdad……….
3. Proposiciones compuestas son aquellas que están formadas por una o más proposiciones simples, ligadas por uno o más……… 4. Conjunción es aquella proposición que es verdadera cuando p y q son………. 5. Sea A = { }, se denomina conjunto...
6. La bicondicional es aquella proposición que es verdadera cuando p y q tienen………...
7. Sea B = {p, q}, el conjunto potencia de B es………. 8. Una proposición se dice que es una contradicción si su valor de verdad es
siempre………...
9. La conjunción de dos proposiciones p, q, se escribe…..…….... y se lee……..……… 10. Proposiciones simples son aquellas que……….. 11. Si tenemos tres proposiciones (variables), cuantas posibilidades existen para formar
la tabla de verdad……….
12. Una proposición o enunciado es una oración que puede ser……… 13. La bicondicional de dos proposiciones p, q, se escribe……….…y se
lee…………...
14. Si tenemos una proposición (variable), cuantas posibilidades existen para formar la tabla de verdad……….
15. El conjunto A se llama Dominio de la función y el conjunto B………. 16. La representación gráfica de un conjunto mediante figuras geométricas cerradas, se
denominan……….
17. La unión de conjuntos se define como: A B = {x / x….………}
18. Se define la diferencia de dos conjuntos también como: A – B = {x / x A y……....} 19. Si aA, el elemento de B que le corresponde a a se llama imagen de a, se denota por
20. Complete la tabla de verdad escribiendo los operadores lógicos correspondientes. P …. ( P …. Q ) V V F F V F V V V V F F V F F V V F V F
21. Los elementos de un conjunto se designan por letras……..……….. 22. Complete la tabla de verdad escribiendo los operadores lógicos correspondientes.
( P …. Q ) …. ( P …. Q ) V V F F V F F F V F V F V V V F V V F F V V V F V F V F
23. El conjunto que no contiene elementos o carece de elementos se denomina………..
24. En una función, x e y se les llama variables, a la x: variable independiente y a la
y:………..
25. Sea , el símbolo utilizado en la Teoría de Conjuntos, éste, se denomina conjunto………....
26. Complete la tabla de verdad escribiendo los operadores lógicos correspondientes.
P …. ( Q …. P ) V V F F F F F V V F V F V V V F V V F F
C.- EN LOS SIGUIENTES ENUNCIADOS, SUBRAYE EL LITERAL CORRESPONDIENTE A LA SOLUCION CORRECTA.
Sean los conjuntos M = { 1, 2, 3 } y N = { 2 , 4, 6 }; la operación M N = a) 2 b) { 2 } c) { 2, 3 }
Si dos conjuntos A, B no tiene elementos comunes, entonces estos conjuntos se denominan:
a) Disjuntos b) Intersecantes c) Subconjuntos Sea y 6, este enunciado es equivalente a:
Si dos conjuntos A, B tienen elementos comunes, entonces estos conjuntos se denominan:
a) Disjuntos b) Intersecantes c) Subconjuntos
D.- EN LOS SIGUIENTES EJERCICIOS, SUBRAYE EL LITERAL CORRESPONDIENTE A LA SOLUCION CORRECTA.
1. Determinar el conjunto solución del siguiente sistema de inecuaciones.
0 4 x 5 x 1 1 x 1 x 2 2
2. Determinar el conjunto solución de la siguiente inecuación.
4 2 x 1 x
3. Determinar el conjunto solución de la siguiente inecuación.
3 2 1 3 x 5 x
4. Determinar el conjunto solución de la siguiente inecuación.
2 1 x 3 x 2
F.- DESARROLLAR LOS SIGUIENTES ENUNCIADOS MEDIANTE TABLAS DE VERDAD.
1. P [ Q ( ~Q P )] 2. ( P ~ Q ) ~ R 3. [ ( P Q ) ~ P ] Q 4. P ( Q P )
5. ( P ~ Q ) P Indicar si es una tautología o contradicción. 6. ( P Q ) ( Q P ) Indicar si es una tautología o contradicción. 7. ~ ( P Q ) ( P Q ) Indicar si es una tautología o contradicción.
a) ST = [ 2 , ½ ] b) ST = (– , 3] [4, ) c) ST = [– 2, 0] d) Ninguna a) (– ∞, –3 ] [ –7/5 , +∞ ) b) (– ∞, –5/7 ) ( 2 , +∞ ) c) (–3, – 1 ) d) Ninguna a) (– ∞, ½ ] [ 3/4 , +∞ ) b) (11/9 , 25/3 ) – { 3 } c) [ 1/3 , +∞ ) d) Ninguna a) (– ∞, – 2 ] [14/11, +∞ ) b) ( 3 , 6 ) ( 8 , 9 ) c) [ – 2 , 5 ] d) Ninguna
G.- MEDIANTE TABLAS DE VERDAD DEMOSTRAR SI ES UNA EQUIVALENCIA LÓGICA O IMPLICACIÓN LÓGICA; SEGÚN EL CASO 1. { [ ( P Q) (Q P )] ~ ( P Q) } ( Q ~ P) 2.
P
Q
Q
P
P
Q
P
~
Q
3.P
Q
~
P
Q
~
P
Q
P
Q
~
~
P
~
Q
4. ( P Q ) Q P Q 5. ~ ( P Q ) ~ P ~ Q 6. P ( Q P ) ~ ( P Q ) 7. ( P Q ) ~ Q ~ P 8. ( P Q ) ~ P ~ Q 9. P ( P Q ) ( P Q )H.- EN LOS SIGUIENTES ÍTEMS REALIZAR CORRECTAMENTE LO QUE SE INDICA, APLICANDO LAS LEYES DE LAS PROPOSICIONES. JUSTIFICANDO SU PROCEDIMIENTO. H.1. Demostrar: P Q Q P P ( Q P ) P Q ( P Q ) ( Q ~ P ) ( P Q ) Q ~ Q P → P V P ↔ [ ( Q P ) ( P Q ) ] ( ~ P Q ) ( P Q ) (~ P ↓ ~ Q ) es una tautología ( P Q ) ( P ↔ Q ) es una tautología P Q ( P ↔ Q ) es una tautología [ ( P Q ) ( Q P ) ] ( P Q ) P ( Q P ) H.2. Simplificar: ( P Q) ( Q P ) (P ↔ Q ) ~ ( Q P ) ( P Q ) Q [~ ( P ↔ Q ) → ~ Q ] P
[ P ( P Q )] ( P Q ) P ( ~ Q P )
( P Q ) ( ~ Q P ) Q ( P Q )
~ ( Q P ) ~ ( P Q )
I. EN LOS SIGUIENTES EJERCICIOS DETERMINAR ANALÍTICAMENTE LO QUE SE INDICA Y SU RESULTADO REPRESENTARLO EN DIAGRAMAS DE VENN. 1. Dados A = {4, 6, 8, 10, 12}, B = {3, 5, 7, 9} y C = {4, 7, 5, 10, 11} y U = {x IN : 2 < x < 13 }. Halle: a) A B b) (A B) C c) ( A – B) ( B – C) d) (A – B)’ – B’ e) C – (A B) f) ( A B)’ ( C – B)’ 2. Si U = { xZ: –5 < x < 5 }, A = { xZ: x1 } y B = { xZ : x < 2} Determine: a) A’ B’ b) A’ – B c) ( A B)’ d) (B’ – A’)’
3. Sean U = { xZ: –6 ≤ x < 9 }, A = { xZ: x ≤ 0 x > 2 } y B = { x IR : x > 3 x < 5} Determine:
a) A B b) A’ – B’ c) ( A B)’ d) ( A’ B) – A
4. Dados los siguientes conjuntos U = { xZ: –2 ≤ x < 6 },A = { xZ: –1 ≤ x < 2 }, B = { xZ: 1 ≤ x < 3 x = 4 } y C = { xZ : x ≤ –1 x > 2}. Determine:
a) ( A’ – B) (CA) b) A (B – C’) c) (C’ B) (B – A) d) (B C)(A’ – C)
J. DIBUJE DIAGRAMAS DE VENN EN LOS SIGUIENTES ENUNCIADOS CON CONJUNTOS. a) (A B) C b) (A B C’ ) (A C) c) (B – C) A d) [ (A B) C]’ A e) (A B’) (C B) f) (A B) – C g) [ ( A – B)’ – B ]’
h) [ ( A B’ ) (C’ A) ]’
K.- EN LOS SIGUIENTES ÍTEMS REALIZAR CORRECTAMENTE LO QUE SE INDICA, APLICANDO LAS LEYES DE LOS CONJUNTOS.
1. Demostrar: A’ B = (A – B)’ (A B) (A B’) = A. (A B)’ (A B’) = B’ [(A B)c B] [Bc (A B)] = (A – B)c. A (D – B) = [Ac (Dc B)]c. [(A B) (A C) Bc = (A – B) – Cc 2. Simplificar: [(A B) Bc] [Bc (A B)]c Ac [B (Bc A)] Cc [Dc (D – Cc)c]
L. RESOLVER CORRECTAMENTE LOS SIGUIENTES PROBLEMAS DE APLICACIÓN SOBRE DE CONJUNTOS
1. 20 estudiantes de la ESPOCH conversan a dónde irán el fin de semana: 5 irán sólo al cine; 3 al cine y al parque; 8 al zoológico; 3 sólo a cine y al zoológico; 5 al parque; 1 a los tres lugares; ninguno desea ir sólo al parque y al zoológico. Se pregunta:
a) ¿Cuántos irán sólo al zoológico? b) ¿Cuántos irán al cine y al zoológico? c) ¿Cuantos no irán a ningún lugar?
2. De 40 estudiantes entrevistados, 15 leen las revistas A y B; 27 leen la revista B; 3 leen únicamente la revista A. Con esta información determinar:
a) ¿Cuántos estudiantes no leen ninguna de las dos revistas? b) ¿Cuántos estudiantes leen la revista A?
c) ¿Cuántos estudiantes leen únicamente la revista B? d) ¿Cuántos estudiantes leen una sola de estas revistas?
3. En un colegio de 100 alumnos al realizar una encuesta se obtuvo los siguientes datos: 24 alumnos seguían el idioma inglés: 31 francés; 29 alemán; 11 inglés y francés; 4 inglés y alemán; 5 francés y alemán; 3 inglés, francés y alemán. Se pregunta:
a) ¿Cuántos alumnos no recibían ningún idioma?
b) ¿Cuántos alumnos recibían inglés como único idioma?
4. En un curso de ajuste básico de la ESPOCH, estudian 100 alumnos de los cuales: 28 alumnos dominan Química; 35 alumnos dominan Trigonometría; 33 alumnos dominan Álgebra; 15 alumnos dominan Química y Trigonometría; 8 alumnos
dominan Química y Álgebra; 9 alumnos dominan Trigonometría y Álgebra; 7 alumnos dominan Química, Trigonometría y Álgebra. Se pregunta:
a) ¿Cuántos alumnos no sabían nada?
b) ¿Cuántos alumnos dominan sólo Trigonometría? c) ¿Cuántos alumnos dominan sólo Química? d) ¿Cuántos alumnos dominan sólo Álgebra?
5. En un colegio de 500 alumnos se tiene que: 329 juegan fútbol; 186 juegan básquet; 295 juegan ping – pong; 83 fútbol y ping – pong; 217 fútbol y básquet; 63 básquet y ping – pong; 45 no practican ningún deporte. Pregunta ¿Cuántos alumnos practican los tres deportes?
6. Una fábrica produce 100 art/hora, de los cuales pasan el control de calidad 60. las fallas en el resto, fueron fallas del tipo A, tipo B y tipo C, y se repartieron del modo siguiente: 8 artículos con fallas del tipo A y del tipo B, 12 artículos con sólo fallas del tipo A, 3 artículos con fallas de los tres tipos, 5 artículos con fallas del tipo A y C, y 2 artículos con sólo fallas del tipo C y tipo B. El número de artículos que tuvieron una sola falla de tipo C o de tipo B fue el mismo. ¿Cuántos artículos tuvieron fallas del tipo B y cuántos artículos tuvieron una sola falla? 7. En una encuesta cultural entre 40 personas, 27 eran hombres y 20 músicos, de
éstos últimos 8 eran cantantes, 6 de las mujeres no eran músicos y 22 de los hombres no eran cantantes. Determine cuántas mujeres eran músicos pero no cantantes.
8. Un curso de 40 alumnos tiene que aprobar Ed. Física, y para ello deben escoger entre tres deportes: Fútbol, básquet y volley, 6 alumnos prefieren sólo volley, 4 alumnos eligen volley y básquet. El número de alumnos que eligen sólo básquet es la mitad de los que eligen fútbol y es el doble de los que eligen fútbol y volley. No hay ningún alumno que elija fútbol y básquet. Se pregunta:
a) ¿Cuántos alumnos eligen volley? b) ¿Cuántos alumnos eligen fútbol? c) ¿Cuántos alumnos eligen sólo básquet?
9. Se hace una encuesta en un supermercado a 33 clientes que se encuentran haciendo compras, 3 de ellos no usan jabones del tipo A, ni B, peor C, 15 usan jabones sólo del tipo A o sólo del tipo C, las personas que usan jabones A y B son la mitad de los que usan jabones B y C y estos últimos exceden en 5 a las personas que usan jabones sólo de tipo B, el número de personas que utilizan jabones B es 3 veces mayor que el que usan sólo A, no hay personas que usen A, B y C. determine:
a) ¿Cuál de los jabones es el más usado?
b) ¿Cuántas personas usan los jabones A, B o C? c) ¿Cuántas usan los tres jabones?
d) ¿Cuántas utilizan A o B pero no C? e) ¿Cuántas no usan jabones B?
f) ¿Cuántas utilizan jabones A y B pero no C? g) ¿Cuántas no consumen A o B?
10. Entre un grupo de personas conversan sobre tres películas (A, B y C) y determinan que 4 personas no han visto ninguna de las tres, la mitad del número de personas que han visto sólo B es igual al que han visto C, las que han visto sólo A y B es una tercera parte de los que han visto sólo B, 7 personas han visto la película A y 5 han visto sólo A. las personas que ven C no ven ninguna otra película. Determine:
a) ¿Cuántas personas han visto A y B? b) ¿Cuántas ha visto B o C?
c) ¿Cuántas han visto sólo A o sólo B o sólo C? d) ¿Cuántas personas no han visto B?
11. Se realizó una encuesta entre consumidores de colas que dio los siguientes resultados: 14 personas toman coca-cola y sprite, 11 personas beben sólo sprite, a 9 personas les gusta fanta, a 5 personas les gusta las tres colas; el número de personas que beben sólo “coca-cola y fanta” es igual al de personas que toman sólo “fanta y sprite”, se conoce además que el número de personas que toman sprite es 3 más de los que toman fanta y 3 más de los que toman coca-cola; 40 personas toman otro tipo de colas. Se pregunta:
a) ¿Cuántas personas toman coca-cola y fanta? b) ¿Cuántas personas toman sólo coca-cola? c) ¿Cuántas toman cualquiera de estas colas?
d) ¿Cuántas colas hay que dar a las personas del literal c?
12. Para conceder el “Oscar” al mejor actor de 1978, se efectúa una elección entre John Voight, Robert De Niro y Lawrence Oliver; 44 personas participan en la elección, las mismas que pueden consignar su voto por uno de ellos, por dos de ellos o por los tres. Luego de la votación se encontró que: 6 personas votaron por Voight y De Niro, 10 personas votaron por Oliver y Voight, el número de personas que votaron sólo por Voight es igual al de personas que votaron por sólo por Oliver es igual al de personas que votaron por De Niro y es igual al de personas que vitaron por Oliver y Voight o por Oliver y De Niro, 2 personas votaron por los tres actores. Se pregunta:
a) ¿Cuántos votos tuvo Voight?
b) ¿Cuántas personas votaron por Voight? c) ¿Cuál fue el número total de votos?
d) ¿Cuántas personas votaron sólo por “De Niro y por Oliver” e) ¿Quién ganó el “Oscar”
f) ¿Cuántas personas votaron sólo por De Niro o sólo por Oliver”?
13. 190 estudiantes van a una biblioteca en la que hay 115 libros de Baldor, 80 libros de Mancill, 80 libros de Ardura, 20 estudiantes solicitan los libros de Baldor y Mancill, 30 estudiantes piden los libros de Baldor y Ardura, 40 estudiantes solicitan los libros de Mancill y Ardura, cada estudiante lleva por lo menos un libro.
a) ¿Cuántos estudiantes piden los tres libros?
b) ¿Cuántos estudiantes piden Mancill pero no Ardura? c) ¿Cuántos estudiantes piden Baldor o Ardura?
15. 30 alumnos están inscritos en una, al menos, de dos asignaturas: Matemáticas y Física. El número de inscritos en las dos asignaturas es 7 y Física tiene 12 alumnos. Determinar:
a) ¿Cuántos alumnos están inscritos en Matemáticas?
b) ¿Cuántos alumnos están inscritos solamente en Matemáticas? c) ¿Cuántos alumnos están inscritos sólo en Física?
16. En un grupo de 41 estudiantes, 15 no estudian ni trabajan, 28 no estudian y 23 no trabajan. Se pide:
a) ¿Cuántos sólo estudian? b) ¿Cuántos trabajan y estudian?
K. A N Á L I S I S D E F U N C I O N E S
I) En el ejercicio 1, se definen las funciones f y g. En cada ejercicio defina las siguientes funciones y determine el dominio de la función resultante: 1. Dada la función f (x) = 2x2 1, encuentre:
a) f(– 2) b) f(2x2 1) c) ; h 0 h ) x ( f ) h x ( f
II) En los ejercicios 2,3 se definen las funciones f y g. en cada ejercicio defina las siguientes funciones y determine el dominio de la función compuesta
2. f(x) x2; g(x)x2 2 3. ; g(x) x x 1 ) x ( f
4. Se tiene f(x) = 2x – 3; defina las siguientes funciones y determine el dominio de la función resultante. (a) f (x2); (b) [f(x)]2; (c) (f o f)(x)
5. Sea x x 1 ) x ( g y 1 x 1 ) x ( f
Muestre que f y g son funciones inversas. 6. Si f(x) = x2 + 2x + 2, encuentre dos funciones g para las cuales
(f o g)(x) = x2 – 4x + 5
III) EN CADA EJERCICIO, DETERMINE EL DOMINIO Y EL DOMINIO DE IMÁGENES (CODOMINIO, RECORRIDO) DE LA FUNCIÓN Y TRACE LA GRÁFICA O UNA GRÁFICA APROXIMADA.
1. f(x) = x2 – 2x – 1
3. f(x) = – 2x2 + 3x 4. 1 x 4 x ) x ( f 2 5. f(x) = – x4 + x3 – x2 + x – 1 6. f(x) = 42x 7. f(x) = 2 x 9 8. f(x) = x2 3x4 9. f(x) = 6 x x 12 x 4 x 3 x 2 2 3 10. f(x) =
1 x 1 x 3 x 4 3 2 11. y x2 25 12. 2 5 x 2 x 7 y 13.x
1
x
y
IV) HALLAR LOS VALORES DE LAS SIGUIENTES EXPRESIONES CON LÍMITES. 1. 3 x 2 x 6 x 5 x lim 2 2 1 x 2. 2 2 0 x x x 1 1 lim 3. 4 x 8 x lim 2 3 2 x 4. 2 1 x 2 1 x 1 lim 0 x 5. x x 1 x 1 lim 0 x 6. 1 2 x 1 x 2 x 1 1 lim 7. y x y x lim n n y x 8. 2 3 2 0 x 2x 5x x 8 x 3 x 4 lim 9. 5 x 3 x 2 x lim 2 3 2 x 10. 3 x 6 x 3 lim 2 2 3 x 11. 2 x x 4 2 x x 4 lim 2 2 0 x 12.
x 4 1 x 5 6 x 17 10 x 5 8 lim 2 3 x 13. 5 3 2 3 x 2x x x 16 lim 14.
2 3 3 2 1 x x 1 1 x 2 x lim 15. 1 x x 2 1 x lim 2 2 0 x 16. 2x x 1 1 x lim 2 2 1 x 17. 1 x x 2 1 x lim 2 2 x 18.
x 1 x 3 1 x 2 1 x 1 lim 0 x 19.
2 5
5 0 x x x x 5 1 x 1 lim 20. x 8x 15 6 x 5 x lim 2 2 3 x 21.
5 x 5x 1 5 x 4 x 3 x 2 x 1 x lim 22.
50 30 20 x 2x 1 2 x 3 3 x 2 lim 23. 3 x 4 x 2 x 3 x lim 4 2 1 x 24. x 4x 3 2 x 3 x lim 5 4 1 x 25. 16 x 8 x 8 x 4 x 2 x lim 4 2 2 2 2 x 26. x 2x 1 1 x 2 x lim 5 3 1 x 27.
3
10 20 2 2 x 16 x 12 x 2 x x lim 28. x 2 3 x 2 1 lim 4 x 29. 4 x 2 x lim 4 16 x 30. x 2 5 x 2 9 lim 3 8 x 31.
x x 1 x x 2 1 lim 2 0 x 32. 2 3 2 0 x x x 2 x x 3 8 lim 33. x x 4 x x 2 x lim 3 2 3 x 34.
2 x 1 x lim 3 3 x 35. x x x x lim x 36. x 1 4 x 3 x 2 lim 4 2 x 37. lim
x a x
x 38. lim x
x 1 x
2 x 39.
3 3
x x 1 x lim 40. 41. x x 2 Sen lim 0 x 42. Cos(x 2) ) 2 x ( Sen lim 0 x 43. x x 5 Sen x 3 Sen lim 0 x CÁLCULO DIFERENCIAL DERIVADAS
En los ejercicios siguientes, diferencie o derive la función dada mediante la aplicación de los teoremas de esta sección.
1. f(x) = 7x – 5 2. g(x) = 8 – 3x 3. g(x) = 1 – 2x – x2 4. f(x) = 4x2 + x + 1 5. f(x) = x3 – 3x2 + 5x – 2 6. f(x) = 3x4 – 5x2 + 1 7. x8 x4 8 1 ) x ( f 8. g(x) = x7 – 2x5 + 5x3 – 7x 9. 4 t2 2 1 t 4 1 ) t ( F 10. x x 2 3 1 ) x ( H 3 11. 3 r 3 4 ) r ( v 12. G(y) = y10 + 7y5 – y3 + 1 13. 2 2 x 1 x 3 x ) x ( F 14. 3 3 x 3 3 x ) x ( f 15. 4 4 x 4 1 x 4 ) x ( g 16. 4 2 4 x 4 x 5 x ) x ( f 17. 2 4 x 5 x 3 ) x ( g 18. 5 x 6 5 ) x ( H 19. f(s) 3
s3 s2
20. g(x)
2x2 5
4x1
21. f(x)
2x4 1
5x3 6x
22. f(x)
4x2 3
2 23. G(y)
73y3
2 24. F(t)
t3 2t1
2t2 3t
25. y
x2 3x2
2x3 1
26. 3 x x 2 ) x ( f 27. 1 x x ) x ( g 28. 4 x 3 1 x 2 y 29. 1 x 2 x 1 x 2 x dx d 2 2 30. 2 x x x 3 4 dx d 2 31. 2 t 2 1 t 5 dt d 32. 4 3 4 x 1 x 5 x 2 x dx dEn los ejercicios siguientes, determine la derivada de la función que se indica. 33. f(x)3Senx 34. g(x)SenxCosx 35. g(x)TgxCtgx 36. f(x)4Secx2Cscx 37. f(t)2tCost 38. f(x)4x2Cosx
39. g(x)xSenxCosx 40. g(y)3SenyyCosy 41. h(x)4SenxCosx 42. f(x)x2Senx2xCosx 43. f(x)x2Cosx2xSenx2Cosx 44. f(x)3SecxTgx
45. h(x) x3 x2Cosx2xSenx2Cosx 46. f(t)SentTgt
En los ejercicios siguientes, obtenga la derivada de la función que se indica. 47. f(x)
2x1
3 48. f(x)
105x
4 49. F(x)
x2 4x5
4 50. g(r)
2r4 8r2 1
5 51. f(t)
2t4 7t3 2t1
2 52. H(z)
z3 3z2 1
3 53. f(x)
x2 4
2 54. g(x)Senx255. f(x)4Cos3x3Sen4x 56. G(x)Sec2x 57. Sec 2t Sec2t 3 1 ) t ( h 3 58. f(x)Cos
3x2 1
En los siguientes ejercicios, calcule la derivada que se indica. 59.
Sec xTg x
dx d 2 2 60.
2Sen tCos t
dt d 3 2En los ejercicios siguientes, obtenga la derivada de la función que se indica
61. 2 1 2 1 x 5 x 4 ) x ( f 62. g(x) 14x2 63. g(x)3 4x2 1 64. 2 x 25 1 ) x ( h 65. f(x)4Sec x 66. g(x) 3Senx 67. f(x) 1Csc2x 68. f(x)loga(3x2 5) 69. f(x)ln(x3)2 70. f(x)x2 3x
71. f(x)exln(x)
1.- ¿Cuál de los siguientes enunciados es una proposición? a) El sabor del color azul es dulce
b) Disparen al ladrón
c) 314159 es un número primo d) Buenos días
e) Ninguno de los anteriores
2.- ¿Cuál de las siguientes proposiciones es lógicamente equivalente a
pq
pq
?
anteriores las de Ninguna ) q p d) q p ) ) q p p ) e p c q p b a 3.- Si S
a,b,c,d
y R
p,q,c,d
el número de elementos de SR es: a) 8b) 6 c) 2 d) 4
e) Ninguna de las anteriores
4.- Si S
1,2,3,4,5
y R
2,3,4,5,6,8
el número de elementos de SR es: f) 8g) 7 h) 2 i) 4
j) Ninguna de las anteriores
5.- Si A
2,
3
entonces P( A) que significa el conjunto de las partes de un conjunto es:
2, 3 , , 2, 3
) 3 , 2 , 3 , 2 ) 3 , 2 , , 3 , 2 ) 3 , 2 , , 3 , 2 ) d c b a6.- La siguiente información se refiere a un grupo de 200 estudiantes. Todos los hombres tienen más de 15 años de edad. Hay 100 mujeres en el grupo. Hay 150 estudiantes de más de 15 años de edad. Hay 50 mujeres rubias, hay 40 estudiantes rubios de más de 15 años de edad, hay 30 mujeres rubias con más de 15 años de edad.
Realice un diagrama de Venn adecuado, tan completo como sea posible, y conteste las siguientes preguntas:
i) ¿Cuántos estudiantes rubios hay? a) 60
b) 10 c) 15 d) 7
e) Ninguna de las Anteriores
ii) ¿Cuántas mujeres no rubias tienen más de 15 años de edad? a) 21
b) 20 c) 16 d) 5
e) Ninguna de las Anteriores
iii) ¿Cuántos estudiantes no rubios tienen menos de 15 años de edad? a) 25
b) 32 c) 30 d) 18
e) Ninguna de las Anteriores
iv) ¿Cuántos hombres rubios hay? a) 4
b) 6 c) 10 d) 9
e) Ninguna de las Anteriores
7.- En un curso de 50 alumnos de la ESPOCH tienen que aprobarse Educación Física, y para ello deben escoger entre 3 deportes: Tenis, Volley y Basket.
8 alumnos prefieren sólo Volley, 6 alumnos prefieren Volley y Basket, el número de alumnos que eligen sólo Basket es la mitad de los que eligen Tenis y es el doble de los que eligen Tenis y Volley. No hay alumnos que eligen Tenis y Basket. Se pregunta:
i) ¿Cuántos alumnos eligen Tenis? a) 20
b) 25 c) 24 d) 12
e) Ninguna de las Anteriores
ii) ¿Cuántos alumnos eligen Volley? a) 14
b) 10 c) 8 d) 20
e) Ninguna de las Anteriores
iii) ¿Cuántos alumnos eligen sólo Basket? a) 5
b) 12 c) 24 d) 15
e) Ninguna de las Anteriores
9.- Demostrar que
AB
B es igual a:anteriores las de Ninguna e A B d B A c B A b B A a C ) ) ) ) )
10.- Demostrar que A(BC) es igual a:
anteriores las de Ninguna e A C B d C B A c B A b B A a c ) ) ( ) ) ( ) ) ) RELACIONES Y FUNCIONES
anteriores las de Ninguna ) (4,6) , (3,8) , (2,4) ) (4,6) , (3,6) , (2,6) ) (4,8) , (3,6) , (2,4) ) (4,6) , (3,6) , (2,4) a) : es " y de mitad la es x " : R relación La . 8 , 6 , 4 6 , 4 , 3 , 2 . 1 e d c b B A
anteriores las de Ninguna ) w) (d, z), (d, y), (b, x), (a, ) w) (c, z), (c, y), (a, x), (a, ) w) (d, z), (c, y), (b, x), (a, ) w) (c, z), (c, y), (b, x), (a, a) : es B en A de función Una . , , , , , , , . 2 e d c b v w z y x B d c b a A 3.- El dominio de definición de la función
x x x g 3 2 ) ( es:
anteriores las de Ninguna ) 0 3 , ) ( ) 0 3 , ) ( ) 3 , ) ( ) 0 3 , ) ( ) e g Dom d g Dom c g Dom b g Dom a . anteriores las de Ninguna ) e ah 2 ) d a 4 ) c ah 2 ) b ah 4 ) a : es ) h a ( f ) h a ( f , x 1 ) x ( f . 4 2
anteriores las de Ninguna ) e 2 x ) d 1 x ) c 1 x ) b 1 x ) a 1 x 3 x 3 x x f g y x g(x) si , ) x ( f Hallar . 5 2 3 2 3 3
anteriores las de Ninguna ) e 7 x ) d 7 x ) c 3 x ) b 3 x ) a 26 x 10 x x g f que tal g(x) hallar , 5 4x -x ) x ( f Sea . 6 2 2 7.- Si f(x) = 3x-2 , g(x) = 2x+2 , xR.Hallar g-1f anteriores las de Ninguna ) 2 4 3 ) 2 4 3 ) 3 4 2 ) 3 4 2 ) e x d x c x b x a FUNCIONES ELEMENTALES 1.- Hallar el valor de x si se tiene que4log a 0,a 1,x 0 y x 1 log log 1 log 3 con x a a x a x x a anteriores las de Ninguna ) 1 ) ) ) ) 2 3 e d a c a b a a
anteriores las de Ninguna ) 8 ) 4 ) 8 ) 5 ) 3 2 log 6 log 9 log log2 4 2 2 e d c b a x
3.- Resolver la siguiente ecuación logarítmica
anteriores las de Ninguna ) 1 ) 100 1 ) 1000 ) 1000 ) 6 log log log e d c b a x x x 4.- Resolver la siguiente ecuación logarítmica
anteriores las de Ninguna ) 2 ) 2 ) 1 ) 1 ) 6 12 log 2 log 4 6 log 3 2 log 3 3 e d c b a x x x x
5.- Resolver la siguiente ecuación exponencial 2x3 4x1 320 anteriores las de Ninguna ) 3 ) 0 ) 2 ) 2 ) e d c b a
6.- Resolver la siguiente ecuación exponencial 3x2 9x1 810
anteriores las de Ninguna ) 3 ) 1 ) 2 ) 1 ) e d c b a
7.- Resolver la siguiente ecuación exponencial 2x14x 80 anteriores las de Ninguna ) 3 ) 0 ) 2 ) 2 ) e d c b a
8.- Resolver la siguiente ecuación exponencial 9x22x 729 anteriores las de Ninguna ) 3 ) 0 ) 1 ) 2 ) e d c b a
