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Movimiento Bajo la Acción de una. Fuerza Central

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(1)

Movimiento Bajo la Acci´

on de una

Fuerza Central

Mario I. Caicedo

Departamento de F´ısica, Universidad Sim´on Bol´ıvar

´Indice

1. Introducci´on al Momentum Angular 3

2. Ley de las Areas 6

3. Leyes de Kepler 7

3.1. Descubriendo la Ley de Gravitaci´on Universal . . . 8 3.2. La ley de “cubos y cuadrados” . . . 11 4. Consideraciones energ´eticas: El Potencial Efectivo 12

(2)

5. Introducci´on al Problema de Kepler 15

6. Resumen 19

7. Problema de Revisi´on 20

8. Problemas propuestos 22

9. Tema Avanzado I: Ecuaci´on de la ´orbita 24 10.Tema avanzado II: Soluci´on al al Problema de Kepler 26 11.Ap´endice: Secciones C´onicas 29

(3)

1.

Introducci´

on al Momentum Angular

Consideremos una part´ıcula que se mueve bajo la acci´on de una fuerza central, esto es, una fuerza paralela a la l´ınea que une a la part´ıcula con un punto fijo (O) denominado el centro de

fuerzas y cuya magnitud solamente depende de la distancia entre la part´ıcula dicho punto1 .

Por el momento supondremos que el movimiento ocurre en un plano (afirmaci´on que pro-baremos m´as adelante). Estas hip´otesis sobre la fuerza y el movimiento sugieren utilizar un sistema de coordenadas polares centrado en O, lo que permite escribir directamente las sigu-ientes expresiones generales para fuerza y la aceleraci´on

~

F = F (r) ˆur (1)

~a = (¨r − r ˙θ2) ˆu

r+ (r ¨θ + 2 ˙r ˙θ) ˆuθ (2)

Al utilizar la segunda ley de Newton obtenemos las siguientes ecuaciones para r y θ ¨

r − r ˙θ2 = F (r)

M (3)

r ¨θ + 2 ˙r ˙θ = 0 (4)

donde evidentemente M representa la masa de la part´ıcula. La ecuaci´on (4) permite concluir que (vea el problema (1))

Mr2˙θ = ` = constante. (5)

Concentr´emonos por un momento en la igualdad (5). En primer lugar debemos recalcar que la constancia de ` no implica que la distancia al origen de coordenadas (r) ´o la velocidad

1si quiere imaginar un ejemplo aproximado piense en la rotaci´on anual de la tierra en su orbita alrededor del

(4)

angular ( ˙θ) sean constantes. Lo que es constante es el producto de ambas cantidades. Esta observaci´on tiene una implicaci´on geom´etrica acerca del movimiento de la part´ıcula sobre la cual comentaremos m´as adelante (v´ease la seci´on 2). En segundo lugar, observemos que la igualdad (5) se puede reescribir en la forma

` = r(Mr ˙θ) =³~r × Mr ˙θˆuθ

´

. ˆk (6)

donde ˆk = ˆur × ˆuθ es un vector unitario ortogonal al plano en que ocurre el movimiento. La

f´ormula (6) no dice mucho, sin embargo, si recordamos que ˆur× ˆur = 0 podemos a˜nadir un 0

en la f´ormula (6) para obtener una nueva expresi´on para `

` =³~r × (Mr ˙θˆuθ+ M ˙rˆur)

´

. ˆk (7)

ahora bien, en coordenadas polares la velocidad se escribe en la forma: ~v = ˙rˆur+ r ˙θˆuθ, as´ı que,

al usar que el momentum de una part´ıcula se define como ~p = M~v, podemos concluir finalmente que el n´umero ` puede expresarse de manera bastante natural en t´erminos de dos cantidades f´ısicas (la posici´on y el momentum) muy bien definidas seg´un:

` = (~r × ~p) . ˆk (8)

Ahora bien, evidentemente ~r × ~p es un vector ortogonal al plano y ` no es otra cosa que su proyecci´on a lo largo del vector ˆk = ˆur × ˆuθ. En definitiva, y recapitulando hasta este punto,

hemos encontrado que:

Si el movimiento bajo la acci´on de una fuerza central es en un plano entonces el vector

~

(5)

es constante.

El vector ~L denominado Momentum Angular es una cantidad f´ısica de importancia fundamental

que aparece inexorablemente ligada a la descripci´on de la din´amica de objetos no puntuales, cabe comentar que la definici´on del momentum angular (f´ormula (9)) es bastante natural y que surge inducida por el hecho de que la fuerza es central.

Nuestro resultado acerca de la constancia de ~L depende de introducir la hip´otesis

simpli-ficadora seg´un la cual el movimiento es en un plano. Cabe preguntarse acerca de la validez de esta hip´otesis. A continuaci´on utilizaremos la la definici´on de ~L para demostrar

rigurosa-mente que el movimiento de una part´ıcula bajo la acci´on de una fuerza central ocurre efectiva y necesariamente en un plano.

Para lograr la demostraci´on comenzaremos por probar que, bajo la hip´otesis de fuerzas centrales, el Momentum Angular es constante. En efecto, usando la definici´on de ~L, su derivada

temporal se calcula f´acilmente

d~L

dt = ˙~r × ~p + ~r × ˙~p = 0 + ~r × ~F , (10)

ahora bien, la fuerza es central si y solo si ~F ||~r en cuyo caso, el segundo sumando de la igualdad

(10) se anula y eso demuestra que ~L es un vector constante.

Para concluir la demostraci´on observemos que, por definici´on, ~L es ortogonal al plano

for-mado por el radio vector de posici´on de la part´ıcula (~r) y a su ´ımpetu (~p), como ~L es constante,

(6)

2.

Ley de las Areas

Hab´ıamos adelantado que la constancia de ` ten´ıa una implicaci´on geom´etrica sumamente interesante, y este es un buen momento para discutir este punto. Consideremos el tri´angulo infinitesimal formado por el origen de coordenadas y dos puntos del movimiento separados por un intervalo de tiempo infinitesimal (dt). El ´area de dicho tri´angulo est´a dada por (¿por qu´e?)

dA = 1

2|~r(t + dt) × ~r(t)| (11)

pero:

~r(t + dt) = ~v(t) dt + ~r(t) (12)

as´ı que al sustituir resulta:

dA = 1 2|~v(t) × ~r(t) dt| = 1 2 M M |~v(t) × ~r(t) dt| = 1 2 M |~p(t) × ~r(t) dt| = 1 2 M |~L(t) dt| (13) esto es dA = 1 2M ` dt (14)

donde hemos utilizado que, como el movimiento es bajo la acci´on de una fuerza central, |~L| = ` = ctte.

En definitiva, hemos demostrado que

dA dt =

`

2M . (15)

El significado f´ısico de esta f´ormula es tremendamente interesante. Como el movimiento es en un plano, el radio vector de posici´on de la part´ıcula va barriendo un ´area, la cantidad

dA

(7)

no es m´as que la rapidez con la cual se barre dicha ´area. As´ı que la f´ormula (15) establece que, en vista de que ` es constante, esta rata es fija (y proporcional a `). No es posible sobreenfatizar el hecho de que las manipulaciones matem´aticas que nos trajeron hasta la igualdad (15) garantizan que esta es v´alida para cualquier fuerza central sin importar la forma expl´ıcita de la funci´on

F (r).

La constancia de dA/dt conocida como Ley de las Areas, fu´e descubierta por Johannes Kepler (1571-1630), quien la estableci´o para las ´orbitas planetarias bas´andose en las mediciones astron´omicas de Tycho Brahe (1546 − 1601).

3.

Leyes de Kepler

Las mediciones de astron´omicas de Brahe le permitieron a Kepler enunciar las siguientes tres leyes para los movimientos planetarios

1. Los planetas se mueven a lo largo de ´orbitas el´ıpticas en uno de cuyos focos se encuentra el Sol.

2. Los radios que unen al sol con los planetas barren ´areas iguales en tiempos iguales 3. Los cubos de las distancias al sol y los cuadrados de los per´ıodos son proporcionales.

Hay varios comentarios interesantes que se pueden hacer en relaci´on a las leyes de Kepler. El primero consiste en destacar que los resultados de Kepler fueron totalmente emp´ıricos, es decir, obtenidos directamente a partir de las observaciones y sin ninguna referencia a alguna relaci´on

(8)

causa efecto ya que no fu´e sino hasta los trabajos de Newton que tales relaciones pudieron establecerse.

El segundo comentario es el siguiente: a la luz de las leyes de Newton y seg´un hemos visto, resulta evidente que la ley de las ´areas es un fen´omeno asociado a cualquier fuerza que tenga car´acter central.

Finalmente debemos destacar (como exhibiremos m´as adelante) que la primera y tercera leyes est´an directamente relacionadas con la Ley de Gravitaci´on Universal de Newton. Descri-biendo las cosas en t´erminos modernos, Newton propuso que entre cualquier par de part´ıculas puntuales se establece una fuerza central dada por:

~

F = GMMo

r2 uˆr (17)

donde, M y M0 son las masas de las part´ıculas, G es una constante, r la distancia que separa

las part´ıculas y ˆurel vector unitario que define la radial entre ambas part´ıculas. El ´exito de esta

teor´ıa de gravitaci´on proviene del hecho de que las leyes de Kepler pueden derivarse directamente a partir de la f´ormula de la fuerza (17) y de las leyes del movimiento de Newton. La ley del movimiento el´ıptico requiere la integraci´on de una ecuaci´on diferencial (v´ease la secci´on (10)).

3.1.

Descubriendo la Ley de Gravitaci´

on Universal

Es interesante tratar de imaginar el proceso de descubrimiento de una Ley F´ısica2.

Supong-amos que tenemos a nuestra disposici´on las tres leyes de Kepler, las leyes de movimiento de Newton y la notaci´on matem´atica que usamos hoy d´ıa. Nuestro inter´es se va a centrar en ver

(9)

que podemos descubrir al pensar en lo que ocurre cuando meditamos acerca del movimiento planetario como es descrito por las leyes de Kepler (esto es, estamos interesados en hacer algo de ¡investigaci´on cient´ıfica!).

En primer lugar, y a la luz de lo que hemos aprendido en la secci´on (2) la ley de las ´areas nos hace pensar en que la fuerza que el sol ejerce sobre el planeta es central y que el centro de fuerza est´a localizado en el sol3 de manera que la ecuacion radial de movimiento para un

planeta de masa m ser´a

m³r − r ˙θ¨ 2´= F (r). (18)

En segundo lugar, el hecho de que la orbita del planeta sea una elipse con el Sol en un foco nos permite relacionar la distancia radial entre el Sol y el planeta y el ´angulo polar a trav´es de la

3Debemos resaltar que estamos imaginando que el sol est´a fijo en el centro de fuerzas. En verdad esto no

es cierto, podemos imaginar un sistema de dos part´ıculas de masas similares -las componentes de un sistema estelar binario constituyen un buen ejemplo de esto- que interact´uan gravitacionalmente, en tal caso y si el sistema formado por ambas part´ıculas se encuentra muy lejos de cualquier otra fuente de gravitaci´on, ambas part´ıculas ejecutar´an una “danza” en la cual ninguna de las dos est´a fija. En el caso de la tierra y el sol ocurre que la masa del sol es fant´asticamente mayor que la de la tierra y esto provoca que desde todo punto de vista pr´actico se pueda considerar al sol como fijo

(10)

ecuaci´on c´onica (0 ≤ ε < 1)4:

r = α

1 + ε cos θ, (19)

igualdad en que debe entenderse que la dependencia temporal de r est´a codificada (impl´ıcita) en la dependencia temporal del ´angulo polar.

Al calcular la velocidad radial ( ˙r) se obtiene ˙r = − α

(1 + ε cos θ)2(−ε sen θ ˙θ) = ε `

m αsenθ , (20)

donde hemos usado que, como la fuerza es central,

` = m r2 ˙θ = ctte. (21)

Diferenciando ˙r con respecto al tiempo se obtiene la aceleraci´on radial (¨r)

¨ r = ε ` m αcosθ ˙θ = ε `2 m2α cosθ r2 (22)

que al ser sustituida en el lado izquierdo de la ecuaci´on de movimiento, lleva al resultado

m³¨r − r ˙θ= m à ε `2 m2α cosθ r2 `2 m r3 ! = = ` 2 m α r2 µ ε cosθ − α r ¶ =

4La excentricidad (ε) caracteriza el tipo de c´onica como sigue:

ε > 1 hip´erbola. ε = 1 par´abola.

0 < ε < 1 elipse

(11)

= `2

m α r2 [ε cosθ − (1 − ε cos θ)] =

= − `

2

m α r2 (23)

comparando con el lado derecho de la ecuaci´on radial se obtiene en definitiva

F = −κ r2 con: κ = 1 α `2 m (24)

de manera que el uso juicioso de las observaciones experimentales (leyes de Kepler) y de la mec´anica Newtoniana nos ha permitido mostrar que la ley de las ´areas y la primera ley de Kepler implican que la fuerza entre el Sol y el planeta es central, atractiva y de magnitud rec´ıproca con el cuadrado de la distancia, es decir:

¡Hemos redescubierto la ley de Gravitaci´on Universal!

En la secci´on (10) demostraremos el rec´ıproco de este resultado, es decir, probaremos que el uso de las leyes de movimiento de Newton en conjunci´on con una fuerza que va como 1/r2

implica que las trayectorias deben ser c´onicas.

3.2.

La ley de “cubos y cuadrados”

La ley de los per´ıodos puede ser mostrada a trav´es de un argumento sencillo que exhibe claramente el alcance del teorema de conservaci´on del momentum angular. El argumento parte de inquirir acerca de las condiciones que permitan la existencia de una ´orbita planetaria circular asociada a la fuerza de gravitaci´on universal, en cuyo caso y debido a que ` = constante resulta claro que la velocidad angular ˙θ ≡ ω tiene que ser uniforme, de esta forma, la ecuaci´on radial

(12)

(3) se puede reescribir en la forma (¿por qu´e?)

R ω2 = GMo

R2 , (25)

donde R es el radio orbital y M0 es la masa del sol, que estamos suponiendo fijo en el centro

de fuerzas; de esta ecuaci´on sigue

R3ω2 = GMo. (26)

Recordando que la frecuencia angular y el per´ıodo est´an relacionados por

T =

ω (27)

se obtiene inmediatamente

R3

T2 = constante (28)

que no es otra cosa que la tercera ley de Kepler, que en el contexto de esta presentaci´on, se convierte en la condici´on que permite la existencia de una ´orbita circular de radio R.

La prueba del caso general (´orbitas el´ıpticas) es m´as engorrosa y no la presentaremos en este curso.

4.

Consideraciones energ´

eticas: El Potencial Efectivo

Comenzaremos esta secci´on demostrando que toda fuerza central es conservativa. Para tal fin recordemos que el trabajo realizado por una fuerza para llevar a una part´ıcula entre los puntos A y B de una trayectoria C se calcula como sigue

W =

Z B

A C

~

(13)

Ahora bien, el diferencial de trayectoria m´as general posible en tres dimensiones est´a dado por

d~r = dr ˆur+ d~r⊥, (30)

donde dr ˆur es un elemento infinitesimal de trayectoria a lo largo de la direcci´on radial que une

la part´ıcula con el origen de coordenadas, y d~r⊥ un movimiento infinitesimal en una direcci´on

arbitraria contenida en el plano ortogonal a ˆur.

Recordando que estamos estudiando fuerzas centrales y utilizando un origen de coordenadas que corresponda con el centro de fuerza, la fuerza queda descrita por la f´ormula (1) y por lo tanto

~

F . d~r = F (r) dr . (31)

De acuerdo a este resultado, los puntos A y B de la trayectoria C quedan identificados por sus respectivas distancias al origen de coordenadas (rA, y rB) de manera que el c´alculo del trabajo

queda reducido al c´alculo de la siguiente integral ordinaria

W =

Z rB

rA

F (r) dr , (32)

en donde todo rastro de la trayectoria ha desaparecido. En consecuencia, hemos demostrado que efectivamente la fuerza es conservativa. En consecuencia, existe una energ´ıa potencial asociada a la fuerza central dada por la integral

U(P ) = −

Z P

arb

~

F . d~r , (33)

donde P es el punto en que queremos calcular la energ´ıa potencial, y arb es un punto arbitrario. Debido a la estructura de la fuerza central, el potencial solo puede depender de la distancia al origen, raz´on por la cual, en lo sucesivo, describiremos al potencial central por la f´ormula

(14)

U(r) = −

Z r

r0

F (s) ds , (34)

donde ahora r0 es un radio arbitrario. Por cierto que esta ´ultima f´ormula nos permite escribir

a la fuerza en la forma

~

F (r) = −dU

druˆr. (35)

Con la ayuda del potencial la energ´ıa mec´anica total de la part´ıcula que se mueve bajo la acci´on de una fuerza central se escribe en la forma

E = M

2

³

˙r2+ (r ˙θ)+ U(r) (36)

la conservaci´on del momentum angular nos permite expresar la velocidad angular en t´erminos del radio

˙θ = `

Mr2 (37)

lo que en definitiva lleva a la siguiente expresi´on para la energ´ıa

E = M

2 ˙r

2+ `2

2Mr2 + U(r) (38)

podemos obtener una forma bien interesante de esta expresi´on si definimos el potencial efectivo por la igualdad

Uef f

`2

2Mr2 + U(r), (39)

en efecto, en t´erminos del potencial efectivo la f´ormula para la energ´ıa se reduce a la siguiente expresi´on

E = M ˙r2

(15)

que es formalmente id´entica a la f´ormula para la energ´ıa de una part´ıcula que se mueve a lo largo del eje x (E = m ˙x2

2 + U(x)). Esto nos va a permitir estudiar algunos aspectos muy generales

del movimiento bajo la acci´on de fuerzas centrales.

A partir de la f´ormula (40) podemos encontrar la siguiente expresi´on general para la rapidez radial de la part´ıcula

˙r = ±

s

2

M(E − Uef f(r)) (41)

de ac´a podemos calcular directamente los puntos de retorno del movimiento, es decir los valores de r para los cuales se anula la rapidez radial.

5.

Introducci´

on al Problema de Kepler

El problema de Kepler consiste en calcular la ´orbita que corresponde a la fuerza de grav-itaci´on Newtoniana. En esta secci´on vamos a aplicar las ideas que hemos introducido en la anterior para estudiar algunos aspectos del movimiento bajo la acci´on de la gravedad, en este caso

F (r) = −GMM0

r2 , (42)

de donde (escogiendo r0 = ∞) se obtiene el potencial gravitacional U(r) = −GMM0

r , (43)

lo que nos lleva a la siguiente expresi´on para el potencial efectivo:

Uef f(r) =

`2

2Mr2 − G

MM0

(16)

–30 –20 –10 0 10 20 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 r

Figura 1: Los potenciales centr´ıfugo (cont´ınuo) y gravitacional (en puntos)

El primer aspecto obvio de este potencial efectivo es el hecho de que tiene dos sumandos de signo diferente, el segundo consiste en que el potencial se anula a grandes distancias del origen regi´on en la cual domina el potencial gravitacional de manera que

l´ım

r→∞Uef f = 0

, (45)

cerca del origen el potencial efectivo es totalmente dominado por el t´ermino centr´ıfugo y ocurre que

l´ım

r→0Uef f = ∞ . (46)

El potencial efectivo tiene una sola ra´ız y un solo m´ınimo global (para el cual el valor de Uef f es negativo). Como veremos a continuaci´on, estas propiedades del potencial efectivo

nos permiten discutir algunas caracter´ısticas cualitativas del movimiento de una part´ıcula bajo la acci´on de la gravedad si se conoce su energ´ıa mec´anica total. Estudiaremos los tres casos posibles, a saber: E > 0, E = 0 y E < 0

(17)

–8 –6 –4 –2 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 r

Figura 2: El potencial efectivo para el problema de Kepler. Note que el potencial tiene un m´ınimo absoluto

1. Comencemos considerando el caso en que E < 0 en este caso (y asumiendo por supuesto que 0 > E > M in(Uef f)), los puntos de retorno5, es decir las soluciones de la ecuaci´on

E − Uef f = E − `

2

2Mr2 + G MM0

r = 0 (47)

son dos, esto es: hay dos puntos de retorno, y en consecuencia durante todo el movimiento, la distancia entre la part´ıcula y el origen deber´a mantenerse entre estos dos valores, es decir

rmin ≤ r(t) ≤ rmax, (48)

de manera que podemos asegurar que la ´orbita es acotada.

2. En el caso en que la energ´ıa total sea positiva E > 0 solo hay un punto de retorno y adema´as la part´ıcula puede escapar al infinito (el movimiento no es acotado) ya que a

(18)

grandes distancias E ≈ M ˙r2

2 > 0

3. El caso de energ´ıa nula E = 0 justamente separa las ´orbitas acotadas de las no acotadas, en efecto, si E = 0 la part´ıcula apenas puede alcanzar el infinito con velocidad nula. En general los potenciales centrales atractivos son negativos y se anulan a distancia infinita del centro, razones por las cuales algunos de los aspectos que acabamos de discutir mantienen su validez. As´ı por ejemplo, las orbitas acotadas est´an asociadas a movimientos con energ´ıa mec´anica total negativa.

Hay sin embargo un comentario sobre el que debemos hacer especial ´enfasis. El hecho de que una ´orbita sea acotada no significa que sea peri´odica (es decir que el movimiento se repita exac-tamente luego de un intervalo finito de tiempo). Las preciosas ´orbitas el´ıpticas del movimiento kepleriano son m´as bi´en excepcionales y bajo ning´un concepto representan la geometr´ıa de las ´orbitas bajo potenciales generales, de hecho el movimiento Kepleriano es casi milagroso y est´a inexorablemente ligado al hecho de que la fuerza gravitacional sea inversa al cuadrado de la distancia entre las masas.

NOTA Hasta ac´a usted hemos estudiado el material b´asico para el tema de fuerzas centrales del curso FS1112. Para reforzar el material lea con detenimiento el ejemplo de la secci´on 7 y por supuesto, ¡haga los problemas propuestos!.

Si usted es curioso seguramente estar´a interesado en ir un poco m´as all´a, con ese fin estudie los temas avanzados secs. 9 y 10.

(19)

6.

Resumen

Definici´on 1 La fuerza entre dos part´ıculas se denomina central si y solo si es paralela al

vector ~R que une las dos part´ıculas y su magnitud solo depende de | ~R|.

Definici´on 2 El momentum angular de una part´ıcula con respecto a un origen de coordenadas O es el vector dado por

~

L = ~r × ~p , (49)

donde ~r y ~p son la posici´on y el momentum de la part´ıcula con respecto a O.

Teorema 1 El momentum angular de una part´ıcula que se mueve bajo la acci´on de una fuerza

central es constante.

Teorema 2 Toda fuerza central tiene una energ´ıa potencial asociada. M´as a´un, si ~r es la

posici´on con respecto al centro de fuerzas, el potencial se calcula como: U(r) = −

Z r

r0

F (s) ds , (50)

donde r = |~r| y r0 es un radio arbitrario.

Teorema 3 Dado el potencial asociado a una fuerza central, la fuerza se calcula como

~

F (r) = −∇ U ≡ −dU

druˆr. (51)

Teorema 4 Al utilizar coordenadas polares en el plano del movimiento la energ´ıa mec´anica

total de una part´ıcula de masa M que se mueve bajo la acci´on de una fuerza central cuyo potencial es U(r) se puede expresar en la forma

(20)

donde el potencial efectivo es

Uef f =

`2

2 M r2 + U(r) , (53) y ` es la magnitud del momentum angular de la part´ıcula

Definici´on 3 Los puntos de retorno son los radios para los cuales la velocidad radial ˙r es nula.

7.

Problema de Revisi´

on

Ejemplo 1 Una part´ıcula de masa m se mueve bajo la acci´on de una fuerza central cuyo

potencial es

U = κ

r2 ,

donde κ es una constante positiva y r la distancia al centro de fuerza. 1. Determine la fuerza.

2. ¿Qu´e puede decir de la trayectoria de la part´ıcula?

3. La posici´on y velocidad iniciales de la part´ıcula de prueba son ~r0 = x0ˆi + z0ˆk, v~0 = v0ˆi,

Determine la m´ınima distancia a la que la part´ıcula puede acercarse al centro de fuerza

Soluci´on La fuerza asociada al potencial se calcula sencillamente recordando que la fuerza es opuesta al gradiente del potencial, es decir (f´ormula 35 de la secci´on 4),

~

F = −∇U = −d U

dr uˆr = 2 κ

(21)

como κ es una constante positiva, la fuerza es siempre paralela al vector ˆur (es decir, es una

fuerza repulsiva).

La fuerza es central, y por lo tanto la trayectoria de la part´ıcula de prueba tiene que estar contenida en un plano (secci´on 1), adicionalmente, como U siempre es positivo Uef f tambi´en

lo es, y por lo tanto la energ´ıa mec´anica total tiene que ser positiva lo que implica que el movimiento no puede ser acotado, es decir, la part´ıcula tiene que escapar al infinito (secci´on 5). Como el momentum angular y la energ´ıa total de la part´ıcula son constantes, la posici´on y velocidad iniciales nos permiten calcular estas cantidades sin ninguna dificultad (secciones 1 y 4), ~ L = m ³x0ˆi + z0ˆk ´ × ~v0 = v0ˆi = m x0v0ˆk × ˆi = m z0v0ˆj (55) E = m v 2 0 2 + κ x2 0+ z02 = m v 2 0(x20+ z02) + 2κ 2 (x2 0+ z02) > 0 . (56)

La energ´ıa escrita en t´erminos de la velocidad radial y el potencial efectivo es

E = m ˙r 2 2 + `2 2 m r2 + κ r2 (57)

sustituyendo los resultados (55) y (56), e igualando ˙r = 0 para calcular la posici´on radial del punto de retorno se obtiene la siguiente ecuaci´on para rmin:

m v2 0(x20+ z02) + 2κ 2 (x2 0+ z02) = m z02v02 2 r2 min + κ r2 min (58) ´o equivalentemente m v2 0(x20+ z20) + 2κ 2 (x2 0+ z02) = m z20v02+ 2 κ 2 r2 min (59) de donde sigue: rmin = v u u tm (x20+ z02) v20+ 2 κ m v2z2+ 2 κ q x2 0+ z20. (60)

(22)

N´otese que si la velocidad inicial fuera nula, la distancia de m´ınimo acercamiento ser´ıa

rmin =

q

x2

0+ z20. (61)

que no es otra cosa que la distancia inicial al centro de fuerza.

8.

Problemas propuestos

Problema 1 Demuestre la f´ormula (5). Ayuda: observe que el lado izquierdo recuerda

vaga-mente a la derivada de un producto, multiplique la ecuaci´on (4) por M r -el factor M est´a all´ı por conveniencia posterior- y observe lo que ocurre )

Problema 2 Muestre que la ecuaci´on

r = α

1 + ε cos θ, (62)

describe una c´onica en coordenadas polares

Problema 3 ¿A qu´e altura sobre la superficie terrestre deber´a colocarse un sat´elite cuya ´orbita

es circular para que esta sea geoestacionaria?

Problema 4 Sabiendo que el radio orbital medio de Marte es aproximadamente 1,52 veces el

radio orbital terreste, ¿Cu´al ser´a el per´ıodo orbital marciano?

(23)

Problema 6 Una estaci´on espacial de masa M viaja en el sistema solar orbitando alrededor

del sol. En un cierto instante la posici´on y velocidad de la estaci´on espacial est´an dadas por los vectores

~r0 = π2ˆj UA , ~v0 =

³

−ˆi + ~j + ˆk´ UA/a˜no (63)

con respecto a un sistema de referencia cartesiano con origen en el Sol. Despreciando totalmente la interacci´on gravitacional entre la estaci´on espacial y cualquier miembro del sistema solar distinto del Sol mismo,

1. Encuentre la energ´ıa total de la estaci´on espacial, de acuerdo a su resultado diga como es la ´orbita ¿el´ıptica, parab´olica, hiperb´olica?.

2. Calcule el momentum angular (~LS) de la estaci´on espacial y describa (m´as bien,

carac-terize) su plano orbital.

3. ¿Cu´al es la velocidad radial de la estaci´on en los puntos de m´ınima (perihelio) y m´axima (afelio) distancia entre esta y el Sol?.

4. Determine el afelio y el perihelio de la estaci´on.

5. ¿Qu´e tiempo requiere la estaci´on para completar una ´orbita alrededor del sol?.

Observaci´on Una Unidad Astron´omica (UA) es una distancia igual al semieje mayor de la

´orbita terrestre. G M0 = 4π2 (UA)3/a˜no, M0=masa solar.

Problema 7 ¿Qu´e puede decir de los ´angulos que forman la velocidad y la aceleraci´on de un

(24)

Problema 8 Considere el potencial U(r) = κe−r/r0

r donde κ es una constante real, r la

dis-tancia al centro de fuerza y r0 una constante positiva. 1. ¿Cuales son las dimensiones de κ y r0?

2. Encuentre la fuerza asociada a U.

3. ¿Qu´e puede decir de la fuerza en funci´on del signo de κ

9.

Tema Avanzado I: Ecuaci´

on de la ´

orbita

Las ecuaciones de Newton (ecuaciones de movimiento) para el movimiento bajo la acci´on de una fuerza central son

M(¨r − r ˙θ2) = F (r) (64)

M(r ¨θ + 2 ˙r ˙θ) = 0 (65)

Sabemos que estas son ecuaciones diferenciales que una vez integradas nos permiten conocer la posici´on de la part´ıcula en funci´on del tiempo, es decir, las funciones r(t) y θ(t). Sin embargo, hemos visto que a´un sin resolver estas ecuaciones podemos entender algunos aspectos generales del movimiento (conservaci´on del momentum angular, condiciones para que los movimientos sean acotados, etc.). Cabe preguntarse si podremos decir algo m´as. Esta secci´on est´a dedicada a mostrar que efectivamente este es el caso, para ello demostraremos que es posible utilizar las ecuaciones de movimiento para encontrar una ecuaci´on diferencial para la trayectoria trayectoria que no requiere la integraci´on (en tiempo) de las ecuaciones de Newton.

(25)

Comencemos por observar que si logr´aramos encontrar las dependencias temporales r(t) y

θ(t) podr´ıamos intentar despejar el tiempo para expresar (por ejemplo) al radio como funci´on

del ´angulo (r(t))6. De acuerdo a esto, si quisi´eramos calcular la rapidez radial podr´ıamos utilizar

la regla de la cadena para obtener

dr dt = ds dt (66)

de esta manera, la derivaci´on temporal se puede expresar como sigue

d dt = dt d (67)

Ahora bi´en, ya hemos aprendido que la segunda ecuaci´on de movimiento implica la igualdad

Mr2˙θ = `(= constante) (68)

de manera que la derivaci´on con respecto al tiempo puede sustituirse por7 d dt = ` Mr2 d (69)

en el entendimiento de que r = r(θ). Si iteramos la diferenciaci´on temporal obtendremos

d2 dt2 = ` Mr2 d ( ` Mr2 d ) = `2 M2r2 d ( 1 r2 d dθ), (70)

de manera, que la segunda derivada del radio con respecto al tiempo es

d2r dt2 = `2 M2r2 d ( 1 r2 dr ) = `2 M2r2 d dθ(− d ( 1 r)) (71)

6exactamente como se hace con el movimiento de proyectiles para demostrar que la trayectoria es parab´olica 7esto no es tan raro como parece, ya lo hicimos en la secci´on (3.1)

(26)

nuestro objetivo es utilizar este resultado para eliminar el tiempo de la ecuaci´on:

M³r − r ˙θ¨ 2´= F (r) (72)

veremos que esto es posible y que la ecuaci´on resultante es f´acilmente resoluble. En efecto, al sustituir (71) y la f´ormula para la velocidad angular en (72) resulta

` 2 Mr2 d2 2 µ1 r− rM Ã ` Mr2 !2 = F (r), (73) ´o d2 2 µ1 r ¶ +1 r = − M r2 `2 F (r) , (74)

resultado que se denomina “ecuaci´on de la ´orbita”. Es‘menester que hagamos hincapi´e en que la resoluci´on de esta ecuaci´on nos lleva a encontrar r = r(θ), es decir, la trayectoria u ´orbita.

10.

Tema avanzado II: Soluci´

on al al Problema de Kepler

Como ya hab´ıamos mencionado, el problema de Kepler consiste en calcular la ´orbita que corresponde a la fuerza de gravitaci´on Newtoniana. En este caso, al sustituir F (r) = −κ

r2 en la

ecuaci´on de la ´orbita se obtiene

d2 2 µ1 r ¶ +1 r = α −1, (75) donde α ≡ `2 M κ (76)

Si ahora efectuamos el cambio de variables

u ≡ 1

(27)

obtenemos la siguiente ecuaci´on diferencial

u00+ u = α−1 (78)

La ecuaci´on (78) cumple con nuestro objetivo inicial: buscar una descripci´on de la trayectoria, en efecto, si resolvemos (78) obtendremos r = r(θ), la ecuaci´on diferencial que hemos obtenido es reminiscente de la ecuaci´on del oscilador arm´onico (¨x + ω2

0x = 0) y se diferencia de esta por

el t´ermino constante no-homog´eneo, en este punto es necesario mencionar (sin demostraci´on) el siguiente teorema

Teorema 5 La soluci´on general de la ecuaci´on diferencial nohomog´enea ¨

x(t) + ω2

0x(t) = f (t) (79)

es

xgral(t) = xH(t) + xp(t) , (80)

donde xH(t) es la soluci´on general del problema homog´eneo mientras que xp(t) es una soluci´on

del problema nohomo´enea.

Es claro que la funci´on constante up(t) = α−1 es una soluci´on de la ecuaci´on (78), de manera

que la soluci´on general est´a dada por

u(t) = U0 cos(θ − θ0) + α−1 (81)

donde U0 > 0 y θ0 son constantes, podemos introducir una nueva constante ε(= α−1U0) para

reescribir la ecuaci´on de la trayectoria en la forma

α

(28)

escogiendo θ = 0 de manera tal que el punto de m´aximo acercamiento al centro de fuerzas corresponda con r(0) se obtiene el resultado final:

α

r = {1 + ε cos θ} (83)

que como ya sabemos, es la ecuaci´on general de una c´onica.

No es dif´ıcil convencerse (ejercicio) de que la eccentricidad (ε), la energ´ıa total de la ´orbita est´an y el momentum angular est´an relacionadas por

ε =

s

1 + 2 E `2

M κ2 (84)

de donde resulta evidente que, para las ´orbitas acotadas (E < 0) la eccentricidad es de magnitud menor a uno (ε < 1) condici´on que asegura que la ´orbita es el´ıptica.

En t´erminos del signo de la energ´ıa el resultado es el siguiente:

E < 0 ´orbita el´ıptica (acotada)

E > 0 ´orbita hiperb´olica (no acotada) E = 0 ´orbita parab´olica (no acotada)

Problema 9 Observaci´on: Este problema nos lleva a una forma integral de la ecuaci´on de la

´orbita.

La regla de la cadena nos permite escribir: d θ d r = d θ d t d t d r = ˙θ ˙r (85)

(29)

1. Utilice la igualdad (85), la identidad ` = m r2˙θ y la f´ormula general para la energ´ıa para despejar ˙θ en t´erminos de r, e integre para obtener la f´ormula general:

θ(r) = ±

Z `/r2 dr

q

2 M (E − Uef f)

(86)

2. Para estudiar el problema de Kepler sustituya Uef f = `

2

2 M r2

G M M0

r (87)

y utilice el cambio de variables u = `/r calcule la integral (esto puede ser largo y tedioso) y encuentre una f´ormula para θ(r).

3. Escoja la constante de integraci´on de forma que el m´ınimo r coincida con θ = 0, despeje y obtenga r(θ), verifique que el resultado coincide con la f´ormula para una ´orbita c´onica.

11.

Ap´

endice: Secciones C´

onicas

Las secciones c´onicas son las curvas que se obtienen de efectuar la intersecci´on de un cono recto con un plano. El ejemplo m´as sencillo es un c´ırculo, es bastante obvio que esta es la curva que resulta al atravesar un cono recto con un plano ortogonal a su eje de simetr´ıa. Las otras secciones c´onicas son la elipse, la par´abola y la hip´erbola.

En coordenadas polares (r, θ) las c´onicas est´an descritas por la ecuaci´on

r = α

1 + ε cosθ (88)

Donde las constantes que aparecen ε y α se denominan excentricidad y latus rectum de la c´onica.

(30)

Toda c´onica posee dos puntos de inter´es particular el pericentro y el apocentro, cuyas posi-ciones est´an dadas por las coordenadas (rmin, 0) y (rmax, π) respectivamente.

En el caso en que ε ≥ 1 se obtienen las dos c´onicas no acotadas: la par´abola y la hip´erbola. Queremos centrar nuestro inter´es en las elipses ya que estas son las curvas que representan las trayectorias keplerianas de las part´ıculas con ´orbitas acotadas.

La elipse se define como el lugar geom´etrico de los puntos cuya suma de distancias a un punto fijo es constante. En coordenadas cartesianas la ecuaci´on de una elipse cuyo eje mayor es paralelo al eje x se describe por la ecuaci´on

x2 a2 +

y2

b2 = 1 , (89)

donde a y b son las longitudes de los ejes mayor y menor de la elipse. Si a = b = R esta ecuaci´on se reduce a la de un c´ırculo de radio R con centro en (0, 0).

–1.5 –1 –0.5 0 0.5 1 1.5 –5 –4 –3 –2 –1

Figura 3: Las elipses que mostramos ac´a tienen α = 1 en ambos casos, y excentricidades 0,7 y 0,8

(31)

En la ecuaci´on polar (88) de las c´onicas la distancia r se mide a partir de uno de los focos de la elipse. Es claro que la f´ormula (88) supone que el eje mayor de la elipse est´a localizado a lo largo del eje x (θ = 0). A partir de la representaci´on de la curva en coordenadas polares es facil ver darse cuena de que

rmax = α 1 − ε (90) rmin = α 1 + ε (91)

de manera que la media de estas cantidades no es otra cosa que la longitud del eje mayor de la elipse rmax+ rmin 2 = 1 2 · α 1 − ε + α 1 + ε ¸ = α 1 − ε2 = a , (92)

mientras que la longitud del eje menor (b) est´a dada por

b = α

1 − ε2 . (93)

En t´erminos de la excentricidad del semieje mayor

rmin = a(1 − ε) (94)

rmax = a(1 + ε) , (95)

mientras que la mitad de la separaci´on entre los focos est´a dada por el producto del eje mayor por la excentricidad, esto es: a ε.

Referencias

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