PROGRAMA DE ESTUDIO
I.- DATOS GENERALES
Nombre de la carrera: Educación
Mención: Física y Matemática
Unidad Curricular: Cálculo III
Código de la Unidad Curricular:
Número de Créditos: 3
Área de Formación (General, Pedagógica o Especializada)
Especializada
Régimen de Evaluación: CR
Prelaciones/Requisitos: (
Unidades curriculares necesarias
)
No requiere
Unidades curriculares vinculadas:
(Unidades curriculares
asociadas): Cálculo I , Cálculo II, Electricidad, Magnetismo,
Equipo de diseño: Prof. José Gascón, Prof. María Belén
García, Prof. Francisco Peraza
N° horas semanales de
acompañamiento Docente: 6
N° horas semanales de trabajo
independiente:4
II.- SINOPSIS
La unidad curricular Cálculo II pretende involucrar al alumno en el estudio de las funciones de varias variables a fin de
comprender conceptos y resultados como son: Coordenadas polares. Función vectorial. Geometría Diferencial. Cuádricas. Funciones
de varias variables: definición, incrementos, límites y derivadas parciales. Gradiente. Divergencia. Rotacional. Teorema de Schwartz.
Matriz Jacobiana. Derivada direccional. Máximos y mínimos en funciones de varias variables. Multiplicadores de Lagrange.
Problemas de máximos y mínimos en varias variables. Integrales dobles: definición y cálculo. Integrales triples: definición y cálculo.
Aplicaciones de las integrales múltiples en Física: volúmenes, momentos estáticos y de inercia. Centro de Masa. Integrales de línea
y de superficie. Teorema de Green. Teorema de Stokes. Teorema de Gauss.
III.- JUSTIFICACION
En los fenómenos físicos, económicos y sociales aparecen situaciones que requieren varias variables para su modelaje. Por ejemplo,
la Ley de Gravitación Universal de Newton nos indica que la gravedad en un punto debida a una masa depende tanto de la masa
como de la distancia de esta al punto. Ello nos lleva a considerar el estudio sistemático de funciones que dependen de varias
variables . En este curso queremos generalizar las dos ideas fundamentales del Cálculo de una variable: los conceptos de derivada e
integral . Así el curso esta divido, de manera natural, en dos bloques:
1. Cálculo Diferencial de Funciones de Varias Variables
2. Cálculo Integral de Funciones de Varias Variables
Hablemos a continuación del Cálculo Diferencial de funciones de Varias Variables. Como lo ha señalado el matemático francés
Jean Dieudonne, la idea básica de la derivada es la de aproximar linealmente funciones complicadas. Esta idea queda muchas veces
oculta en el Cálculo de una variable ya que la derivada, de tal función, es un número pero aparece de manera clara en el Cálculo de
varias variables por medio de la matriz jacobiana. Revisamos en el curso la importante regla de la cadena y el proceso de derivación
implícita. Estos resultados son usados para estudiar el problema de hallar el óptimo (máximo) de una función de varias variables.
Como lo señaló el gran matemático Leonhard Euler, cito “nada sucede en el Universo sin obedecer alguna regla de máximo o
mínimo”. Además, estos problemas son fundamentales en la aplicación de la matemática en Economía, Administración, Ingeniería y
Física. Como futuros profesores, nuestros alumnos deben conocer las aplicaciones de la matemática en diversas áreas para motivar
a sus estudiantes en su estudio .
La siguiente parte del curso está dedicada al Cálculo Integral de Funciones de Varias Variables, siendo el concepto fundamental el
de integral múltiple. El cálculo de las mismas modela la determinación de un volumen en el espacio y es indispensable para las
aplicaciones en Física, Ingeniería y Ciencias Sociales. Aún más interesante, la generalización del concepto de integral a funciones de
varias variables permite relacionar derivadas e integrales. El Teorema de Green debe ser entendido por el estudiante como una nueva
versión del Teorema Fundamental del Cálculo, es decir, asocia la idea de derivada e integral. Lo mismo ocurre con los Teoremas de
Stokes y la divergencia, fundamentales en el estudio del Electromagnetismo.
Para ayudar a nuestros estudiantes en la visualización de objetos bidimensionales y tridimensionales usaremos los recursos
tecnológicos de software( MUPAD) y de Cálculo en línea (wolframalpha. com), además estas herramientas pueden ser usadas para el
cálculo simbólico. Con ello pretendemos dotar, a nuestros futuros profesores, de herramientas tecnológicas que los ayuden en su
praxis docente.
Por todas estas razones, señalamos la importancia de esta asignatura en la formación del futuro profesor de matemática y física
egresado de nuestra Universidad.
IV.- COMPETENCIAS QUE DESARROLLA LA UNIDAD CURRICULAR
Enunciado de la competencia General: Aprender a aprender con calidad
Unidades de Competencia
Criterios de desempeño
Indicadores de logro
1.1.G- Abstrae, analiza, y sintetiza información. 1.1.1.G- Identifica elementos comunes en diferentes
situaciones o contextos. Compara situaciones observadas en diversos problemas con los conocimientos teóricos de las funciones de varias variables
1.1.3.G- Resume información de forma clara y ordenada
Utiliza el cálculo de varias variables para expresar de manera compacta relaciones complejas
1.1.5.G-Valora críticamente la información. Expone y escribe sus juicios con argumentos basados en su conocimiento del cálculo de varias variables
1.3.G- Identifica, plantea y resuelve problemas. 1.3.2.G- Analiza el problema y obtiene la información requerida para solucionarlo.
Selecciona la solución que se adecúa más al problema según los teoremas y definiciones del cálculo vectorial
1.3.5.G-Evalúa el resultado de las acciones ejecutadas
Verifica la solución obtenida estableciendo su coherencia
1.6.G- Demuestra conocimiento sobre su área de estudio y profesión.
1.6.1.G-Identifica términos, definiciones y ejemplos del lenguaje técnico de la profesión
Maneja los términos claves necesarios para la formulación del cálculo de varias variables
Unidades de Competencia
Criterios de desempeño
Indicadores de logro
3.1.G- Participa y trabaja en equipo. 3.1.1.G- Identifica roles y funciones de todos los miembros del equipo.
Distribuye el trabajo y las tareas de acuerdo a las fortalezas de cada uno de sus integrantes
3.1.2.G- Realiza tareas establecidas por el equipo. Aporta sus conocimientos en el trabajo en equipo, cumpliendo con responsabilidad las tareas asignadas
3.3.G- Toma decisiones efectivas para resolver problemas.
3.3.1.G- Identifica el problema.
Identifica y analiza las variables involucradas en el problema que le conduzcan a la solución deseada 3.3.2.G- Analiza el problema.
3.3.3.G- Plantea alternativas de solución. Plantea soluciones alternas al problema cuando una variable es modificada
3.5.G- Colabora, interactúa y se comunica con el otro.
3.5.2.G- Valora las ideas y opiniones de otras personas.
Escucha con respeto la opinión de sus compañeros
Enunciado de la competencia General: Aprender a interactuar en el contexto global
4.2.G- Maneja adecuadamente las tecnologías de información y comunicación.
4.2.2.G- Gestiona adecuadamente los programas y aplicaciones de uso frecuente.
Aplica el software matemático para graficar y calcular con funciones de varias variables
4.2.3.G- Valida la información que consulta en Internet.
Usa la Internet de manera adecuada contrastando la información obtenida con los resultados propios
Enunciado de competencia Básica Profesional: Asume con autonomía su desarrollo personal
1.1.PB- Es un pensador critico. 1.1.1.PB- Participa en debates y formula preguntas significativas y precisas que le permitan manejar e interpretar situaciones.
Discute constructivamente en clase argumentando sus ideas
1.1.3.PB- Desarrolla su pensamiento lógico Aplica las leyes de inferencia y el uso de los cuantificadores de manera adecuada en su discurso
1.1.5.PB- Llega a conclusiones justificadas e imparciales y valora las diferentes opciones para la toma de decisiones.
Elabora conclusiones que demuestran conocimiento del cálculo de varias variables
Enunciado de competencia Profesional Específica: Promueve ambientes de enseñanza-aprendizaje de la matemática como lenguaje y
herramienta para la comprensión científica
1.1. Argumenta matemáticamente 1.1.1. Utiliza adecuadamente los símbolos, conectores, constantes y variables propias del lenguaje matemático
Utiliza correctamente el lenguaje matemático en la formulación del cálculo de varias variables 1.1.2. Redacta de forma coherente sus impresiones,
observaciones, análisis, y conclusiones utilizando la notación adecuada
Es capaz de describir situaciones y analizar las mismas usando el lenguaje del cálculo de varias variables
1.2 Comprende la epistemología de la matemática, sus teorías y métodos
1.2.10 Utiliza el Teorema de Green y asociados, el concepto de derivada y los fundamentos del cálculo de varias variables en la resolución de problemas
Utiliza los teoremas fundamentales del cálculo de varias variables en la resolución de problemas
1.2.11. Domina las técnicas de maximizar y minimizar funciones como herramientas en la solución de problemas
Aplica las técnicas de optimización de funciones de varias variables para resolver problemas de Física, Economía y otras áreas
1.2.14 Utiliza las integrales múltiples en la resolución de problemas
Utiliza las integrales múltiples para describir regiones, en el plano y en el espacio, y calcular su área y volumen
1.3 Comprende la relación entre matemática y naturaleza
1.3.2 Emplea las herramientas del cálculo diferencial e integral en el análisis de distintos modelos de fenómenos naturales, así como también en la resolución de problemas
Es capaz de resolver y calcular ecuaciones derivadas de modelos de fenómenos naturales
V.- CONTENIDOS
Cálculo Diferencial
CONCEPTUALES
PROCEDIMENTALES
ACTITUDINALES
- - Comprensión de los conceptos relacionados con el Cálculo Diferencial de Varias Variables:
1. Geometría del Espacio 2. Límite
3. Derivada Parcial 4. Derivada Total
- Conocimiento del concepto de distancia en el plano y en espacio
- Aplicación de la geometría del plano y el espacio a la resolución de problemas - Aplicación de la idea de límite de una función de varias variables en la resolución de problemas
- Conocimiento del concepto de límite de una función de varias variables
- - Conocimiento del concepto de derivada parcial -
- Comprender la idea de derivada y matriz jacobiana
- Conocimiento de los operadores diferenciales fundamentales: el gradiente, el rotacional y la divergencia
- Aplicación de la derivada parcial y direccional en la resolución de problemas - Determinación del plano tangente a una superficie
- Aplicación de los diferenciales en la resolución de problemas
- Aplicación de la regla de la cadena y la derivación implícita en la resolución de problemas
- Optimización de funciones de varias variables aplicando sus resultados a problemas de su entorno
-
Responsabilidad en la entrega de asignacionesV.- CONTENIDOS
Cálculo Integral de Funciones de Varias Variables
CONCEPTUALES
PROCEDIMENTALES
ACTITUDINALES
Comprensión de los conceptos fundamentales del Cálculo Integral:
1. Integral Doble
- Aplicación de la descripción de regiones del plano para plantear integrales dobles - Participación activa en el desarrollo de las
- Participación activa en el desarrollo de las actividades en el aula
2. Integral Triple
3. Integral de Línea 4. Integral de Superficie
- Conocimiento de la descripción de regiones en el plano limitadas por curvas
- Comprensión del concepto de integral doble - Conocimiento del cálculo de integrales dobles por medio de integración iterada
- Conocimiento de las coordenadas polares y su relación con las integrales dobles
- Conocimiento del área y masa de una lamina como una integral doble
- Conocimiento de cómo describir una región espacial limitada por distintas superficies - Comprensión del concepto de integral triple - Conocimiento del cálculo de integrales triples - Conocimiento de coordenadas esféricas y cilíndricas
actividades en el aula
- Aplicación de las integrales dobles en la resolución de problemas
- Aplicación del cambio de coordenadas en una integral doble para calcular la misma - Aplicar la descripción de regiones del espacio para plantear integrales triples - Aplicación de las integrales triples en la resolución de diferentes problemas
- Aplicación de nuevas coordenadas para el cálculo de integrales triples
- Aplicación de la integrales triples para determinar momentos de inercia, masa y centro de masa de figuras espaciales - Aplicar el concepto de integral de línea en la determinación del trabajo o el flujo
- - Escucha con respeto la opinión de sus compañeros
- Valoración de la necesidad de vincular el saber con la vida cotidiana
- Conocimiento de la fórmula de cambio de variable en integrales múltiples
- Comprensión de los conceptos de integrales de línea y superficie
- Desarrollo del interés por organizar el conocimiento
- Inconformidad ante la ignorancia y superación de posiciones apáticas frente al conocimiento