Ecuacion de La Recta

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(1)

La Línea recta

La Línea recta

Una Línea recta, analíticamente, es una ecuación lineal o de primer grado Una Línea recta, analíticamente, es una ecuación lineal o de primer grado en

en dodos s vavariariablbleses. . ReRecícíprprococamamentente, e, la la rereprpresesenentatacición ón grgráfiáfica ca dedel l lulugagarr geométrico cuya ecuación de primer grado en dos variables es una recta. geométrico cuya ecuación de primer grado en dos variables es una recta. Una recta queda determinada complemente si se conocen dos condiciones, Una recta queda determinada complemente si se conocen dos condiciones, por ejemplo, dos de sus puntos, un punto y su dirección (pendiente o por ejemplo, dos de sus puntos, un punto y su dirección (pendiente o coeficiente angular), etc.

coeficiente angular), etc.

Formas de la ecuación de la recta: Formas de la ecuación de la recta:

a)

a) PUNTO- PENDIENTEPUNTO- PENDIENTE: La ecuación de la recta que pasa por el punto: La ecuación de la recta que pasa por el punto P

P11(x(x11,y,y11) y cuya pendiente sea m es:) y cuya pendiente sea m es:  y y−− y y11 ==mm(( x x−−xx11)) b)

b) PENDIENTE-ORDENADA EN EL ORIGENPENDIENTE-ORDENADA EN EL ORIGEN: : La ecLa ecuacuación dión de la re la rectectaa de pendiente m y que corta al eje y en el punto(0,b), siendo b la de pendiente m y que corta al eje y en el punto(0,b), siendo b la ordenada en el origen es:

ordenada en el origen es:

b b m mxx  y  y == ++ c)

c) CARTESIANACARTESIANA: : La La ececuauacición ón de de la la rerectcta a quque e papasa sa popor r lolos s pupuntntosos P P11(x(x11,y,y11) y P) y P22(x(x22,y,y22) es) es 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1  x  x  x  x  y  y  y  y  x  x  x  x  y  y  y  y − − − − = = − − − − d)

d) REDUCIDA O ABSCISA Y ORDENADA EN EL ORIGENREDUCIDA O ABSCISA Y ORDENADA EN EL ORIGEN: La ecuación: La ecuación de la recta que corta a los ejes coordenados x e y en los puntos (a,0), de la recta que corta a los ejes coordenados x e y en los puntos (a,0), siendo a la abscisa en el origen y (0,b), siendo b la ordenada en el siendo a la abscisa en el origen y (0,b), siendo b la ordenada en el origen, respectivamente, es:

origen, respectivamente, es: ++ ==11 b b  y  y a a  x  x e)

e) GENERALGENERAL: Una ecuación lineal o de primer grado en las variables x e: Una ecuación lineal o de primer grado en las variables x e y es de la forma ,

y es de la forma ,  Ax Ax ++ B Byy ++C C ==00en donde A, B y C son constantesen donde A, B y C son constantes

arbitr

arbitrarias. La pendientarias. La pendiente de e de la recta escrita en la recta escrita en esta forma esesta forma es

 B  B  A  A m m==−− y su ordenada en el origen y su ordenada en el origen  B  B C  C  b b ==−− .. f)

f) NORMALNORMAL: Una recta también queda determinada si se conocen la: Una recta también queda determinada si se conocen la longitud de la perpendicular a ella

longitud de la perpendicular a ella trazada desde el origen (0,0) y el trazada desde el origen (0,0) y el án

ángugulo lo quque e didichcha a peperperpendndiciculaularr forma con el eje x.

forma con el eje x. S

Seea a AAB B lla a rreecctta a y y OON N llaa perpendicular desde el origen O a perpendicular desde el origen O a AB.

(2)

La distancia p (parámetro) de O a AB se considera siempre positiva cualquiera que sea la posición de AB es decir, para todos los valores del ánguloϖ que la perpendicular forma con el semieje x positivo

desde 00 a 3600.

Sean (x1,y1) las coordenadas del punto C.

En estas condiciones, ϖ   cos . 1 p  x = ,  y  p. senϖ   1 = y pendiente de ϖ   ϖ   ϖ   ϖ    g  sen tg 

 AB =− 1 =−cot =−cos

Llamando (x,y) otro punto cualquiera de AB,  y− y1 =−cot g ϖ  ( x−x1)

, o bien ( .cos ) cos . ϖ   ϖ   ϖ   ϖ    x p  sen  sen  p  y− =− −

Simplificando,  x.cosϖ  + ysen ϖ  −p =0, que es la ecuación de la recta

normal.

REDUCCIÓN DE LA FORMA GENERAL A NORMAL: Sean

0 = + + By C 

 Ax y  x.cosϖ  + y. senϖ  −p =0, las ecuaciones de una

misma recta escritas en sus formas general y normal respectivamente; los coeficientes de ambas ecuaciones han de ser

iguales o proporcionales. Por tanto, k 

C   p  B  sen  A = − = = ϖ   ϖ   cos

Siendo k la constante de proporcionalidad.

En estas condiciones, cosϖ  =k . A .,  senϖ  =k . B, − p =kC  Elevando al cuadrado y sumando las dos primeras, cos2ϖ  + sen2ϖ  =k 2( A2 + B2), o sea 1=k 2( A2 + B2), de donde 2 2

1  B  A k  + ± =

 Teniendo en cuenta el valor de k

2 2 cos  B  A  A + ± = ϖ   , 2 2  B  A  B  sen + ± = ϖ   , 2 2  B  A C   p + ± = −

(3)

+ + ±  x  B  A  A 2 2 + + ± = 2 2  B  A  B  senϖ   0 2 2 = + ±  A B C 

En la que se debe considerar el signo del radical el opuesto al de C. Si C = 0, el signo del radical se considerará igual al de B.

DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA: Para hallar la distancia d de un punto (x1,y1) a una recta L,

se traza la recta L1 paralela a L y

que pase por (x1,y1).

La ecuación de L es x. cosϖ +

y.senϖ - p = 0, ya que ambas

rectas son paralelas.

Las coordenadas (x1,y1) satisfacen

la ecuación de L1, x1. cosϖ + y1.senϖ - (p + d) = 0. Despejando la

distancia d,

d = x1. cosϖ + y1.senϖ - p = 0

En el caso de que (x1,y1) y el origen estén a distinto lado de la recta L,

la distancia d es positiva; si estuviera al mismo lado de L, sería negativa.

Ejercicios de Aplicación

1) Hallar la ecuación de la recta que pasa por (a) (-4,3) y tenga de pendiente ½, (b) que pasa por (0,5) y tenga de pendiente -2, (c) que pasa por (2,0) y tenga de pendiente ¾.

2) Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (-2,-3) y (4,2)

3) Hallar la ecuación de la recta cuya abscisa y ordenada en el origen son 5 y -3, respectivamente.

4) Hallar las ecuaciones de las rectas que satisfacen las condiciones siguientes:

a) Pasa por (0,2), m = 3 b) Pasa por (0,-3), m = -2

(4)

c) Pasa por (0,4), m = 1/3 d) Pasa por (0,-1), m = 0 e) Pasa por (0,3), m = -4/3

5) Hallar la pendiente m y la ordenada en el origen b de la recta 2y + 3x = 7

6) Hallar la ecuación de las rectas que pasan por los puntos: a) (2, -3) y (4,2) b) (-4, 1) y (3,-5) c) (7, 0) y (0,4) d) (0, 0) y (5,-3) e) (5, -3) y (5,2) f) (-5, 2) y (3,2)

7) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (-2,3) y es perpendicular a la recta 2x – 3y + 6 = 0

8) Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento determinado por los puntos (7,4) y (-1,-2).

9) Hallar la ecuación de la recta que pasa por (2,-3) y tenga una inclinación de 600.

10) En el triángulo de vértices A(-5,6), B(-1,-4), C(3,2), hallar: a) Las ecuaciones de sus medianas

b) El punto de intersección de las mismas c) Hallar las ecuaciones de las alturas

d) El punto de intersección de dichas alturas e) Las ecuaciones de sus mediatrices

f) El punto de intersección de dichas mediatrices

11) Demostrar que los puntos de intersección de las medianas, de las alturas y de la mediatrices de los lados del triángulo del problema anterior están en línea recta.

(5)

13) Hallar el valor de k de forma que: a) 3kx + 5y -2 = 0 pase por el punto (-1,4) b) 4x – ky – 7 = 0 tenga de pendiente 3

c) Kx – y = 3k – 6 tenga de abscisa en el origen 5

14) Hallar las ecuaciones de las rectas de pendiente -3/4 que formen con los ejes coordenados un triángulo de área 24 unidades de superficie.

15) Hallar el valor del parámetro k para que la recta de ecuación2x + 3ky -13 = 0 pase por el punto (-2,4).

16) Hallar el valor de k para que la recta de ecuación 3x – ky -8 = 0 forme un ángulo de 450 con la recta 2x + 5y -17 = 0.

17) Hallar un punto de la recta 3x +y + 4 = 0 que equidista de los puntos (-5,6) y (3,2)

ECUACIÓN NORMAL DE LA RECTA

18) Trazar las rectas AB para los valores de p y ϖ que se indican y

escribir sus ecuaciones respectivas.

a) p = 5, ϖ = π /6 = 300 c) p = 6, ϖ = 4π /3 = 2400

b) p = 6, ϖ = 2π /3 = 1200 d) p = 5, ϖ = 7π /4 = 3150

19) Reducir a su forma normal las ecuaciones siguientes y hallar p y

ϖ a) 0 9 3 x+ y = , c)  x+ y+8=0 e) 4 y−7 =0 b) 0 6 4 3 x− y− = , d) 0 5 12 x− y = f)  x+5=0

Figure

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Referencias

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