Interpretació
Interpretación geométrica de n geométrica de la derivada parcialla derivada parcial
Recordemos
Recordemos que que la la gráfica gráfica de de representa representa una una superficie superficie . . Si Si ,, entonces
entonces el el punto punto está está sobre sobre la la superficie superficie . . El El plano plano verticalvertical interseca
interseca a a la la superficie superficie en en la la curva curva (es (es decir, decir, es es la la traza traza de de lala superficie
superficie sobre sobre el el plano plano . De . De manera manera semejante, semejante, el el plano plano verticalvertical interseca
interseca a a la la superficie superficie en en la la curva curva . . Ambas Ambas curvas curvas pasan pasan por por el el punto punto ..
Observe
Observe que que la la curva curva es es la la gráfica gráfica de de la la función función de de manera manera que que lala pe
pendndieientnte e de de su su rerectcta a tantangegente nte en el en el pupuntnto o es es La La cucurvrva a eses la
la gráfica gráfica de de la la función función así así que que la la pendiente pendiente de de su su tangente tangente en en elel punto es
punto es
En las ligas
En las ligas [Ver en 3D - LG3D][Ver en 3D - LG3D],,puede arrastrar el punto P sobre la curva Cpuede arrastrar el punto P sobre la curva C
Figura 1: derivada parcial en
Figura 1: derivada parcial enP P respecto a xrespecto a x [[Ver en 3D - LG3DVer en 3D - LG3D]][[Ver en 3D - JviewVer en 3D - Jview]]
Figura 1: derivada parcial en
Figura 1: derivada parcial enP P respecto a yrespecto a y [[Ver en 3D - LG3DVer en 3D - LG3D]][[Ver en 3D - JviewVer en 3D - Jview]]
Por
Por consiguienteconsiguiente, , las las derivadas derivadas parciales parciales y y pueden interpretarsepueden interpretarse geométricamen
geométricamente te como como las las pendientes pendientes de de las las rectas rectas tangentes tangentes a a las las curvas curvas y y enen el
el punto punto , , respectivamente.respectivamente.
Las derivadas parciales pueden también ser vistas como razones de cambio. Las derivadas parciales pueden también ser vistas como razones de cambio. Si
Si , , entonces entonces representa representa la la razón razón de de cambio cambio de de con con respecto respecto a a ,, cuando
cuando permanece permanece fija. fija. De De manera manera semejante, semejante, representa representa la la razón razón de de cambiocambio de
de con con respecto respecto a a , , cuando cuando permanece permanece fija.fija.
Ejemplo
Ejemplo
Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva que se obtiene de la intersección del Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva que se obtiene de la intersección del paraboloi
paraboloide de y y el el plano plano , cuando , cuando .. Solución
Solución
En este caso la pendiente de
En este caso la pendiente de la recta tangente esta dada porla recta tangente esta dada por
con
con lo lo cual, cual, la la recta recta es es : : , , pero pero pasa pasa por por elel punto
punto y y así así
En
En la la figura figura 1 1 se se muestra muestra la la recta recta tangente tangente y y lala parábola
parábola
Las ecuaciones paramétricas de la recta tangente son: Las ecuaciones paramétricas de la recta tangente son:
La gráfica del paraboloide, la parábola y la recta tangente se muestran en la figura 2.
Figura 3: Tangente en P [Ver en 3D - Jview]
Figura 4: Tangente en P
Ejemplo 8
El plano interseca al elipsoide formando una elipse. Determine las ecuaciones paramétricas para la recta tangente a la elipse el el
punto .
Solución
La ecuación define a implícitamente como una función de e , entonces :
Con lo cual la pendiente de la recta tangente esta dada por
Pero como la recta tangente pasa por el punto , entonces
De donde su ecuación es : ; y sus ecuaciones paramétricas son
Figura 3: Tangente en P [Ver en 3D - Jview]
Observación : si es una función de dos variables e , entonces sus derivadas parciales y también son funciones de dos variables, de modo que podemos considerar sus derivadas parciales y , las cuales cuales se llaman segundas derivadas parciales de Si , utilizamos la siguiente
notación :
La notación o significa que primero derivamos con respecto a y luego con respecto a , mientras que para calcular el orden se invierte.
Ejemplo 9
Calcule las segundas derivadas parciales de Solución
Las primeras derivadas parciales están dadas por :
Observación : note que las derivadas parciales mixtas y en el ejemplo anterior, son iguales. Esto no es una casualidad y en la mayoría de los casos prácticos se da. El siguiente teorema, descubierto por el matemático francés Alexis Clairaut (1713 -1765), da las condiciones bajo las cuales podemos afirmar que esta igualdad se da.
Teorema (igualdad de las derivadas mixtas)
Sea una función escalar donde es un disco abierto con centro en y radio , entonces si las funciones y son continuas en entonces
Las derivadas parciales de orden 3 o superior también se pueden definir como
y al usar el teorema de Clairaut, se puede demostrar que si estas funciones son continuas.
Ejemplo 10
Por ejemplo, la ecuación diferencial parcial
se conoce como ecuación de Laplace, en honor a Pierre Laplace (1749 - 1827). Las soluciones de esta ecuación se llaman funciones armónicas y desempeñan un papel fundamental en las aplicaiones relacionadas con conducción de calor, flujo de fluidos y potencial eléctrico.Compruebe que la función satisface la ecuación de Laplace.
Solución. Las primeras derivadas parciales están dadas por
con lo cual
de donde
Ejemplo 11
La ecuación de onda
donde es una constante, describe el movimiento de una onda, que puede ser una onda de sonido, una onda de luz o una onda que viaja a lo largo de una cuerda vibrante.
Si y son funciones de una sola variable dos veces derivables, compruebe que la función
satisface la ecuación de onda.
Solución
Las derivadas de con respecto a están dadas por :
Las derivadas de con respecto atestan dadas por :
Sustituyendo obtenemos que
Ejemplo 12
Si y son funciones doblemente derivables de una sola variable, compruebe que la función
Solución
Las derivadas de con respecto a están dadas por :
Sustituyendo
Ejemplo 13
Si se dijera que existe una función cuyas derivadas parciales
son y ¿usted lo creería?
Solución
Por el teorema de Clairaut, puesto que y son continuas
en todo debieran ser iguales. Por lo tanto no existe tal función.
Ejemplo 14
Una barra de metal de un metro de largo se calienta de manera irregular y de forma tal que a metros de su extremo izquierdo y en el instante minutos, su temperatura en
grados centígrados esta dada por
con
1. Trace la gráfica de para y
2. Calcule y ¿Cuál es la interpretación práctica (en términos de temperatura) de estas derivadas parciales?. Explique por qué cada una tiene el signo que tiene.
3. Calcule ¿Cuál es su signo?. ¿Cuál es su interpretación en términos de temperatura?
Solución
1. La gráfica de las funciones y se muestran en la figura 2.
Figura 6
Observe que la figura nos indica la temperatura inicial en cada punto de la barra y la temperatura después de un minuto. Note que el punto más caliente de la barra en cualquier instante está a 0.5 metros del extremo izquierdo (! !).
2. La derivada parcial respecto a esta dada por y
como esta derivada parcial es decreciente conforme crece y positiva para cualquier valor de concluimos que la temperatura va disminuyendo, pues las pendientes de las rectas tangentes a son positivas y van siendo más pequeñas conforme aumenta, esto cuando estamos a 0.2 metros del extremo izquierdo. El signo positivo de la derivada nos indica que cuando vamos en la dirección del eje positivo (hacia el extremo derecho de la barra) la temperatura aumenta.
Por otro lado,
observe que en este caso tenemos como la derivada parcial es creciente conforme crece y negativa para cualquier valor de , concluimos que la temperatura va disminuyendo, pues las pendientes de las rectas tangentes a son negativas y van siendo más grandes conforme aumenta, esto cuando estamos a 0.8 metros del extremo izquierdo. El signo negativo de la derivada nos indica que cuando vamos en la dirección del eje positivo (hacia el extremo derecho de la barra) la temperatura disminuye.
Las siguientes tablas de valores y la gráfica 1 nos permiten observar con claridad lo explicado antes. 0 254.16 58.7785 10 93.5003 21.6234 20 34.3968 7.95641 30 12.6539 2.92641 40 4.65511 1.07657 50 1.71252 0.39605 0 -254.16 58.77 10 -93.5003 21.62 20 -34.3968 7.956 30 -12.6539 2.926 40 -4.65511 1.076 50 -1.71252 0.396
Observe que para y cualquier valor de y para y cualquier valor de lo cual nos permite concluir que la temperatura va aumentando desde cero hasta llegar a la mitad de la barra y luego va disminuyendo hasta cero, es decir, que la parte más caliente de la barra es la mitad.
Ejemplo 15 Las ecuaciones
definen a y como funciones de las variables independiente e . Exprese en términos de y .
Solución
Para calcular derivemos las ecuaciones (4) respecto a
De donde
Ejemplo 16
Compruebe que la función satisface la ecuación diferencial de Laplace en derivadas parciales
Solución
y al sumar (5), (6) y (7) obtenemos el resultado deseado.
Definición (vector gradiente)
Sea una función escalar de dos variables, entonces el gradiente de es la función vectorial definida por
Observación: si es una función escalar de tres variables su gradiente esta dado por
Ejemplo 17
Si calcule
Solución
C A P I T U L O I I I g
Derivadas parciales
En las aplicaciones de las funciones de varias variables surge una pregunta: ¿Cómo será afectada la función por una variación de una de las variables independientes?. Podemos
responder esta interrogante considerando cada vez una variable independiente. Por ejemplo, para determinar el efecto de un catalizador en un experimento, un químico llevaría a cabo el experimento varias veces usando cantidades
distintas de catalizador, pero manteniendo constantes otras variables, tales como la temperatura y la presión. Seguimos un procedimiento parecido para determinar la razón de cambio de una función f con respecto a una de sus variables
independientes. Esto es, hacemos la derivada de f cada vez con respecto a una variable independiente, manteniendo constantes las demás. Este proceso se conoce como derivada parcial, y su resultado se refiere como la derivada parcial de f con respecto a la variable independiente elegida.
La introducción de las derivadas parciales tardó varios años en seguir a los trabajos de Newton y Leibniz. Entre 1730 y 1760, Leonhard Euler y Jean Le Rond d´Alembert (1717-1783)
publicaron separadamente varios artículos de dinámica, en los cuales establecieron gran parte de la teoría de las derivadas parciales. Estos artículos usaban funciones de dos o más
variables para estudiar problemas que trataban del equilibrio, el movimiento de fluídos y las cuerdas vibrantes.
Derivadas parciales
Definición 3.1
Si z=f(x,y), entonces las derivadas parciales primeras de f con respecto a x y a y son las funciones f xy f y respectivamente, definidas mediante
Leonhard Euler
siempre y cuando existan los límites.
Esta definición indica que si z=f(x,y), entonces para calcular f x consideramos que y
es constante y derivamos con respecto a x. De forma análoga, para
obtener f yconsideramos que x es constante y derivamos con respecto a y.
Ejemplo 3.1
Calcular f x y f y para la función
Solución
Considerando y constante y derivando con respecto a x, resulta
Considerando x constante y derivando con respecto a y, resulta
Existen notaciones diferentes para las derivadas parciales primeras. A continuación damos una lista de las más comunes:
Si z=f(x,y), las derivadas parciales primeras f x y f y se denotan
Ejemplo 3.2
Para la función encontrar f x y f y y evaluar cada una de ellas en el
punto (1, ln2) Solución
ln2) es
Como la derivada parcial de f con respecto a y en (1, ln2) es
Las derivadas parciales de una función de dos variables, z=f(x,y), tienen una interpretación geométrica útil. Si y=c, entonces z=f(x,c) representa la curva formada por la intersección de la superficie z=f(x,y) con el plano y=c, como muestra la figura 3.1. Por lo tanto,
figura 3.1
representa la pendiente de esta curva en el plano y=c (observar que tanto la curva como la tangente pertenecen al plano y=c).
De forma similar,
representa la pendiente de la curva obtenida por la intersección de z=f(x,y) y el plano x=c como se observa en la figura 3.2.
figura 3.2
Se dice que los valores de f xy f y en el punto (x0,y0,z0) denotan la pendiente de
la superficie en las direcciones x e y respectivamente. Ejemplo 3.3
Encontrar la pendiente de la superficie dada por en el punto (1/2,1,2) en las direcciones x e y.
Solución
En la dirección x, la pendiente viene dada por
(ver figura 3.3)
En la dirección y, la pendiente viene dada por
(ver figura 3.4)
Independientemente de cuántas variables estén involucradas, las derivadas parciales pueden interpretarse como razones de cambio.
figura 3.3 figura 3.4
Lo mismo que sucede con las derivadas ordinarias, es posible encontrar derivadas parciales de una función de varias variables de órdenes segundo, tercero y
superiores, supuesto que tales derivadas existen. Denotamos las derivadas de orden superior por su orden de derivación. Por ejemplo, hay cuatro formas distintas de encontrar una derivada parcial segunda de z=f(x,y).
1. Derivar dos veces respecto de x:
2. Derivar dos veces respecto de y:
3. Derivar primero con respecto a x y luego con respecto a y:
4. Derivar primero con respecto a y y luego con respecto a x:
Los casos tercero y cuarto se conocen como derivadas parciales cruzadas. Se debe observar que hay tipos de notación para las derivadas parciales cruzadas, según convenio se utilice para indicar el orden de derivación. Así, la parcial
Orden de derecha a izquierda indica que la primera derivación es con respecto a x, pero la parcial
(f y)x=f yxOrden de izquierda a derecha
indica que la primera derivación es con respecto a y. Observar que con ambas notaciones se driva primero respecto de la variable que está más cercana a f .
Ejemplo 3.4
calcular el valor de f xy(-1,2)
Solución
Primero calculemos las derivadas parciales primeras con respecto a x y a y:
Y derivando cada una de estas con respecto a x y a y, resulta
Finalmente, f xy(-1,2)=12-40=-28
Se observa que las derivadas parciales cruzadas son ig uales. Esto sucede frecuentemente, como se indica en teorema siguiente.
Teorema 3.1
Si f es una función de x e y tal que f, f x, f y, f xy y f yx son continuas en la región
abierta R, entonces para cada (x,y) en R,
Ejemplo 3.5
Probar que las derivadas parciales cruzadas son iguales para l a función
Solución
Las parciales primeras son,
Ejercicios
Ejercicio 3.1Encontrar las derivadas parciales primeras con respecto a x e y
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Ejercicio 3.2
Evaluar f x y f y en el punto que se indica
1. , (2,-2)
2. , (1,0)
3. , (2,-2)
4. , (1,0)
Ejercicio 3.3
Encontrar las segundas derivadas parciales f xx, f yy, f xyyfyx
1. 2.
3.
4.
Demostrar que f xy=f yx 1. 2. 3. 4. 5. 6. Ejercicio 3.5
Verificar que la función satisface la ecuación de Laplace
Ejercicio 3.6
Utilizar la definición mediante límites de las derivadas parciales para encontrar f x(x,y) y f y(x,y)
Ejercicio 3.7
Dibujar la curva de intersección de la superficie y del plano dados. Encontrar la pendiente de la curva en el punto que se especifica
superficie plano punto
x=2 (2,3,6) y=1 (2,1,8)
y=3 (1,3,) x=1 (1,3,0)
Evaluación
1) Se N el número de candidatos a una universidad, p es el costo de alimentación y alojamiento y t el precio de la matrícula. Supongamos que N es una función de p y de t talque Np<0 y Nt<0. ¿Cómo interpretaría el hecho de que ambas derivadas
parciales fueran negativas?
2) El alcance de un proyectil disparado con un ángulo de elevación sobre la horizontal y con velocidad
Evaluar cuando v0=2000 m/s y =5º
3) La temperatura en todo punto (x,y) de una placa metálica viene dada por
donde x e y se miden en metros. En el punto (2,3), encontrar la razón de cambio de la temperatura respecto de la distancia al movernos sobre la placa en las direcciones de los ejes x e y.
4) Según la ley de los gases ideales, PV=kT, donde P es la presión, V el volumen, T la temperatura y k una constante de proporcionalidad. Hallar
5) Consideremos la función definida por
a) Encontrar f x(x,y) y f y(x,y) para (x,y) distinto de (0,0)
b) Utilizar la definición de derivadas parciales para hallar f x(0,0) y f y(0,0)
