Facilitador del curso de:
Roberto Reyes Solis
Materia:
Investigación de Operaciones 1
Grupo:
LT-LIOP1-1403C-001
Alumno(a): Diego Efraín Servin Rodríguez
Matricula: AL12503884
Trabajo:
Actividad 2. Relacion de variables
Ejercicio 1
Los valores de dos variables X e Y se distribuyen según la tabla siguiente:
Y/X 100 50 25 14 1 1 0 18 2 3 0 22 0 1 2 Se pide: a) Calcular la covarianza.
b) Obtener e interpretar el coeficiente de correlación lineal. c) Ecuación de la recta de regresión de Y sobre X.
xi yi fi xi · fi xi2 · fi yi · fi yi2· fi xi · yi · fi
100 14 1 100 10 000 14 196 1 400
100 18 2 200 20 000 36 648 3 600
50 14 1 50 2 500 14 196 700
50 22 1 50 2 500 22 484 1 100
25 22 2 50 1 250 44 968 1 100
10 600 43 750 184 3 464 10 600
Ejercicio 2
En una muestra de 1500 individuos se recogen datos sobre dos medidas antropométricas X e Y. Los resultados que se obtienen son
x = 14, y = 100, sx= 2, sy= 25, sxy= 45.
Obtener el modelo de regresión lineal que mejor aproxima Y en función de X. Utilizando este modelo calcular de modo aproximado la cantidad Y esperada cuando X = 15.
Buscamos la recta ˆ Y = a + b X que mejor aproxima los valores de Y, según el criterio de los mínimos cuadrados, en la nube de puntos que resulta de representar en un plano (X, Y) las 1500 observaciones.
Los coeficientes de esta recta son:
( )( )
Así, el modelo lineal es: Y = −57.5 + 11.25X. Por tanto, si x = 15, el modelo lineal predice un valor de Y de
y = −57.5 + 11.25 (15) = 111.25.
En este punto hay que preguntarse como de fiable es esta predicción.
Ejercicio 3
Se ha llevado a cabo un ajuste lineal a una nube de puntos formada por observaciones de dos variables X e Y y se ha obtenido un coeficiente de determinación de 0.03. Discutir si las siguientes afirmaciones son ciertas y porque:
a) El coeficiente de correlación lineal entre X e Y valdrá 0.173. b) La covarianza entre X e Y puede ser negativa.
c) Las variables X e Y son casi independientes.
d) El coeficiente de determinación entre −X e Y valdrá -0.03. e) El coeficiente de determinación entre −X y −Y valdrá 0.03.
f) Solo el 3% de la variabilidad total de Y queda sin explicar en el modelo.
Falso, = √ √
Cierto.
Falso, pues la relación entre X e Y puede ser no lineal.
Falso, nunca puede ser negativo. En este caso = 0.03.
Cierto.
Falso, el modelo solo explica un 3% de la variabilidad de Y, por tanto, queda por explicar un 97%.
de conducir y el número de infracciones cometidas en el último año por cada uno de ellos son los siguientes:
Años (X) 3 4 5 6
Infracciones (Y) 4 3 2 1
a) Calcular el coeficiente de correlación lineal e interpretarlo.
xi yi xi ·yi xi2 yi2 3 4 12 9 16 4 3 12 16 9 5 2 10 25 4 6 1 6 36 1 18 10 40 86 30 b) c) d) e)
Ejercicio 5
La tabla siguiente contiene la edad X y la máxima de la presión sanguínea Y de un grupo de 10 mujeres:
Edad 56 42 72 36 63 47 55 49 38 42 Presión 14.8 12.6 15.9 11.8 14.9 13.0 15.1 14.2 11.4 14.1
a) Calcular el coeficiente de correlación lineal entre las variables y decir que indica.
b) Determinar la recta de regresión de Y sobre X, justificando la adecuación de un modelo lineal. Interpretar los coeficientes.
c) Valorar la bondad del modelo.
d) Hacer las predicciones siguientes, solo cuando creías que tengan sentido: 1) Presión sanguínea de una mujer de 51 años.
2) Presión sanguínea de una niña de 10 años. 3) Presión sanguínea de un hombre de 54 años.
Respuestas: Construimos la tabla auxiliar para realizar los cálculos de los apartados a) y b):
56 14.8 3136 219.04 828.8 42 12.6 1764 158.76 529.2 72 15.9 5184 252.81 1144.8 36 11.8 1296 139.24 424.8 63 14.9 3969 222.01 938.7 47 13 2209 169 611 55 15.1 3025 228.01 830.5 49 14.2 2401 201.64 695.8 38 11.4 1444 129.96 433.2 42 14.1 1764 198.81 592.2 500 137.8 26192 1919.28 7029
Las medias son:
Las varianzas y covarianza son:
y el coeficiente de correlación lineal es
√
Que indica una dependencia lineal moderada y directa entre X e Y. Cuanto mayor es X mayor tiende a ser Y. La recta de regresión de Y sobre X es Y = a + b X, cuyos coeficientes son:
El coeficiente a es la intersección con el eje de ordenadas, mientras que b es la pendiente de la recta de regresión.
c) El ajuste del modelo se mide mediante el coeficiente de determinación , que en el caso del
modelo lineal coincide con . Entonces, = 0.892 = 0.79, que indica que un 79% de la
variabilidad de Y viene explicada por el modelo de la recta de regresión, mientras que queda sin explicar un 21% de la variabilidad.
d) Solo tiene sentido realizar la predicción del apartado (d1). Para un valor de x = 51 el modelo predice un valor de y = 7.95 + 0.12 · 51 = 13.90.
Ejercicio 6
En un grupo de 8 pacientes se miden las cantidades antropométricas peso y edad, obteniéndose los siguientes resultados:
Resultado de las mediciones
X ≡edad 128 10 117 7 1014 Y ≡peso 58 42 51 54 40 39 49 56
¿Existe una relación lineal importante entre ambas variables? Calcular la recta de regresión de la edad en función del peso y la del peso en función de la edad.
Calcularla bondad del ajuste ¿En qué medida, por término medio, varía el peso cada año? ¿En cuánto aumenta la edad por cada kilo de peso?
Por tanto el ajuste lineal es muy bueno. Se puede decir que el ángulo entre el vector formado por las desviaciones del peso con respecto a su valor medio y el de la edad con respecto a su valor medio, , es:
es decir, entre esos vectores hay un buen grado de paralelismo (sólo unos 19 grados de desviación).
La recta de regresión del peso en función de la edad es
la recta de regresión de la edad como función del peso es
Que como se puede comprobar, no resulta de despejar en la recta de regresión de Y sobre X. La bondad del ajuste es
por tanto podemos decir que el 88.94% de la variabilidad del peso en función de la edad es explicada mediante la recta de regresión correspondiente. Lo mismo podemos decir en cuanto a la variabilidad de la edad en función del peso. Del mismo modo puede decirse que hay un 100 - 88.94% = 11.06 % de varianza que no es explicada por las rectas de regresión. Por tanto la varianza residual de la regresión del peso en función de la edad es
Por último la cantidad en que varía el peso de un paciente cada año es, según la recta de
regresión del peso en función de la edad, la pendiente de esta recta, es decir, b1=2,8367 Kg/año.
Cuando dos personas difieren en peso, en promedio la diferencia de edad entre ambas se rige por
