Miguel Martín Suárez
Universidad de GranadaVersión 2.0
Índice general 3
Índice de figuras 6
Introducción
7
I
Análisis Funcional en espacios normados
12
1. Conceptos básicos sobre espacios normados y espacios de Banach 13
1.1. Definiciones y ejemplos . . . 14
1.2. Aplicaciones lineales y continuas. Dual de un espacio normado . . . 23
1.3. Duales de algunos espacios de sucesiones . . . 26
1.4. Espacios normados de dimensión finita. Lema de Riesz . . . 31
1.5. Espacios normados separables . . . 35
2. Espacios prehilbertianos y espacios de Hilbert 39 2.1. Igualdad del paralelogramo. Teorema de la proyección ortogonal . . . 40
2.2. Familias sumables en espacios normados . . . 52
2.3. Bases ortonormales y espacios de Hilbert “tipo” . . . 55
2.4. Introducción a las series de Fourier . . . 62
3. El Teorema de Hahn-Banach y sus consecuencias 68 3.1. Versión analítica del Teorema de Hahn-Banach . . . 69
3.1.1. Anulador de un conjunto. Dual de un subespacio y de un cociente . . . 72
3.1.2. Adjunto de un operador . . . 76
3.1.3. Bidual de un espacio normado. Reflexividad . . . 78
3.2. Aplicaciones del Teorema de Hahn-Banach . . . 82
3.2.1. Límites de Banach . . . 82
3.2.2. Dual de C[a, b]. . . 85
3.2.3. Sistemas de infinitas ecuaciones lineales. El problema de los momentos. Teorema de Helly . . . 90
3.3. Versiones geométricas del Teorema de Hahn-Banach. . . 92
4. Las consecuencias del Teorema de Baire en el Análisis Funcional 99 4.1. La categoría. El Teorema de Baire . . . 100
4.2. El Teorema de la aplicación abierta. Enunciados equivalentes. . . 101
4.2.1. Teorema de la aplicación abierta . . . 102
4.2.2. Teorema de los isomorfismos de Banach. . . 105
4.2.3. Teorema de la gráfica cerrada . . . 108
4.3. Aplicaciones del Teorema de la aplicación abierta . . . 112
4.3.1. Subespacios complementados. . . 112
4.3.2. Bases de Schauder . . . 118
4.4. El Teorema de Banach-Steinhaus. Aplicaciones . . . 130
5. Topologías débiles 140 5.1. Topologías débil y débil-* . . . 141
5.1.1. Topologías débiles y sucesiones. Lema de Schur . . . 149
5.2. Teoremas de Goldstine y Banach-Alaoglu. Consecuencias . . . 154
5.2.1. Metrizabilidad de las topologías débiles . . . 156
5.2.2. Espacios uniformemente convexos. Teorema de Milman-Pettis. . . 158
5.3. Puntos extremos. Teorema de Krein-Milman . . . 161
5.3.1. Una aplicación: Principio del máximo de Bauer . . . 166
5.3.2. Una aplicación: Teorema clásico de Banach-Stone y compactación de Stone-Cech . 166 6. Operadores compactos 171 6.1. Operadores compactos en espacios de Banach . . . 172
6.1.1. Teoría de Riesz-Schauder . . . 175
6.2. Operadores compactos normales en espacios de Hilbert . . . 181
6.2.1. Resolución espectral de un operador compacto y normal . . . 187
II
Espacios localmente convexos. Teoría de Distribuciones
196
7. Espacios vectoriales topológicos. Generalidades 197 7.1. Concepto de espacio vectorial topológico. Ejemplos . . . 1987.2. Acotación, precompacidad y complitud . . . 204
7.3. Aplicaciones lineales entre EVT . . . 210
7.4. Construcción de EVT. Topologías iniciales y finales. . . 213
7.5. Espacios vectoriales topológicos de dimensión finita. . . 220
8. Clases especiales de EVT 225 8.1. EVT seminormables. . . 226
8.2. Espacios localmente acotados . . . 230
8.3. Espacios localmente convexos . . . 231
8.4. LF-espacios. El espacio de las funciones test. . . 239
8.5. EVT metrizables. F-espacios . . . 247
9. Los tres principios fundamentales del Análisis Funcional 255 9.1. El Teorema de la aplicación abierta . . . 256
9.1.1. Teorema de la aplicación abierta . . . 256
9.1.2. Teorema de los isomorfismos de Banach. . . 258
9.1.3. Teorema de la gráfica cerrada . . . 259
9.2. El Teorema de Banach-Steinhaus . . . 264
9.3. El Teorema de Hahn-Banach . . . 268
9.3.1. Versión analítica. Dual topológico de un EVT. . . 269
9.3.2. Versiones geométricas. Separación de convexos . . . 274
10. Introducción a la dualidad en ELC 280
10.1. Pares duales: topologías débiles, Teorema del bipolar . . . 281
10.2. El Teorema de Alaoglu-Bourbaki . . . 291
10.3. Puntos extremos. Teorema de Krein-Milman . . . 293
10.3.1. Una extensión: el Teorema de Choquet . . . 298
10.4. Aplicaciones de los Teoremas de Krein-Milman y Alaoglu-Bourbaki. . . 303
10.4.1. El principio del máximo de Bauer . . . 303
10.4.2. Imagen de una medida vectorial . . . 304
10.4.3. Un problema de control óptimo. . . 307
11. Más dualidad en ELC: topologías polares 311 11.1. Espacios tonelados. Teoremas de Banach-Mackey y de Mackey. . . 312
11.1.1. Una aplicación: el Teorema de Dunford . . . 316
11.2. Topologías polares, Teorema de Mackey-Arens. Topología de Mackey y topología fuerte . 319 11.3. Bidual de un ELC. Reflexividad. Espacios de Montel. . . 329
11.4. Teorema de completación de Grothendieck y Teorema de Krein-Smulian . . . 335
12. Teoría de Distribuciones 345 12.1. Motivación e introducción histórica . . . 346
12.2. Funciones test y distribuciones . . . 349
12.2.1. Derivadas de una distribución . . . 355
12.2.2. Particiones de la unidad . . . 359
12.2.3. Soporte de una distribución. Localización . . . 362
12.2.4. Una aplicación: demostración de un Teorema de Borel . . . 367
12.2.5. Estructura de las distribuciones. . . 368
12.2.6. Convolución. . . 371
12.3. Una aplicación: el Teorema de Ehrenpreis-Malgrange . . . 377
12.4. Distribuciones sobre la recta real . . . 384
12.4.1. Una aplicación: existencia de geodésicas . . . 386
12.5. Transformada de Fourier. Distribuciones temperadas . . . 388
12.5.1. Funciones C∞con decrecimiento rápido en infinito . . . 389
12.5.2. Distribuciones temperadas . . . 394
III
Apéndices
403
Apéndice A. Redes y filtros 404
Apéndice B. Teoría de la Medida 412
Bibliografía
423
1.1. Desigualdad de Young . . . 16
1.2. La esfera unidad de(R2,k · kp) . . . 17
1.3. Lema de Riesz . . . 34
2.1. Igualdad del paralelogramo . . . 42
2.2. Radio relativo y radio exterior . . . 45
2.3. Proyección ortogonal . . . 47 3.1. Separación de conjuntos . . . 93 3.2. Funcionales de soporte . . . 97 3.3. Separación estricta . . . 98 4.1. El sistema de Haar . . . 124 4.2. El sistema de Schauder . . . 126 5.1. Puntos extremos. . . 161
5.2. Conjunto de puntos extremos no cerrado . . . 165
8.1. D(K)contenido estrictamente enD(H) . . . 241
8.2. Clases de EVT y relaciones entre ellas . . . 253
8.3. Algunos ejemplos de EVT . . . 254
10.1. Subconjunto extremal y punto extremo . . . 293
10.2. Teorema de Minkowski-Carathéodory . . . 294
10.3. Rebanada de un conjunto . . . 296
10.4. Lema de Choquet . . . 297
10.5. Envolvente cóncava de una función . . . 300
10.6. Movimiento de un cohete . . . 307
12.1. Aproximando la δ de Dirac . . . 346
12.2. Función de Heaviside. . . 347
12.3. Aproximaciones de la función de Heaviside y sus derivadas . . . 358
Un matemático es una persona que encuentra analogías entre teoremas; es mejor matemático el que puede ver analogías entre demostraciones y el más grande de los matemáticos es aquel que percibe analogías entre las teorías. Podemos imaginar que el estado sublime para un matemático sería ver analogías entre las analogías.
— Stefan Banach
Si bien el Análisis Funcional nace como una herramienta al servicio del Análisis clásico, hoy en día ha pasado a ser una vasta y bella área dentro del Análisis Matemático, con entidad propia y con sus propios problemas. De hecho, en la actualidad es muy complicado abarcar todo el Análisis Funcional pues, como dice J. Conway en el prólogo de su libro A Course in Functional Analysis, “puede ocurrir que dos investigadores que trabajen en Análisis Funcional tengan dificultades para comprender cada uno el trabajo del otro”. Esto hace que sea muy complicado definir qué se entiende por Análisis Funcional, y mucho más decidir qué contenidos de esta materia deben transmitirse en un libro, pues también dos autores distintos probablemente elegirían contenidos distintos. Intentaremos dar nuestra respuesta a ambas preguntas en la presente introducción.
En primer lugar, comentemos que compartimos en gran medida la concepción del Análisis Fun-cional que presenta J. Dieudonné en su libro History of Functional Analysis: “el estudio de los espacios vectoriales topológicos y de las aplicaciones definidas entre subconjuntos de los mismos, sujetas a cier-tas propiedades algebraicas y topológicas. (. . . ) El Análisis Funcional aparece de esta manera como una armonización entre el Álgebra y la Topología.” Pero, si bien esta definición es lo suficientemente amplia como para satisfacer a cualquier analista funcional, poco ayuda a nuestro propósito.
Un poco de historia
Hemos tomado esta reseña histórica de un artículo de tipo expositivo de Bombal [7] y del libro de Dieudonné [24] sobre historia del Análisis Funcional. Cualquiera de estas dos fuentes puede usarse para ampliar lo que aquí incluimos. Dividimos en dos apartados los antecedentes, intuyéndose ya los contenidos que trataremos en cada una de las dos asignaturas.
•
Análisis Funcional en espacios normados
Puede decirse que la teoría abstracta de los espacios de Banach comienza con la publicación en 1922 de la tesis doctoral de S. Banach “Sur les opérations dans les ensembles abstraits et leur application aux équations intégrales” en Fundamenta Mathematicae, seguida por la publicación en 1932 de su famosa monografía Théories del Opérations Linéaries, libro que aún hoy en día sigue siendo referencia.
No obstante, muchas de las ideas fundamentales habían aparecido desde principios del siglo XX, si bien en casos concretos, motivadas por el estudio de problemas procedentes de otras ramas del Análisis como las ecuaciones diferenciales, el cálculo de variaciones, las ecuaciones integrales. . . Comentemos brevemente algunos de estos antecedentes.
Entre 1904 y 1910, D. Hilbert publica una serie de artículos sobre ecuaciones integrales, motivados por los resultados de I. Fredholm (lo que hoy conocemos como alternativa de Fredholm). Estos trabajos, junto con la tesis doctoral de su alumno E. Schmidt, suponen el nacimiento de la teoría actual de espacios de Hilbert: aparecen ya conceptos como bola unidad, convergencia débil de sucesiones, distancia entre elementos, teoría espectral de operadores. . . si bien todo ello restringido a las sucesiones de cuadrado sumable.
Paralelamente a todo esto, M. Fréchet desarrolla en su tesis doctoral de 1906 las nociones de espacio métrico, complitud, compacidad y separabilidad, y se embarca inmediatamente en el estudio del espacio real C[a, b]y otros espacios funcionales comoH(Ω).
Al aplicar estas ideas a los descubrimientos de Hilbert, en un trabajo de Schmidt (1908) aparece explícitamente el espacio de dimensión infinita`2, con las nociones actuales de distancia euclídea, norma
(con la notación actualk · k), producto escalar, ortogonalidad e incluso el lenguaje geométrico moderno, probándose el Teorema de la proyección ortogonal y el método de ortonormalización de Gram-Schmidt. Por otra parte, la conjunción de las ideas de Fréchet con la teoría de integración de Lebesgue, dio paso a la aparición de los espacios Lp[a, b]y al estudio de sus propiedades. Si bien para p = 1 este espacio
estaba implícito en los trabajos de Lebesgue, la aparición del caso p=2 tuvo que esperar a 1907, cuando F. Riesz y E. Fischer descubren independientemente su famoso teorema: el espacio métrico L2[a, b]es
completo, separable e isométrico al espacio de Hilbert de sucesiones`2. Esta última conclusión permitió
traspasar al ambiente de las funciones de cuadrado integrable los resultados que había dado Hilbert, resolviendo problemas sobre ecuaciones integrales que estaban latentes desde principio de siglo. En este mismo año, Riesz y Fischer descubren, también de manera independiente, una representación de las formas lineales continuas sobre L2[a, b], cuya versión abstracta dice que los espacios de Hilbert son
autoduales.
La aportación de Riesz al nacimiento de la teoría de espacios de Banach no se queda ahí. En 1909, representa cualquier funcional lineal y continuo sobre el espacio C[a, b]como una integral de Stieltjes con respecto a una función de variación acotada; este resultado supuso un paso importante en la clarificación de las ideas de dualidad, ya que es el primer ejemplo en el que el dual topológico no puede identificarse con el espacio base. Poco después, Riesz introduce los espacios Lp[a, b], y sus análogos discretos`p, para
1 < p < ∞ en el estudio del problema de los momentos y de la resolución de sistemas de ecuaciones lineales con infinitas incógnitas. Aparecen aquí dos nociones importantes: la representación del dual de Lp[a, b] como Lq[a, b] (1p +1q = 1) y la convergencia débil de sucesiones. Finalmente, en 1918 elabora
su Teoría de operadores compactos, generalización de la teoría espectral de Hilbert al ambiente de los operadores lineales y compactos en un espacio normado; si bien sólo da los resultados en C[a, b], los razonamientos son generales y están expresados en términos de la norma del espacio.
Todos estas contribuciones preparan el camino para el desarrollo de una teoría abstracta de espacios normados, que estudie la dualidad y los operadores lineales y continuos entre ellos. Esto aconteció en la tesis doctoral de Banach (1920), en la que, según sus propias palabras:
el objetivo (. . . ) es demostrar algunos teoremas que son ciertos para diferentes espacios funcionales. En lugar de probar los resultados para cada espacio particular, he optado por un enfoque diferente: con-sidero en general un conjunto de elementos abstractos, para los que postulo una serie de propiedades y demuestro los teoremas para esos conjuntos. Entonces pruebo que los distintos espacios funcionales particulares en los que estoy interesado satisfacen los axiomas postulados.
El marco general en cuestión es precisamente lo que hoy conocemos como espacio de Banach. Se da la definición axiomática de espacio vectorial real, normado y completo, y la tesis contiene, entre otros resultados, una versión del principio de acotación uniforme y el principio de contracción en espacios métricos completos. Pero sobre todo, la contribución más importante de la tesis de Banach fue sacar a la luz la noción correcta de espacio normado, que de modo más o menos implícito, estaba subyacente en gran parte de los artículos previos sobre Análisis Funcional (nombre que aparece por primera vez en un libro de P. Lévy, publicado en 1922).
Durante los siguientes diez años se produce un periodo de gran actividad en el desarrollo de la teoría de espacios de Banach y sus aplicaciones a distintas ramas del Análisis, estableciéndose los que, plagiando el texto de N. Dunford y J. Schwartz, llamamos “los tres Principios Fundamentales del Aná-lisis Funcional”, a saber: El Principio de acotación uniforme, cuya versión actual usando el Teorema de Baire se debe a Banach y H. Steinhaus (con antecedentes de E. Hahn y el propio Banach). El Teorema de la aplicación abierta, contribución genuina de Banach, consecuencia también del Teorema de Baire y que, sobre todo en su versión del Teorema de la gráfica cerrada, tiene multitud de aplicaciones. Por último, el Teorema de Hahn-Banach, debido a Hahn en su versión de existencia de extensiones equinórmicas (aunque existían versiones particulares anteriores dadas por E. Helly) y a Banach en su versión para funcionales sublineales; en este resultado se utiliza por primera vez inducción transfinita en problemas de Análisis Funcional.
Así llegamos al año 1932, fecha importante en la historia del Análisis Funcional por la aparición de tres grandes monografías, que significaron la consolidación definitiva de esta materia como una rama independiente e importante del Análisis. La primera de ellas, debida a J. von Neumann, trata de los fun-damentos matemáticos de la Mecánica Cuántica, formalizando la teoría abstracta de espacios de Hilbert y la teoría espectral de operadores; uno de sus grandes pilares es la equivalencia entre funciones de cua-drado integrable y series de cuacua-drado sumable, que permite unificar la mecánica matricial y la mecánica ondulatoria. La segunda de ellas, escrita por M. Stone, presenta la teoría espectral de operadores en es-pacios de Hilbert con multitud de aplicaciones al Análisis Clásico. Ambas monografías son el punto de partida para la Teoría espectral de operadores y el estudio de las C∗-álgebras. Poco más comentaremos sobre esta línea, ya que prácticamente no tratamos estos temas en la presente memoria.
Finalmente, el tercero de los libros es Théorie des Opérations Linéaries, de Banach, que ya hemos presen-tado y que está dedicado fundamentalmente al estudio de la estructura de espacio normado completo real. En él se reúnen los resultados más importantes que se conocían hasta la fecha, incluyendo los tres principios fundamentales del Análisis Funcional (los dos primeros aparecen en el ambiente general de los F-espacios), la teoría de Riesz de operadores compactos, las bases y sucesiones básicas de un espacio normado y, finalmente, la convergencia débil y débil-* de sucesiones, probándose versiones secuenciales de los teoremas de Banach-Alaoglu y Dieudonné.
En la siguiente década también se dan algunos avances importantes en el tema: el establecimiento por parte de S. Mazur de las versiones geométricas del Teorema de Hahn-Banach, probando la existen-cia de hiperplanos de soporte por cada punto frontera de cualquier conjunto abierto y convexo de un espacio normado; la posibilidad de usar espacios vectoriales complejos en el Teorema de Hahn-Banach (H. Bohnenblust y A. Sobczyk, 1938), lo que permitiría desarrollar una teoría de funciones holomorfas con valores en espacios de Banach; y, finalmente, la introducción por M. Krein y D. Milman (1940) de la noción de punto extremo de un conjunto convexo, probando el famoso teorema que lleva sus nombres,
con tantas aplicaciones al Análisis. No obstante, el desarrollo del Análisis Funcional sigue otras sendas distintas del estudio abstracto de los espacios de Banach (espacios localmente convexos –que enseguida comentaremos– y C∗-álgebras y Teoría espectral), hasta finales de la década de los 50 cuando, por una parte, florece de nuevo la escuela polaca (diezmada por los nazis durante la II Guerra Mundial), con ma-temáticos como C. Bessaga, A. Pelczynski y S. Rolewicz, que dieron un nuevo impulso a dicho estudio abstracto y, por otra, aparecen otros tres textos clásicos: Normed linear spaces de M. Day, Linear Operators de Dunford y Schwartz, e Introduction to Functional Analysis de A. Taylor. Con todo ello, se puede decir que comienza la etapa moderna de la teoría de espacios de Banach.
•
Espacios localmente convexos
Los espacios normados no agotan todas las posibilidades en el estudio de los espacios funcionales. Esto ya era conocido desde el principio del Análisis Funcional, pues pronto aparecen espacios cuya topología no está asociada a una norma: ya en su tesis de 1906, Fréchet estudia espacios clásicos que no son normables, como H(Ω). Más aún, el mismo Fréchet se da cuenta de que la noción de espacio métrico puede no ser suficiente para describir la topología pues, por ejemplo, la topología producto en RRno puede venir descrita por una distancia.
También Banach en su monografía de 1932 trabaja con los llamados “espacios de tipo (F)”, que no son normables en general, y uno de los temas centrales del libro de Banach es la topología débil, que no es metrizable (aunque, sorprendentemente, sólo la trata en términos de convergencia de sucesiones).
Paralelamente al nacimiento del Análisis Funcional, y en alguna medida motivado por éste, se desa-rrolla otra de las grandes ramas de la Matemática del siglo XX: la topología general. Ésta da el lenguaje necesario para tratar correctamente los espacios funcionales que no son espacios métricos. Por ejemplo, en un trabajo sobre la teoría espectral (1930), von Neumann introduce, en términos de entornos, la topo-logía débil de un espacio de Hilbert H y las topotopo-logías débil y fuerte de operadores en L(H), mostrando que no son metrizables. Yendo un poco más lejos, en 1934, G. Köthe y O. Toeplitz introducen un clase de espacios de sucesiones, muchos de ellos modelos de espacios de funciones analíticas, y ciertas topo-logías sobre ellos: para un subespacio vectorial E de KN, se define el espacio E× (el dual de Köthe de E) como el formado por las sucesiones numéricas(un)tales que∑n>1|unxn| < ∞ para toda sucesión
(xn)∈E, y se considera en E la topología débil σ(E, E×)y en E×la débil-* σ(E×, E).
Todo estaba pues preparado para la aparición de la noción abstracta de espacio vectorial topológico (EVT), esto es, un espacio vectorial dotado de una topología que hace continuas las operaciones suma y producto por escalares. La paternidad de dicho concepto de EVT es dudosa, pues aparece implíci-tamente en numerosos trabajos. Fréchet observa en 1926 que la suma y el producto por escalares son continuos en los espacios funcionales que había introducido en su tesis, idea que Banach generaliza en su libro de 1932 a los espacios de tipo (F). No obstante, fue Kolmogorov (1934) quien dio la definición formal de espacio vectorial topológico general. Un año después, von Neumman da una definición cons-tructiva de la noción de EVT (sin mencionar a Kolmogorov) en términos de bases de entornos de cero. En estos dos últimos trabajos aparecen sendas nociones que serán fundamentales en el desarrollo de la teoría. Por un lado, Kolmogorov introduce la noción de conjunto acotado de un EVT general, noción que permite caracterizar los espacios (separados) cuya topología se puede definir por una norma: son precisamente aquellos que poseen un entorno de cero convexo y acotado. Por otro lado, von Neumann define los espacios localmente convexos (ELC) como aquellos EVT que admiten una base de entornos de cero convexos.
Una de las dificultades que plantea la teoría es la definición de complitud pues, si bien la complitud secuencial es fácilmente definible, si las sucesiones no definen la topología, esta noción no es completa-mente satisfactoria. Este problema queda resuelto usando la convergencia de redes, que fue introducida
por E. Moore y H. Smith en 1922 generalizando el límite de una sucesión, y que sí sirve para determinar la topología de cualquier espacio topológico (del mismo modo que las sucesiones determinan la topo-logía de cualquier espacio métrico). En 1940, H. Cartan introduciría la convergencia de filtros, menos intuitiva que la de redes, pero más elegante y potente a la hora de hacer demostraciones.
Varios tipos de EVT pueden considerarse como buenas generalizaciones de los espacios normados. Por un lado, en los F-espacios (EVT metrizables completos) se verifican los teoremas de la aplicación abierta y Banach-Steinhaus. Por otro lado, el Teorema de Hahn-Banach es válido en ELC (esencialmente es válida la demostración de Banach) y, por tanto, el espacio dual es “suficientemente grande”, lo que permite dar una teoría de dualidad adecuada. La intersección de estas dos clases la constituyen los espacios de Fréchet: espacios localmente convexos, metrizables y completos; equivalentemente, ELC completos que poseen una base numerable de entornos de cero.
Gracias a la extensión del Teorema de Hahn-Banach, las ideas dadas por Köthe y Toeplitz son lleva-das a cualquier ELC separado, obteniéndose una potente teoría de dualidad para estos espacios. Uno de los iniciadores del estudio sistemático de esta teoría fue G. Mackey, quien en 1946 introduce el concepto de par dual(X, Y)y estudia las topologías (polares) asociadas a dicho par; en particular, caracteriza to-das las topologías localmente convexas en X para las que Y es el dual topológico de X (compatibles con la dualidad) y prueba que todas tienen los mismos conjuntos acotados (Teorema de Mackey). También aparecen de este modo la topología fuerte del dual de un ELC separado (generalizando la norma del dual de un espacio normado) y las nociones de bidual y reflexividad en este ambiente.
Paralelamente, en 1945 L. Schwartz inicia el desarrollo de su Teoría de Distribuciones, que da el marco matemático adecuado para trabajar con las distintas definiciones de soluciones generalizadas de ecuaciones diferenciales y los diferentes tipos de funciones singulares que se utilizaban en la época, es-pecialmente en Física Cuántica. El primer espacio de distribuciones que se introduce esD0(Ω), el dual
topológico del espacio de las funciones test D(Ω). Schwartz sabía que la noción de convergencia que necesitaba enD(Ω)no podía obtenerse a partir de una topología de espacio de Fréchet, por lo que tuvo que definir una topología localmente convexa específica (realmente, definió los conjuntos acotados del espacio). Cuando J. Dieudonné conoció los resultados de Schwartz, los relacionó con la teoría abstrac-ta de límites inductivos de espacios topológicos y juntos estudiaron lo que hoy llamamos LF-espacios y la teoría de dualidad en esta clase. La teoría siguió avanzando apareciendo, por ejemplo, una trans-formada de Fourier generalizada, hasta llegar a uno de los resultados más importantes de la Teoría de Distribuciones, el llamado Teorema de los núcleos (Schwartz, 1950) que afirma que prácticamente todos los operadores que aparecen en Análisis son operadores integrales representados por un núcleo distri-bucional. Este último resultado fue estudiado a fondo por A. Grothendieck, llevando a la introducción de los productos tensoriales. Es obligado comentar que el éxito de la teoría de ELC se debe, en gran medida, a la brillantez de la Teoría de Distribuciones.
Finalmente, digamos que gran parte del estudio posterior de los ELC se guió por la idea de clasifi-carlos según su comportamiento respecto a algunos teoremas clásicos o propiedades importantes de los espacios normados. Así, los espacios para los que se cumple el Teorema de Banach-Steinhaus se llaman tonelados; los ELC tales que toda aplicación lineal acotada sobre ellos es continua se llaman bornológi-cos; aquellos en los que se cumple cierta versión del Teorema de la Aplicación abierta se llaman espacios de Pták, etc.
Este proyecto no hubiese sido posible sin el ánimo constante y la paciencia de Mariola. Ella sabe mejor que nadie lo que ha costado realizarlo y a ella se lo dedico especialmente. También quisiera agra-decer el apoyo y la comprensión que he recibido de mis compañeros del Departamento de Análisis Matemático de la Universidad de Granada.
Análisis Funcional
en
CONCEPTOS BÁSICOS SOBRE ESPACIOS NORMADOS Y
ESPACIOS DE BANACH
El objetivo del presente capítulo es familiarizarse con los conceptos básicos en espacios normados, empezan-do naturalmente por la noción de norma, distancia asociada a una norma y definición de espacio de Banach. Una gama suficientemente amplia de ejemplos de espacios de Banach permitirá dar una idea de la varie-dad de campos donde la teoría de espacios de Banach puede encontrar aplicación. En la segunda sección se presentan las formas posibles que puede adoptar la continuidad de una aplicación lineal entre espacios normados, definiendo el espacio de operadores y el espacio dual. La ausencia del Teorema de Hahn-Banach se deja sentir por primera vez; no podemos probar la existencia elementos no nulos en el dual de un espa-cio normado arbitrario. Dedicamos la tercera sección a presentar los espaespa-cios duales de algunos espaespa-cios de sucesiones. Como plato fuerte del capítulo, en la sección 4 tenemos dos teoremas importantes, ambos referentes a espacios de dimensión finita: el teorema demostrado en 1932 por Hausdorff según el cual todas las normas en un espacio vectorial de dimensión finita son equivalentes y el teorema de F. Riesz (1918) que pone en equivalencia la dimensión finita de un espacio normado con su compacidad local. El segundo de ellos da pie a dos tipos de consideraciones que nos parecen importantes pedagógicamente. En primer lu-gar, la equivalencia entre una propiedad puramente algebraica y otra puramente topológica es un magnífico anticipo de la filosofía que, de alguna forma, impregna el Análisis Funcional, la buena avenencia entre las estructuras algebraicas y topológicas presentes en un mismo espacio. Por otra parte, la “escasez” de conjun-tos compacconjun-tos en espacios normados de dimensión infinita es un buen aviso de que debemos ser sumamente cuidadosos con la intuición geométrica en este tipo de espacios. Acabamos el capítulo con una sección sobre espacios normados separables.
1.1.
Definiciones y ejemplos
Durante toda la memoria K denotará indistintamente al cuerpo R de los números reales o al cuerpo Cde los números complejos. Todos los espacios vectoriales que consideremos lo serán sobre K. Por Re z, Im z entenderemos la parte real y la parte imaginaria de z si K=C. Si tratamos con números reales, Re es la identidad e Im la función constantemente igual a 0.
1.1.1 Definiciones. Si X es un espacio vectorial sobre K, una norma en X es una función x7−→ kxk, de X en R+0, verificando
(i) kxk =0 ⇒ x=0.
(ii) kλxk = |λ| kxk (λ∈K, x∈X)
(iii) kx+yk6kxk + kyk (x, y ∈X) (Desigualdad triangular).
Una seminorma es una función x 7−→ p(x) ∈ R0+ verificando las condiciones (ii) y(iii) anteriores. Obsérvese que, gracias a(ii), se tiene p(0) =0 para cualquier seminorma.
Un espacio normado es un par (X,k · k), donde X es un espacio vectorial y k · k es una norma en X. Cuando no haya lugar a confusión omitiremos la segunda componente del par. Por otra parte, escribiremosk · kXcuando queramos resaltar que trabajamos con una norma en el espacio X.
Notaremos BX = {x ∈ X : kxk 6 1} y SX = {x ∈ X : kxk = 1}, conjuntos que llamaremos,
respectivamente, bola unidad y esfera unidad de X.
Todo espacio normado(X,k · k)se convierte automáticamente en un espacio métrico con la distancia d(x, y) =ky−xk (x, y∈X).
Cuando d es completa decimos que la normak · kes completa y que(X,k · k)es un espacio de Banach. La topología asociada a d suele denominarse topología de la norma en X. Cuando no se especifique lo contrario, todas las nociones topológicas sobre un espacio de Banach se referirán a la topología de la norma y todas las nociones métricas a la distancia d. En particular, si A es un subconjunto de un espacio normado X, A y A —o int◦ (A)— denotan, respectivamente, el cierre y el interior de A. Por otro lado, B(x, r)es la bola (cerrada) de centro x y radio r, esto es,
B(x, r) ={y∈X : ky−xk6 r} =x+r BX;
la bola abierta de centro x y radio r se escribeB◦(x, r) =B(x, r◦ ) =x+rB◦X.
Dos normask · k1 yk · k2 en un mismo espacio vectorial X son equivalentes cuando dan lugar a
la misma topología. Usando que la bola unidad para cada una de ellas ha de ser entorno de cero en la topología asociada a la otra, obtenemos inmediatamente quek · k1yk · k2son equivalentes si, y sólo si,
existen dos constantes estrictamente positivas m y M tales que
mkxk16kxk26 Mkxk1 (x ∈X).
Como consecuencias inmediatas obtenemos que una norma equivalente a una completa también es completa y que los subconjuntos acotados para dos normas equivalentes son los mismos.
Un isomorfismo entre dos espacios normados X e Y es una aplicación lineal y biyectiva T : X−→Y, tal que T y T−1son continuas, esto es, una biyección que conserva las estructuras lineal y topológica. En
este caso decimos que X e Y son isomorfos (X'Y) y podemos pensar que se trata de un mismo espacio vectorial con dos normas equivalentes. Es inmediato entonces que una biyección lineal T : X −→Y es un isomorfismo si, y sólo si, existen dos constantes estrictamente positivas m y M tales que
mkxk6kT(x)k6 Mkxk (x∈X),
de donde se deduce claramente que un espacio isomorfo a uno completo también es completo. Si de hecho se tiene que
kT(x)k = kxk (x∈X),
entonces T es, por definición, un isomorfismo isométrico (o biyección lineal isométrica o isometría sobreyectiva) y decimos que X e Y son isométricamente isomorfos, lo que escribiremos como X≡Y. El isomorfismo isométrico es la identificación total entre dos espacios normados. Una isometría o em-bebimiento isométricode X en Y es una aplicación lineal que es un isomorfismo isométrico sobre su imagen, esto es una aplicación lineal T : X−→Y tal quekT(x)k = kxkpara todo x ∈X. Decimos que Y contiene una copia isométrica de X, o que X se embebe de forma isométrica en Y, o que Y contiene isométricamentea X, si existe una isometría de X en Y, esto es, si Y contiene un subespacio que es isométricamente isomorfo a X.
Si(X,k · k)es un espacio normado, las aplicaciones suma —(x, y) 7−→ x+y, de X×X en X— y producto por escalares —(λ, x) 7−→λx, de K×X en X— son continuas, lo que da ejemplo de la buena avenencia entre las estructuras topológica y algebraica en un espacio normado. Como consecuencia inmediata se obtiene que el cierre de cualquier subespacio vuelve a ser un subespacio. La aplicación norma —x7−→ kxkde X en[0,+∞[— es también continua, de hecho es Lipschitziana con constante 1, esto es,
kxk − kyk 6kx−yk (x, y∈X).
Cualquier subespacio Y de X hereda la estructura de espacio normado si lo dotamos de la restricción de la norma de X. Es un sencillo ejercicio demostrar que si Y es un espacio de Banach, entonces ha de ser cerrado en X. Por otra parte, si X es un espacio de Banach, es inmediato comprobar que el recíproco también es cierto:
1.1.2 Proposición. Sea Y un subespacio de un espacio de Banach X. Entonces Y es un espacio de Banach si, y sólo si, Y es cerrado en X.
Otro concepto importante es el serie de elementos de un espacio normado:
Si X es un espacio normado y(xn)∞n=1es una sucesión de elementos de X, llamamos serie de término
general(xn), que denotaremos por∑n>1xn, a la sucesión(Sn)dada por
S1=x1, Sn+1=Sn+xn+1 (n∈N).
Decimos que la serie∑n>1xnes convergente si lo es la sucesión(Sn)y llamaremos suma de la serie a ∞
∑
n=1
xn=nl´ım
→∞Sn∈X.
Decimos que la serie∑n>1xn es absolutamente convergente si∑n>1kxnk <∞. El siguiente resultado
1.1.3 Proposición. Un espacio normado X es un espacio de Banach si, y sólo si, toda serie absolutamente convergente de elementos de X converge.
A continuación damos una lista de ejemplos de espacios normados y espacios de Banach que creemos que son asequibles y suficientemente ilustrativos. No pretendemos hacer una lista exhaustiva de todos los espacios normados que usaremos a lo largo del proyecto, pero sí queremos recoger una amplia gama de espacios normados que llevan atribuidos el adjetivo de clásicos (que para nosotros son los que aparecen con frecuencia en la literatura) y que, por supuesto, se pueden describir con facilidad.
Comenzamos trabajando con espacios de dimensión finita. El cuerpo escalar K, con el valor absoluto o módulo como norma es, naturalmente, el ejemplo más sencillo de espacio de Banach. De hecho, en K cualquier norma es un múltiplo del valor absoluto o módulo. Nada más lejos de ello en cuanto subimos una dimensión. Si d>1, la norma en Kdmás natural es sin duda la norma euclídea, que presentaremos
como un caso particular de una amplia gama. Necesitamos algunas desigualdades que nos permitirán definir ciertos espacios de Banach, tanto en dimensión finita como infinita.
La convexidad de la función exponencial permite obtener
1.1.3 Proposición. Un espacio normado X es un espacio de Banach si, y sólo si, toda serie absolutamente convergente de elementos de X converge.
A continuación damos una lista de ejemplos de espacios normados y espacios de Banach que deben ser asequibles y suficientemente ilustrativos para el alumno. No pretendemos hacer una lista exhaustiva de todos los espacios normados que usaremos a lo largo de la memoria, pero sí queremos recoger una amplia gama de espacios normados que llevan atribuidos el adjetivo de clásicos (que para nosotros son los que aparecen con frecuencia en la literatura) y que, por supuesto, se pueden describir con facilidad. Usaremos estos ejemplos como fuente de los primeros ejercicios que propongamos a los alumnos.
Comenzamos trabajando con espacios de dimensión finita. El cuerpo escalar K, con el valor absoluto o módulo como norma es, naturalmente, el ejemplo más sencillo de espacio de Banach. De hecho, en K cualquier norma es un múltiplo del valor absoluto o módulo. Nada más lejos de ello en cuanto subimos una dimensión. Si d > 1, la norma en Kdmás natural para el alumno es sin duda la norma euclídea, que presentaremos como un caso particular de una amplia gama. Necesitamos algunas desigualdades que nos permitirán definir ciertos espacios de Banach, tanto en dimensión finita como infinita.
La convexidad de la función exponencial permite obtener
aa bb
y = xp−1 y = xp−1
Figura 1.1: Desigualdad de Young la desigualdad de Young: ab6 a p p + bq q,
válida para cualesquiera a, b > 0 y cualesquiera p, q > 1 ve-rificando 1
p +1q = 1. La figura 1.1 es una demostración sin palabras de esta desigualdad.
Obtenemos de ella la llamada • Desigualdad de Hölder: d
∑
k=1|ak bk| 6 d∑
k=1|ak| p !1/p d∑
k=1|bk| q !1/qdonde d es cualquier número natural y a1, . . . , ad, b1, . . . , bdescalares arbitrarios.
Demostración. Podemos suponer aj6= 0, bj6= 0 para todo j = 1, 2, . . . , d. Entonces, llamamos
Ak= |ak| ∑d j=1|aj|p 1 p , Bk= |bk| ∑d j=1|bj|q 1 q (k =1, 2, . . . , d),
usamos la desigualdad de Young con Ak, Bk> 0 y sumamos en k. Como consecuencia se tiene la
• Desigualdad de Minkowski: d
∑
k=1 |ak+ bk|p !1/p 6∑
d k=1 |ak|p !1/p + d∑
k=1 |bk|p !1/p válida para d ∈ N, a1, . . . , ad, b1, . . . , bd∈ K, 1 6 p < ∞.Figura 1.1: Desigualdad de Young la desigualdad de Young: ab6 a p p + bq q,
válida para cualesquiera a, b > 0 y cualesquiera p, q > 1 ve-rificando 1p+ 1
q = 1. La figura 1.1es una demostración sin
palabras de esta desigualdad. Obtenemos de ella la llamada
•Desigualdad de Hölder: d
∑
k=1 |akbk|6 d∑
k=1 |ak|p !1/p d∑
k=1 |bk|q !1/qdonde d es cualquier número natural y a1, . . . , ad, b1, . . . , bdescalares arbitrarios.
Demostración. Podemos suponer aj 6=0, bj 6=0 para todo j=1, 2, . . . , d. Entonces, llamamos
Ak= | ak| ∑d j=1|aj|p 1 p , Bk= | bk| ∑d j=1|bj|q 1 q (k=1, 2, . . . , d),
usamos la desigualdad de Young con Ak, Bk> 0 y sumamos en k.
Como consecuencia se tiene la
•Desigualdad de Minkowski: d
∑
k=1 |ak+bk|p !1/p 6∑
d k=1 |ak|p !1/p + d∑
k=1 |bk|p !1/p válida para d∈N, a1, . . . , ad, b1, . . . , bd∈K, 16 p<∞.Demostración. Observamos primero que esta desigualdad es evidente para p=1. Para p>1, tomamos q∈R+tal que 1
p + 1
q =1 y, usando la desigualdad de Hölder y que(p−1)q=p, obtenemos
d
∑
k=1 |ak+bk|p= d∑
k=1 |ak+bk| |ak+bk|p−16 d∑
k=1 |ak| |ak+bk|p−1+ d∑
k=1 |bk| |ak+bk|p−1 6∑
d k=1 |ak|p !1 p d∑
k=1 |ak+bk|(p−1)q !1 q + d∑
k=1 |bk|p !1 p d∑
k=1 |ak+bk|(p−1)q !1 q = ∑
d k=1 |ak|p !1 p + d∑
k=1 |bk|p !1 p ∑
d k=1 |ak+bk|p !1 q .Acabamos la demostración dividiendo por
d
∑
k=1 |ak+bk|p !1 q, que claramente podemos suponer distin-to de cero.
1.1.4 Ejemplo. Los espacios`d
p(16 p 6 ∞).
Las desigualdades anteriores hacen inmediato comprobar que, para 16 p<∞, definiendo
k(α1, . . . , αd)kp= d
∑
k=1 |αk|p !1/p (α1, . . . , αd)∈Kdse obtiene una norma en Kd. Es costumbre denotar`d
pal espacio de Banach(Kd,k · kp). Si consideramos
la norma del máximo, esto es,
k(α1, . . . , αd)k∞=m´ax{ |α1|,|α2|, . . . ,|αd|}
(α1, . . . , αd)∈Kd
,
obtenemos otro espacio normado que denotaremos por`d
∞. La complitud de las normas que acabamos
de definir se sigue de forma inmediata de la complitud del cuerpo base.
1. Espacios normados y espacios de Banach 4
p= 1 1< p < 2 p= 2 p> 2 p= ∞
Figura 1.1: La esfera unidad de(R2,k · k
p)
lo que justifica la notación empleada. Por otra parte, las desigualdades obvias: kxk∞6 kxkp6 dkxk∞ (x∈ Kd, 16 p < ∞)
nos hacen ver que todas las normas introducidas enKdson equivalentes.
1.1.4 Ejemplo. El espacioℓΛ∞.
Dado un conjuntoΛ, podemos considerar el espacio vectorial ℓΛ∞de las aplicaciones deΛ enK acotadas.
La norma natural de este espacio viene dada por
kxk∞= sup{|x(λ)| : λ ∈ Λ} x∈ ℓΛ∞
.
Es fácil comprobar que la convergencia en esta norma equivale a la convergencia uniforme enΛ, lo que nos lleva a probar sin dificultad queℓΛ
∞es un espacio de Banach. Como casos particulares tenemos, para
Λ =N, el espacio ℓ∞de las sucesiones acotadas de escalares y, tomandoΛ ={1,2,... ,d}, los espacios
de dimensión finitaℓd
∞definidos previamente.
1.1.5 Ejemplo. Los espacios C00(L), C0(L) y C(K).
Si L es un espacio topológico localmente compacto de Hausdorff, C00(L) es el subespacio de ℓL∞formado
por las funciones continuas de soporte compacto. En general, C00(L) no es cerrado y su cierre es el
espacio de Banach C0(L) de las funciones continuas que se anulan en el infinito. Decimos que una
función continua x : L−→ K se anula en el infinito si el conjunto {t ∈ L : |x(t)| > ε} es compacto en L para todoε > 0 (supuesta conocida la compactificación por un punto, la notación se hace coherente).
En particular, tomando L=N con la topología discreta, aparecen el espacio c00 de las sucesiones
casi-nulas y el espacio c0 de las sucesiones convergentes a cero. Así nos encontramos con el primer
ejemplo de espacio normado que no es de Banach: c00. Es un buen ejercicio comprobar que c00es denso
en c0y, por tanto, su norma no es completa.
Si K es un espacio topológico compacto de Hausdorff, entonces C00(K) = C0(K) y ambos espacios
coinciden con C(K), el espacio de Banach de las funciones continuas en K. Si K es la compactación por un punto deN, aparece el espacio c de las sucesiones convergentes.
1.1.6 Ejemplo. Los espaciosℓp(16 p < ∞).
Fijado p con 16 p < ∞, el conjunto
ℓ = ( x∈ KN : ∞
∑
|x(n)|p< +∞ )Figura 1.2: La esfera unidad de(R2,k · kp)
Es fácil comprobar que, para α1, . . . , αd∈Kse tiene que
l´ım
p→∞k(α1, . . . , αd)kp=k(α1, . . . , αd)k∞,
lo que justifica la notación empleada. Por otra parte, las desigualdades obvias:
kxk∞6kxkp6 dkxk∞ (x∈Kd, 16 p<∞)
nos hacen ver que todas las normas introducidas en Kdson equivalentes.
Con poco trabajo adicional podemos extender los ejemplos anteriores a dimensión infinita. Comen-zamos con el caso p =∞, definiendo el espacio de las funciones acotadas en un conjunto y algunos de
sus subespacios.
1.1.5 Ejemplo. El espacio`Λ∞.
Dado un conjuntoΛ, podemos considerar el espacio vectorial`Λ∞de las aplicaciones deΛ en K acotadas. La norma natural de este espacio viene dada por
kxk∞=sup{|x(λ)| : λ∈Λ} x ∈ `Λ∞.
Es fácil comprobar que la convergencia en esta norma equivale a la convergencia uniforme enΛ, lo que nos lleva a probar sin dificultad que`Λ∞es un espacio de Banach. Como casos particulares tenemos, para
Λ=N, el espacio`∞de las sucesiones acotadas de escalares y, tomandoΛ={1, 2, . . . , d}, los espacios de dimensión finita`d
∞definidos previamente.
Cuando el conjuntoΛ tiene alguna estructura adicional aparecen subespacios destacados de`Λ∞:
1.1.6 Ejemplo. Los espacios C00(L), C0(L)y C(K).
Si L es un espacio topológico localmente compacto de Hausdorff, C00(L)es el subespacio de`L∞formado
por las funciones continuas de soporte compacto. En general, C00(L) no es cerrado y su cierre es el
espacio de Banach C0(L)de las funciones continuas que se anulan en el infinito. Decimos que una función
continua x : L −→ Kse anula en el infinito si el conjunto{t ∈ L : |x(t)| > ε}es compacto en L para todo ε>0 (supuesta conocida la compactificación por un punto, la notación se hace coherente).
En particular, tomando L = Ncon la topología discreta, aparecen el espacio c00 de las sucesiones
casi-nulas y el espacio c0 de las sucesiones convergentes a cero. Así nos encontramos con el primer
ejemplo de espacio normado que no es de Banach: c00. Es un buen ejercicio comprobar que c00es denso
en c0y, por tanto, su norma no es completa.
Si K es un espacio topológico compacto de Hausdorff, entonces C00(K) = C0(K)y ambos espacios
coinciden con C(K), el espacio de Banach de las funciones continuas en K. Si K es la compactación por un punto de N, aparece el espacio c de las sucesiones convergentes.
La generalización de(Kd,k · kp)con 1 6 p < ∞ nos lleva, en una primera fase, a los espacios de
sucesiones`p.
1.1.7 Ejemplo. Los espacios`p(16 p<∞).
Fijado p con 1 6 p < ∞, es fácil comprobar (úsese la desigualdad de Minkowski, si se quiere) que el conjunto `p= ( x∈KN : ∞
∑
n=1 |x(n)|p< +∞ )es un subespacio vectorial de KN, el espacio de las sucesiones de elementos de K. Haciendo d→∞ en
la desigualdad de Minkowski, obtenemos la desigualdad triangular para la normak · kpdefinida por:
kxkp= ∞
∑
n=1 |x(n)|p !1/p (x ∈ `p).La demostración (rutinaria) de que k · kpes una norma completa nos permitirá dar de alta a`pcomo
espacio de Banach.
La construcción de los espacios`ppuede generalizarse a cualquier espacio de medida. No obstante,
en esta parte de nuestro proyecto sólo trabajaremos con la medida de Lebesgue en Rd. Nuestro modelo de espacio de medida será el intervalo [0, 1] con la medida de Lebesgue. Denotaremos por λ(·) a la medida de Lebesgue y por χA(·)a la función característica de un conjunto A.
1.1.8 Ejemplo. Los espacios Lp[0, 1] (16 p<∞).
Es usual denotar porL0[0, 1]al espacio vectorial de las funciones medibles (en el sentido de Lebesgue)
de[0, 1]en K. Fijemos p∈ [1,+∞[y definamos Lp[0, 1] = ( f ∈ L0[0, 1] : ϕp(f) = Z 1 0 |f(t)| pdt 1 p < +∞ ) .
Es inmediato comprobar queLp[0, 1] es un espacio vectorial y, usando la desigualdad de Minkowski
para integrales (obtenida análogamente a la ya expuesta), que ϕp(·)es una seminorma enLp[0, 1]. Sin
embargo, ϕp(f) =0 siempre que f se anule c.p.d., luego ϕpno es una norma.
Para sortear este escollo, basta hacer cociente por el subespacio
N = {f ∈ L0[0, 1] : f =0 c.p.d.} =f ∈ L0[0, 1] : ϕp(f) =0 ⊂ Lp[0, 1],
esto es, identificar las funciones que sean iguales c.p.d. Así, consideremos Lp[0, 1] =Lp[0, 1]/N y
kf+N kp=ϕp(f) = Z 1 0 |f(t)| pdt 1 p
para obtener el espacio normado(Lp[0, 1],k · kp). Esencialmente, Lp[0, 1]no es otra cosa que el mismo
espacioLp[0, 1]en el que se considera la igualdad c.p.d. en lugar de la igualdad ordinaria de funciones.
Si Ω es un subconjunto medible de Rd, los espacios Lp(Ω) (1 6 p < ∞) se definen de manera
totalmente análoga.
La complitud del espacio Lp[0, 1]no es tan inmediata como en los casos anteriores. La mayoría de
los textos la demuestran usando la Proposición1.1.3: un espacio normado es completo si, y sólo si, toda serie absolutamente convergente es convergente. Incluimos aquí una demostración tomada de [49] que puede ser adaptada literalmente tanto a cualquier espacio de medida como al caso 0 < p < 1 (que aparecerá cuando estudiemos EVT generales en la segunda parte).
1.1.9 Teorema(de Riesz-Fischer). Para 16 p< ∞, el espacio normado Lp[0, 1]es completo. De hecho,
dada una sucesión de Cauchy(fn)en Lp[0, 1], existe una sucesión parcial suya(fσ(n))que converge casi
por doquier y en norma a una función de Lp[0, 1].
Demostración. Dada una sucesión de Cauchy en Lp[0, 1], basta encontrar una sucesión parcial suya que
sea convergente, puesto que, en cualquier espacio métrico, una sucesión de Cauchy que admita una sucesión parcial convergente es ella misma convergente.
Sea pues(fn)una sucesión de Cauchy en Lp[0, 1]y para cada m, n∈Ny cada ε>0, consideramos el
conjunto medible Am,n,ε= t∈ [0, 1] :|fm(t)−fn(t)|p >ε . Como, claramente, χAm,n,ε 6 1 ε|fm− fn| p, se tiene que λ Am,n,ε 6 1 ε Z 1 0 |fm(t)− fn(t)| pdt= 1 εkfn−fmk p p.
Por ser(fn)una sucesión de Cauchy, podemos encontrar una sucesión parcial(fσ(n))tal que
fσ(n+k)− fσ(n) p< 1 4n (n, k∈N), (1.1)
con lo que, llamando An= Aσ(n+1), σ(n), 2−np, se tiene que λ(An)6 1
2pn para cada n∈N. Consideramos
entonces los conjuntos medibles
Bn= [ k>n Ak y B= [ n∈N ([0, 1]\Bn), y observamos que λ[0, 1]\B=λ \ n∈N Bn ! 6 ´ınfn λ(Bn)6 ´ınf n ∞
∑
k=n 1 2pk =0.Ahora, para cada t∈B, existe N ∈Ntal que t∈ [0, 1]\BN =Tn>N([0, 1]\An)y, por tanto,
fσ(n+1)(t)−fσ(n)(t) 6 21n (n> N).
De aquí se sigue rutinariamente que la sucesión fσ(n)(t)
es de Cauchy en K para todo t∈B, por lo que existe f(t)∈Ktal que fσ(n)(t)
n∈N−→ f(t). Si definimos f(t) =0 para todo t∈ [0, 1]\B, obtenemos
una función f ∈ L0[0, 1]que es límite casi por doquier de la sucesión fσ(n)
. Entonces, para n∈Nfijo, también se tiene que |fσ(n+k)−fσ(n)|p
k∈Nconverge c.p.d. a|f−fσ(n)|p, luego el Lema de Fatou y (1.1)
nos dan Z 1 0 |f(t)−fσ(n)(t)| pdt6 l´ım inf k Z 1 0 |fσ(n+k)(t)− fσ(n)(t)| pdt =l´ım inf k fσ(n+k)− fσ(n) p p6 1 4np.
Obtenemos, por una parte, que ϕp f− fσ(n)
< ∞, con lo que f = (f− fσ(n)) +fσ(n) ∈ Lp[0, 1]y, por
otra, que kf −fσ(n)kp6 1 4n, luego fσ(n) n∈N−→ f en Lp[0, 1].
Presentamos ahora otro subespacio destacado deL0[0, 1], el formado por las funciones esencialmente
acotadas.
1.1.10 Ejemplo. El espacio L∞[0, 1].
Dada una función f ∈ L0[0, 1]y una constante M> 0, decimos que M es una cota esencial de f si
esto es,|f|6 M c.p.d. Si f admite alguna cota esencial, diremos que f es esencialmente acotada, y notare-mosL∞[0, 1]al subespacio deL0[0, 1]formado por las funciones esencialmente acotadas. Si definimos
ϕ∞(f) =m´ın{M> 0 : |f|6 M c.p.d.}
=m´ınM> 0 : λ {t∈ [0, 1] : |f(t)| >M}=0 f ∈ L∞[0, 1],
es inmediato comprobar que ϕ∞(·)es una seminorma que no es norma. De nuevo basta identificar las funciones que son iguales c.p.d. para obtener un espacio normado. Concretamente, si otra vez es
N = {f ∈ L0[0, 1] : f =0 c.p.d.} ⊂ L∞[0, 1],
definimos L∞[0, 1] =L∞[0, 1]/N y
kf +N k∞= ϕ∞(f) f ∈L∞[0, 1],
obtenemos el espacio normado(L∞[0, 1],k · k∞). La demostración de la complitud de la normak · k∞
es fácil; basta tener en cuenta que la condición de Cauchy para dicha norma equivale a la condición de Cauchy uniforme salvo un conjunto de medida 0. Como en el caso de Lp[0, 1], esencialmente L∞[0, 1]
es el espacio L∞[0, 1] en el que se considera la igualdad c.p.d. en lugar de la igualdad ordinaria de funciones.
SiΩ es un subconjunto medible de Rd, la definición de L∞(Ω)es completamente análoga a la que hemos hecho para[0, 1].
Como colofón a esta larga lista de ejemplos, queremos comentar que la estructura algebraica de un espacio vectorial no debe satisfacer ninguna propiedad especial para poder definir una norma. Es el momento de recordar el concepto de base algebraica.
1.1.11 Definición. Si X es un espacio vectorial sobre K y B ⊂ X, decimos que B es un conjunto lineal-mente independiente si cualquier subconjunto finito de B es lineallineal-mente independiente; decimos que B es un sistema de generadores si todo elemento de X se expresa como combinación lineal de un sub-conjunto finito de B. Una base algebraica (también llamada base de Hamel) de X es un subsub-conjunto de X linealmente independiente maximal, esto es, que es sistema de generadores. Equivalentemente, una base algebraica de X es B ⊂ X tal que cualquier elemento x ∈ X se expresa de forma única como combinación lineal de un subconjunto finito de B. Es claro que cualesquiera dos bases de Hamel de un mismo espacio vectorial son biyectivas, lo que nos permite definir la dimensión algebraica del espacio vectorial como el cardinal de una base.
Deberemos también recordar que usando inducción transfinita (Lema de Zorn) se puede demostrar que todo espacio vectorial tiene base. De hecho, cualquier subconjunto linealmente independiente de un espacio vectorial se puede ampliar a una base y de cualquier sistema de generadores se puede extraer una base.
1.1.12 Ejemplo. En cualquier espacio vectorial puede definirse una norma. En efecto, sea X un espacio vectorial y{eλ : λ∈Λ}una base algebraica de X. Podemos entonces definir
kxk = n
∑
i=1 |ti| x = n∑
i=1 tieλi ∈X .Es inmediato comprobar quek · kes una norma en X.
Acabamos la sección presentando dos útiles construcciones que darán nuevos ejemplos: el producto de espacios normados y el cociente por un subespacio.
•Producto de espacios normados:
Sean X1, X2, . . . , Xnespacios normados y denotemosk · ka la norma todos ellos. En el espacio vectorial
producto X= n
∏
k=1 Xkdefinimos, para 16 p 6 ∞, k(x1, . . . , xn)kp= kx1k, . . . ,kxnk p (x1, . . . , xn)∈X , esto es, k(x1, . . . , xn)kp= n∑
k=1 kxkkp !1/p si 16 p<∞, k(x1, . . . , xn)k∞=m´axkxkk : 16 k 6 n si p=∞.De esta forma se obtienen normas equivalentes en X, que generan todas ellas la topología producto. La demostración de este hecho no ofrece más dificultad que el caso ya tratado X1= X2= · · · =Xn =K,
pues el único ingrediente no trivial es de nuevo la desigualdad de Minkowski. Es también fácil ver que X, con cualquiera de las normas recién definidas, es completo si, y sólo si, lo son X1, . . . , Xn. Es usual
denotar por[Lni=1Xi]p al espacio normado X dotado de la normak · kpy llamarlo p-suma directa de
los espacios X1, X2, . . . , Xn. Si tenemos dos espacios X e Y, suele emplearse la notación X⊕pY para
(X×Y,k · kp).
Para cada i ∈ {1, 2, . . . , n}definimos la proyección i-ésima como la aplicación lineal Pi : X −→ X
dada por
Pi(x1, . . . , xn) = (0, . . . , 0,
(i)
xi, 0, . . . , 0) (x1, . . . , xn)∈X.
Es claro que Pi◦Pi=Pi, kPi(x1, . . . , xn)k6k(x1, . . . , xn)kpara todo(x1, . . . , xn)∈X y
Pi(X) ={(0, . . . ,
(i)
xi, . . . , 0) : xi ∈Xi}.
Obsérvese que cada uno de los “factores” o “sumandos” Xi es isométricamente isomorfo al
subes-pacio Pi(X). En efecto, la aplicación
x 7−→ (0, . . . ,(i)x, . . . , 0) (x∈Xi)
es un isomorfismo isométrico de Xisobre el subespacio Pi(X).
La segunda construcción es el
•Espacio normado cociente:
Sea X un espacio normado e Y un subespacio cerrado suyo. Denotamos por X/Y al espacio vectorial cociente, esto es, X/Y={x+Y : x∈X}con la suma y producto por escalares usuales. Definiendo
kx+Yk =´ınfkx−yk: y∈Y =dist(x, Y) (x+Y∈X/Y), obtenemos una norma en el espacio cociente X/Y. Usando las observaciones elementales
(a) kx+Yk6kxkpara todo x∈X,
(b) para todo x∈X y todo ε>0, existe x0∈ X tal que x+Y=x0+Y ykx0k < kx+Yk +ε,
es rutinario demostrar que X/Y es un espacio de Banach cuando X lo es.
Comentemos también que si partimos de un espacio vectorial X con una seminorma p y notamos N = {x ∈ X : p(x) = 0}, entonces, para cualquier subespacio cerrado Y de X que contenga a N, podemos dotar a X/Y de estructura de espacio normado. En particular, X/N es un espacio normado. Esto es lo que hicimos para conseguir los espacios Lp[0, 1].
1.2.
Aplicaciones lineales y continuas. Dual de un espacio normado
Pasamos ahora a estudiar el segundo ingrediente básico de un curso de Análisis Funcional, las apli-caciones lineales y continuas que, en esta primera parte de nuestro proyecto, se considerarán entre es-pacios normados. El siguiente resultado, de demostración elemental, caracteriza la continuidad de una aplicación lineal.
1.2.1 Teorema. Sean X e Y dos espacios normados y T : X−→Y una aplicación lineal. Son equivalentes las siguientes afirmaciones:
(i) T es continua en un punto.
(ii) T es continua en 0.
(iii) Existe una constante M> 0 tal quekT(x)k6 Mkxkpara todo x∈X.
(iv) T es Lipschitziana, es decir, existe una constante C > 0 tal quekT(x)−T(y)k6 Ckx−ykpara cualesquiera x, y∈X.
(v) T(BX)es un subconjunto acotado de Y.
(vi) Para cualquier subconjunto acotado A de X, T(A)es un subconjunto acotado de Y.
(vii) T es continua en X.
Este resultado nos permite dotar de estructura de espacio normado al espacio vectorial de las apli-caciones lineales y continuas entre dos espacios normados.
1.2.2 Definición. Sean X e Y dos espacios de Banach. Escribimos L(X, Y)para denotar al espacio de las aplicaciones lineales y continuas de X en Y, también llamado espacio de operadores. Definiendo
kTk =sup{kT(x)k : x∈ BX} T∈L(X, Y),
se obtiene una norma en L(X, Y), que llamaremos norma de operadores. La convergencia en dicha norma equivale a la convergencia uniforme en BX o a la convergencia uniforme en cada subconjunto
acotado de X. Escribiremos L(X)en lugar de L(X, X).
El siguiente resultado, cuya demostración también es rutinaria, nos muestra algunas propiedades de los espacios de operadores.
(a) Para T∈L(X, Y), se tiene
kTk =supkT(x)k : x∈SX =supkT(x)k : x∈ ◦
BX
=m´ınM> 0 : kT(x)k6 Mkxk para todo x∈X . La última igualdad nos dice quekTkes la constante de Lipschitz de T
(b) Si Y es un espacio de Banach, entonces L(X, Y)también lo es.
(c) Si T ∈ L(X, Y)y S ∈ L(Y, Z), entonces S◦T ∈ L(X, Z) y kS◦Tk 6 kSk kTk. En particular, L(X)es un álgebra con el producto dado por la composición, y dicho producto es continuo. Por comodidad, notaremos este producto por yuxtaposición, esto es, ST :=S◦T.
Como consecuencia del Teorema1.2.1, toda aplicación lineal y continua entre espacios normados es Lipschitziana y, por tanto, uniformemente continua. Esto nos da la posibilidad de extender aplicaciones lineales continuas:
1.2.4 Corolario. Sean X un espacio normado, Y un espacio de Banach y M un subespacio denso en X. Para cada T ∈ L(M, Y), existe una única aplicación continua eT : X −→Y que extiende a T. Además, eT es lineal y eT =kTk. En consecuencia, los espacios de Banach L(M, Y)y L(X, Y)son isométricamente isomorfos.
Queremos destacar un tipo especial de operadores que aparecerán repetidamente a lo largo de la memoria, las proyecciones. Si X e Y son espacios normados, un operador P ∈ L(X, Y)es una proyec-ción (lineal y continua)si verifica P2(= PP) = P, y en este caso se tiene que Id−P es también una proyección. Obsérvese que P(X) = ker(Id−P), luego P restringido a P(X)es la identidad; análoga-mente ker(P) = [Id−P](X). Diremos que una proyección P es no trivial si P6=0 y P6= Id. Es claro que si P es una proyección no trivial, entonces kPk > 1,kId−Pk > 1. Como ejemplos podemos citar las
proyecciones i-ésimas que definimos en una p-suma directa de espacios normados.
En otro orden de cosas, dado un espacio normado X, escribiremos X∗ en lugar de L(X, K); X∗ es el espacio dual de X y sus elementos son los funcionales lineales continuos en X. De esta forma, X∗ es un subespacio vectorial del dual algebraico de X, denotado por X], que no es más que el espacio vectorial de las aplicaciones lineales de X en K, también llamadas funcionales. Si f ∈ X], el núcleo de f es el subespacio ker f ={x∈X : f(x) =0}.
Como dos funcionales son linealmente dependientes si, y sólo si, sus núcleos son iguales, un fun-cional lineal está determinado, salvo múltiplos escalares, por su núcleo. Esta observación pone en co-rrespondencia biunívoca a los hiperplanos de X con las clases de funcionales lineales no nulos bajo la relación de equivalencia de ser linealmente dependientes. Por otra parte, dado que el cierre de un subespacio es subespacio, los hiperplanos de un espacio normado sólo pueden ser cerrados o densos. Veremos enseguida que los hiperplanos cerrados corresponden a funcionales continuos y los densos a funcionales no continuos. El siguiente enunciado recoge este hecho junto con toda la información que los resultados anteriores proporcionan sobre el espacio dual.
1.2.5 Proposición. Sea X un espacio normado y f un funcional lineal en X. (a) Las siguientes afirmaciones son equivalentes:
(i) f es continuo.
(iii) f está acotado en BX.
(b) Si para f ∈X∗se define
kfk =sup{|f(x)| : x∈BX} =m´ın{M> 0 : |f(x)|6 Mkxk ∀x∈X},
se obtiene una norma en X∗que lo convierte en espacio de Banach. (c) Si M es un subespacio denso de X, entonces M∗=X∗.
Demostración. (a). Puesto que la equivalencia entre (i)y(iii)ya la daba el Teorema1.2.1y (i) ⇒ (ii)
es evidente, basta probar(ii) ⇒ (iii). En efecto, si f no está acotado en BX se prueba fácilmente que
f(BX) =Ky, mediante traslaciones y homotecias, obtenemos que la imagen por f de cualquier bola no
trivial es la totalidad de K. En particular, toda bola contiene puntos de ker f , esto es, ker f es denso en X y no se cumple(ii).
(b) y (c) son consecuencia, respectivamente, del Teorema1.2.3y de la Proposición1.2.4.
El siguiente enunciado generaliza la expresión de la distancia de un punto a un plano en(R3,k · k2).
1.2.6 Proposición. Sea X un espacio normado y f ∈X∗\ {0}. Si x∈X, entonces dist x, ker f= |f(x)|
kfk .
Demostración. Como ker f es cerrado, dist x, ker f=0 si, y sólo si, x∈ker f . En este caso f(x) =0 y el resultado es cierto. Supongamos pues que x /∈ker f . Entonces, cualquier u∈X se escribe de la forma u=y+λx, donde y∈ker f y λ∈K. Se tiene
kfk =sup u6=0 |f(u)| kuk =λ6=0, y∈ker fsup |λ f(x)| ky−λxk =λ6=0, y∈ker fsup |f(x)| ky/λ−xk = sup y∈ker f |f(x)| ky−xk = |f(x)| ´ınf y∈ker fky−xk = |f(x)| dist x, ker f .
Dado un espacio complejo X, llamamos espacio real subyacente, que denotaremos por XR, al
es-pacio X considerado como eses-pacio normado real, esto es, olvidando la multiplicación por escalares complejos. Por su utilidad posterior, conviene aclarar la relación entre el dual de un espacio normado complejo y el dual del espacio real subyacente. El siguiente resultado nos dice que, como espacios reales, son idénticos.
1.2.7 Proposición. Si X es un espacio normado complejo, la aplicación f 7−→ Re f es una biyección R-lineal isométrica del espacio X∗sobre(XR)∗.
Demostración. Sólo la sobreyectividad de la aplicación merece ser comentada. Dado g∈ (XR)∗,
defini-mos f : X −→Cpor f(x) =g(x)−i g(i x)para todo x∈ X, y es rutinario comprobar que f es C-lineal y que Re f =g. Como g es continuo, f ∈ X∗.
1.3.
Duales de algunos espacios de sucesiones
Es obligado hacer una puntualización sobre el estudio del espacio dual que hemos hecho en la sec-ción anterior. No disponemos todavía del Teorema de Hahn-Banach, por lo que no podemos probar la existencia de funcionales lineales continuos no nulos en un espacio normado abstracto o, equivalente-mente, no podemos probar la existencia de hiperplanos cerrados.
No obstante, para algunos de los espacios concretos que aparecen en los ejemplos de la sección1.1, podemos dar una descripción totalmente satisfactoria del espacio dual. Puesto que no disponemos de resultados de Teoría de la Medida, nos limitaremos a presentar los ejemplos que sean completamente elementales. Presentamos las demostraciones con todo detalle.
Comenzamos calculando los duales de`d
ppara 16 p 6 ∞. Conviene utilizar una notación que nos
permita más tarde intuir con facilidad lo que deba hacerse en los espacios de sucesiones.
1.3.1 Proposición. Para 1 6 p 6 ∞ y d ∈ N, el espacio dual de `d
p es isométricamente isomorfo a
`d
q, donde 1p +1q = 1 para p 6= 1,∞; q = ∞ si p = 1 y q = 1 si p = ∞. De hecho, la aplicación
Φ :`d q −→ `d p ∗ definida por h Φ y(1), . . . , y(d)i x(1), . . . , x(d)= d
∑
i=1 y(i)x(i) x∈ `dp, y∈ `dq , es un isomorfismo isométrico.Demostración. Comencemos observando que dim `d p
∗6 d, ya que dim `d p
]
=d.Φ está bien definida —esto es,Φ(y)∈ (`d
p)∗para todo y∈ `dq— y es una aplicación lineal inyectiva, luego dim `dp
∗ =d y,
por tanto,Φ es biyectiva. Sólo resta probar que es una isometría. En el caso 1<p<∞, la desigualdad de Hölder nos da
[Φ(y)](x) 6kykqkxkp, (1.2)
pero eligiendo x=x0de forma que
x0(k)y(k)> 0, |x0(k)|p=|y(k)|q (k=1, 2, . . . , d),
observamos que la desigualdad de Hölder se convierte en igualdad, esto es,
[Φ(y)](x0)
=kykqkx0kp, (1.3)
y por tanto kΦ(y)k(`d
p)∗ = kykq, lo que completa la demostración. En los casos p = 1 y p = ∞ la desigualdad (1.2) es evidente; si p=1 la elección de x0que hace que se cumpla (1.3) se consigue fijando
k0∈ {1, 2, . . . , d}tal que|y(k0)| = kyk∞y tomando
|x0(k0)| =1, x0(k) =0 (k6=k0).
Por fin, si p=∞ basta tomar x0∈Kdverificando
x0(k)y(k)> 0, |x0(k)| =1 (k=1, 2, . . . , d).
1.3.2 Proposición. Sean X1, X2, . . . , Xn espacios normados, 1 6 p 6 ∞ y X = [Lni=1Xi]p su p-suma
directa. Entonces, la aplicación:Φ :Lni=1X∗iq→X∗definida por Φ (f1, . . . , fn)(x1, . . . , xn) = n
∑
k=1 fk(xk)es un isomorfismo isométrico, donde 1p+1q =1 con los convenios usuales.
La descripción de los duales de los espacios`pcon 1<p<∞ resultará ahora completamente natural
y fácil de obtener:
Haciendo n→∞ en la desigualdad de Hölder, obtenemos que si y∈ `q, x∈ `p, la serie∑n>1y(n)x(n)
es absolutamente convergente y que, definiendo ahora
[Φ(y)](x) = ∞
∑
n=1 y(n)x(n) x∈ `p, se verifica que [Φ(y)](x) 6kykqkxkp x ∈ `p luegoΦ(y)∈ `∗py kΦ(y)k`∗p 6kykq.Además, si tomamos una sucesión x0que verifique
x0(k)y(k)> 0, |x0(k)|p=|y(k)|q (k∈N),
tenemos claramente que x0∈ `py que
[Φ(y)](x0)
=kykqkx0kp.
Resulta por tanto que
kΦ(y)k`∗p =kykq y∈ `q y la aplicación y7−→Φ(y)es una isometría lineal de`qen`∗p.
Resta probar la sobreyectividad. Dado f ∈ `∗p, hemos de encontrar y ∈ `qtal queΦ(y) = f , y una
ojeada a la definición deΦ(y)nos dice que y ha de venir dado por y(n) = f(en) (n∈N),
donde en ∈ `pes la sucesión cuyo n-ésimo término es 1 y los demás son nulos. Veamos entonces que
y∈ `qy queΦ(y) = f . En efecto, para cada k∈Npongamos
|y(k)| = |f(ek)| =λkf(ek) =λky(k)
con λk∈K, |λk| =1.
Entonces, fijado un natural n, tenemos
n
∑
k=1 |y(k)|q =∑
n k=1 |y(k)|q−1λ kf(ek) = f n∑
k=1 |f(ek)|q−1λkek ! 6kfk`∗p n∑
k=1 |y(k)|q !1 p ,de donde, dividiendo por
n
∑
k=0 |y(k)|q !1 q, que podemos suponer no nulo, deducimos
n