Conjunto de Conjunto o Familia de Conjuntos

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CONJUNTO DE CONJUNTO O

CONJUNTO DE CONJUNTO O FA

FAMILIA DE CONJUNTOS

MILIA DE CONJUNTOS

Es una colección de objetos considerada como un objeto en sí. Los objetos de la colección pueden ser 

Es una colección de objetos considerada como un objeto en sí. Los objetos de la colección pueden ser 

cualquier cosa: personas, números, colores, letras figuras, etc. Cada uno de los objetos en la colección es un

cualquier cosa: personas, números, colores, letras figuras, etc. Cada uno de los objetos en la colección es un

elemento o miembro del conjunto.

elemento o miembro del conjunto.

Un conjunto suele definirse mediante una propiedad que todos sus elementos poseen. Por ejemplo,

Un conjunto suele definirse mediante una propiedad que todos sus elementos poseen. Por ejemplo,

para los números naturales, si se considera la propiedad der ser un número primo, el conjunto de los números

para los números naturales, si se considera la propiedad der ser un número primo, el conjunto de los números

primos es:

primos es:

P  !",#,$,%,&&,&#,'(

P  !",#,$,%,&&,&#,'(

Un conjunto queda definido únicamente por sus miembros )

Un conjunto queda definido únicamente por sus miembros ) por nada m*s. En particular, un conjuntopor nada m*s. En particular, un conjunto

puede escribirse como una lista de elementos, pero cambiar el orden de dic+a lista o aadir elementos

puede escribirse como una lista de elementos, pero cambiar el orden de dic+a lista o aadir elementos

repetidos no define un conjunto nue-o.

repetidos no define un conjunto nue-o.

  !Lunes, /artes, /i0rcoles, 1ue-es, 2iernes(  !/artes, 2iernes, 1ue-es, Lunes /i0rcoles(

  !Lunes, /artes, /i0rcoles, 1ue-es, 2iernes(  !/artes, 2iernes, 1ue-es, Lunes /i0rcoles(

 3l  !4ojo, 5aranja,

 3l  !4ojo, 5aranja, 3marillo, 23marillo, 2erde, 3erde, 36ul, 36ul, 3il, 2ioleta( il, 2ioleta(  !3marillo, 5aranja,  !3marillo, 5aranja, 4ojo, 2e4ojo, 2erde, 2ioleta,rde, 2ioleta,

 3il, 3

 3il, 36ul(6ul(

Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. El conjunto de los números naturales es infinito, pero el

Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. El conjunto de los números naturales es infinito, pero el

conjunto de los planetas en el istema olar es infinito, adem*s, con los con juntos pueden combinarse

conjunto de los planetas en el istema olar es infinito, adem*s, con los con juntos pueden combinarse

mediante operaciones, de manera similar a las operaciones

mediante operaciones, de manera similar a las operaciones con números.con números.

Los conjuntos son un concepto primiti-o, en el sentido de que no es posible definirlos en t0rminos de

Los conjuntos son un concepto primiti-o, en el sentido de que no es posible definirlos en t0rminos de

nociones m*s elementales, por lo que su

nociones m*s elementales, por lo que su estudio puede reali6arse de manera informal, apelando a estudio puede reali6arse de manera informal, apelando a la intuiciónla intuición

) a la lógica.

) a la lógica.

Un conjunto es una colección bien definida de objetos, entendiendo que dic+os objetos puede ser 

Un conjunto es una colección bien definida de objetos, entendiendo que dic+os objetos puede ser 

cualquier cosa: números, personas, letras, otros conjuntos, etc.

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 3 es el conjunto de los números naturales menores que $ 7 es el conjunto de los colores -erde, blanco ) rojo C es el conjunto de las letras a, e, i, o, u

Los conjuntos se denotan +abitualmente por letras ma)úsculas. Los objetos que componen el conjunto se llaman elementos o miembros. e dice que pertenecen al conjunto ) se denota mediante el símbolo∈:n & a∈ 3 ) se lee entonces como 8a esta en 39, 8a pertenece a 39, 83 contiene a a9 ) para la opción contraria se usa el símbolo∉

Es +abitual usar lla-es para escribir los elementos de un conjunto, de modo que: 7  !-erde, blanco, rojo(

C  !a, e, i, o, u(

Esta notación mediante lla-es tambi0n se utili6a cuando los conjuntos se especifican de forma intensi-a mediante una propiedad:

 3  !5úmeros naturales menor que $(   !Palos de la baraja francesa(

;tra notación +abitual para denotar por comprensión es:  3  !m< m es un numero natural, ) & = m = $(

  !p< p es un palo de la baraja francesa(  3  !n>< n es un numero entero, ) & = m = &?(

En matem*ticas, una familia de conjuntos o una colección de conjuntos es un conjunto cu)os elementos son a su -e6 conjuntos. El nombre @familiaA o @colecciónA se utili6a para enfati6ar la naturale6a conjuntista de sus elementos ) suele -enir acompaado de una notación distinta.

Aplicaciones

ean B e  conjuntos. Una correspondencia entre B e  es una terna DB, , F donde  ⊆ B G . 3l conjunto B se le llama conjunto inicial, al conjunto  se le llama conjunto final ) a  se le llama grafo o gr*fica de la correspondencia. i el par DH,)F ∈  se dice que @H se corresponde con )A.

 3 una correspondencia como la anterior se le suele asignar letras f, g, +,..., represent*ndose mediante

f: B I ,

o bien, B 

CONJUNTOS DISJUNTOS

Cuando dos conjuntos son completamente diferentes Dno tiene ningún elemento en comúnF reciben el nombre de conjuntos dis)untos.

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e dice que dos conjuntos son disjuntos si no tiene ningún elemento en común. Por ejemplo: !&, ", #( ) !J, $, K( son conjuntos disjuntos.

ormalmente, dos conjuntos 3 ) 7 son disjuntos si su intersección es el conjunto -acío, es decir, si

Esta definición se eHtiende a cualquier colección de conjunto. Los conjuntos de una tal colección son disjuntos por pares o mutuamente disjuntos si cualquier par de conjuntos distintos de ella son disjuntos.

ormalmente sea 3 un conjunto para cada M N. La familia de conjuntos ! Ai  Oi ∈I ( es disjunta por 

pares si para cadai , j ∈I , coni   j ,

 La colección de conjunto ! !&(, !"(, !#(,... ( es disjunta por pares. i la colección ! Ai ( es disjunta por 

pares, su intersección es ob-iamente -acía:

La implicación in-ersa no es, sin embargo, cierta: la intersección de la colección !!&, "(, !", #(, !#, &(( es -acía, pero la colecciónno es disjunta por pares< no +a), de +ec+o, dos conjuntos disjuntos en ella.

Una partición de un conjunto X  es una colección de subconjuntos no -acíos ! Ai  Oi ∈I ( de X , disjuntos

por pares, tales que

CONJUNTOS UNIVERSAL

e denota con la letra U, contiene, comprende o dentro del cual est*n todos los dem*s conjuntos. i consideramos U como el conjunto de todos los elementos químicos, entonces dentro de U eHistir*n subconjuntos de elementos sólidos, líquidos, gaseosos, radioacti-os, metales, etc.

Este conjunto depende del problema que se estudia, se denota con la letra U ) algunas -eces con la letra .

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i solo queremos referirnos a los $ primeros números naturales el conjunto queda: U  ! &, ", #, J, $ (

orma alternati-a para indicar conjuntos de gran importancia:

• Conjunto de números naturales Denteros ma)ores que ceroF representados por la letraN donde 5  ! &, ", #, .... (

• Conjunto de números enteros positi-os ) negati-os representados por la letraZ donde Q  !..., R", R&, ?, &, ", ... (

• Conjunto de números racionales Dnúmeros que se representan como el cociente de dos números enteros !fracciones(F. Estos números se representan por unaQ.

• Conjunto de números irracionales Dnúmeros que no puedan representarse como el cociente de dos números enterosF representados por la letra I.

• Conjunto de los números reales que son los números racionales e irracionales es decir todos, representados porR.

Sodos estos conjuntos tienen un número infinito de elementos, la forma de simboli6arlos por eHtensión o por enumeración es de gran utilidad cuando los conjuntos a los que se +ace referencia tienen pocos elementos para poder trabajar con ellos se emplean la notación llamada compre+ensión.

 3l denotar el conjunto de los números naturales menores que K?. 3quí U es el conjuntoN ) se tiene

una propiedad que caracteri6a a los elementos del conjunto: ser menores que K?. Para indicar esta situación empleamos la simbología del *lgebra de conjuntos:

! HMH T 5 < HK? (

En esta eHpresión se maneja un conjunto dex que pertenece a los números naturales DN) ) adem*s

que los -alores dex son menores que K?.

3+ora si se desea trabajar con conjuntos que manejen inter-alos estos pueden ser representados por  medio de una eHpresión algebraica< supongamos que se desea eHpresar los números enteros DZF entre R"? )

#? el conjunto quedaría de la manera siguiente:

! HMH T Q < R"? V H V #? (

Sambi0n se puede eHpresar el -alor de un conjunto indicando la pertenencia o no pertenencia a uno diferente, por ejemplo

L! &, #, J, K, W ( P! HMH T 5 < B X L (

En el conjunto P se indica que los elementos x de un conjunto pertenecen a los números naturales )

adem*sx no pertenece al conjunto L.

CONJUNTOS OTENCIA

e llama conjunto de potencia o conjunto de partes de  la conjunto formado por todos los subconjuntos posibles de .

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En la teoría de conjuntos basada en los aHiomas la eHistencia del conjunto potencia se establece por  el aHioma de conjunto potencia.

i   !a, b, c( entonces el conjunto potencia de  es PDF  !!(,!a(,!b(,!c(,!a,b(,!a,c(,!b,c(,!a,b,c,((. El conjunto potencia de un conjunto , junto con las operaciones de la unión, de la intersección ) del complemento forman el ejemplo prototípico de algebra de 7oole. e +ec+o, uno puede demostrar que cualquier algebra de 7oole finita es isomorfa al algebra booleana del conjunto de potencia de un conjunto finito. Para las algebras booleanas infinitas esto no es -erdad, pero cada algebra booleana infinita es subalgebra de una algebra booleana de partes.

Cuando  es finito, si n  NN es el número de elementos de  entonces su conjunto potencia contiene NPDFN  "n elementos. En este caso tambi0n se puede establecer una bi)ección entre los elementos del conjunto potencia con números de nRbits: el nR0simo bit se refiere a la presencia o ausencia del nR0simo elemento de . Ya) "n tales números. Este argumento prueba la identidad de coeficientes binomiales.

La cardialidad de un conjunto potencia siempre es ma)or que la cardialidad del conjunto base, el argumento diagonal de Cantor demuestra la afirmación para conjuntos infinitos, mientras que el +ec+o de que en n N "n la prueba para conjuntos finitos. El conjunto potencia de los números naturales, se pude poner en correspondencia uno a uno con el conjunto de números reales. Usualmente se establece primero una bi)eccion entre los números reales ) el inter-alo cerrado Z?,&[, para luego, usando la eHpansión di*dica de los números reales, identificar cada elemento de Z?,&[ con la bisección infinita de ceros ) unos dada por los coeficientes.

Un importante resultado sobre el conjunto potencia es el teorema de Cantor que establece que no eHiste bi)ección entre el conjunto potencia de un cierto conjunto ) el propio conjunto, con respecto a su cardinalidad el conjunto potencia tiene m*s elementos que el propio conjunto. i bien esto es tri-ial para conjuntos finitos, tiene importantes consecuencias para conjuntos infinitos. El teorema de Cantor por tanto permite construir una jerarquía infinita de tipos cardinales transfinitos cada uno estrictamente m*s grande.

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