Propiedades de Los Radicales y Exponentes

PROPIEDADES DE LOS RADICALES

Los radicales tienen una serie de propiedades, que debemos conocer y utilizar con soltura. Todas ellas son consecuencia inmediata de conocidas propiedades de las potencias. Veámoslas una a una, estudiando su significado en algunos ejemplos.

Primera:np p pnp n n a a a a  /  1/  Ejemplos: 3 6 2 6 4 2 4 2 2 4 3 3 9    

Esta propiedad tiene dos importantes aplicaciones:

- simplificar radicales tal y como se ha visto en los ejemplos anteriores;

- conseguir que dos o más radicales tengan el mismo índice (reducir a índice común).

6 6 3 6 6 2 3 10648 22 22 10609 103 103     Segunda: n n n n n n b a b a b a b a (  )1/  1/  1/   Ejemplos: 5 5 5 5 2 2 2 32 32 3 3 x x x y x y x    

Esta propiedad tiene dos aplicaciones importantes:

-sacar un factor de la raíz; 2 3 2 9 18 4 2 4 8 4 8 32 3 3 3 3 3          

-de modo contrario, juntar varios radicales en uno solo. 15 20  300 Tercera: n p n p p n p n p n _a  _a1/ _a(1/ )  _a 1/  _a ) ( ) ( ) ( Ejemplos: ( 5)4 (5)4 25 Cuarta: mn mn m n m n m n a a a a a ( 1/ )1/  (1/ )(1/ )  1/  Ejemplos: 8 6 3 5 5 3 3   Quinta: n n n b a b a  Ejemplos: 2 8 8 3 3 3 5 3 3 5 3 5 3 3 x x x x x   

Esta propiedad, junto con la primera y segunda, sirve para poner productos y cocientes de radicales bajo una sola raíz.

6 6 2 6 3 4 3 6 3 6 2 6 3 6 3 18 3 2 3 2 2 3 3 2 4 3 24 4 3           Ejercicios 1. Resuelve: a. 3a 2a 6 b. 26a: 2a c.





2. Expresa las siguientes raíces con un índice común:

a. 3 a y a _b. a b y 5 9 c. a a a mn y m n, 23 3 2

3. Expresa en forma de una sola raíz los siguientes términos.

a. 3 _{2 b.} 5 4

2

3 c. 6 _{3 2} 3 4 ₄

U n r a d i c a l e s u n a e x p r e s i ó n d e l a f o r m a , e n l a q u e n y a ; c o n t a l q u e c u a n d o a s e a n e g a t i v o , n h a d e s e r i m p a r .

E x p r es i ó n d e u n r a d i ca l en f o r m a d e p o t e n ci a S i m p l i fi ca ci ó n d e r a d i ca l es S i e x i s t e u n n ú m e r o n a t u r a l q u e d i v i d a a l í n d i c e y a l e x p o n e n te ( o l o s e x p o n e n t e s ) d e l r a d i c a n d o , s e o b t i e n e u n r a d i c a l e q u i v a l e n t e . R ed u cci ó n d e r a d i c a l es a í n d i c e c o m ú n 1H a l l a m o s e l m í n i m o c o m ú n m ú l t i p l o d e l o s í n d i c e s , q u e s e rá e l c o m ú n í n d i c e 2D i v i d i m o s e l c o m ú n í n d i c e p o r c a d a u n o d e l o s í n d i c e s y c a d a r e s u l t a d o o b t e n i d o s e m u l t i p l i c a p o r s u s e x p o n e n t e s c o r r e s p o n d i e n t e s . E x t r a c ci ó n d e fa ct o r es fu er a d el s i g n o r a d i ca l S e d e s c o m p o n e e l r a d i c a n d o e n f a c t o r e s . S i : U n e x p o n e n t e e s m e n o r q u e e l í n d i c e , e l f a c t o r c o r r e s p o n d i e n t e s e d e j a e n e l r a d i c a n d o .

U n e x p o n e n t e e s i g u a l a l í n d i c e , e l f a c t o r c o r r e s p o n d i e n t e s a l e f u e r a d e l r a d i c a n d o . U n e x p o n e n t e e s m a y o r q u e e l í n d i c e , s e d i v i d e d i c h o e x p o n e n t e p o r e l í n d i c e . E l c o c i e n t e o b t e n i d o e s e l e x p o n e n t e d e l f a c t o r f u e r a d e l r a d i c a n d o y e l r e s t o e s e l e x p o n e n t e d e l f a c t o r d e n t r o d e l r a d i c a n d o . I n t r o d u cci ó n d e fa ct o r es d en t r o d el s i g n o r a d i ca l S e i n t r o d u c e l o s f a c t o r e s e l e v a d o s a l í n d i c e c o r r e s p o n d i e n te d e l r a d i c a l . S u m a d e r a d i ca l es S o l a m e n t e p u e d e n s u m a r s e ( o r e s t a r s e ) d o s r a d i c a l e s c u a n d o s o n r a d i c a l e s s e m e j a n t e s , e s d e c i r , s i s o n r a d i c a l e s c o n e l m i s m o í n d i c e e i g u a l r a d i c a n d o .

Propiedades de los radic ales P r o d u ct o d e r a d i ca l es R a d i c a l e s d e l m i s m o í n d i c e

P a r a m u l t i p l i c a r r a d i c a l e s c o n e l m i s m o í n d i c e s e m u l t i p l i c a n l o s

R a d i c a l e s d e d i s t i n t o í n d i c e P r i m e r o s e r e d u c e n a í n d i c e c o m ú n y l u e g o s e m u l t i p l i c a n . C o ci en t e d e r a d i ca l es P a r a d i v i d i r r a d i c a l e s c o n e l m i s m o í n d i c e s e d i v i d e n l o s r a d i c an d o s y s e d e j a e l m i s m o í n d i c e . R a d i c a l e s d e d i s t i n t o í n d i c e P r i m e r o s e r e d u c e n a í n d i c e c o m ú n y l u e g o s e d i v i d e n . P o t en ci a d e r a d i ca l es P a r a e l e v a r u n r a d i c a l a u n a p o t e n c i a s e e l e v a a d i c h a p o t e n c i a e l r a d i c a n d o y s e d e j a e l m i s m o í n d i c e . R a í z d e u n r a d i ca l L a r a í z d e u n r a d i c a l e s o t r o r a d i c a l d e i g u a l r a d i c a n d o y c u y o í n d i c e e s e l p r o d u c to d e l o s d o s í n d i c e s .

Racionalizar radicales C o n s i s t e e n q u i t a r l o s r a d i c a l e s d e l d e n o m i n a d o r , l o q u e p e r m i t e f a c i l i t a r e l c á l c u l o d e o p e r a c i o n e s c o m o l a s u m a d e f r a c c i o n e s . P o d e m o s d i s t i n g u i r t r e s c a s o s . 1D e l t i p o S e m u l t i p l i c a e l n u m e r a d o r y e l d e n o m i n a d o r p o r . 2D e l t i p o S e m u l t i p l i c a n u m e r a d o r y d e n o m i n ad o r p o r . 3D e l t i p o , y e n g en e r a l c u a n d o e l d e n o m i n a d o r s e a u n b i n o m i o c o n a l m e n o s u n r a d i c a l . S e m u l t i p l i c a e l n u m e r a d o r y d e n o m i n ad o r p o r e l c o n j u g a d o d e l d e n o m i n a d o r .

Propiedades de los exponentes

Esta página introduce las propiedades de los exponentes una por una en una forma diseñada para ayudarle a recordarlas. Si desea una referencia rápida, todas las propiedades están enlistadas en una tabla al final de esta página.

PROPIEDAD DEL PRODUCTO DE POTENCIAS

Como simplifica 72 × 76?

Si Usted recuerda la forma de como son definidos los exponentes, Usted sabe que esto significa:

(7 × 7) × (7 × 7 × 7 × 7 × 7 × 7)

Si elimina los paréntesis, tenemos el producto de ocho 7s, que puede ser escrito más simplemente como:

78

Esto sugiere un atajo: todo lo que necesitamos hacer es sumar los exponentes! 72 × 76 = 7(2 + 6) = 78

En general, para todos los números reales a, b, y c,

ab × ac = a(b + c)

Para multiplicar dos potencias con la misma base, sume los exponentes.

Si Usted solo recuerda esta y olvida el resto, puede usarla para encontrar la mayoría de las otras propiedades.

EXPONENTES CERO

Muchos estudiantes que inician piensan que es raro que algo elevado a la potencia de cero es 1. ("Debe ser 0!") Puede usar la propiedad del producto de potencias para mostrar porque esto debe ser verdadero.

70 × 71 = 7(0 + 1) = 71

Sabemos que 71 = 7. Así, esto nos dice que 70 × 7 = 7. Que número por 7 es igual a 7? Si decimos que 0, tenemos 0 × 7 = 7. No es verdadero.

En general, para todos los números reales a, a ≠ 0, tenemos:

a0 = 1

EXPONENTES NEGATIVOS

Puede usar la propiedad del producto de potencias para encontrar esta también. Suponga que desea saber cuanto es 5-2.

5-2 × 52 = 5(-2 + 2) = 50

Sabemos que 52 = 25, y sabemos que 50 = 1. Así, esto nos dice que 5-2 × 25 = 1. Que número por 25 es igual a 1? Ese sería su inverso multiplicativo, 1/25.

En general, para todos los números reales a y b, donde a ≠ 0, tenemos:

PROPIEDAD DEL COCIENTE DE POTENCIAS

Cuando multiplica dos potencias con la misma base, Usted suma los exponentes. Así cuando divide dos potencias con la misma base, Usted resta los exponentes. En otras palabras, para todos los números reales a, b, y c, donde a ≠ 0,

Lo que realmente está haciendo es eliminar los factores comunes del numerador y del denominador. Ejemplo:

PROPIEDAD DE POTENCIA DE UN PRODUCTO

Cuando multiplica dos potencias con el mismo exponente, pero bases diferentes, las cosas se hacen un poco de forma distinta.

32 × 42 = (3 × 3) × (4 × 4)

Debido a las propiedades conmutativa y asociativa de la multiplicación, podemos reescribir esto como

32 × 42 = (3 × 4) × (3 × 4) = 122

En general, para todos los números reales a, b, y c (mientras que tanto a y c o tanto b y c no sean cero):

ac × bc = (ab)c

Para encontrar la potencia de un producto, ya sea que encuentre la potencia de cada factor y luego multiplique o multiplique los factores y eleve a la potencia el producto.

PROPIEDAD DE POTENCIA DE UN COCIENTE

Esta es bastante similar a la anterior. Por la eliminación de factores comunes, puede ver que:

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

Simplifique

Para todos los números reales a, b, y c (siempre que b ≠ 0, y a y c ambas no sean 0):

PROPIEDAD DE POTENCIA DE UNA POTENCIA

La propiedad del producto de potencias puede ser desarrollada. Suponga que tiene un número elevado a una potencia, y multiplica la expresión completa por si misma una y otra vez. Esto es lo mismo que elevar la expresión a una potencia:

(53)4 = (53)(53)(53)(53)

Pero la propiedad del producto de potencias nos dice que (53)(53)(53)(53) = 53 + 3 + 3 + 3 = 54(3) = 512

Así es suficiente con solo multiplicar las potencias! En general, para todos los números reales a, b, y c, (ab)c = abc.

EXPONENTES RACIONALES

Hemos cubierto los exponentes positivos, exponentes negativos, y los exponentes cero. Pero que pasa si tiene un exponente que no es un entero? Que pasa, por ejemplo, si 91/2? Podemos volver a caer otra vez en la propiedad del producto de potencias para encontrar: 91/2 × 91/2 = 9(1/2 + 1/2) = 91

Sabemos que 91 = 9, así 91/2 = . Así, el exponente ½ trabaja como una raíz cuadrada. Similarmente, a1/3 es equivalente a .

y en general

y .

Para recapitular:

Propiedad del exponente cero a0 = 1, (a ≠ 0)

Propiedad del exponente negativo

Propiedad del producto de potencias

Propiedad del cociente de potencias Propiedad de la potencia de un producto Propiedad de la potencia de un cociente Propiedad de la potencia de un a potencia (a b )c = abc

Propiedad del exponente racional