Intersección de Dos Prismas

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“Año de la Integración Nacional y el

“Año de la Integración Nacional y el

reconocimiento de nuestra diversidad”

reconocimiento de nuestra diversidad”

Tema:

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“Intersección de Sólidos: Modelado de Maclas”

“Intersección de Sólidos: Modelado de Maclas”

Curso:

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Geometría Descriptiva

Geometría Descriptiva

Fecha de Entrega:

Fecha de Entrega:

27 de noviembre del 2015

27 de noviembre del 2015

Catedrático:

Catedrático:

In! "rinas #$%ia& 'es(s 'os)

In! "rinas #$%ia& 'es(s 'os)

artici!antes:

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&'(ETI)&*

6ntender la deinición de macla . s$s tipos!

 plicar la teoría de intersección de dos prismas en el

desarrollo de las maclas!

+onocer la moroloía de las maclas!

Modelar $na macla en $to+D& con s$s respectivas

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+AC,A*

Una macla es un crecimiento conjunto simétrico de dos (o más) cristales de la misma sustancia. 6stos crecimientos controlados cristalor3icamente se

denominan cristales gemelos! 8os dos o m3s individ$os del areado emelar o macla est3n relacionados por $n elemento de simetría ,$e no e9iste en $n solo cristal no emelar;! 6l n$evo elemento de simetría  elemento de macla; dispone $no de los cristales ,$e est3 en coincidencia con el otro en posición emelar! Generalmente es necesario veriicar c$idadosas medidas morolóicas mediante $n oniómetro de rele9ión;& así como est$dios de diracción de ra.os <

principalmente por m)todos de precisión de ra.os <; para distin$ir $na macla de $n crecimiento aleatorio de cristales!

8as operaciones ,$e p$eden relacionar $n cristal con s$ contrapartida en la macla son las si$ientes: 1; =ele9ión por $n plano espec$lar  plano de macla;! 2; =otación alrededor de $na dirección cristalina com(n a ambas  eje de macla;!  $n,$e 4a. e9cepciones& la rotación an$lar es normalmente 1>0o! ?; Inversión

respecto de $n p$nto  centro de macla;! 8as maclas se deinen por s$ ley de macla& ,$e indica si 4a. $n centro& $n e@e o $n plano de macla . ,$e da la

orientación cristalor3ica de dic4os e@es o planos! An plano de macla se identiica por s$ índice de Miller por e@! 010;; . $n e@e de macla se identiica por $n símbolo de ona por e@! B001C;!

8a s$pericie se(n la c$al los dos cristales individ$ales est3n $nidos se conoce con el nombre de superficie de composición! Si esta s$pericie es $n plano& se le conoce como plano de composición! 6ste plano de composición es com(nmente& pero no siempre& el plano de macla! Sin embaro& si la le. de macla p$ede ser deinida solamente por $n plano de macla& )ste es siempre paralelo a $na cara posible del cristal& pero nunca lo es a un plano de simetría ! 6l e@e de macla es $n e@e ona o $na dirección perpendic$lar a $n posible plano retic$lar pero nunca  puede ser un eje de simetría par binario& c$aternario& senario; si la rotación

considerada es de 1>0 o! 6n al$nos cristales& $na rotación de E0 o alrededor de $n

e@e binario p$ede ser considerada como $na operación de macla!

8os cristales maclados se desinan eneralmente con el nombre de maclas de contacto o maclas de penetración! 8as maclas de contacto tienen $na s$pericie de composición deinida& ,$e separa los dos cristales& . la macla viene deinida por $n plano de macla tal como el

( ´

111

)

 representado en la *i!1! 6ste plano

( ´

111

)

 es $no de las c$atro direcciones posibles . cristalor3icamente

e,$ivalentes del octaedro B111C del sistema isom)trico! For tanto& si $no desea describir todos los posibles planos de macla octa)dricos& se $tilia el símbolo de orma B111C en l$ar de la notación 111; de $n plano especíico! 8as maclas de

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penetración est3n ormadas por distintos cristales interpenetrados ,$e tienen $na s$pericie de $nión irre$lar& . la le. de macla ,$eda $s$almente deinida por $n e@e de macla por e@! B111C ó B001C: ve3se is 1 d!

Maclas repetidas o múltiples se orman por tres o m3s partes macladas se(n la misma le.! Si todas las s$pericies de composición s$cesivas son paralelas& el

FIGURA 1 (a) Octaedro con un posible plano de macla b-b ( 111´

). Esta es

una de las cuatro direcciones octaédricas de la forma [

111´

]. (b)

Macla octaédrica [

111´

] presentada por la espinela. (c) Cristales de

cuarzo derecho e izquierdo maclados a lo laro de (!!

22´

)" le# de las

maclas del $ap%n. (d) &os cubos de 'uorita interpenetrados maclados

sobre [!!!] como ee de macla. (e) &os cristales piritoedro (en la pirita)

formando la cruz de hierro con ee de macla [!]. (f) Ortoclasa

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r$po res$ltante es $na macla polisint)tica i 2 a&b . c;! Si los planos de composición s$cesivos no son paralelos& res$lta $na macla cíclica i 2 d . e;! +$ando $n ran n(mero de cristales en $na macla polisint)tica est3n

estrec4amente ar$pados& las caras cristalinas o las e9oliaciones ,$e cr$an los planos de composición m$estran estrías& debido a las posiciones invertidas de los cristales ad.acentes!

8a ormación de maclas en los r$pos de simetría ineriores prod$ce eneralmente $n areado de simetría s$perior a la ,$e posee cada cristal& p$es los planos de macla o los e@es de macla son elementos de simetría adicional!

6l orien de las maclas ser3 tratado& $na ve se 4a.a introd$cido los conceptos de orden . red! ,$í nos limitaremos a la e9presión morolóica de las maclas!

FIGURA 2 (a) *lbita maclada polisintéticamente se+n [!]. (b) El mismo

maclado posintético que en (a) pero ,isto a tra,és de un microscopio de

polarizaci%n. as lminas claras # oscuras de la albita ,ienen relacionadas por una re'e/i%n sobre [!]. (c) Macla polisintética de la calcita de cobres sobre ( 1 012

´

)" que es una de las tres direcciones del romboedro neati,o. (d) Maclado c0clico en el rutilo con dos planos de macla paralelos a las caras de la forma !! . e Maclado c0clico en el crisoberilo con los dos lanos de

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,E-E* .E +AC,A* C&+/NE*

Sistema Hriclínico

8os eldespatos son los me@ores e@emplos de maclas en el sistema clínico! 6st3n casi siempre maclados se(n la l ey de la albita& con plano de macla B010C& se(n se m$estra en la *is 2!a . b! tro importante tipo de macla en los eldespatos triclínicos es la ,$e se da se(n la ley de la periclina& con el e@e de macla B010C! +$ando& como oc$rre rec$entemente en la microlina& las maclas de albita .

periclina est3n íntimamente mecladas& a trav)s de $n microscopio de polariación p$ede apreciarse $n diarama tí$pico de entramado o “tart3n” *i ?;! dem3s& los eldespatos triclínicos orman maclas de ac$erdo con las mismas le.es ,$e los eldespatos monoclínicos v)ase a contin$ación;!

Sistema Monoclínico

6n el sistema monoclínico las maclas se(n 100J . 001J& son los m3s corrientes! 8a i!- representa $na macla de .eso con el plano de macla 100J (macla de cola de golondrina). 6sta misma i$ra m$estra tambi)n tres le.es de macla ,$e se presentan en el mineral ortoclasa! Dos de ellas son maclas de contacto: $na

macla de Manebach& con el plano de macla 001J& . $na macla de a!eno& con el plano de macla 021J! 8a macla m3s corriente en la ortoclasa es la macla de "arlsbad# $na macla de interpretación& en la c$al el e@e c B001C es el elemento de

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macla! 6n este caso los dos cristales est3n $nidos por $na s$pericia irre$lar apro9imadamente paralela a 010;!

Sistema rtorrómbico

6n el sistema ortorrómbico& el plano de macla es m$. rec$entemente paralelo a $na cara del prisma! 8a macla de contacto del araonito& la macla cíclica del mismo mineral& . la macla cíclica de la cer$sita est3n todas macladas en 110J ve3se i$ra 5 a . b;! 8a apariencia pse$do4e9aonal del araonito maclado cíclicamente es consec$encia de ,$e 110; .  11 0

´

; es apro9imadamente K0o!

6l mineral esta$rolita ,$e es monoclínico con $n 3n$lo L de E0 o& es pse$do

ortorrómbico . morolóicamente aparece como ortorrómbio! Se enc$entra corrientemente en dos tipos de maclas de penetración! 6n $na& con 0?1J como plano de macla 2?1J& res$lta $na cr$ con 3n$lo de K0 o *i! 5 c;

Sistema tetraonal

6l tipo de macla m3s com(n en el sistema tetraonal tiene 011J como plano de macla! 6n la *i! K se m$estran cristales de casiterita . r$tilo& maclados se(n esta le.!

Sistema 4e9aonal

6n el sistema 4e9aonal los carbonatos& especialmente la calcita& sirven como il$stración e9celente de tres le.es de macla! 6l plano macla p$ede ser 0001J& con c como e@e de la macla *i! 7a;& o p$ede ser el romboedro positivo 10 11

´

J! Fero el maclado en el romboedro neativo 00 12

´

J es m3s corriente . p$ede oriinar maclas de contacto o maclas polisint)ticas como res$ltado de la presión *i! 7b;! 8a acilidad de maclado se(n esta le. p$ede er demostrada por el maclado artiicial de $n ramento de e9oliación del espato de Islandia mediante $na presión e@ercida por $na 4o@a de c$c4illo!

6n la i! 7c se representa la ley de rasil  con el plano de macla paralelo a 11

´

2 0 J! ,$í& los dos interantes $no derec4o . otro i,$ierdo& 4an ormado $na macla de penetración! 6n la i! 7d se m$estra $na macla de $elfinado! 6ste tipo de macla es de penetración . tiene al e@e c como e@e de macla! Dic4as maclas est3n comp$estas por dos individ$os derec4os o i,$ierdos! 6n la i 7e se il$stra la ley del %ap&n con el plano de macla 11 22´

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$s$almente en cristales maclados no aparecen en las maclas de "rasil o del Delinado!

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Sistema isom)trico

6n la clase 4olo)drica del sistema isom)trico  4/m3 2´ /m ; el e@e de macla es&

con raras e9cepciones& $n e@e ternario& . el plano de macla es así paralelo a la cara del octaedro! 8as i 1a . b m$estran $n octaedro en el plano bb como posible plano de macla& . $n octaedro maclado se(n esta le.& ormando $na macla de contacto! 6ste tipo de macla es m$. com(n& especialmente en la ema espinela& de a,$í ,$e se denomina macla de la espinela! 8a i 1 d representa dos c$bos ormando $na macla de penetración con el e@e ternario de rotoinversión B111C como e@e de macla!

6n la clase 2

/

m

3

 dos piritoedros p$eden ormar $na macla de penetración *i!1 e; con $na rotación de E0o respecto al e@e de macla B001C! 6sta macla se conoce

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INTE0*ECCI1N .E .&* 0I*+A*

a; M)todo de las “rectas como $n p$nto”

Dada las pro.ecciones en  . * de dos prismas& para 4allar la traa de intersección entre ellos por )ste m)todo& se$imos el si$iente proceso:

- Fro.ectamos en $n plano ad.acente $na n$eva vista de los sólidos dados donde el otro prisma se pro.ectar3 con las aristas como p$nto!

- Identiicado el tipo de intersección& en$meramos se(n el procedimiento descrito en el ac3pite 12"1 . l$eo procederemos a 4allar los p$ntos de intersección de las aristas ,$e se pro.ecten como p$nto con las caras del otro poliedro!

- 8a i! 1& nos m$estra las pro.ecciones de dos prismas& $no de ellos& lo

disponeremos con las aristas como p$nto en el plano 1& donde realiamos $n an3lisis de visibilidad preliminar de los sólidos pro.ectados!

- Se trata de $na intersección por morded$ra& . la n$meramos como a tal para 4allar  los p$ntos de intersección!

-  l$nos p$ntos& tales como: 1&2&5&7&E . 11 podemos identiicarlos por simple inspección& en el plano ad.acente & a las aristas al c$al pertenecen!

- 8os otros p$ntos& observamos s$ cota& apartamiento o ale@amientos en este caso& s$ apartamiento; de $no respecto al otro por e@emplo& para el p$nto - . 10&

observamos ,$e - est3 a la derec4a de 10& lo ,$e $bicamos en el plano ane9o * . corroboramos s$ posición en el plano M! sí contin$aremos con los p$ntos K&>&? . 12 respectivamente!

- Abicado los p$ntos de intersección& realiamos el deinitivo an3lisis de la visibilidad a.$d3ndonos de ,$) aristas son visibles o invisibles de los poliedros!

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b; M)todo de los “planos cortantes”

8$eo de realiar los pasos previos para determinar la intersección completar con trao ino los sólidos . n$merar para determinar la intersección;& realiamos el si$iente proceso: en n$estro e@emplo nos encontramos con $na polional . 10 p$ntos de intersección;:

- 8as pro.ecciones de los p$ntos 1&?&K&7 podemos $bicarlo en el plano * con simple inspección para los dem3s p$ntos realiamos el si$iente artiicio:

- Hraamos planos cortantes en )ste caso planos cortantes verticales; ,$e nos determinan la posición de los p$ntos 5&K&7&> . 2&?&-&E&10 respectivamente!

- 6n el plano cortante I se 4alla contenido <K ,$e corta =N en el p$nto 5 el p$nto 5& se 4alla en la cara +D6; . se 4alla contenido tambi)n <7 ,$e le intersecta con =N en el p$nto >!

- Del plano cortante II cortante vertical;& ded$cimos ,$e ?# corta a HF en 2 ?O intersecta a P/ en - O#& intersecta a P/ en E . HF en 10& como se m$estra en el plano rontal!

- btenido todos los p$ntos& $nimos estos mediante semirrectas& ,$e ser3n las traas de la intersección de los dos poliedros concl$imos realiando previamente el correspondiente an3lisis de visibilidad!

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8a ma,$eta $e elaborada a escala& tratando de representar el cristal 6smeralda& ,$e est3 comp$esta por $na intersección de dos prismas re$lares de base

4e9aonal& intersectados perpendic$larmente!

8os pasos para realiar la ma,$eta $eron los si$ientes:

1! De $na cart$lina ?& dib$@amos K rect3n$los de medida 20 9 5 cm!

2! 6n r$pos de ? rect3n$los& dib$@amos $n 4e93ono en el centro de estos& . así estamos dib$@ando la ona por dónde atraviesa el se$ndo prisma re$lar de base 4e9aonal al primero!

?! 8$eo dib$@amos dos 4e93onos re$lares de 5 cm de radio& ,$e ser3n las bases del prisma!

-! Animos con peamento las partes . así obtenemos el primer prisma!

5! Fara representar el se$ndo prisma& de la misma manera& dib$@amos los K rect3n$los de medida 20 9 5 cm . dib$@amos los 2 4e93onos re$lares de radio 5 cm!

K! Animos las partes . así tendremos el se$ndo prisma ,$e ser3 el ,$e intersecta al otro!

7! travesamos el se$ndo prisma con el primero . así tendremos representada macla de la 6smeralda!

E2/I&* /TI,I3A.&*

1!

(15)
(16)

2!

(17)

0&CE.I+IENT&

6l modelado virt$al de la macla de esta$rolita se llevó a cabo en este caso mediante el prorama $tocad 2015 en s$ versión en espa%ol!

Nos sit$amos en la barra de dib$@o& mediante la opción dib$@ar políono&

desinamos $n políono de lado -cm con $n n(mero de lados en este caso K . lo tomamos como $n políono circ$nscrito con centro en el plano <O!

Heniendo este políono como base del prisma ,$e ,$eremos lorar prisma 4e9aonal;& 4acemos $so de la 4erramienta e9tr$ir& en la barra de 4erramientas ?D esta 4erramienta permite llevar $n ob@eto de dos dimensiones a tres& es decir& crear planos o vol(menes e9tendiendo el ob@eto en $n e@e perpendic$lar al plano en el ,$e se enc$entre! +on esta 4erramienta e9tr$imos el políono 4e9aonal anteriormente creado 4acia el e@e  deiniendo $na alt$ra de 20 cm!

Heniendo .a este prisma 4e9aonal con base en el plano <O . de $na alt$ra en el e@e  de 20 cm& lo copiamos . rotamos este n$evo prisma $n 3n$lo de E0Q en $n plano #O!

*inalmente intersectamos estos prismas en los p$ntos obtenidos de la ma,$eta previamente realiada ,$e sirve de modelo para el sólido a realiar en $tocad!

aciendo $so de la 4erramienta acotamiento determinamos los p$ntos de

intersección apro9imados deiniendo la distancia medida de la ma,$eta: K!K . K!K las distancias desde cada base del prisma de base en el plano <O . K!12 . K!E5 las distancias desde cada base a los p$ntos de intersección del prisma

previamente rotado!

Ana ve determinado el sólido& prose$imos a $nir ambos prismas . obtener la macla propiamente dic4a en s$ modelado en ?D& para lorar 4acer visibles las distancias 4acemos $so de la 4erramienta para poder colocar las cotas de las dierentes distancias como se aprecia en la si$iente imaen:

(18)
(19)

DesRr)p&+!8! 'eometría $escripti!a(*)!8ima  Fer(! ANI+IH! 12va! 6dición! +ornelis ! Manual de Mineralogía (+,). 2da 6dición!S!6dit!

Figure

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