EJERCICIOS RESUELTOS DE GEOMETRÍA
Ejercicio1. Cuantos triángulos hay en la figura
1 PMK 2 MPK 3 PMR 4 PHK 5 HMK 6 HRD 7 PRK 8 HMD 9 MDK 10 HMR 11 MRK
127-8 Ejercicio 2. DATOS: UN SEGMENTO
RS
Y LOS PUNTOS T y U EN LOS LADOS OPUESTOS DERS
TALES QUETR = UR, TS = US y UR = US.
DEMOSTRAR: m t= m
U.
M K H P R D
1. TR = UR
(L) DEL DATO.
2. TS = US
(L) DEL DATO.
3. RS = RS
(L) CARÁCTER REFLEXIVO.
4. ∆ RTS
∆ RUS POSTULADO (LLL) Nº 1, 2 y 3.5. RTS
RUS, POR PARTES CORRESPONDIENTES DE TRIÁNGULOS
CONGRUENTES Nº 4.
6. m T
= m
U, POR PARTES CORRESPONDIENTES DE TIÁNGULOS CONGRUENTES
Nº 5.
67-13 EJERCICIO 3.¿H1 y H2 son dos semiplanos que están contenidos en un plano, Indicar si la reunión de H1 y H2 es todo el plano cuando
A) H1 y H2 tienen la misma arista? Explique
B) La arista de H1 interseca a la arista de H2 exactamente en un punto explíquese T
S
U R
RTA ( A): SI POR QUE LA ARISTA QUE COMPARTEN LAS DIVIDE EN DOS
Ejercicio 4. Se da el Δ ABC, con AB = BC. Sea D un punto en el lado de ↔AB opuesto a C tal que el Δ ABD es equilátero. Sea E un punto en el lado de ↔ BC opuesto a A tal que el Δ BCE es equilátero. Demostrar que AE = CD.
H1
H2
EJERCICIO 5.
En la figura PM = QN, PS = QR y MR = NS. Demostrar que el ángulo PSN es congruente con el ángulo QRM.
1. PS = QR Dato del ejercicio
2.
__ __
PS
RQ
Por el numeral 13. PM = QN Dato del ejercicio
4.
_____ ______
PM
QN
__ __
PM
QN
Por el numeral 35. MR = NS Dato del ejercicio
M
A
A
P S R Q N6. __ __
MR
NS
Por el numeral 5 7. __ __RS
SR
Carácter reflexivo 8. MR + RS = RS+NS De los numerales 5 y 79. MS = NR Suma de distancias en el numeral 8.
10. ΔPSM ΔQRN Criterio LLL numerales 1, 3 y 5.
11.
PSM
QRN Partes correspondientes de triánguloscongruentes.
12.
PSN es el suplemento del
PSM Definición de par lineal.13.
QRM es el suplemento del
QRN Definición de par lineal.14.
PSM
QRN Los suplementos de ángulos congruentes sonEJERCICIO 6
En la figura de la derecha el ∆PRS es isósceles con PR=PS Demostrar que <X ≈ <Y
1.
____ _____
PR
PS
_____ ____
PR
PS
Dato del ejercicio.2.
PRS
PSR Ángulos en la base de un triángulo isósceles.3.
X es el suplemento del
PRS Definición de par lineal.4.
Y es el suplemento del
PSR Definición de par lineal.5.
X
Y Los suplementos de ángulos congruentes soncongruentes. Numerales 2, 3 y 4.
X
Y
P
S
R
67-16 EJERCICIO 7
¿Podrán 3 rectas en un plano separarlo en 3 regiones?
¿En 4 regiones?, ¿En 5 regiones?, ¿En 6 regiones?, ¿En 7 regiones?
Respuesta
En tres regiones no se puede separar
4 regiones
1
2
3
4
1
2
3
4
5
5 regiones 6 regiones 7 regiones
1
2
3
4
5
6
78-8 Ejercicio 8
¿Es cierto el siguiente enunciado? El ∆ABC es la reunión de <CAB y el <CBA ¿Por qué?
A
B
C
Si por que el ∆ está formado por los <CAB, <BCA y <ABC
151-16. Sea L la arista de los semiplanos, H1 y H2. A y B son dos puntos de L, M es un punto en H1, y R es un punto en H2 tal que el MAB RAB y MA = RA.
Demostrar que el MRB es isósceles.
2. MAB RAB (A)………....Dato.
3. BA (L)……….Arista.
4. MAB RAB………Por el criterio LAL en los numerales 1, 2 y 3 .
5. BM = BR………….. Partes correspondientes de triangulos congruentes.
6. MRB……….……....Es isosceles en el numeral 5.
¿Sera necesario que el segmento MR corte a L? No, como se ve en la grafica el MR no corta L.
¿Requiere la respuesta a la parte (a) que H1 y H2 sean coplanarios? No, como muestra la grafica no es necesario que sea coplanario o en si no es necesario que este en el mismo plano.
150 - 10
.
Demostrar que si el ∆ ABC es equilatero, entonces
∆ABC ∆CAB ∆ACB..
DEMOSTRACIÓN
1.
A
B
C ---DATO
2. BC
CA
BA---DATO
3.
∆ABC---TRIANGULO EQUILATERO
4.
A
B
C---DATO
5. CA=AB=BC--- A ANGULOS CONGRUENTES SE
OPONEN LADOS CONGRUENTES
6.
∆CAB---TRIANGULO EQUILATERO EN 4 Y 5
7.
A
C
B---DATO
8. BA=CB=AC---
A
ANGULOS
CONGRUENTES SE OPONEN LADOS CONGRUENTES
9.
∆ACB---TRIANGULO EQUILATERO EN 7 Y 8
10. m
A
m
B
m
C=m
C+m
A+m
B---PROPIEDAD
TRANSITIVA EN 1,4 Y 7
11. AB=BC=AC=CA=AB=CB=AC=CB=AC=CB=AB---PROPIEDAD
TRANSITIVA EN 2, 5 Y 8
12.
∆ABC ∆CAB ∆ACB--- EN LOS NUMERALES 10 Y 1
1: Se dan dos triángulos ABC y PQR cada uno de los cuales tiene dos lados de longitud 7 y un ángulo cuya medida es 40°
¿Son congruentes los triángulos? Explíquese.
R/ C R 40° 40
A B P Q
Si son congruentes porque cumplen el criterio de L A L puesto a que el lado AC es congruente con el lado PR y el lado BC es congruente con el lado QR por lo tanto el ángulo está ubicado en C como nos lo indican los triángulos realizados anteriormente.
OBSERVACIÓN : Si el ángulo que mide 40° es el ángulo A o el ángulo B, como los triángulos son isósceles, el ángulo C medirá 180° menos el duplo de la medida del ángulo A ( o del ángulo B). Análogamente ocurre con el ángulo R. Y luego, se aplica el criterio LAL para comprobar que los triángulos son congruentes.
Página 130 7.
A
B
D
E
C
Demostrar que AE=BC
1. m<BDE= m<ABD Dato
2. m<ADC = m<BDA + m<BDC Suma de ángulos
3. m< BDE = m< BDA + m< ADE suma de ángulos
4. m< BDA + m< ABE = m<BDA + m< BDC Propiedad transitiva en los
Números 1 y 2
5. m< DE =m < BDC Propiedad Colectiva en el # 4
6. <ADE < BDC (A) Definición de Triangular
7. ED = CD (L) Dato
8. <E <C (A) Dato
9.
ADE BDC Por el criterio A.L.A de los # 6, 7 y 8
10. AE = BC partes correspondientes a s s En el # 9
PAGINA 142
EJERCICIO 6:En la figura de la izquierda cual es el lado mas largo?
AB < AD < BD < CD
Ejercicio 18:
En la figura de la derecha, B, D y H están en el plano E, pero A y C no están en el plano E. Si
HD AB HD CD BD AB , , , Y CD BDdemostrar que AD = HC. 53° 59° 58° 59° 61° 60°
A
B
C
Solución:
1.
1 ángulo recto. DatoAB
BD
2.
2 ángulo recto. DatoCD
HD
3.AB
HD (L) Dato AB = HD 4.
1
2 (A) Dato 1) 2) 5.BD
CD
(L) Dato CD = BD 6. ∆ ABD ∆ HDC Criterio LAL 3) 4) 5) 7.AD
=HC
Partes correspondiente de ∆s sPAGINA 130 EJERCICIO #09
1. AB = AK (L) Por dato. 2.BRRK (L) Por dato.
3. AR AR (L) Por carácter reflexivo.
4. ▲ ARB ▲ ARK Por criterio L, L, L en los numerales (1), (2), (3).
5. < BRA < KRA Por partes correspondientes de triángulos congruentes.
6. M< BRA + M< KRA = 180º par lineal.
7. M< BRA = 90º Por los numerales (5), (6).
PAGINA 197 Ejercicio 2:
En el PQR, m
P = 72, m
Q = 37 y m
R = 71. Nombra el lado mayor y elR
Q P
El lado más largo es QR ya que a mayor ángulo se le opone mayor lado y
viceversa 151-14 R S P Q V T 71 11 722 2 37
En el triángulo isósceles ∆PQR, la bisectriz de un ángulo en la base, ángulo Q, interseca al lado opuesto en S. T es un punto en la base PQ tal que ST=PT. SV interseca al ángulo PST. Demostrar que
ángulo TSV es congruente al ángulo RQS
AFIRMACION
DEMOSTRACION1) ST=PT 1) Dato
2) Angulo PQR congruente a ángulo RQP 2)Por el criterio de congruencia
de ángulos
3) Angulo PST = ángulo PSV +ángulo VST 3) Postulado de adición de
ángulos 4) Áng.PST + Áng.PSV+ Áng.VST =180Grad
Áng.PQR + Áng.RQP + Áng.QPR= 180Grad
4) La suma de los ángulos interiores del triangulo es 180Grad.
5) Áng.PST + Ang.PSV + Ang.VST=Ang.PRQ 5) Principio de sustitución (3y4)
6)∆PQR congruente ∆PST 6) Pasos 1,4 y el postulado ALA