SEP por unidad

(1)

Asp

Aspectoectos s b´b´asicasicosos

C´

C´alculo alculo en en por por unidadunidad

Cambio de Impedancia Base

C´

C´alculo en alculo en por por unidad unidad en en redes redes con tcon transformadoransformadoresres

Circuito Equivalente en por

Circuito Equivalente en por unidad del transformadorunidad del transformador 3 3φφ de dos enrollados de dos enrollados

C´

C´alalculculo o en en Por Por UnUnidaidadd Dr. Humberto Verdejo

Dr. Humberto Verdejo

October 7, 2013 October 7, 2013

(2)

(3)

Asp

C´

Circuito Equivalente en por unidad del transformadorunidad del transformador 3 3φφ de dos enrollados de dos enrollados 1

1 AsAsppecectotos s b´b´asasicicosos

Estructura

Estructura de de un un Sistema Sistema El´El´ectrico ectrico de de Potencia Potencia (SEP)(SEP) Representaci´

Representaci´on de un SEPon de un SEP

Diagrama unilineal Diagrama unilineal Red equivalente Red equivalente

2

2 C´C´alcalculo ulo en en ppor or uniunidaddad

3

3 Cambio de Impedancia Base Cambio de Impedancia Base

4

4 C´C´alculo alculo en en por por unidad unidad en en redes redes con con transformadorestransformadores

Circuit

Circuito o equivaleequivalente nte de de por por unidad unidad de de un un transftransformaormador dor monofmonof´´asicoasico de 2 enrollados

de 2 enrollados

Transformador real con la rama de excitaci´

Transformador real con la rama de excitaci´on despreciadaon despreciada

Forma alternativa Forma alternativa

5

5 Circuito Equivalente en por unidad del transformador 3 Circuito Equivalente en por unidad del transformador 3φφ de dos enrolla- de dos

enrolla-dos dos

Obtenci´

Obtenci´on del circuito equivalente en cantidades normaleson del circuito equivalente en cantidades normales

Circuito Equivalente en por unidad Circuito Equivalente en por unidad

Ejemplos de desfase en los transformadores Ejemplos de desfase en los transformadores

Traspaso de corrientes y voltajes al lado primario del transformador Traspaso de corrientes y voltajes al lado primario del transformador ideal

ideal Ejempl

Ejemplo o c´c´alculalculo o en en por por unidaunidadd Otro ejemplo

(4)

Asp

C´

Es un sistema que comprende generaci´

Es un sistema que comprende generación, transmisión, transmisión y distribución y distribución deon de la

la energenerg´´ıa ıa eléléctrica. ectrica. EstÉstá a constituido constituido por por diversos diversos elementos, elementos, siendo siendo loslos principa

principales les compcomponenteonentes: s: generageneradores, dores, transtransformadores, formadores, ll´´ıneas ıneas el´el´ectricectricas as yy consumos.

consumos.

De lo anterior se inﬁere que el objetivo principal es generar, transmitir y De lo anterior se inﬁere que el objetivo principal es generar, transmitir y distr

distribuir ibuir energenerg´´ıa ıa eléléctriectrica ca hasta hasta los los consumconsumidores idores finalefinales, s, cumplcumpliendo iendo concon aspectos

aspectos de calide calidad de dad de la energla energ´´ıa, ıa, seguridad seguridad de sumide suministro y nistro y continuidad continuidad deldel mismo.

mismo. Estos objetEstos objetivos se cumplen con la consecuenivos se cumplen con la consecuencia de otros elementocia de otros elementos,s, tales como: elementos de protecci´

tales como: elementos de protección, aislación, aislación y operación y operación.on.

1

1 Calidad de Calidad de la la EnergEnerg´´ıa: ıa: cumplir cumplir con con una una banda banda de de varivariaciációon n mm´áaxxiimmaa

permitida en el voltaje, esto es la banda de regulaci´

permitida en el voltaje, esto es la banda de regulaci´on de voltaje oon de voltaje o tensi´

tensi´on on ((

_±

∆∆V V ((p p ..u u ), aplicado al voltaje nominal).), aplicado al voltaje nominal).

2

2 Seguridad Seguridad de Sumide Suministro: nistro: sea sea realizado realizado con escon est´t´andares de andares de seguridadseguridad

para las personas (para evitar accidentes) y para los equipos (evitar para las personas (para evitar accidentes) y para los equipos (evitar fallas).

fallas).

3

(5)

Aspectos básicos Cálculo en por unidad Cambio de Impedancia Base Cálculo en por unidad en redes con transformadores Circuito Equivalente en por unidad del transformador 3φ de dos enrollados

Otro aspecto a tener presente dice relación con la imposibilidad de al-macenar energ´ıa eléctrica en grandes cantidades, por lo cual esto debe producirse en la medida que ella es requerida. Para cumplir con este as-pecto el control del SEP se realiza en tiempo real y está a cargo de los centros de despacho económico de carga (CDEC).

Ahora es posible establecer el concepto de sistema interconectado. Cor-responde a un SEP de una regi´on espec´ıﬁca, donde se encuentran conec-tados todos los generadores mediante transformadores y l´ıneas de

trans-misi´on para suministrar potencia y energ´ıa a los diversos consumos que son

abastecidos.

Representación gráfica del SEP con s´ımbolos espec´ıficos que muestra la

(6)

(7)

Los valores de voltaje y potencia son trif´asicos a menos que se indique que

son 1φ y los par´ametros R , X L, X C , se expresan por fase cuando est´an

en Ω ó S , según corresponda. Para la red operando en régimen

per-manente equilibrado, la red equivalente corresponde al circuito equivalente por fase, donde todas las cantidades son monofásicas, cuando se expresa en cantidades nominales o propias. Según el ejemplo anterior, se tendrá:

(8)

(9)

Para estudiar el comportamiento del SEP, se debe tener en cuenta las condiciones de operaci´on en la barra de carga, en este caso la barra (3); as´ı se especiﬁca ˙V ₃(kV ₁φ) para ˙S 1φcarga, con ello de calcula ˙I 3 y aplicando

an´alisis de circuitos se calcula el resto de las variables de inter´es, por

ejemplo, ˙V ₁, ˙I ₁, ˙S G .

Para este modelo se tiene la diﬁcultad de tener que traspasar las canti-dades el´ectricas de un lado al otro de los transformadores. Esto se evita trabajando con la red equivalente en por unidad (p.u.), o en tanto por uno (0/1).

(10)

(11)

Las cantidades en por unidad, se obtienen a partir de deﬁnir para el SEP, las llamadas cantidades bases, las cuales se expresan en cada zona del SEP a cada lado del transformador.

Cantidad en por unidad = Cantidad normal

Cantidad base

La cantidad base debe tener la misma unidad que la cantidad normal y debe ser siempre un n´umero real.

1 Cantidades monof´asicas

V BN : tensi´on base fase-neutro, en [kV ]BN .

(12)

Adicionalmente, se establece que:

S B 1φ = V BN

·

I B

⇒

I B = S B 1φ V BN (1) Z B = V BN I B = V 2 BN S B (2) I B = [kVA]B 1φ [kV ]BN = (MVA)B 1φ

·

10 3 (kV )BN [A] (3) Z B = (kV )BN

·

103 (kVA)B 1φ (kV )BN = (kV ) 2 BN

·

103 (kVA)B 1φ [Ω] (4) 2 Cantidades trif´asicas

(13)

V BL: tensi´on base entre l´ıneas, en [kV ]BL.

S B 3φ: potencia base trif´asica, en [kVA]3φ, [MVA]3φ.

Además, se establece por definición

S _B₃_φ =

√

3V _BLI _B

_⇒

I _B =

_√

S B 3φ

3V _BL (5)

por otro lado,

V BL =

√

3V BN (6) Z B = V BN I B =

_√

V BL 3I B (7)

(14)

I B = (kVA)B 3φ

√

₃₍_kV₎ BL = (MVA)B 3φ

·

10 3

√

₃₍_kV₎ BL [A] (8) Z B = (kV )2_BL (kVA)B 3φ = (kV ) 2 BL (MVA)B 3φ [Ω] (9)

Las cantidades en por unidad, satisfacen la ley de Ohm y la ecuaci´on de potencia compleja.

Se cumple: ˙

(15)

˙ V ˙ V B = Z ˙

·

I ˙ V B (11) = Z ˙ I ˙ V B

·

V B V B

·

S B S B (12) = Z ˙

·

I ˙ V _B2 S B

·

S B V B (13) = Z ˙ Z B

·

˙ I I B (14)

= Z ˙ (pu )

_·

I ˙(pu ) (15)

(16)

˙ Z (pu ) = Z ˙ Z _B = R + jX Z _B = R Z _B + j X Z _B (16) = R (pu ) + jX (pu ) (17)

Z B es un escalar, al igual que todas las cantidades bases.

Z _B es un escalar para no variar el argumento de la impedancia.

Sea ˙

S = ˙V

_·

I ˙∗

(17)

˙ S S B = V I ˙ ∗ S B (19) = V ˙

·

I ∗ V B

·

I B (20) = V ˙ (pu )

_·

I ∗ (pu ) (21) Adem´as: ˙ S = P + jQ / : S B (22) ˙ S S B = P S B + j Q S B (23)

(18)

˙

S (pu ) = P (pu ) + jQ (pu ) (24)

Sea Z referida a su potencia nominal, es decir, se considera que est´a en

base propia. ˙ Z a(pu ) = ˙ Z Z Bantigua (25) ˙ Z n(pu ) = ˙ Z Z _Bnueva (26) ˙ Z = ˙Z a(pu )

·

Z Ba = ˙Z n

·

Z Bn (27)

(19)

Asp

C´

˙˙

Z

Z nn((pu pu ) ) == ˙˙Z Z aa((pu pu ))

··

Z Z BaBa Z Z BnBn (28) (28) ade

adem´m´as as se se sabsabe e queque:: Z Z B B ==

V V _B_B22 S S B B ˙˙ Z

Z nn((pu pu ) ) == Z Z ˙˙aa((pu pu ))

··

V V _Ba_Ba22 S S BaBa V V _Bn_Bn22 S S BnBn (29) (29) = = Z Z ˙˙aa((pu pu ))

··



V V BaBa V V BnBn



22

··



_SS S _SBnBn_Ba_Ba



(30)(30) Consideremos un transformador ideal.

(20)

Asp

C´

a aT T : : 11 ˙˙ V V p p V V ˙˙s s S S BP BP ;;V V BP BP S S BS BS ;;V V BS BS ˙˙ I

I p p I I ˙˙s s

Figure: Figure: Se cumple que: Se cumple que: n n_p_p n n_s_s == aaT T ;; ˙˙ V V _p_p ˙˙ V V s s = = aaT T

⇒

V V ˙˙p p == aaT T

· ·

V V ˙˙s s (31)(31) ˙˙ V V p p

··

I I ˙˙_p_p∗∗ == ˙˙V V s s

· ·

I I ˙˙_s_s∗∗

⇒

˙˙ I I ∗∗ p p ˙˙ I I ∗∗ s s = = V V ˙˙s s ˙˙ V V p p = = 11 a a_T_T (32)(32)

(21)

Asp

C´

Pa

Para ra el el transformador monof´transformador monof´asico, asico, como como no no existe existe desfase desfase producto producto de de lala conexi´

conexi´on, se tiene que:on, se tiene que: 11 a aT T = =

||

I I ˙˙ ∗ ∗ p p

||

I I ˙˙∗∗ s s

||

= =

||

V V ˙˙s s

||

V V ˙˙p p

||

(33) (33) Si se divide por las cantidas bases, considerando que deben cumplir con la Si se divide por las cantidas bases, considerando que deben cumplir con la raz´

razón de transformación de transformación:on:

V

V BP BP == aaT T V V BS BS (34)(34)

sse e tetennddr´r´aa:: ˙˙ V V _p_p V V BP BP = = a a_T_T

_· ·

V V ˙˙s s V V BP BP =

= ˙˙V V _p_p((p p ..u u ) ) == ˙˙V V _s_s((p p ..u u )) ((3355)) El

El circircucuitito o eqequivuivalealentnte e en en popor r ununididad ad de de un un trtranansfosformarmadodor r ididealeal, , es es dede acuerdo a la ﬁgura:

(22)

˙

V p (p .u ) V ˙s (p .u )

˙

I p (p .u ) I ˙s (p .u )

Figure:

Recordar que:

V _BP = a_T

_·

V _BS, S _BP = S _BS = S _Base (36) Del mismo modo se puede demostrar que:

˙

(23)

Transformador real con la rama de excitaci´on despreciada:

˙ V p (V ) E ˙p (V ) E ˙s (V ) V ˙s (V ) ˙ I p (A) R p + jX p (Ω) jX s + R s (Ω) I ˙s (A) Figure: I BP = S B V _BP, I BS = S B V _BS (38) Z BP = V _BP2 S B , Z BS = V _BS2 S B (39) Todas las cantidades son monof´asicas

(24)

V BP V BS = aT , I BS I BP = aT (40) ˙ V p = (R P + jX P )

·

I ˙P + ˙E P ˙ E P = aT

·

E ˙S ˙ E _S = (R _S+ jX _S)

_·

I ˙_S + ˙V _S ˙ I S = aT

·

I ˙P (41) Reemplazando ecuaciones: ˙

V P = (R P + jX P )

·

I ˙P + aT

·

[(R S + jX S )

·

I ˙S + ˙V S ]

˙ V P (p .u ) = (R P + jX P )

·

I ˙P V BP = Z BP

·

I BP + aT

·

[(R S + jX S )

·

I ˙S + ˙V S ] V BP = aT

·

V BS = aT

·

I BS

·

Z BS (42)

(25)

Esta ecuaci´on se puede escribir de la forma:

˙ V P (p .u ) = (R P + jX P ) Z BP

·

˙ I P I BP (43) + aT

·

(R S + jX S ) aT

·

Z BS

·

˙ I S I BS + aT

·

V ˙S aT

·

V BS

= (R P + jX P )(p .u )

·

I ˙P (p .u ) (44)

+ (R S + jX S )(p .u )

·

I ˙S (p .u ) + ˙V S (p .u )

pero, I ˙P (p .u ) = I ˙S (p .u )

= Z ˙P (p .u )

·

I ˙P (p .u ) + ˙Z S (p .u )

·

I ˙P (p .u ) + ˙V S (p .u )

(26)

˙

V p (p .u ) V ˙s (p .u )

˙

I p (p .u ) R p + jX p R s + jX s I ˙s (p .u )

Forma Alternativa: Si el circuito equivalente est´a referido al primario:

˙

V p (V ) V ˙s (V )· a_T = ˙E _p V ˙_s(V )

˙

I p (A) Z ˙p (Ω) Z ˙s (Ω)· a2_T I ˙_s(A)

(27)

˙ V P (V ) = ( ˙Z P (Ω) + a2_T

·

Z ˙S (Ω))

·

I ˙P (A) + aT

·

V ˙S (V ), multiplicando por, 1 V _BP ˙ V P (p .u ) = ˙ Z P (Ω)

·

I ˙P (A) V _BP = Z _BP

_·

I _BP + a 2 T

·

Z ˙S (Ω)

·

I ˙P (A) V BP = Z BP

·

I BP = a2_T

·

Z BS

·

I BP + aT

·

V ˙S (V ) V BP = aT

·

V BS

= Z ˙P (p .u )

·

I ˙P (p .u ) + ˙Z S (p .u )

·

I ˙P (p .u ) + ˙V S (p .u )

(28)

˙

V p (p .u ) V ˙s (p .u )

˙

I p (p .u ) I ˙s (p .u )

˙

Z p (p .u ) Z ˙s (p .u )

˙

V p (p .u ) V ˙s (p .u )

˙

I p (p .u ) I ˙s (p .u )

˙

Z T (p .u )

(29)

Dado que: ˙

Z CC _T P(Ω) = ˙Z eq P (Ω) + ˙Z eq S (Ω)

·

a

2

T (47)

Ecuaci´on (47) se obtiene a partir de la prueba de cortocircuito realizado por el lado primario

˙

Z CC _T S(Ω) = ˙Z eq S (Ω) + ˙Z eq P (Ω)

·

1

a2_T (48)

Ecuaci´on (48) se obtiene a partir de la prueba de cortocircuito realizado por el lado secundario. Se demuestra que:

˙

Z eq _T P(Ω) = a2_T

·

Z ˙eq _T S(Ω) (49)

(30)

˙ Z T P (p .u ) = ˙ Z T P (Ω) Z BP = a 2 T

·

Z ˙eq T S (Ω) a2_T

_·

Z BS (50) ˙ Z T P (p .u ) = ˙Z T S (p .u ) (51)

(31)

˙ V p (V ) V s ˙ (V ) ˙ I p (A) I s ˙ (A) aT : 1 ˙ V p (V ) _V s˙ (V ) ˙ I p (A) _I s˙ (A) aT : 1 ˙ V p (p .u ) _V s˙ (p .u ) ˙ I p (A) _˙ I s (A) Figure:

(32)

En un SEP radial, para cada lado de cada transformador, se define una zona en la cual se especifica las cantidades bases y éstas deben cumplir con la razón de transformación que define las zonas:

˙

V G V _P T

1/V S T 1 Z L(Ω) V P T 2/V S T 2 S D

T 1 T 2

(33)

Se cumple que: V _BG V _BL = V _P_T 1 V _S_T 1 = aT ₁ V BL V BD = V P T 2 V S T ₂ = aT 2 (52)

En un SEP enmallado a cada lado de un transformador se define una zona, en la cual los voltajes bases cumplan con la razón de transformación del respectivo transformador. Adicionalmente en un SEP, de esta naturaleza, se debe cumplir que el producto de las razones de transformación en cada lazo o malla debe ser de valor 1.

(34)

aT ₁ : 1 aT ₂ : 1 1 : aT ₃ (1) (2) (3) (4) (5) Lazo Figure:

(35)

En el lazo o malla, debe cumplirse que:

a_T₁

_·

a_T₂

_·

1 aT 3 = 1 (53) Si: aT 1 = V ₁ V ₂, aT 2 = V ₃ V ₄, aT 3 = V ₁ V ₆

Voltajes por zona:

a_T₁ = V B 1 V B 2 , a_T₂ = V B 2 V B 3 , a_T₃ = V B 1 V B 3 Luego: aT ₁

·

aT ₂

·

1 a_T₃ = V B 1 V _B₂

·

V B 2 V _B₃

·

1 V B 1 V _B₃ = 1 (54)

(36)

Si no se cumple esta condici´on, el c´alculo en por unidad no se puede aplicar correctamente.

Circuito Equivalente en por unidad del transformador 3φ de dos enrollados

(˙I p )a,b ,c (˙I s )a,b ,c

( ˙V p )a,b ,c ( ˙V s )a,b ,c

(37)

Tipo de conexiones: Y /∆, Y /Y , ∆/∆, Y /Z , ∆/Z , Z /Z . Se deﬁnen las

conexiones como tipo par e impar.

Y /Y , ∆/∆, ∆/Z , Z /Z Y /∆, Y /Z

La deﬁnici´on de par o impar, se basa en el desfase entre los voltajes

pri-marios y secundarios, el que corresponde a un m´ultiplo de 30o.

M´ultiplo par de 30o (0, 2, 4, 6, 8, 10, 12=0)

M´ultiplo impar de 30o (1, 3, 5, 7, 9, 11)

No todas las conexiones indicadas por el m´ultiplo de 30o son factibles

t´ecnicamente. Las que se utilizan usualmente son:

Par= 0 y 6

_⇒

0o y 180o

(38)

En situaciones espec´ıﬁcas se dan las conexiones 5 y 7

_⇒

150o y 210o

=-150o, b´asicamente para transformadores especiales en sistemas electr´onicos

de potencia. Para expresar la conexi´on de un transformador 3φ se utiliza

la siguiente normativa:

1 Identificar el lado de mayor tensión con letra mayúscula Y , ∆,Z

2 Identificar el lado de menor tensión con letra minúscula y ,d ,z

3 El ´angulo de desfase del voltaje del lado de menor tensi´on, respecto

del lado de mayor tensi´on, se indica con un n´umero (1, 2, 3, 4, 5, 6,

7, 8, 9, 10, 11, 12=0) que indica el m´ultiplo de 30o, junto a la letra

de menor tensi´on.

Obtenci´on del circuito equivalente en cantidades normales Se aplican

las pruebas:

1 Cortocircuito: para determinar la impedancia de cortocircuito del

transformador que se expresa en Ω de lado en el cual se aplica la prueba.

(39)

2 En Vac´ıo: para determinar la raz´on de transformaci´on y la rama de

excitaci´on, cuyo valor en siemens se expresa del lado donde se aplic´o la prueba.

Para estudios del SEP, normalmente se desprecia la rama de excitaci´on o rama shunt, por lo que b´asicamente se utiliza la prueba de cortocitcuito

para obtener ˙Z eq T (Ω) = ˙Z CC (Ω) y dicho circuito queda referido al lado

por el cual se aplic´o la prueba. Adem´as, como se trata de un dispositivo

de caracter´ıstica sim´etrica equilibrado trif´asico, dicho circuito equivalente contiene la impedancia por fase en un modelo equivalente.

(40)

˙ V _Acc ˙ V _B cc ˙ V _C cc ˙ I _Acc ˙ I _B cc ˙ I _C cc (A) (B ) (C ) (a) (b ) (c ) Lado (H) Lado (X) Figure:

(41)

˙ Z CC H (Ω) = ˙ V CC H (V ) ˙ I _CC_H(A) = ˙Z eq H (Ω) (55)

Si la conexi´on del lado (H) es Y i ∆, al aplicar la prueba de cortocircuito,

se obtiene ˙Z _eq_H(Ω) por fase, independiente de la conexi´on del lado (X).

Si la prueba de cortocircuito se realiza por el lado (X), ˙Z eq transf (Ω)

corre-sponde a ˙Z eq X (Ω), por lo tanto:

˙ Z eq H (Ω) =

|

a 2 T

| ·

Z ˙eq X (Ω), a˙T = ˙ V H ˙ V X (56)

donde ˙aT se obtiene de la prueba en vac´ıo y resulta ser compleja. De lo

anterior, el circuito equivalente que se obtiene se expresa “por fase”, dado que se trata de un dispositivo 3φ equilibrado.

(42)

(A) (B ) (C ) (N ) ˙ V HN ˙ V _H AB V ˙XN V ˙_X ab ˙ V _HA,B ,C V ˙_Xa,b ,c ˙ aT : 1 ˙ aT : 1 ˙ aT : 1

Figure: Modelo equivaente 3φ conexi´on Y-Y

(43)

˙

V HN = ˙V AN (V ) E ˙HN V ˙Xn = ˙V an(V )

˙

I H = ˙I A(A) Z ˙_eq H(Ω) a˙T : 1 I ˙X = ˙I a(A)

Figure: Modelo equivalente 3φ conexi´on Y-Y

Circuito Equivalente en por unidad: A partir del circuito equivalente, por fase, aplicando las bases de voltaje, corriente, impedancia, en forma

an´aloga a lo desarrollado para el transformador 1φ se obtiene la

repre-sentaci´on en por unidad. As´ı entonces,

(44)

y por supuesto, en este caso:

S _BA = S _BX = S _B = S _nom(VA) (58) con lo cual: Z BH (Ω) = [V BH (V )]2 S BH (VA) (59)

Siendo los valores sub H , los correspondientes valores 3φ, (V L,I L,S 3φ).

Con esto, se tendra: ˙

V HN (V ) = ˙Z eq H (Ω)

·

I ˙H + ˙E HN (60)

(45)

˙ V HN (V ) = Z ˙eq H (Ω)

·

I ˙H (A) + ˙aT

·

V ˙Xn,

·

1 V BH ˙ V HN (p .u ) = ˙ Z eq H (Ω)

·

I ˙H (A) Z BH (Ω)

·

I BH (A) +

_·

a˙T

·

V ˙Xn V BH =

|

a˙T

| ·

V BX ˙

V HN (p .u ) = Z ˙eq H (p .u )

·

I ˙H (p .u ) + e

j θ

·

V ˙Xn(p .u ) (61)

˙

V HN = ˙V AN (p .u ) E ˙HN (p .u ) V ˙Xn = ˙V an(p .u )

˙

I H = ˙I A(p .u ) Z ˙_eq T (p .u ) a˙T : 1 I ˙X = ˙I a(p .u )

(46)

donde e j θ = a˙T

|

a˙T

|

= aT ∠θ

|

a˙T

|

= aT ∠θ aT

= e j θ. Recordar que

˙

Z eq T (p .u ) = ˙Z eq H (p .u ) = ˙Z eq X (p .u )

Ejemplos:

De acuerdo a lo visto anteriormente, el circuito en por unidad por fase, est´a dado de acuerdo a la siguiente ﬁgura:

˙ Z T (p .u ) ˙ V ₁ (p .u ) V ˙1(p .u ) + − ˙ V 2(p .u ) + − ˙

I 1(p .u ) I ˙2(p .u )

e j θ : 1

Lado Primario Lado Secundario

(47)

Es posible distinguir diferentes casos:

1 Caso Y _d

1

Lado Primario: Alta Tensi´on (Y) - Lado Secundario: Baja Tensi´on (∆)

˙

V 1(p .u ) = e j 30V ˙2(p .u )

2 Caso ∆_y₁₁

Lado Primario: Alta Tensi´on (∆) - Lado Secundario: Baja Tensi´on (Y)

˙

V 1(p .u ) = e − j 30V ˙2(p .u )

3 Caso ∆_y

1

Lado Primario: Alta Tensi´on (∆) - Lado Secundario: Baja Tensi´on (y)

˙

V 1(p .u ) = e j 30V ˙2(p .u )

(48)

˙ Z T (p .u ) ˙ V ₁ (p .u ) V ˙1(p .u ) + − ˙ V 2(p .u ) + − ˙

I ₁(p .u ) I ˙₂(p .u )

e j θ : 1

Lado Primario Lado Secundario

Figure: Modelo equivalente por fase

Considerando las variables en el transformador ideal ˙V ₁(p .u ), ˙I ₁(p .u ), ˙V ₂(p .u ) e ˙I ₂(p .u ), se cumple que:

˙

V ₁(p .u )

_·

I ˙∗

1 (p .u ) = ˙V 2(p .u )

·

I ˙

∗

(49)

˙

V ₁(p .u ) ˙

V ₂(p .u ) = e

j θ

⇒

V ˙₁(p .u ) = e j θ

_·

V ˙₂(p .u ) ˙ I ∗ 2 (p .u ) ˙ I ∗ 1 (p .u )

= e j θ

_⇒

I ˙2(p .u )

˙

I ₁(p .u ) = e

− j θ

⇒

I ˙₁(p .u ) = e j θ

_·

I ˙₂(p .u )

Corrientes y voltajes en el lado primario son los valores del secundario

(50)

Ejemplo de c´alculo en por unidad:

(51)

(52)

T ₂: Banco 3φ, conexi´on Y d 1 de 3 unidades 1φ, cada una.

63.5/15kV , 20MVA, X cc lado de baja = 0.529(Ω), medidos en lado de 15 k

Condiciones de operaci´on: El generador aporta a la barra (3) una

potencia S G ₂ = 45 + j 22.5 MVA3φ, siendo

|

V ˙3

|

= 106.7 (kV) entre

l´ıneas. Determinar:

1 El circuito equivalente en por unidad para S _B = 100MVA y

V BL = 110 kV en zona de la l´ınea.

2 Con el circuito equivalente obtenido, determinar el aporte de la

potencia compleja del generador G ₁ a la barra (1) y el voltaje V bn en

la barra (4).

Soluci´on

(53)

Figure: Modelo equivalente por fase C´alculo de las cantidades bases por zona

(54)

Zona (3): V _B₍₃₎ = 110kV Z _B₍₃₎ = (kV B 3) 2 MVA_B = 1102 100 = 121(Ω) I _B₍₃₎ =

_√

S B (3)(kVA) 3

_·

V _BL₍₃₎(kV ) = 100(MVA)

_·

103



kVA MVA



√

₃

·

110kV = 524.9(A) Zona (1): V B ₍₁₎ V _B₍₃₎ =

|

a˙T 1

|

,

|

aT ˙1

|

= 13.8kV 110kV V B ₍₁₎ = V B ₍₃₎

·

13.8 110 = 110

·

13.8 110 = 13.8kV Z _B₍₁₎ = (kVA) 2 MVAB = 13.8 2 100 = 1.9044(Ω) I _B₍₁₎ =

_√

S B (kVA) 3

_·

V _B₍₁₎ = 100

_·

103

√

₃

·

13.8 = 4183, 7(A)

(55)

Zona (2): V B ₍₃₎ V _B₍₂₎ = 63.5

_·

√

3 15 = 7.3323

⇒

= V B (2) = V B ₍₃₎ 7.3323 = 15.002

≈

15kV I _B₍₂₎ = 100(MVA)

_·

103



kVA MVA



√

₃

·

15(kV ) = 100

_·

103(kVA)

√

₃

·

15(kV )

Par´ametros en por unidad

G ₁: X s ₁ = 0.9(p .u ) base propia, V BP = 13.2kV y S BP = 120MVA

X s ₁_Bn = X s ₁_Ba

· 

V _Ba V _Bn



2

· 

S _SBn Ba



= 0.9

_·



13.2 13.8



2

· 

100₁₂₀



= 0.6862(p .u )

(56)

T 1: X _T₁_Bn = X _T₁_Ba

_·



V Ba V _Bn



2

· 

S _SBn Ba



= 0.06

_·



110 110



2

· 

100₁₂₅



= 0.048(p .u )

Banco 3φ de unidades 1φ

63.5/15kV , 20MVA, X T = 0.529(Ω), lado de 15 kV

Existen al menos dos maneras de calcular la reactancia X T ₂ en por

(57)

1 Calculando la reactancia en por unidad para cada transformador 1φ, usando bases monof´asicas equivalentes a las bases 3φ del sistema, esto signiﬁca:

S _B₁_φ = S B 3φ 3

V _B₁_φ = V

_√

B 3φ

3 , considerando conexi´on Y, donde V L =

√

₃

·

V _f V _B₁_φ = V _B₃_φ, considerando conexi´on ∆, donde V _f = V _L

De acuerdo a esto, Z ₃φ(p .u ) = Z 1φ(p .u )

Si se calcula X (p .u ) de una unidad 1φ, usando cantidades bases monof´asicas, equivalentes a las 3φ, se obtiene X (p .u ) del banco 3φ igual a la X (p .u ) de cada unidad 1φ

X = 0.529(Ω), lado de 15 kV

_⇒

V ₁_φ = 15kV Z _B₁_φ = (V B 1φ) 2 S _B₁_φ = (V B ₃_φ_∆)2 1 3

·

S B 3φ = (15kV ) 2 1 3

·

100MVA = 6.75(Ω) Luego,

(58)

X _T₁(p .u ) = X T 1(Ω)1φ

Z B ₁_φ

= 0.529

6.75 = 0.07837 Una forma alternativa,

X _T₁_φ(Ω)lado l´ınea = a2T

·

X T ₁_φ(Ω)lado generador

=







110

√

₃ 15







2

·

0.529 = 9.48281(Ω) Z B ₁_φ = (110/

√

3)2 100/3 = 121(Ω) X T ₁_φ(p .u ) = 9.4828 121 = 0.07837

(59)

˙ I ₂ ˙ I ₃  I G 2 + ˙ V ₃ -+ ˙ V ₁

(60)

Como se conoce el m´odulo en barra (3), ﬁjamos la referencia en esta barra, es decir:

˙

V ₃ = V _3∠0o(p .u ) La corriente por la carga se obtiene:

˙

I ₃ =



S 3

V ₃



∗

Como se conoce S G ₂₍₃₎, se obtiene de:

˙

I ₂ =



S G 2(3)

V ₃



∗

Para obtener la potencia entregada por el generador (2), hacemos uso de las relaciones voltaje y corriente para el transformador ideal:

˙

(61)

˙ V ₃ = e j θ2

·

V ˙₂, I ˙₂ = e j θ2

·

I ˙G 2 ˙ S _G₂ = ˙V ₂

_·

I ∗ G 2

Para calcular la tensi´on en barra (4), se aplica LKT: ˙

V ₄ = ˙I ₃

_·

(R L + jX L) + ˙V 3

Para calcular la potencia generada por G ₁:

˙ V ₁ = e j θ1

·

V ˙₄, I ˙G 1 = e j θ1

·

I ˙₃ ˙ V ₁ = ˙V ₁ + ˙I G 1

·

jX T 1 ˙ S G ₁ = ˙V 1

·

I G ∗₁ Otro Ejemplo:

(62)

(63)

Para el SEP de la ﬁgura se pide lo siguiente:

1 Obtener el circuito equivalente en por unidad para S _BASE = 50MVA

trif´asicos y V BASE = 6.6kV de l´ınea en el lado del motor sincr´onico.

2 Con el circuito equivalente obtenido anteriormente, si el motor

sincr´onico demanda una potencia compleja de 8 MVA trif´asicos

con factor de potencia 0.8 en adelanto operando a voltaje

nominal y siendo la carga demandada en la barra (3) de 60∠_25.84o

MVA trif´asicos, calcule la potencia compleja MW +jMVAr que

aporta el generador en la barra (1) y su corriente de l´ınea en amperes correspondientes a la fase c.

Soluci´on

1 Circuito equivalente en por unidad

Zona 4: Zona del motor, V B 4 = 6.6kV ; S B = 50MVA

X SM (p .u ) = 0.8

_·



6.6 6.6



2

· 

50 10



= 4(p .u )

(64)

Zona (2-3): Zona de la l´ınea Existen dos alternativas:

X _T₂ = 0.05

_·



7 6.6



2

· 

50₁₀



= 0.2812(p .u ) X _T₂ = 0.05

_·



154 145.2



2

· 

50₁₀



= 0.2812(p .u )

Zona 1: Zona del generador Despreciando las p´erdidas en los enrollados y como la prueba se aplica por el lado de 154kV, se determina: I B _{lado 154 kV} = 80

·

10 3₍_kVA₎

√

3

_·

154(kV ) = 299.922(A) X (Ω)lado 154 kV = V cc I B _{lado 154 kV} = 5780.7 299.992 = 19, 274(Ω/fase ) Z Base _{lado 154 kV} = (145.2) 2 50 = 421.6608(Ω) X T ₁(p .u ) = X (Ω)lado 154 kV Z Base _{lado 154 kV} = 19.274 421.6608 = 0.0457(p .u )

(65)

X G ₁ = 0.97

_·



144 14.1428



2

· 

50 75



= 0.6704(p .u ) Para la l´ınea que se encuentra en la Zona (2-3)

Z Base _(2-3) = 145.2 2 50 = 421.6608(Ω) ˙ Z L(p .u ) = (0.0428 + j 0.322)(Ω/fase )

_·

109.3(km)

_·

1 421.6608(Ω) = 0.01109 + j 0.0835 = (0.0842∠_82.429o₎₍_p_._u₎ Desfase de transformadores Transformador 1 ˙

V _∆(p .u ) = e j 30

_·

V ˙_Y(p .u )

_⇒

θ1 = 30o

Transformador 2 ˙

(66)

Consideraciones adicionales para plantear el modelo equivalente ˙ S M = 8 50∠

−

cos −1 0.8 = (0.16_∠

−

36.87o)(p .u ) ˙ V ₄ = ˙V M = (1∠0o) ˙ S _D₃ = 60 50∠25.84 o _{= (1.2}_∠_25.84)(_p_._u₎ 2 Circuito equivalente

(67)

Figure:

Corriente en el motor

˙

I _M(p .u ) =



S ˙M (p .u ) ˙ V M (p .u )



∗ =



(0.16∠

−

36.87) (1∠₀₎



∗ = (0.16∠_36.87)(_p_._u₎

(68)

Corriente en el primario de T ₂

˙

I T 2(p .u ) = e

j 30o

·

I ˙M (p .u ) = (0.16∠66.87)(p .u )

Tensi´on en el primario de T ₂

˙

V ₄(p .u ) = e j 30o

_·

V ˙₄(p .u ) = (1∠₃₀o₎₍_p_._u₎ Tensi´on en barra (3)

˙

V ₃(p .u ) = V ˙₄(p .u ) + jX T ₂

·

I ˙T ₂

= (1∠₃₀o_{) +}_j_0.2812

_·

_(0.16∠_66.87)

= (0.97367∠_32.118)(_p_._u₎

Corriente en carga barra (3)

˙ I D 3 =



_S˙_D 3 ˙ V ₃



∗ =



(1.2∠25.84) (0.97367∠_32.118)



∗ = (1.23245∠_6.278)(_p_._u₎

(69)

Corriente que llega a barra (3) ˙

I _L = ˙I _T₂+˙I _D₃ = (0.16∠_{66.87)+(1.23245}∠_{6.278) = (1.3184}∠_12.347)(_p_._u₎ Voltaje en barra (2)

˙

V ₂(p .u ) = V ˙₃(p .u ) + (R L + jX L)(p .u )

·

I ˙L(p .u )

= (0.97367∠_32.118)

+ (0.01109 + j 0.0835)(p .u )

_·

(13.184∠_12.347)(_p_._u₎

= (1.02939∠_37.615)(_p_._u₎

Tensi´on en el primario de T ₁

˙

(70)

Corriente que entrega G ₁

I _G(p .u ) = e j 30

_·

I ˙_L(p .u ) = (1.3184∠_42.347)(_p_._u₎ Voltaje en barra (1)

˙

V ₁(p .u ) = ˙V ₂(p .u ) + jX T ₁(p .u )

·

I ˙G (p .u ) = (1.056494∠70.57)(p .u )

Potencia compleja entregada por Generador (1) ˙

S G (p .u ) = V ˙1(p .u )

·

I ˙G ∗(p .u )

= (1.056494∠_70.57)

_·

_(1.3184∠

₋

_42.347)

= (1.392886∠_28.224)(_p_._u₎

˙

S G (MVA) = S ˙G (p .u )

·

50MVA