Universidad Complutense de Madrid. Apuntes. Curvas Algebraicas. Profesor: Enrique Arrondo. Autor: David Gómez

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Universidad Complutense de Madrid

Apuntes

Curvas Algebraicas

Autor:

David G´

omez

Profesor:

Enrique Arrondo

2012-2013

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1

Información La información de la asignatura através de su página web. Se puede aparecer en su despacho en cualquier momento. Preferiblemente, avisar si se va a pasar fuera del horario de tutor´ıas.

Horario Habrá dos horas de teor´ıa y dos de práctica. Quizás es poca teor´ıa. Se respetará la hora de ejercicios de los martes. El viernes será más variable. Es posible que ese d´ıa la segunda hora del viernes se alargue la primera.

Ejercicios Los problemas los harán los alumnos. Se saldrá a la pizarra voluntariamente. Serán organizados de antemano. Se organizarán por grupos de 3 ó 4 personas. Los ejercicios serán asignados a grupos. Los ejercicios con estrella delante serán los que se hagan en la pizarra. Los ejercicios que toca hacer hay que hacerlo. Se puede pedir asistencia al profesor cuando sea necesario.

Examen Como un examen normal: con parte de teor´ıa y práctica. La pregunta de teor´ıa unos 3 puntos. Los ejercicios del estilo de clase. Nos pasará unos cuantos exámenes de años anteriores al final de cuatrimestre. Habrá dos preguntas de teor´ıa a elegir una. Se darán cinco minutos para revisar la demostración y, acto seguido, debe ser reproducida.

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´INDICE GENERAL 2

´

_{Indice general}

1. Expresi´on impl´ıcita de curvas 3

1.1. Introducci´on . . . 3

1.2. Polinomios homog´eneos . . . 4

1.3. Intersecci´on de curvas usando resultantes . . . 9

1.3.1. La resultante de dos polinomios . . . 10

1.3.2. Teorema d´ebil de B´ezout . . . 10

1.4. Lema de Study . . . 13

1.5. Curvas irreducibles . . . 14

1.5.1. Criterios de irreducibilidad . . . 15

2. Sistemas lineales de curvas 16 2.1. Consecuencias del teorema d´ebil de B´ezout . . . 16

2.2. Sistemas lineales de curvas . . . 18

2.3. Haces de c´onicas . . . 19

2.4. Haces de c´ubicas . . . 21

3. Curvas parametrizadas 23 3.1. Ra´ıces de polinomios y su grado . . . 24

3.2. Parametrizaciones afines . . . 27

4. Estudio local de curvas 28 4.1. Multiplicidad de intersecci´on . . . 28

4.2. Anillo de series formales . . . 36

4.3. An´alisis para series formales . . . 38

4.4. Series de Puiseux . . . 44

4.5. Ramas de una curva . . . 50

5. Teorema de Bézout 53 6. Fórmulas de Plücker 58 6.1. Primera fórmula . . . 58

6.2. Segunda f´ormula . . . 61

7. Curvas de g´enero bajo 66 7.1. Estructura de grupo de una c´ubica lisa . . . 68

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3

Cap´ıtulo 1

Expresi´

on impl´ıcita de curvas

1.1 Introducci´

on

Esta asignatura es una continuaci´on natural de geometr´ıa proyectiva (o lineal). All´ı debimos con-vencernos de que el espacio proyectivo funciona mejor que el af´ın. Si adem´as el espacio proyectivo es el complejo todo funciona todav´ıa mejor. Sobre todo vamos a trabajar en el plano, aunque haremos incur-siones en otra dimenincur-siones.

¿Por qué es mejor el proyectivo complejo? En el plano proyectivo dos rectas distintas se cortan siem-pre en un punto. Si consideramos una recta y una cónica debemos distinguir varios casos: una recta y una elipse pueden no cortarse en un plano proyectivo real, pero en el complejo siempre en dos. Salvo en el caso tangente podemos garantizar que una recta y una cónica se cortan en dos puntos distintos. Será importante definir que es que una recta corte una cónica dos veces en el mismo punto. Querremos generalizar esta idea.

Una recta viene dada por una ecuación de grado uno y una cónica de grado dos. El teorema central será el de Bezout, que nos dirá que la intersección entre dos curvas será el producto de los grados, con los puntos bien contados en el sentido anterior.

¿Por qu´e algo as´ı puede ser cierto? y que dificultades hay para demostrarlo. Si uno considera una curva

C = {f = 0} con f un polinomio de grado d y l es una recta. Consideremos

C ∩ l

lo más cómodo es siempre tener una ecuación impl´ıcitas y la otra en paramétricas. Pensaremos en principio que f ∈ K[X, Y ] y la recta l : ( X = p(t) Y = q(t) y ya es cuestión de considerar t ∈ K | f (p(t), q(t)) = 0

donde esto es un polinomio de grado d en t, que tiene d ra´ıces contadas con su multiplicidad. Es decir, que veremos que la multiplicidad como ra´ız de polinomio coincidir´a con la multiplicidad en el sentido de la intersecci´on.

Para cónicas, como se pueden parametrizar con polinomios de grado 2. A la hora de hacer la sustitu-ción tendremos un polinomio de grado 2d con lo que tendremos 2d puntos de intersección.

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1.2. POLINOMIOS HOMOG ´ENEOS 4

Uno puede pensar, sigo adelante, pero a partir de grado 3 nos es en general cierto que la curva se pueda parametrizar. Tendremos que buscar trucos alternativos para probar el teorema de Bezout.

Para tener una peque˜na idea de como se parametrizan las c´onicas consideremos {Y = X2_}

lo haremos de modo naive. Como cualquier recta corta a la par´abola en dos puntos, por ejemplo cualquier recta que pase por (0, 0) elegida una recta que pase por este punto cortar´an en otro punto. Para parametrizar todas las rectas que pasan por 0 podemos considerar la recta {Y = 1} es decir los puntos (t, 1). Para cada uno consideramos el sistema

(

Y = X2

Y = Y t

que da dos soluciones (0, 0) o bien Xt = 1 luego X = 1_t e Y = _t12. Desde luego nos es la mejor

parametrización de la cónica. La mejor parametrización hubiese salido con X = 1. Debemos observar que como estamos en el af´ın salen denominadores y cosas raras. Considerando el proyectivo estar´ıa el punto doble que viene dado por la paralela a {Y = 1} por 0.

1.2 Polinomios homog´

eneos

Empezaremos por una noci´on intuitiva. Una curva plana ser´a un conjunto de puntos en el plano definido por los ceros de un polinomio.

Usaremos las siguientes definiciones y notaciones: 1.1 Definici´_{on. Espacio af´ın A}n

K con coordenadas X1, · · · , Xn. Los polinomio f ∈ K[X1, · · · , Xn].

1.2 Definici´_{on. Espacio proyectivo P}n

Kcon coordenadas homog´eneas X0, · · · , Xny polinomios F ∈ K[X0, · · · , Xn].

Las diferencias fundamentales. En el espacio af´ın un polinomio f define una funci´_{on A}n

K → K. Si

embargo en el espacio proyectivo esto no ocurre nunca para polinomios no constantes (es obivio con-siderando las clases).

Podr´ıa parecer entonces que los polinomios funcionan mejor en el espacio af´ın. Veamos con un ejemplo por qu´e esto no es cierto.

1.3 Ejemplo. Consideremos los polinomios:

f = XY − 1 g = XpY − 1

Si trabajamos sobre el cuerpo K = Zp _{entonces los dos polinomios definen la misma funci´}_{on del plano en}

K.

Como f 6= g se tiene que f − g 6= 0. Sin embargo, como las funciones son iguales el polinomio XpY − XY

define la funci´on 0, pero no es el polinomio 0. Lo eXtra˜no de este ejemplo es que estamos trabajando en polinomios sobre cuerpos finitos.

Tenemos un primer resultado:

1.4 Proposici´on. Si K es un cuerpo infinito para cada polinomio f ∈ K[X1, · · · , Xn] no nulo existe un

punto del espacio af´ın (a1, · · · , an) tal que f (a1, · · · , an) 6= 0

Dem. Por inducci´on sobre el n´umero de variables.

Si n = 1 entonces los ceros coinciden con las ra´ıces, tiene como mucho tantas ra´ıces como el grado del polinomio. Como el cuerpo es infinito, al menos hay una no ra´ız.

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Si suponemos cierto el caso n − 1 veamos el caso n. Tomemos f ∈ K[X1, · · · , Xn] no nulo podemos

considerar f ∈ (K[X1, · · · , Xn−1])[Xn] es decir f = d X i=0 gi(X1, · · · , Xn−1)Xni

y como era cierto el caso n − 1, existe un punto tal que gd(a1, · · · , an−1) 6= 0

Ahora consideramos el polinomio:

h(Xn) = f (a0, · · · , an−1, Xn)

que es un polinomio de grado d en Xn, pero con coeficientes en K. Ahora podemos aplicar el caso n = 1

y encontramos an∈ K que no es ra´ız de h. Por tanto (a1, · · · , an) no es ra´ız de f .

1.5 Definici´_{on. Se llama hipersuperficie de A}n

K a un conjunto de la forma:

V (f ) = {a ∈ AnK| f (a) = 0}

donde f ∈ K[X1, · · · , Xn] es un polinomio no constante.

Es decir, podemos reescribir la proposici´on anterior como: Si f no es constante y K es infinito en-tonces V (f ) 6= AnK. Si n = 2 llamaremos curva (algebraica) af´ın plana a la hipersuperficie.

1.6 Definici´on. Un polinomio F ∈ K[X0, · · · , Xn] se dice que es homog´eneo de grado d si todos sus

monomios tienen grado d.

1.7 Proposición. Un polinomio F ∈ K[X0, · · · , Xn] es homogéneo de grado de d si y sólo si F (T X0, · · · , T X1) =

Td_{F (X}

0, · · · , Xn) en K[X0, · · · , Xn]

Dem. =⇒ F´acil. ⇐ Podemos agrupar los t´erminos de igual grado F = F0+ · · · + Fd

sobre cada uno de estos es inmediato Fi(T X0, · · · , T Xn) = TiFi(X0, · · · , Xn) y de esta forma

F0+ · · · + TdFd= F0(T X0, · · · , T Xn) + · · · + Fd(T X0, · · · , T Xn)

= F (T X0, · · · , T Xn) = TdF (X0, · · · , Xn) = TdF0+ · · · TdFd

en particular podemos tomarlos como polinomios en T , calculando se dar´a que Fi = 0 si i 6= d.

1.8 Observaci´on. No basta con que esto ocurra con λ ∈ K en lugar de T . Por ejemplo, consideramos Xp_{− X ∈ Z}p[X]

que no es homog´eneo pero si tiene la propiedad del teorema.

1.9 Corolario. Si K es infinito F ∈ K[X0, · · · , Xn] es homog´eneo si y s´olo si para cada λ ∈ K se cumple

F (λX0, · · · , λXn) = λdF (X0, · · · , Xn)

1.10 Corolario. Tiene sentido hablar de cuando un polinomio homog´_{eneo se anula en un punto de P}n_K. 1.11 Definici´_{on. Se llama hipersuperficie de P}n_K a un conjunto

V (F ) = {a ∈ PnK| F (a) = 0}

donde F ∈ K[X0, · · · , Xn] es homog´eneo de grado positivo.

Observaci´_{on. Si K es infinito entonces V (F ) 6= P}n K

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1.12 Corolario (Identidad de Euler). Si F ∈ K[X1, · · · , Xn] es homog´eneo de grado d entonces

F0X0· · · + FnXn= dF

donde _∂X∂F

i.

Dem. Derivamos respecto de T la igualdad

F (T X0, · · · , T Xn) = TdF (X0, · · · , Xn) haciendo parciales ∂F ∂X0 (T X0, · · · , T Xn)X0+ · · · + ∂F ∂Xn (T X0, · · · , T Xn)Xn = dTd−1F (X0, · · · , Xn)

y tomando T = 1 se sigue la igualdad.

En adelante será común para nosotros considerar curvas en el espacio proyectivo y, a menudo, con-sideraremos el espacio proyectivo como unión de diferentes afines. Es decir

PnK = (P n

K\ V (X0)) ∪ · · · ∪ (PnK\ V (Xn))

comunmente Ui= (PnK\ V (Xi)). Para considerar el espacio af´ın dentro del espacio projectivo

ϕ : AnK ,→ P n

K (a0, · · · , ai−1, ai+1, · · · , an) 7→ (a0: · · · : ai−1: 1 : ai+1: · · · : an)

Una vez tenemos estas cosas hay otras que aparecen de forma natural. Si uno tiene una variedad V (F ) ⊂ Pn

K y el recubrimiento del proyectivo dado podemos considerar V (F ) ∩ Ui⊂ Ui∼= AnK. Un punto

del af´ın estar´a en V (F )∩Uisi es de la forma (a0, · · · , ai−1, ai+1, · · · , an) si ϕi(a0, · · · , ai−1, ai+1, · · · , an) ∈

V (F ) es decir si y s´olo si el polinomio f definido por

f (X0, · · · , Xi−1, Xi+1, · · · , Xn) = F (X0, · · · , Xi−1, 1, Xi+1, · · · , Xn)

se anula. A este polinomio se le llama deshomogeneizado de F . Es decir, es una variedad af´ın.

En adelante trabajaremos con i = 0, en general con lo que hay que jugar es con la coordenada i-ésima, pero esta notación simplificará nuestra notación. Una vez hemos hecho el proceso hacia el espacio proyectivo, pensamos en a qu´_{e posible variedades en P}n_K _{puede corresponder una variedad de A}n_K. Es decir, dada una variedad V (f ), a qué variedad V (F ) ∩ U0 corresponde.

1.13 Lema. Sea f ∈ K[X1, · · · , Xn] entonces todos los polinomios homog´eneos cuyo deshomogeneizado

(re-specto de X0) es f son de la forma X0aF (X0, · · · , Xn) donde

F (X0, · · · , Xn) = X0df X1 X0 , · · · ,Xn X0 para d = deg(f ). 1.14 Ejemplo. Si consideramos f (X0, X1, X2) = X12X2− 5X1X3+ 4X33− 2X1X2+ 7X2− 3 si escribimos f X1 X0 ,X2 X0 ,X3 X0 = X 2 1X2 X₀2 − 5 X1X3 X₀2 + 4 X3 3 X₀3 − 2 X1X2 X₀2 + 7 X2 X0 − 3 y multiplicamos por X0elevado a la potencia m´as alta que aparece en un denominador

F = X₁2X2− 5X0X1X3+ 4X33− 2X0X1X2+ 7X02X2− 3X03

es decir, lo que hacemos es rellenar los monomios de grado inferior al m´aXimo con la potencia correspon-diente de X0 para que todos los monomios queden del grado del polinomio (es aqu´ı donde eliminamos

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Dem. (del lema). Con el ejemplo es f´acil asumir que al multiplicar por Xd

0 de que F es un polinomio. A su vez,

es fácil ver que es homogéneo y f es su deshomogeneizado. Veamos ahora el otro sentido de la implicación. Sea G un polinomio de grado e que deshomogeiniza en f . Sabemos que

G(1, X1, · · · , Xn) = f (X1, · · · , Xn)

haciendo un pequeño abuso de notación G(X0, · · · , Xn) = G(X0, X0 X1 X0 , · · · , X0 Xn X0 ) = X₀eG(1,X1 X0 , · · · ,Xn X0 ) = X₀ef (X1 X0 , · · · ,Xn X0 ) = · · · Sabemos, además, que e ≥ d, pues al deshomogeneizar (sustituir una variable por 1) el grado disminuye. Luego, e − d ≥ 0 y · · · = Xe−d 0 X d_{f (}X1 X0 , · · · ,Xn X0 ) = X₀e−dF (X0, · · · , Xn) 1.15 Definición. Se llama homogeneizado de un polinomio f al menor polinomio con la propiedad anterior,

es decir: F (X0, · · · , Xn) = X0df X1 X0 , · · · ,Xn X0

As´ı, V (F ) es la hipersuperficie de PnK m´as peque˜na tal que

V (F ) ∩ U0= ϕ0(V (f ))

1.16 Lema. Sea f es un polinomio F su homogeneizado entonces 1. f es irreducible si y s´olo si lo es F 2. Si f = fa1 1 · · · f an n entonces F = F a1 1 · · · F an n donde Fi es el homogeneizado de fi.

3. Si g es otro polinomio y G es su homogeneizado entonces f y g son primos entre s´ı si y s´olo si F y G son primos entre s´ı .

Dem. Nos bastará probar la parte (i). (iii) sale de (ii) trivialmente, pues son primos entre s´ı si y sólo si no tiene factores irreducibles en común si y sólo si f y g tienen factores irreducibles en común si y sólo si f y g son primos entre s´ı. Veamos (i) ⇐ Si fuese f = f1f2 (es decir, si f no es irreducible) entonces

degf = d, degfi= di. Llamemos Fi al homogeneizado de fi, es decir

Fi= X0difi X1 X0 , · · · ,Xn X0 y calculamos F = X₀df X1 X0 , · · · ,Xn X0 = Xd1 0 X d2 0 f1 X1 X0 , · · · ,Xn X0 f2 X1 X0 , · · · ,Xn X0 = F1F2

luego F no es irreducible, esto prueba, adem´as, (ii). Para (i) =⇒ por reducci´on al absurdo si F = F1F2

de grados d1, d2 entonces

f = F (1, X1, · · · , Xn) = F1(1, X1, · · · , Xn)F2(1, X1, · · · , Xn)

lo importante aqu´ı al ser F un deshomogeneizado, F no es divisible por X0y por tanto tampoco F1, F2,

luego ninguno de los dos adquieren grado 0 al evaluar en (1, X1, · · · , Xn). Si se quiere, puede hacer m´as

riguroso empleando grados. Como X0 no divide a F entonces degf = degF , donde d = d1+ d2 y como

degFi(1, X1, · · · , Xn) ≤ di para que se preserva la suma ha de darse la igualdad para cada i. Luego son

dos polinomios no constante.

1.17 Observaci´on. Es importante hacer notar que funciona de f hacia F , en el otro sentido F y G po-dr´ıan ser divisibles por X0. Una forma infalible de saber si un polinomio es el homogeneizado de su

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1.18 Observación. Este resultado nos dice que los polinomios homogéneos en n indeterminadas se compor-tan exactamente igual que los polinomios homogéneos en n + 1 indeterminadas.

Nos centraremos primero en el caso de 2 indeterminadas. 1.19 Lema. Sea F ∈ K[X1, X2] un polinomio homog´eneo. Entonces

1. (a0: a1) ∈ V (F ) ⊂ P1K si y s´olo si a1X0− a0X1| F

2. Si F 6= 0 entonces V (F ) es un conjunto finito, de hecho de cardinal, como mucho, degF . 3. Si K es algebraicamente cerrado entonces F factoriza en factores lineales.

Dem. Como en el lema anterior, lo importante es la parte (i). Lo primero que hacemos es escribir F = X₀aG(X0, X1)

donde X06 |G y G es homog´eneo de grado degF − a y como X06 |G hay alg´un monomio donde no aparece

X0. Para (i) distinguiremos dos casos.

Si (a0: a1) = (0 : 1) es equivalente (a0 : a1) ∈ V (F ) a que F (0, 1) = 0, o bien que a que a > 0 y a

que X0| F . Si (a0: a1) 6= (0 : 1) entonces F (1 : a_a1 0) = 0 y f = F 1,X1 X0

es el deshomogeneizado F . Por la regla de Ruffini, a1

a0 es ra´ız de F si s´olo si

X1−

a1

a0

| f

Como hablar de factores irreducible de un polinomio es igual a hablar de factores irreducibles de su homogeneizado. En este caso, el homogeneizado de f es G (n´otese que no es F ). En cualquier caso

X1− a1 a0 X0| G y como G | F tambi´en X1− a1 a0 X0| F

y podemos multiplicar por cualquier constante, luego, cualquiera de las anteriores es equivalente a que a0X1− a1X0| F

que es lo quer´ıamos obtener. Para la parte (ii) si F es homogeneo de grado d puede tener a lo sumo d factores lineales, entonces V (F ) tiene, como mucho, d puntos. Para (iii) si K es algebraicamente cerrado

f = λ(X1− a1) · · · (X1− an)

luego

G = λ(X1− a1X0) · · · (X1− anX0)

1.20 Observación. Aunque homogeneizar y deshomogeneizar no definan una biyección, lo hacen si trabajos sobre el G de la notación de la prueba, que nos habla de todas las ra´ıces de F fuera del ”plano del infinito”.

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1.3. INTERSECCI ´ON DE CURVAS USANDO RESULTANTES 9

1.3 Intersecci´

on de curvas usando resultantes

Todo esto que hemos visto para polinomios vamos ahora a emplear a curvas en el plano. Es decir, tomaremos n = 2. Al tomar cuerpos infinitos hemos eliminado la opci´on de que la curva sea demasiado grande, todo el espacio. Nos queda eliminar el problema de que la curva sea demasiado peque˜na, por ejemplo

1.21 Ejemplo. V (X2+ y2), V (X2+ y2_{+ 1) ⊂ A}2_K_{. Si consideramos K = R entonces} V (X2+ y2) = {(0, 0)} V (X2+ y2+ 1) = ∅

Por nuestra definición son curvas, y sin embargo... no querr´ıamos que lo fuesen. Además, la ecuación de una curva no está un´ıvocamente determinada, por ejemplo

V (X) = V (X(X2+ y2)) = V (X(X2+ y2+ 1))

Cuando el cuerpo sea algebraicamente cerrado s´ı podremos hablar de ”la” ecuación de la curva, salvo producto por constantes. Conseguiremos hablar de un polinomio minimal, cuyas potencias serán todas las posibles ecuaciones de la curva. Lo primero que vamos es cómo nos evitamos estos problemas al trabajar con cuerpos algebraicamente cerrados.

1.22 Lema. Si K es algebraicamente cerrado entonces es infinito.

Dem. Haremos la demostraci´on de andar por casa para quien no sabe algebra. Si K = {a1, · · · , an}

como sabemos cuales son las posibles raices, si tomamos

f = (X − a1) · · · (X − an) + 1

que es un polinomio en K[X] sin ra´ıces.

1.23 Observaci´on. Es decir, que los cuerpos algebraicamente cerrados inmediatamente resuelven el problema anterior.

1.24 Proposici´on. Si f ∈ K[X, Y ] de grado positivo y K es algebraicamente cerrado entnces V (f ) es un conjunto propio infinito.

Dem. Lo veremos en dos casos. Si f no depende la variable y entonces es un polinomio en una variable, es decir f ∈ K[X]. Como K es algebraicamente cerrado f tiene al menos una ra´ız a ∈ K. Entonces para cualquier b ∈ K el punto (a, b) satisface la ecuaci´on de la curva. Dado que K es infinito ya tenemos un subconjunto infinito de V (f ).

En otro caso, como hemos hecho otra veces:

f (X) = g0(X) + g1(X)y + · · · + gd(X)yd

con g06= 0. Cuando particularizo X y me de un valor, entonces, salvo si gd(X) = 0 (lo que s´olo ocurre

en una cantidad finita de puntos) tendremos un polinomio f (a, y) ∈ K[y] para cada a ∈ K de forma que, que tendr´a, al menos una ra´ız, sea ba. Luego podemos considerar el conjunto:

{(a, b) | gd(a) 6= 0, f (a, b) = 0} ⊂ V (f )

que es una familia con al menos tantos puntos como K \ {X | gd(X) = 0}, un conjunto infinito menos

uno finito, luego infinito.

Es decir, una curva en un cuerpo de esta forma ya es algo razonable.

1.25 Corolario. Sea F ∈ K[X0, X1, X2] un polinomio homog´eneo de grado positivo, entonces V (F ) ⊂ P2K,

entonces V (F ) es un conjunto propio e infinito.

Dem. Uno podr´ıa repetir la demostraci´on anterior, o bien pensar que, si F depende, al menos de una variable, por ejemplo X2. Al deshomogeneizar y considerar V (F ) ∩ U0= V (f ) tendremos un polinomio de grado

positivo. Con la proposici´on aplicada a f , deducimos que V (f ) es propio e infinito, luego V (F ) es propio

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1.3.1 La resultante de dos polinomios

Supongamos que dos polinomios f =P aiXi y g = P bjXj con degf = d, degg = e. Si tienen un

factor h en com´un, entonces

f = hp g = hq, deg p < d, deg q < e o, lo que es lo mismo que existan p, q 6= 0

f q = gp,

con p =P ckXk y q =P dmXm. Luego, equivalentemente que tengan un factor en com´un de forma que

existan ck, dmtales que:

X aiXi X dmXm= X bjXj X ckXk tenemos el sistema          a0d0 −b0c0 = 0 a1d0 +a0d1 −b1c0 −b0c1 = 0 .. . adbe−1 −becd−1 = 0

que es un sistema con e + d variables, y los coeficientes son los ai, bj. Este sistema tiene soluci´on no trivial

si y s´olo si el determinante de las matrices de coeficientes es 0.

R(f, g) = a0 a1 · · · ad 0 a0 · · · ad−1 ad . ._.e) . ._. b0 b1 · · · be 0 b0 · · · be−1 be . ._.d) . ._.

1.3.2 Teorema d´

ebil de B´

ezout

Vamos a dar primero la idea en el espacio af´ın, y luego la formalizaremos en el espacio proyectivo. Supongamos que tenemos dos curvas V (f ), V (g) ∈ A2

K y nos preguntamos por V (f ) ∩ V (g). En

gener-al, cuando uno tiene dos ecuaciones impl´ıcitas es complicado hacer la intersección. Uno puede aspirar también a hacer la intersección de dos cosas en paramétricas, pero es un jaleo lo que siempre funciona bien es tener una curva en impl´ıcitas y la otra en paramétricas. De esta forma obtendremos una ecuación impl´ıcita en el parámetro de la que podremos, a veces, despejar. Esta última situación, aunque ideal, no es siempre posible. Veremos condiciones para que una curva se pueda parametrizar. Lo que hay que hacer es un truco astuto, similar al que se usa para sistemas de ecuaciones lineales.

Vamos a analizar, qu´e quiere decir que (a, b) ∈ V (f )∩V (g). Una forma de decirlo es f (a, b) = g(a, b) = 0. Otra forma de decirlo que es los polinomios f (a, Y ), g(a, Y ) comparten la ra´ız Y = b. Esto s´ı sabemos hacerlo. Que tengan en com´un esa ra´ız significa que

Y − b | f (a, Y ), g(a, Y )

pero entonces estos dos factores tienen un factor com´un de grado positivo y, por tanto, la resultante de esos dos polinomios f (a, Y ), g(a, Y ) es 0. Consideramos RY(f, g) ∈ K[X] de los polinomios vistos en

(K[X])[Y ]. Entonces a ∈ RY(f, g) si Y s´olo si RY(f (a, Y ), g(a, Y )) = 0. Luego los posibles a que pueden

dar puntos de la intersección serán los que resuelvan la ecuación RY(f, g) = 0. Para calcular los posibles

b podemos hacer el caso sim´etrico.

En este razonamiento falla el si y s´olo si que hemos empleado al decir Entonces a ∈ RY(f, g) si y s´olo si RY(f (a, Y ), g(a, Y )) = 0

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Si consideramos RX(f, g) ∈ K[Y ] y tomamos una ra´ız de b. Lo que necesitamos es que se anule la

resultante RX(f (X, b), g(X, b)) y es en este caso cuando puedo decir que existe una a ∈ K con (a, b) ∈

V (f ) ∩ V (g). Pero el problema es que la resultante no conmuta bien. Escrib´amoslo con cuidado: f (X) = a0(b) + · · · + ad(b)Xd g(X, b) = b0(b) + b1(b)X + · · · + be(b)Xe

Recordamos que hemos hecho hincapié en el grado de los polinomios. Es muy posible que la sustitución haya hecho que se reduzca, en algún caso, el grado de uno de esos polinomios. Es decir que

R(f (X, b), g(X, b))= (R? X(f, g))(b)

Donde, todo funciona bien si ad(b), be(d) 6= 0. Podr´ıa uno pensar que tenemos que tener cuidado especial

con estos casos problem´aticos. Esto es un poco molesto, podemos formalizarlo y ponerlo todo junto. Este primer error se subsana.

Hay una segunda ”mentira”, menos grave, que se puede subsanar. Es el hecho de saber que tenemos una cantidad finita de ceros de RX(f, g). Si ocurre significa que f y g tengan una un factor com´un. Como

hipótesis, añadiremos que f y g no tengan factor común.

Veamos otra aplicaci´on de la resultante, que aparece en los ejercicios. Si suponemos que tenemos una parametrizaci´on en polinomios de la forma:

C = {(p(t), q(t)) | t ∈ K}

y supongamos que uno quiere saber que esto es una curva. Estamos de nuevo en pasar de paramétricas a impl´ıcitas. Ahora (a, b) ∈ C si y sólo si existe un t tal que a = p(t), b = q(t), es decir que los polinomios p(T ) − a y q(T ) − b tiene una ra´ız común. Es decir si y sólo si res(p(T ) − a, q(T ) − b) o bien (a, b) es ra´ız de resT(p(T ) − X, q(T ) − Y ) que es un polinomio en K[X, Y ] y no hay el problema que hab´ıa en el caso

anterior, el grado no se reduce. Es decir que

C = V (resT(p(T ) − X, q(t) − Y ))

Si la curva no se puede parametrizar en polinomios, y hay que parametrizarla por cocientes de poli-nomios la cosa empieza a tomar aspecto

p1(T ) − ap2(T ), q1(T ) − bq2(T )

y pueden aparecer el hecho de que ahora si se anule el t´ermino de mayor grado.

Todo esto es, de nuevo, un motivo para preferir los cálculos en el espacio proyectivo, como veremos en la próxima sección.

1.26 Lema. Sean F, G ∈ K[X0, X1, X2] polinomios homog´eneos de grados respectivos d y e entonces RX2(F, G)

es un polinomio homog´eneo de grado de si (0 : 0 : 1) /∈ V (F, G). Dem. Ahora vamos a escribir

F = Ad+ · · · + A0X2d G = Be+ · · · + B0X2e

donde Ai, Bj ∈ K[X0, X1]. En este caso cambiamos los sub´ındices de los coeficientes al rev´es de lo que

solemos hacerlo porque de esta forma deg Ai= i (y es homog´eneo). Lo mismo ocurre para Bj. Entonces,

si llamamos R = RX2(F, G) tenemos: R(X0, X1) = Ad Ad−1 · · · A0 Ad Ad−1 · · · A0 . ._. Ad Ad−1 · · · A0 Be Be−1 · · · B1 B0 Be Be−1 · · · B1 B0 . ._. . ._. Be · · · B0

(13)

Ahora, como los polinomios Ai y Bj son homog´eneos: Ai(T X0, T X1) = TiAi(X0, X1) y Bi(T X0, T X1) =

Ti_B

i(X0, X1). Entonces, echando cuentas:

T0· · · Td−1T0· · · Te−1R(T X0, T X1) = =T0· · · Td−1T0· · · Te−1· TdAd Td−1Ad−1 · · · T0A0 TdAd Td−1Ad−1 · · · T0A0 . ._. TdAd Td−1Ad−1 · · · T0A0 TeBe Te−1Be−1 · · · T1B1 T0B0 Te_B e Te−1Be−1 · · · T1B1 T0B0 . ._. . ._. Te_B e · · · T0B0 = · · ·

cuando a˜nadimos sobre cada fila la potencia de T correspondiente

· · · = Td+e−1_A d Td+e−2Ad−1 · · · Te−1A0 TdAd Td+e−2Ad−1 · · · Te−2A0 . ._. Td_A d Td−1Ad−1 · · · T0A0

Td+e−1Be Td+e−2Be−1 · · · TdB1 Td−1B0

Td+e−2Be Td+e−3Be−1 · · · Td−1B1 Td−2B0

. ._. . ._. TeBe · · · T0B0

que diviendo todas las columnas por sus correspondientes potencias de T resulta T0· · · Td+e−1R(X0, X1)

de donde se sigue exactamente

R(T X0, T X1) = TdeR(X0, X1)

o, equivalentemente, que R es un polinomio homog´eneo de grado de.

1.27 Observación. El problema entre entre las evaluaciones de las resultantes antes o después era prec´ısa-mente que si se anulaba el coeficiente director de alguno de los polinomios entonces el grado se reduc´ıa, y si aplicabamos la resultante más tarde quizás deb´ıamos emplear la fórmula de la resultante para un grado menor. Si ocurriese entonces habr´ıa una discrepacian de grados. Lo que podemos sacar de este lema es que, bajo sus condiciones, los grados de ambos polinomios han de coincidir y, por tanto, si (0, 0, 1) no se anula para F y G entonces tenemos monomio en Xd

2 y G tiene un monomio en X2e. Por tanto el polinomio

sigue teneniendo grado de al considerarlo como polinomio en X2.

1.28 Teorema (débil de Bézout). Sean F, G ∈ K[X0, X1, X2] homogéneos sin factores comunes etonces V (F )∩

V (G) es un conjunto finito de puntos de cardinal menor o igual que deg f deg g.

Dem. Cambiando el sistema de referencia podemos suponer que (0 : 0 : 1) /∈ V (F G) 1_{. Podemos considerar}

ahora R = RX2(F, G), resultante no nula y homog´enea por el lema anterior. Su grado, de, no nos interesa

mucho. Para estudiar la utilidad de la resultante miremos los puntos de intersecci´on. Que (a0: a1: a2) ∈

V (F ) ∩ V (G) es equivalente a que los polinomios

F(a0,a1):= Ad(a0, a1) + Ad−1(a0, a1)X2+ · · · A0(a0, a1)X

d 2

1_{siempre podemos hacerlo pues esta curva no es el total, tomamos como tercer punto de un nuevo sistema de referencia}

(14)

1.4. LEMA DE STUDY 13

G(a0,a1):= Be(a0, a1) + Be−1(a0, a1)X2+ · · · B0(a0, a1)X

d 2

tienen, como ra´ız com´un, X2= a2. Luego, la resultante respecto de la variable X2cumple

RX2(F(a0,a1), G(a0,a1)) = 0

Lo importante es que los coeficientes A0(a0, a1), B0(a0, a1) 6= 0, y por tanto la f´ormula para las resultantes

es la misma, y tenemos

R(a0, a1) = RX2(F(a0,a1), G(a0,a1)) = 0

Luego los puntos que verifiquen estar en la intersecci´on, ser´an ra´ıces de R y, por tanto, existe como mucho de soluciones (a0 : a1). Fijado un posible valor (a0, a1) los posibles valores de a2 tales que

(a0, a1 : a2) ∈ V (F ) ∩ V (G) son las ra´ıces, por ejemplo, de F(a0,a1). Tiene, como mucho, d ra´ıces.

De esta forma, ya sabemos que el conjunto es finito. Veamos cuantos a2 puede haber para cada (a0: a1).

Podemos refinar la elección de sistema de referencia, lo elegimos tal que (0 : 0 : 1) /∈ V (F ), V (G) ni en ninguna recta que una dos puntos de intersección. Con esta elección las soluciones será (a0: a1) ra´ız

de R, como mucho de. Para cada (a0, a1) ra´ız de R

#V (F ) ∩ V (G) ∩ V (a1X0− a0X1) ≤ 1

pues (0 : 0 : 1) ∈ V (a1X0− a0X1) y por contrucci´on esta recta s´olo puede contener 1 punto de

intersec-ción. Que si para (a0 : a1) hay algún punto (a0 : a1 : a2) ∈ V (F ) ∩ V (G) hay uno y sólo uno. De esta

formaEsto concluye la prueba.

1.29 Ejemplo. Veamos cómo se puede aplicar el teorema débil de Bezout. Por ejemplo, V (F ) ∩ V (G) tienen más de deg F deg G puntos entonces F y G tienen algún factor común. Por ejemplo, si una recta y una cónica se cortan en más de dos puntos, entonces la ecuación de la recta y la ecuación de la cónica tienen un factor en común que, como la ecuación de la recta es irreducible, significa que la ecuación de la recta divide a la de la cónica y por tanto la recta está contenida en la cónica.

Si el cuerpo es algebraicamente cerrado esta implicaci´on se da tambi´en en sentido inverso.

1.30 Corolario. Sean f, g ∈ K[X, Y ] primos entre s´ı, entonces V (f ) ∩ V (g) es una cantidad finita de puntos Dem. Basta tomar F, G ∈ K[X0, X1, X2] los completados proyectivos de f y g respectivamente. Entonces F, G

son primos entre s´ı, y por tanto #V (F )∩V (G) ≤ deg F deg G = deg f deg g y V (f )∩V (g) ,→ V (F )∩V (G)

.

Veamos unos cuantos ejemplos ilustrativos, que nos den una pista de a donde queremos llegar 1.31 Ejemplo. Tenemos la recta X = 0, que se puede poner X2_{= 0 y por tanto V (X) = V (X}2_{) ⊂ V (XY )}

pero X2_{6| XY (mientras X | XY ).}

Sobre cuerpos que no sean algebraicamente cerrados pueden pasar cosas eXtra˜nas. 1.32 Ejemplo. Trabajando en A2Rtenemos {0} = V (X

2_{+ y}2_{) ⊂ V (X) mientras que X}2_{+ Y}2_{6| X.}

1.4 Lema de Study

El teorema que impide que ocurra todo esto es el siguiente:

1.33 Teorema (Lema de Study). Si f, g ∈ K[X, Y ], con f irreducible, V (f ) es un conjunto infinito2 _y

V (f ) ⊂ V (g) entonces f | g.

Dem. Como V (f ) ⊂ V (g) entonces V (f ) ∩ V (g) = V (f ), pero es infinitos puntos. Entonces por el corolario f y g no son primos entre s´ı. Tienen que tener algún factor irreducible en común, dado que el único factor

de f es f entonces f | g.

(15)

1.5. CURVAS IRREDUCIBLES 14

1.34 Corolario (Lema de Study proyectivo). Sean F, G ∈ K[X0, X1, X2] homog´eneos, F irreducible, V (F )

infinito y V (F ) ⊂ V (G) entonces F | G.

Este resultado es muy fuerte, en el sentido de que nos permite responder a los ejemplos anteriores. El primero que pusimos falla por no ser el polinomio irreducible y el segundo por ser un conjunto finito.

El lema de Study tiene, como consecuencia, que para cada curva va a existir una ecuaci´on, que vamos a llamar minimal, que va a consistir en quitarle a la ecuaci´on todo lo que sobre, por ejemplo a X2 _el

cuadrado.

1.35 Corolario. Sean K algebraicamente cerrado, f, g ∈ K[X, Y ] polinomios no constantes, entonces V (f ) = V (g) si y s´olo si los dos polinomios tienen los mismos factores irreducibles (sin contar su multiplicidad) Dem. Para cada h factor irreducible de f se tiene que V (h) ⊂ V (f ) = V (g) y V (h) es infinito (por ser K algebraicamente cerrado) luego por el lema de Study h | g y, por tanto, h es un factor irreducible de g.

Un argumento sim´etrico concluye la prueba.

1.36 Corolario. Sean K algebraicamente cerrado, f, g ∈ K[X0, X1, X2] homog´eneos no constantes, entonces

V (F ) = V (G) si y s´olo si F y G comparten todos los factores irreducibles (sin contar su multiplicidad). Dicho de otra forma, si un polinomio f descompone en factores irreducibles como f = fa1

1 · · · f ar

r con

ai > 0 y g es otro polinomio tal que V (f ) = V (g) entonces una descomposici´on en factores irreducibles de

g es g = fb1

1 · · · f br

r con bi> 0. Salvo que uno est´e completamente loco, lo natural es tomar el polinomio

que tiene todos los exponentes 1. Esta es la ecuación de grado más pequeño y la más sencilla.

1.37 Definición. Se llama ecuación minimal de una curva (af´ın o proyectiva) a una ecuación de grado m´ıni-mo que define la curva.

Es decir, para la curva V (f ) con f = fa1

1 · · · , f ar

r tenemos la ecuaci´on minimal f1· · · fr que, al igual que

la descomposici´on, es ´unica salvo producto por constantes.

1.5 Curvas irreducibles

En adelante, trabajaremos exclusivamente con K algebraicamente cerrado.

1.38 Definición. Una curva plana C (af´ın o proyectiva) se dice que es irreducible si no se puede escribir como unión de curvas más pequeñas C = C1∪ C2.

1.39 Lema. Una curva plana es irreducible si y s´olo si su ecuaci´on minimal es irreducible Dem. Hagamos el caso af´ın.

Consideremos f la ecuaci´on minimal. Por reducci´on al absurdo supongamos f = gh en factores propios ⇒

entonces cualquier 0 de f los es de g o de h, es decir que V (f ) = V (g) ∪ V (h). Tanto V (g), V (h) son curvas infinitas, y llegamos a contradicci´on con la irreducibilidad de V (f ).

En sentido contrario , como V (g) ∪ V (h) = V (gh) tenemos que si V (f ) = V (g) ∪ V (h) entonces V (f ) = ⇐

V (gh) entonces gh tiene los mismo factores irreducibles que f , que es f , luego gh = fn. Luego V (g) =

V (h) = V (f ).

1.40 Teorema. Cada curva plana se puede escribir de forma ´unica como uni´on finita de curvas irreducibles.

Dem. Probamos el caso af´ın. Sea f la ecuaci´on minimal de la curva, f = f1· · · fr descomposici´on en factores

irreducibles, V (f ) = V (f1) ∪ · · · ∪ V (fr) cada una de ellas irreducible por el lema. Si consideramos otra

descomposici´on V (f ) = V (g1) ∪ · · · ∪ V (gs) (como hemos dicho curvas irreducibles, g1, · · · , gsirreducibles,

pero en este caso V (f ) = V (g1· · · gs). Pero entonces tambi´en (si elegimos gi dos a dos distintos) tambi´en

g1· · · gs es ecuaci´on minimal, luego proporcional a f , y por tanto los gi son, tambi´en, los factores

(16)

1.5. CURVAS IRREDUCIBLES 15

1.41 Definici´on. Llamaremos grado de una curva al grado de su ecuaci´on minimal.

1.5.1 Criterios de irreducibilidad

1.42 Teorema (Criterio de Eisenstein). Sea f =P aiXi∈ A[X] con A dominio de factorizaci´on ´unica, con

f primitivo (mcd(a0, · · · , ad) = 1). Si existe p ∈ A irreducible tal que Si p | a0, · · · , ad−1, p26| a0 y p 6| ad

´ o

Si p | a1, · · · , ad, p26| ad y p 6| a0

Entonces f es irreducible.

1.43 Teorema (Criterio de Gibson). Sea f ∈ K[X, y] con f = fd−1+ fd con fd−1 homog´eneo de grado d − 1

y fd homog´eneo de grado d (ambos no nulos) que no tienen factores en com´un, entonces f es irreducible

Dem. Supongamos que f = gh. Sabemos que f s´olo tiene monomios de grado d − 1 y d. Ahora escribimos g, h en factores homog´eneos

g = g0+ · · · + gr, h = h0+ · · · + hs

con gr, hs6= 0. Haciendo las descomposiciones en factores homog´eneos obtenemos:

fd−1+ fd= (g0h0) + (g0h1+ g1h0) + · · · + (gr−1hs+ grhs−1) + grhs

y obtenemos un sistema. Nos preguntamos cual es los primeros gj, hi 6= 0 ser´an los ´unicos sumando del

monomio de grado i + j. Entonces i + j ≥ d − 1 con lo que i = s, j = r − 1 ó i = s − 1, j = r. Luego, o bien h es homogéneo o bien g es homogéneo. El otro siempre tiene sólo dos sumando homogéneos de grados consecutivos.

Supongamos que g = gr, h = hs−1+ hs. Con lo que

f = ghs−1+ ghs

con lo que fd−1= ghs−1 y fd= ghs, pero entonces fd y fd−1 tienen un factor o g es unidad. Dado que

(17)

16

Cap´ıtulo 2

Sistemas lineales de curvas

2.1 Consecuencias del teorema d´

ebil de B´

ezout

2.1 Teorema. Dados seis puntos distintos A1, A2, A3, B1, B2, B3 ∈ P2K tales que ning´un Ai est´e alineado

con dos Bj y ning´un Bj est´e alineado con dos Ai. Consideramos

C1= A2B3∩ A3B2

C2= A1B3∩ A3B1

C3= A1B2∩ A2B1

Entonces los puntos A1, A2, A3, B1, B2, B3 están en una cónica si y sólo si los puntos C1, C2, C3están

alineados.

Figura 2.1: Los puntos

2.2 Observación. Lo primero que observamos es que el enunciado tiene sentido. En el plano proyectivo dos rectas distintas se cortan siempre. Luego existen C1, C2, C3 por la hipótesis de alineación. Además todos

los Ck son distintos de los Ai, Bj.

Dem. Podemos considerar tres rectas que cubren todos los puntos, llamaremos Fij ecuaci´on de AiBj y podemos

considerar la c´ubica

V (F12F13F31)

que contiene a todos los puntos, y es una c´ubica. Tambi´en V (F21F32F13)

los contiene. Además son dos cúbicas con m´ınimos primos entre s´ı, pues los puntos no están alineados. No le vamos a aplicar Bézout a esto, pues tendr´ıamos a los más 9 puntos de intersección (que son precisamente lo que tenemos). La observación interesante es que para cualquier combinación

(18)

2.1. CONSECUENCIAS DEL TEOREMA D ´EBIL DE B ´EZOUT 17

para λ, µ ∈ K, es una curva que pasa por los nueve puntos. Esto es una generalización de los haces de cónicas. Podemos añadir un ´_{ultimo punto p ∈ P}2

K podemos encontrar λ, µ de forma que

p ∈ V (λF12F13F31+ µF21F32F13)

Buscaremos, a mala leche, un punto maligno que haga pasar cosas extra˜nas y llegaremos a contradic-ci´on.

Existe C una cónica que pasa por Ai, Bj. También la cónica corta a la que encontramos por 6 puntos,

⇒

y tomamos el punto p ∈ C, p 6= Ai, Bj. Por lo que acabamos de observar tenemos una c´onica D que corta

a C en 7 puntos distintos. Tenemos una cúbica y una cónica que se cortan en 7 puntos, mientras que por el teorema de Bézout dir´ıa que se cortan, a lo más, en 6. De esta forma lo que el teorema nos dice es que C y D tienen una componente en común.

Si C es irreducible entonces la ecuación de la cónica es un factor de la ecuación de D, D = C ∪ L donde L es una recta. Sabemos que D contiene a todos los puntos Ck (por construcción). Tenemos que

ver ning´un Ck est´a en C. Si C1∈ C tendr´ıamos Ai, Bj, C1puntos de V (F12F23F31) tendr´ıa 7 puntos en

com´un con C, pero no puede ser ni siquiera teniendo componentes comunes, pues C es irreducible y los factores de la otra son lineales. As´ı los Ck est´an en L y, por tanto, alineados.

Si C es reducible, entonces C = L1∪L2. Como los Aino pueden estar alineados con dos Bjy viceversa

luego en la misma recta no podemos colocar un Ai y Bj, pues no podr´ıamos a˜nadirle m´as puntos. La

´

unica soluci´on es, entonces, que en una recta est´en los Ai y en la otra los Bj, supongamos Ai ∈ L1 y

Bj∈ L2. Si tenemos factores en com´un con D supongamos, por ejemplo,

D = L1∪ D0

Entonces debe darse que Bj ∈ D0. Adem´as, Ck∈ L/ 1, pues entonces habr´ıa que incorporarle los Bj. Ahora

Bj, Ck∈ D0. Pero la c´onica D0 contiene tres puntos alineados Bk, luego se corta con B1B2 en al menos

tres puntos, luego tienen algún factor común. Por cuestión de grados debe ocurrir que #(D0∩ L2) > 2 =⇒ D0= L2∪ L

y Ck ∈ L.

Supongamos que existe L tal que Ck ∈ L. Vamos a volver a encontrar una c´onica astuta. Ahora

⇐

tomamos p ∈ L, p 6= Ck y existe una c´ubica

D = V (λF12F13F31+ µF21F32F13) 3 p

entonces, de nuevo el teorema d´ebil de Bezout asegura:

#(L ∩ D) = 4 > 3 =⇒ D = L ∪ C

que Ai, Bj ∈ L, porque si A/ 1 ∈ L como C1, C2 ∈ L entonces L = A1C2 = A1C3 luego B3, B2 ∈ L y

tendr´ıamos A1, B3, B2 alineados, contra la hip´otesis. Luego los puntos Ai, Bj ∈ C.

2.3 Corolario (Teorema de Pascal). _{Si C ∈ P}2

K es una c´onica irreducible (o no degenerada) y tomamos

A1, A2, A3, B1, B2, B3∈ C dos a dos distintos entonces los puntos

C1= A2B3∩ A3B2

C2= A1B3∩ A3B1

C3= A1B2∩ A2B1

est´an alineados.

2.4 Corolario (Teorema de Pappus). Dadas dos rectas distintas L1, L2 y puntos distintos A1, A2, A3 ∈

L1, B1, B2, B3∈ L2 entonces los puntos

C1= A2B3∩ A3B2

C2= A1B3∩ A3B1

C3= A1B2∩ A2B1

(19)

2.2. SISTEMAS LINEALES DE CURVAS 18

2.2 Sistemas lineales de curvas

Consideramos

Vd= {polinomios homog´eneos de en K[X0, X1, X2] de grado d}

y

{curvas en P2

K de grado d} → P(Vd) = Pd

que env´ıa cada curva a la clase de sus ecuaciones minimales (única salvo múltiplo). La imagen es la clase de polinomios sin factores múltiples, y si d = 2 entonces los únicos polinomios que no están en la imagen son los cuadrados de formas lineales, las rectas dobles.

2.5 Lema. Se cumple que dimPd =d(d+3)₂ .

Dem. Vd es el espacio vectorial con base el conjunto de monomios de grado d en X0, X1, X2. El n´umero de

monomios es #{(i, j, k) | i, j, k ≥ 0, i + j + k = d} o bien el n´umero de combinaciones con repetici´on de d elementos tomados de d en d1 es decir

dim Vd= d + 2 d =d + 2 2 =d 2_{+ 3d + 2} 2 de donde dim Pd= d2− 3d + 2 2 − 1 = d(d + 3) 2 2.6 Observaci´on. El espacio vectorial de los polinomios homog´eneos de grado d en X0, · · · , Xn tiene

di-mensi´on n+d_d .

2.7 Observaci´on. Si tomamos el sistema de referencia proyectivo asociado a la base dada por los monomios entonces las coordenadas de un elemento

ud00X0d+ ud−1,1,0X0d−1X1+ ud−1,0,1X0d−1X2+ · · · + u00dX2d = (ud00: ud−1,1,0: ud−1,0,1: · · · : u00d) 2.8 Ejemplo. Si d = 2 tenemos Pd3u200X02+ u110X0X1+ u101X0X2+ u020X12+ u011X1X2+ u002X22 es la c´onica de matriz   u200 u110₂ u101₂ u110 2 u020 u011 2 u101 2 u011 2 u002  

las matrices que no est´an en la imagen son aquellas de rango menor o igual que 1 o, equivalentemente,, aquellas con menores de orden 2 cero. En general se puede demostrar que los elementos de Pd que no

est´an en la imagen se caracterizan por ecuaciones homog´eneas en las variables uijk.

EXtenderemos nuestra noci´on de curva por la siguiente

2.9 Definici´_{on. En adelante llamaremos curva a cualquier elemento de P}d.

Ahora el conjunto de curvas de grado d nos definen un espacio proyectivo (por definición). Esto nos dará un poderosa herramienta para encontrar subconjuntos interesantes. Empezamos por la siguiente proposición

2.10 Proposici´_{on. Fijado un punto a ∈ P}2_k el conjunto de curvas que pasan por ese punto2 es un hiperplano en Pd. Por tanto, el conjunto de curvas de grado d que pasan por r es un subespacio proyectivo de

dimensi´on ≥ d(d+3)₂ − r. En particular, si

r ≤ d(d + 3) 2 existen curvas de grado d que pasan por r puntos dados.

1_{El n´}_{umero de combinaciones con repetici´}_{on de m elementos tomados de d en d es} m+d−1 d

(20)

2.3. HACES DE C ´ONICAS 19

Dem. Tomamos coordenadas a = (a0: a1: a2). La curva

ud00X0d+ ud−1,1,0X0d−1X1+ ud−1,0,1X0d−1X2+ · · · + u00dX2d

pasa por a si y s´olo si

ad₀ud00+ ad−10 a1ud−1,1,0+ ad−10 a2ud−1,0,1+ · · · + ad2u00d= 0

que es precisamente la ecuaci´_{on de un hiperplano en P}d. Todo lo dem´as se sigue de las propiedades de

hiperplanos proyectivos.

2.11 Definici´_{on. Se llama sistema lineal de curvas a un subespacio proyectivo de P}d.

2.12 Definición. Se llama haz de curvas a un sistema lineal de orden 1. 2.13 Observación. Esto es una generalización del concepto de haz de cónicas.

2.14 Ejemplo. No todos los sistemas lineales son conjuntos de curvas que pasan por r puntos. Si consideramos {[t0X02+ t1X12+ t2X22] | t0, t1, t2∈ K}

en este sistema lineal tenemos [X2

0], [X12], [X22]. Si un punto estuviese en todas estas c´onicas tendr´ıa que

ocurrir a = 0, no hay ningún punto en todas las cónicas. Este no es el sistema lineal de las cónicas que pasen por una cantidad finita de puntos.

Lo que si se puede hacer dados un sistema lineal de curvas es buscar puntos que est´en en todas ellas 2.15 Definici´on. Llamaremos punto base de un sistema lineal de curvas a un punto por el que pasen todas

las curvas del sistema.

2.16 Definici´on. Llamaremos lugar base al conjunto de todos los puntos base.

2.3 Haces de c´

onicas

Lo interesante de todo esto viene de que hemos tenido que irnos a dimensi´on 2. Si tomamos el haz {[t0F + t1G] | t0, t1∈ K} ⊂ Pd

si no tienen factores comunes hay d2 _{puntos de intersecci´}_{on (si el cuerpo es algebraicamente cerrados).}

Cualquier combinación de esa forma para por V (F ) y V (G). De esta forma V (F ) ∩ V (G) 6= ∅ luego siempre hay un punto base. Cuando añadimos una tercera curva es posible que no haya puntos base (en especial si se congen a mala leche). Lo primero que haremos ahora será caracterizar los haces

2.17 Lema. Sea Λ ∈ Pd un espacio lineal de dimensi´on ≥ 1 entonces son equivalentes

1. Λ es un haz

2. Existe un punto de plano tal que hay una ´unica curva en Λ que pase por a

3. Existen dos puntos a, a0∈ P2 _{tal que no existe ninguna curva en Λ que pase por ambos.}

Dem. Haremos la demostraci´on c´ıclicamente

Tomo una curva en Λ, que nunca es el total, y podemos tomar a ∈ P2 _{por el que no pase la curva.}

1 =⇒ 2

Entonces estamos diciendo que

Λ 6⊂ Ha= {hiperplano de las curvas que pasan por a}

entonces Λ ∩ Ha es ´unico punto de Pd, estas son las curvas de Λ que pasan por a.

Tomamos ahora un punto por el que no pasa la ´unica curva en Λ que pasa por a. 2 =⇒ 3

Tenemos dos posibilidades, dim Λ = 1 o dim Λ > 1. Si ocurriese lo segundo la intersecci´on de Λ con dos 3 =⇒ 1

hiperplanos ser´ıa siempre 6= ∅. Entonces, para cualesquiera puntos a, a0 ∈ P2_{tendr´ıamos H}

(21)

2.3. HACES DE C ´ONICAS 20

en contra de la hip´otesis.

Estamos trabajando con haces por se puede esperar que tengan puntos base. De esta forma se puede esperar que los haces sean el conjuntos de curvas de grado d que pasen por los puntos. Hablando de cónicas se hace un poco más complicado. Si empezamos con un haz de cónicas este coincidirá con las combinaciones lineales de ecuaciones de grado 2. Una espera que dos haces de cónicas se corten en cuatro puntos. Con cuatro puntos base uno se puede plantear. El conjunto de cónicas que pasan por cuatro puntos coincide con mi haz. El conjunto de cónicas tiene dimensión 5, y pasar por un punto es un hiperplano. Luego las cónicas que pasan por cuatro puntos son la intersección de 4 hiperplanos, luego debe quedar un hiperplano, es decir un haz. Debe ser cierto. El resultado que vamos a ver es cuando el número de puntos adecuados impone que el sistema lineal sea un haz.

2.18 Teorema. Dados cuatro puntos distintos a1, · · · , a4 ∈ P2K distintos el sistema lineal Λ ⊂ P2K de las

cónicas que pasan por ai es un haz si y sólo si los puntos no están alineados.

Dem. En primer lugar, P2= P5Ky Λ es la intersecci´on de 4 hiperplanos. Estamos en las hip´otesis del lema.

Debe-mos comprobar cualquiera de las condiciones equialentes. VaDebe-mos a ir estudiando las distintas posiciones relativas de los puntos.

Primero el caso malo. Si ai est´an alineados en una recta L entonces podemos aplicar el criterio 3.

Necesitar´ıamos encontrar dos puntos a y a0 tales que ninguna curva en Λ pase por ellos. Consideramos, para cualesquiera a, a0 ∈ P2

K

L ∪ ha, a0i ∈ Λ luego, por el lema, Λ no es un haz.

Supongamos que hay una recta que contiene a 3 de los 4 puntos, pero no al cuarto. a1, a2, a3∈ L pero

a4∈ L. En este caso emplearemos la propiedad 2. Tomemos unn punto a // ∈ L, a 6= a4. Sea a un c´onica en

Λ que pasa por a. Debe ser

L ∪ L0∈ Λ

como los ai ∈ Λ deben estar, pero a4, a /∈ L, luego L0 = ha, a4i y esta es la ´unica c´onica en Λ que pasa

por a. Con la propiedad 2 se prueba que Λ es un haz.

Supongamos que no hay tres puntos alineados entre a1, a2, a3, a4. Tomo a ∈ ha1, a2i y distintos de

ellos dos. Las cónicas de Λ que pasen por a contendran tres puntos alineados, luego contendrá a la recta ha1, a2i. Por tanto será de la forma:

ha1, a2i ∪ L0

donde L0 es una recta que contiene a a3, a4, luego prec´ısamente ha3, a4i

2.19 Corolario. Por cinco puntos ai pasa una única cónica si y sólo si no hay cuatro puntos alineados.

Además la única cónica es irreducible si y sólo si no hay 3 puntos alineados. Dem. Si hay cuatro puntos alineados, digamos a1, · · · , a4∈ L debe ser

L ∪ L0

con cualquier L0 3 a5 es una c´onica que pasa por todos los puntos entonces hay infinitas c´onicas. Si

existen tres puntos alienados a1, a2, a3∈ L y a3, a4∈ L tenemos/

L ∪ ha4, a5i

es una única cónica, pero no irreducible. Si no hay tres puntos alineados, empleando el teorema, llamamos Λ al conjunto de cónicas que pasan por a1, · · · , a4, que es un haz. Queremos saber si Λ ⊂ Ha5. Para ver

que no nos basta encontrar una c´onica reducible no pase por a5. Tomamos

ha1, a2i ∪ ha3, a4i

que, como no hay tres puntos alineados, es una c´onica a la que no pertenece a5. De esta forma Λ 6⊂ Ha5

luego Λ ∩ Ha5 es un único punto de P2, que es la única cónica que pasa por todos los puntos. Además es

irreducible, pues de ser reducible ser´ıa la uni´on de dos rectas, pues entonces una de las rectas contendr´ıa

(22)

2.4. HACES DE C ´UBICAS 21

2.20 Ejemplo. Consideremos las cónicas que pasan por (1 : 0 : 0), (0 : 1 : 0), (0 : 0 : 1), (1 : 1 : 1), (1 : 2 : 3) (el único caso interesante es cuando son cinco puntos que no están alineados. Podr´ıamos hacerlo con la ecuación general de la cónica. Esta la manera bruta.

La manera fina empieza por considerar el haz que pasa por (1 : 0 : 0), (0 : 1 : 0), (0 : 0 : 1), (1 : 1 : 1) esto es

X2(X0− X1), X1(X0− X1)

son curvas del haz, como sabemos que es un coincidir´a

t0X2(X0− X1) + t1X1(X0− X2)

vamos a cortar este haz con el hiperplano H(1:2:3), es decir, forzarlo a pasar por (1 : 2 : 3), tenemos

−3t0− 4t1= 0

si consideramos

4X2(X0− X1) − 3X1(X0− X2)

es la ´unica c´onica que pasa por los cinco puntos.

2.4 Haces de c´

ubicas

2.21 Teorema. Dados ocho puntos ai∈ P2K distintos y Λ = {c´onicas que pasan por todo ai}. Es un haz si y

sólo si no existen cónicas que pasan por los 8 puntos y no existen rectas que pasan por 5 de los 8. Dem. Lo haremos en diferentes casos dimΛ ≥ 1, pues es la dimensi´_{on de 8 hiperplanos en P}3 de dimensión 9.

Sabemos que Λ es un ahz si y s´_{olo si existe un punto a ∈ P}2tal que existe una única cónica en Λ que pasa por a o, equivalentemente, existen dos puntos a, a0 tales que no hay cúbicas en Λ que pasen por ambos.

Si existe una c´onicas que contenga a los 8 puntos, entonces C ∪ L con cualquier L 3 a es una c´ubica que en Λ que pasa por a.

A partir de ahora no hay c´onicas que contengan a los 8 puntos.

Si existe a una recta que contenga a cinco puntos (salvo reordenaci´on a1, · · · , a5), cada vez que

tomemos una cónica C 3 a6, · · · , a8 tenemos una cúbica L ∪ C en Λ. Como hay infinitas cónicas

C 3 a6, · · · , a8, a tenemos infinitas c´ubicas en Λ que pasan por a, luego Λ no es un haz.

Si existe una recta L 3 a1, · · · , a4 y L 63 a5, · · · , a8 entonces una c´ubica en Λ ser´a L ∪ C con

a5, · · · , a8 ∈ C, pero no existe L0 3 a5, · · · , a8, pues entonces a1, · · · , a8 ∈ L ∪ L0, que no se da

en este caso por hipótesis. Ahora si tomamos a /∈ L ni en ninguna recta que contenga a 3 de los puntos a5, · · · , a8. Entonces existe una única cónica C que pasa por a5, · · · , a8, a entonces L ∪ C es

la ´unica c´ubica en Λ que pasa por a. As´ı, Λ es haz en este caso.

Si existe L 3 a1, · · · , a3 y L 63 a4, · · · , a8. Existe una ´unica c´onica C 3 a4, · · · , a8. El punto a lo

buscamos en L \ {a1, · · · , a3}, la c´ubica corta a la recta en 4 puntos, luego las c´ubicas en Λ que

pasan por a ser´an L ∪ C0_{donde a}

4, · · · , a8∈ C0, y C0 = C. Sólo hay una tal cúbica, luego Λ también

es haz en este caso.

A partir de ahora podemos suponer que no hay tres puntos a1, · · · , a8 alineados.

Si existe un c´onica C 3 a1, · · · , a7 entonces es irreducible (pues no puede ser dos rectas) y corta a

una c´ubica de Λ en 7 puntos, pero entonces debe tener con ella una componente en com´un, pero como C es irreducible debe ser C ∪ L con a8∈ L. Con tomar a 6= a8, a /∈ C ya tenemos que la recta

L es ´unica, y por tanto la c´ubica. As´ı, de nuevo Λ es un haz en este caso.

Si existe una c´onica C 3 a1, · · · , a6 y C 63 a7, a8, que no da problemas con el teorema de B´ezout.

Para emplearlo, ahora vamos a exigir a ∈ C, a 6= a1, · · · , a6 y cualquier c´ubica en Λ que pasa por

(23)

2.4. HACES DE C ´UBICAS 22

De nuevo, la c´onica es C ∪ L, y debe ser L = ha7, a8i. Tenemos unicidad y Λ es un haz, tambi´en en

este caso.

A partir de ahora tampoco hay un c´onica que pase por 6 de los puntos.

Este es el caso más general. Empezamos tomando la única cónica C 3 a1, · · · , a5. Como los puntos

no están alineados la cónica es irreducible. Querremos repetir un argumento similar al anterior. La astucia es pensar que ahora va a haber muchos puntos de corte, pero no querremos que exista la cúbica. Con dos puntos más de manera sencilla podremos imponer condiciones similares a las anteriores, as´ı que nos interesa la segunda caracterización. Tomamos a, a0 ∈ C, a, a0 _{6= a}

1, · · · , a5.

Cualquier c´ubica en Λ que pase por a y a0 _{debe compartir alguna componente irreducible con C,}

que es irreducible, luego ser´a C ∪ L donde L es una recta. Nos falta imponer que a6, · · · , a8 est´en

en la c´onica. Pero a6, · · · , a8∈ C, luego a/ 6, · · · , a8∈ L. Pero esto es absurdo, pues hemos supuesto

que no estaban alienados. La segunda caracterizaci´on nos asegura que Λ es un haz.

2.22 Corolario. Sea C ⊂ P2

K c´ubica irreducible y ai ∈ C 8 puntos distintos. Entonces, el sistema lineal de

c´ubicas que pasan por todos ellos es un haz. En particular, si D es una c´ubica tal que C ∩ D = {a1, · · · , a8, a9}

entonces cualquier c´ubica que pasa por todo ai pasa tambi´en por a9.

Dem. Como C es una cúbica irreducible, por el teorema débil de Bézout, no contiene 4 puntos alineados ni 7 en un cónica. Entonces, por el teorema las cúbicas a1, · · · , a8 forman un haz. Esto prueba la segunda parte

de una forma bien sencilla. Si F es la ecuaci´on de C y G la de D las c´ubicas que por a1, · · · , a8 forman

un haz 3 C, D. Los elementos del haz tienen ecuaci´on t0F + t1G. Como F y G se anulan en los 9 puntos

(24)

23

Cap´ıtulo 3

Curvas parametrizadas

3.1 Definici´on. Llamaremos parametrizaci´_{on a ϕ : P}1_K → P2

K dada por

(t0: t1) 7→ (A0(t0, t1) : A1(t0, t1) : A2(t0, t1))

donde Ai∈ K[T0, T1] homog´eneos del mismo grad d o de forma que no existe (t0: t1) con Ai(t0, t1) = 0

para todo i.

3.2 Definici´on. Dado A ∈ K[T0, T1] llamaremos ra´ız de A un valor (t0: t1) ∈ P1K tal que

A(t0, t1) = 0

es una ra´ız doble si (t1T0− t0T1)2| A(T0, T1), en general el grado de la ra´ız es el mayor d que podemos

poner en lugar del 2.

3.3 Observación. Si K es algebraicamente cerrado los únicos factores irreducibles son los lineales, y para que no haya una ra´ız común a todos los Ai tendremos que pedir que estos no tengan factores comunes.

Nuestro objetivo será que Imϕ sea una curva regular. Si d = 1 entonces ϕ : (t0: t1) 7→ (a0t0+ a1t1: b0t0+ b1t1: c0t0+ c1t1) la condición será rga0 b0 c0 a1 b1 c1 = 2

o bien (a0: b0: c0) 6= (a1: b1: c1). Lo que tenemos es que ϕ es la imagen de la recta que pasa por estos

dos puntos. Su ecuaci´on impl´ıcita viene dada por X0 X1 X2 a0 a1 a2 b0 b1 b2 = 0

Lo que haremos realmente es trabajar por columnas. Querremos que a0T0+ a1T1, b0T0+ b1T1, c0T0+ c1T1

si nos fijamos en el espacio vectorial generado por ellos en el espacio de polinomios homogéneos de grado 1 lo que queremos es que formen un subespacio vectorial de dimensión mayor o igual que 2. Esto es decir que generan todo el espacio vectorial de polinomios homogéneos de grado 1. Por ser tres serán sin duda linealmente independientes, y esto quiere decir que existe una combinación lineal no trivial:

λ1(a0T0+ a1T1) + λ2(b0T0+ b1T1) + λ3(c0T0+ c1T1) = 0

que es una igualdad de polinomios. Podemos sustituir por cualquier valor de P1K. Esto quiere decir que

(25)

3.1. RA´ICES DE POLINOMIOS Y SU GRADO 24

grado 1 da una recta.

Supongamos que d = 2. Podemos emplear un argumento parecido al anterior. Ahora como no son todos proporcionales entre si generan un espacio de dimensión ≥ 2, ahora en el espacio de polinomios homogéneos de grado 2 en K[T0, T1]. Ahora el ambiente tiene dimensión 3. Tendremos dos posibilidades.

Si los tres vectores generan todo el espacio vectorial entonces son una base. Podemos hacer un cambio lineal y pasar de A0, A1, A2 a la base T02, T0T1, T12. Podemos construir una proyectividad de forma que

ahora Imϕ es la imagen de

ϕ0: (t0: t1) 7→ (t02: t0t1: t21)

luego Imϕ0= V (X0X2− X12) que es una c´onica irreducible. Luego tambi´en Imϕ.

Si los tres vectores son linealmente dependientes. Podemos escribir A2= λ0A0+ λ1A1

aqu´ı podemos hacer la siguiente maldad. Vamos a factorizar ϕ de forma ϕ1: (t0: t1) 7→ (A0(t0, t1) : A1(t0, t1))

ϕ2: (t0: t1) 7→ (t0: t1: λ0t0+ λ1t1)

donde la primera aplicación está bien definida, pues los por como hemos escrito A2 una ra´ız común de

A1y A0ser´ıa ra´ız común de los tres. La aplicación ϕ1define una aplicación sobreyectiva, con dos puntos

preimagen en casi todo punto1. De esta forma la imagen es un c´onica en el sentido de que es una recta doble.

3.1 Ra´ıces de polinomios y su grado

3.4 Lema. Sea A ∈ K[T0, T1] entonces (t0 : t1) ∈ P1K es ra´ız m´ultiple de A si y s´olo si (t0 : t1) es ra´ız de

A0 y A1.

Dem. ⇒) Si A = (t1T0− t0T1)2B entonces t1T0− t0T1| A0, A1.

⇐

La identidad de Euler garantiza

dA = A0T0+ A1T1

luego si es ra´ız de A0y A1es ra´ız de A. Luego A = (t1T0− t0T1)C. Todav´ıa necesitamos ver que (t0: t1)

es ra´ız de C. Si derivamos

A0= t1C + (t1T0− t0T1)C0

luego

A0(t0, t1) = t1C(t0, t1)

y, por otro lado

A1(t0, t1) = t0C(t0, t1)

y como (t0, t1) 6= 0 entonces C(t0, t1) = 0 y por tanto (t1T0− t0T1)2| A.

3.5 Ejemplo. Sea aT2_{+ bT + c entonces}

A = aT₁2+ bT0T1+ cT02, A0= bT1+ 2cT0, A1= 2aT1+ bT0

entonces si A0 y A1 tiene ra´ız com´un

b 2c 2a b = b2− 4ac = 0 1_Consid´_{erense ϕ} 1(t0: t1) = (s1: s2) ⇐⇒ s1A0(t0, t1) − s0A1(t1, t1)

(26)

3.1. RA´ICES DE POLINOMIOS Y SU GRADO 25

3.6 Teorema. Si A es DFU

a0T0d+ a1T0d−1T1+ · · · + adT1d∈ A[T0, T1]

b0T0e+ b1T0e−1T1+ · · · + beT1e∈ A[T0, T1]

tienen un factor com´un de grado positivo si y s´olo si a0 a1 · · · ad 0 · · · 0 a0 a1 · · · ad · · · 0 . ._.e) a0 · · · ad b0 b1 · · · be b1 · · · be . ._.d) b0 · · · be = 0

Dem. Tienen un factor com´un si y s´olo si existe C de grado d − 1 y D de grado e − 1 tales que AD = BC. Es decir

(a0T0d+ a1T0d−1T1+ · · · )(d0T0e−1+ · · · ) = (b0T0e+ · · · )(c0T0d−1+ · · · )

lo que es equivalente al sistema          a0d0 −b0c0 = 0 a1d0 +a0d1 −b1c0 −b0c1 = 0 .. . adde−1 −becd−1 = 0

tenemos un sistema homog´eneo en de indeterminadas ci, dj cuyos coeficientes son los del determinante

del enunciado.

3.7 Definición. LLamaremos resultante homogénea de A y B al determinante anterior. Notaremos Res(A, B) 3.8 Observación. Esto nos permite decir que toda curva parametrizada (por polinomios) es una curva

algebraica. Tomaremos

C = {(A0(t0, t1) : A1(t0, t1) : A2(t0, t1) | (t0: t1) ∈ P1K}

con Ai poliinomios homog´eneos de grado d. Un punto (x0: x1: x2) ∈ C si y s´olo si

rgA0(t0, t1) A1(t0, t1) A2(t0, t1)

x0 x1 x2

= 1 si hacemos menores de orden 2 de deben quedar todos nulos

x1A0− x0A1, x2A0− x0A2, x2A1− x1A2

Esto nos da tres polinomios que deben tener una ra´ız com´un.

3.9 Teorema. Sean A0, A1, A2∈ K[T0, T1] homog´eneos de grado d sin ra´ıces y sea

C = {(A0(t0, t1) : A1(t0, t1) : A2(t0, t1)) | (t0: t1) ∈ P1K}

Entonces existe un polinomio F homog´eneo de grado d tal que

Res(X1A0− X0A1, X2A0− X0A2) = X0dF

donde se consideran X1A0− X0A1∈ (K[X0, X1, X2])[T0, T1] y la curva

(27)

3.1. RA´ICES DE POLINOMIOS Y SU GRADO 26 Dem. Tenemos X1(X2A0− X0A2) = X0(X2A1− X1A2) + X2(X1A0− X0A1) (3.1) entonces X₁dRes(X1A0− X0A1, X2A0− X0A2) = Res(X1A0− X0A1, X1(X2A0, X0A2) = Res(X1A0− X0A1, X0(X2A1− X1A2) + X2(X1A0− X0A1)) = · · ·

Observamos lo que ocurre en el determinante. Es un determinante de orden 2d, y lo que hacemos es sumar la fila i multiplicada por X2 a la fila d + i. Entonces

· · · = Res(X1A0− X0A1, X0(X2, A1− X1A2) = X0dRes(X1A0− X0A1, X2A1− X1A2)

de esta ecuaci´on podemos obtener las dos primeras igualdades. Cambiando ahora los polinomios se obtiene el resto del teorema.

Si tenemos un punto (x0 : x1 : x2) ∈ V (F ). Al particularizar la resultante obtendremos 0 en todas

las resultantes (pues F (x0, x1, x2) = 0). De esta forma existe un punto PK1 que es ra´ız de X1A0− X0A1

y X1A0− X1A2. Podr´ıa pasar que la ra´ız com´un de estos dos polinomios no fuese ra´ız del tercero. Lo

inteligente aqu´ı es tener en cuenta en qu´e regi´on estamos. Si x06= 0 y volvemos a la igualdad (3.1) para

ver que es ra´ız de la tercera ecuaci´on. Si no se anulase x0si no otra componente tomar´ıamos (t0: t1) de

que se anulase la resultante correspondiente para hacer este mismo truco. Por ´_{ultimo, F 6= 0, si F = 0 entonces C = P}2

K. Si A06= 0 (por ejemplo) existe una cantidad finita de

(t0: t1) con A0(t0, t1) = 0 y tenemos que C ∩ V (X0) es finito, luego C 6= P2K.

3.10 Observación. La ventaja de las resultantes homogéneas es que la única baja de grado que puede darse es pasar a ser el polinomio 0, luego se preservan las fórmulas para las resultantes.

3.11 Observación. La sustitución sobre el resultante funciona bien aunque alguno de los polinomios se anule. Si alguno de los polinomios se anula entonces los resultantes siguen quedando nulos. De hecho, al hacer la sustitución sobre el determinante obtendremos filas de 0s. Es importante señalar que la igualdades del teorema vienen dadas para los polinomios en K[X0, X1, X2, T0, T1].

3.12 Proposici´on. En las condiciones del teorema C es irreducible

Dem. Si C = V (G) ∪ V (H) = V (GH) entonces para todo (t0: t1) ∈ P1K se tiene

G(A0(t0, t1), A1(t0, t1), A2(t0, t1))H(A0(t0, t1), A1(t0, t1), A2(t0, t1)) = 0

esto quiere decir que

G(A0(T0, T1), A1(T0, T1), A2(T0, T1))H(A0(T0, T1), A1(T0, T1), A2(T0, T1)) = 0

(en el sentido de polinomios). Uno de ellos necesariamente es 0.

G(A0, A1, A2) = 0 ´o H(A0, A1, A2) = 0

luego, o bien C ⊂ V (G) ó C ⊂ V (H). Pero, por la expresión de C más arriba, o bien C = V (G) o

C = V (H).

3.13 Corolario. El polinomio F del teorema es una potencia de un polinomio irreducible. 3.14 Ejemplo. Sea C = {(t2

0: t21: t20+ t21) | (t0: t1) ∈ P2K}. Nos quedar´a F = (X0+ X1− X2)2.

3.15 Observaci´on. Puede ocurrir que cada punto de la curva quede asociado a varios valores de los par´ amet-ros (t0: t1). De esta forma ppodemos indicar que la intersecci´on de una curva parametrizada con un recta

(28)

3.2. PARAMETRIZACIONES AFINES 27

3.2 Parametrizaciones afines

Consideremos una curva parametrizada C y C ∩ {X0 6= 0} tendremos la correspondencia con los

puntos afines A1(t0, t1) A0(t0, t1) ,A2(t0, t1) A0(t0, t1)

y podemos deshomogeneinzar los polinomios para obtener C0 = A1(t0, t1) A0(t0, t1) ,A2(t0, t1) A0(t0, t1) | t ∈ A1 K, A0(1, t) 6= 0

de momento esto no es una curva af´ın. De momento

C0 = (C ∩ {X06= 0}) \ {(A0(0, 1), A1(0, 1), A2(0, 1))}

luego la astucia es buscar un punto de infinito con A(0, 1) = 0, para haberlo quitado ya. En sentido contrario podremos empezar considerando

C0= p1(t) q1(t) ,p2(t) q2(t) | t ∈ A1K, qi(t) 6= 0

Debemos ver la curva en el proyectivo como d = mmd(q1, q2) tendremos

C0⊂nq1q2 d : p1q2 d : p2q1 d o

Notamos la ventaja de trabajar en el proyectivo. En él las parametrizaciones son siempre polinómicas, mientas que en el af´ın debemos permitir racionales y además podemos perder puntos de infinito.

(29)

28

Cap´ıtulo 4

Estudio local de curvas

4.1 Multiplicidad de intersecci´

on

4.1 Definici´_{on. Sea ϕ : P}1

K → C ⊂ P2K parametrizaci´on por polinomios de grado el de la curva, a ∈ C y D

de ecuaci´on minimal F tal que D 3 a definimos

B(T0, T1) = F (A0(T0, T1), A1(T0, T1), A2(T0, T1))

y llamaremos multiplicidad de intersecci´on de ϕ con D en a a X

ϕ(t0:t1)=a

multB(t0: t1)

4.2 Ejemplo. Sea ϕ(t0: t1) = (t30: t0t12: t31) 3 (1 : 0 : 0) = ϕ(1 : 0) y D = V (X0X2− X12) tenemos

F (T₀3, T0T12, T 3 1) = T 3 0T − 1 T 3 0T 4 1 = T 2 0T 3 1(T0− T1)

luego como el exponente de T1 es 3

mult(1:0:0)(ϕ, D) = 3

4.3 Proposici´on. La multiplicidad de intersecci´on no depende las coordenadas X0, X1, X2.

Dem. Hacemos un cambio de coordenadas, es decir, que tenemos nuevas coordenadas X00, X10, X20 mediante

(X₀0 X₁0 X₂0) = (X0 X1 X2)P

con lo que, en estas coordenadas la parametrizaci´on

(X₀0 : X₁0 : X₂0) = (A0: A1: A2)P = (A00: A01: A02)

también polinomios homogéneos de grado d. Esta es la nueva parametrización. Para calcular la nueva ecuación de D

F0(X₀0, X₁0, X₂0) = F ((X₀0, X₁0, X₂0)P−1) Ahora tenemos que hacer la sustituci´on para calcular

B0(T0, T1) = F0(A00, A 0 1, A 0 2) = F ((A 0 0, A 0 1, A 0 2)P −1_{) = F ((A} 0, A1, A2)P P−1) = B(T0, T1)

luego la multiplicidad de todas las ra´ıces se conserva.

4.4 Proposici´on. La multiplicidad de intersecci´_{on es invariante por cambios de coordenadas en P}1_K Dem. Es claro. La idea es considerar (T0

0, T10) = (T0, T1)P y cambiar las variables de cada Ai y B para